MODEL MATEMATIS DAN SIMULASI PERGERAKAN HARGA SAHAM SKRIPSI

Transkripsi

1 MODEL MATEMATI DAN IMULAI PERGERAKAN HARGA AHAM KRIPI Dajukan Unuk Mmnuh alah au yara Mmprolh Glar arjana ans Program ud Mamaka Dsusun Olh : RIDWAN RAHADIYANTO NIM : 334 PROGRAM TUDI MATEMATIKA JURUAN MATEMATIKA FAKULTA AIN DAN TEKNOLOGI UNIVERITA ANATA DHARMA YOGYAKARTA 9

2 MATHEMATICAL MODEL AND IMULATION OF AET PRICE MOVEMENT THEI Prsnd As a Paral Fulfllmn of Th Rqurmns o Oban Th arjana ans Dgr In Mahmacs by : Rdwan Rahadyano udn Numbr : 334 MATHEMATIC TUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATIC FACULTY OF CIENCE AND TECHNOLOGY ANATA DHARMA UNIVERITY YOGYAKARTA 9

3

4

5 LAMPIRAN Daa Harga aham Harga saham IBM haran : Tanggal Harga 8-p Jul Jun Apr Fb p Jul Jun Apr Fb p Jul May Apr Fb p Jul May Apr Fb p Jul May Apr Fb p Jul May-.3 3-Mar Fb- 3. -p Jul May- 9-Mar Fb p Jul May Mar Jan p Jul May-.5 7-Mar Jan p Jul-.64 -May Mar Jan p Jul May Mar Jan p Jul May Mar Jan p Jul May Mar Jan p Jul May Mar Jan p Jul May Mar Jan Aug Jul May Mar Jan Aug Jul May Mar Jan-.9 9-Aug Jul May Mar Jan Aug Jul May-. 3-Mar Jan Aug-. -Jul May Mar Jan Aug Jun May Mar Jan Aug Jun May Mar Jan Aug Jun May Mar-.6 9-Jan Aug Jun May Mar Jan Aug Jun Apr Mar Jan Aug Jun Apr Mar Jan Aug Jun Apr Mar Jan Aug Jun Apr Fb Jan Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug-.3 8-Jun Apr Fb Aug Jun Apr Fb Aug-.6 6-Jun-.4 -Apr Fb Jul Jun Apr Fb- 7.47

6

7 hdup adalah awal hdup adalah sbuah kras yang kosong hdup adalah sbuah nafas hdup adalah pmblajaran hdup adalah prjuangan hdup adalah prbuaan hdup adalah sbuah prjalanan hdup adalah plhan-plhan hdup adalah anggungjawab hdup adalah pnanan hdup adalah mnyayang hdup adalah mmaham hdup adalah mncna hdup adalah mmbr hdup adalah mnkma hdup adalah akhr mlalu hdup ka blajar banyak hal dan sau hal yang pas susahku sak durung cukup kanggo mbayar snngku mbsuk, gus ra bakalan mnh cobaan sng ora so dhadap hamban dpmbrhnan prjalananku n kuprsmbahkan krja krasku slama n unuk allah bapa, jsus krsus dan bunda mara, pnunun jalanku bapak, bu n ad, alasan hdupku almamarku v

8 ABTRAK Prgrakan harga saham pada dasarnya dak dapa dprdks dngan pas, ap prgrakan rsbu dapa dprkrakan. Unuk mmprkrakan prgrakan harga saham, maka akan dbua suau modl mamaka yang mmanfaakan pmbangkan blangan random sbaga sampl daa harga sahamnya. Mlalu modl mamaka rsbu dapa dprolh suau smulas prgrakan harga saham. uau daa harga saham yang akan dprdks prgrakannya harus duj rlbh dahulu normalas rurnnya. Hal n dkarnakan modl mamaka dan smulas prgrakan harga saham rsbu akan brlaku unuk daa harga saham yang mmpunya rurn yang brdsrbus normal. Dngan mnggunakan raaraa dan smpangan baku daa harga saham yang ssungguhnya dan kompuas ass pah, maka akan ddapakan suau prkraan prgrakan harga saham. v

9 ABTRACT I s bascally mpossbl o dfn h movmn of ass prc, bu s possbl o mak som prdcons. A mahmacal modl s dsgnd n ordr o sma h movmn of ass prc. Ths modl uss random numbrs as h sampl of h ass prc and can b usd as a smulaon modl of h movmn of ass prc. Th dsrbuon of h smad ass prc rurn should b sd whhr s normally dsrbud or no. Th rason s, h fac ha h mahmacal modl and ass prc smulaon wll only b work for ass prc ha h rurn has normally dsrbud. Th smaon of ass prc movmn can b sma by counng h man and sandard dvaon of h ral ass prc and h compuaon of ass pah. v

10

11 KATA PENGANTAR Puj dan syukur kpada Tuhan Ysus d urga, karna brka dan cna yang lah dbrkan shngga pnuls dapa mnylsakan skrps n. Dalam pnulsan skrps n, pnuls banyak mnmu hambaan dan ksulan. Namun, brka banuan dan dukungan dar banyak phak, akhrnya skrps n dapa rslsakan. Olh karna u, pnuls ngn mngucapkan rma kash kpada :. Ibu Ch. Enny Murwanngyas,., M., slaku dosn pmbmbng skrps dan dosn pmbmbng akadmk yang slalu sabar dan mmbr smanga kpada pnuls slama kulah dan pnyusunan skrps n.. Bapak Yosf Agung Cahyana,.T., M.T, slaku Dkan Fakulas ans dan Tknolog. 3. Ibu Lusa Krsmya Budash., M., slaku Kua Program ud Mamaka yang lah banyak mmbanu dan mmbr saran. 4. Bapak Ir. Ignaus Ars Dwamoko, M.c, slaku pnguj yang lah banyak mmbrkan masukan kpada pnuls. 5. Bapak dan Ibu Dosn Fakulas ans dan Tknolog yang lah mmbrkan bkal lmu yang sanga brguna bag pnuls. 6. Bapak Tukjo dan Ibu Lnda yang lah mmbrkan playanan admnsras slama pnuls kulah. 7. Prpusakaan UD yang lah mmbrkan faslas dan kmudahan kpada pnuls. 8. Kdua orang ua dan ad ku yang slalu mmbrkan dukungan unuk hdupku. 9. Dk ayo yang lah mnman saa-saa akhr pnulsan, Gmbo yang lah mmbrkan plajaran hdup yang sanga brharga.. Tman-man sangkaan 3 : Eko, Koko, Wdus, Valn, Mrry, Iha, Mkar, p, Ann, Dw, um, Ccl yang slalu smanga dalam mnjalan prkulahan. v

12 . Ban, Aan, Tam, Galh, Markus, Tao, Ijub, yang mmbrkan banyak masukan dan dorongan.. Kakak-kakak dan Adk-adk angkaan dar sampa 8, rma kash aas kcraan slama kulah barng. 3. Anak-anak kos Pak : Klk, Asok, andx, Mas Jo, Usup, Ijuk, Uduk, Oonx, Mas Wawan yang lah banyak mmbrkan banyak banuan slama pngrjaan skrps n. 4. Komunas Kodox Ijo : Ddd, Gon-gon, Don Plkpo, Topan, Tp, Baban, yang lah mmbrkan banyak masukan mngna pngrjaan skrps. 5. Prsonl kos Rafl : Mosapa, Tora, mhonx, Fajar, Br, dan Kang Mojh yang slalu mmbrkan smanga dan juga Anggy n Ana aas nasha-nashanya. 6. Angoa-anggoa ITI : Gondrong, RT, Bu, umn, Gawr, Lo, Ooz, Jaja, dogox, Ll, la dan anggoa-anggoa yang lannya yang lah mmbrkan banyak pngahuan nang snak-snak program dan sofwar. 7. Anak-anak KKN : osoh, Pol, Ds, Ev, Lus, Lan, Hln, Rn makash unuk kkompakan dan smanganya. 8. Gank Psycho : Cazanopa, Koong, Tombr, Anoks, Yanu, obr, KamprZ, Gondl, Arx, Gndu Tman ka yang lah brpulang, moga-moga drma dssnya, Thka, Iml, Lnda, Lng-lng, Uu, rma kash aas prsabaannya. x

13 Pnuls juga dak lupa mngucapkan rma kash kpada phak yang mmbanu pnuls dalam pnulsan skrps n yang dak bsa dsbukan sau pr sau dsn. Tada yang smpurna, dmkan juga skrps n. Masukan dan krkan yang mmbangun unuk ksmpurnaan skrps n mnjad khormaan bag pnuls. Yogyakara, Fbruar 9 Pnuls x

14 DAFTAR II HALAMAN JUDUL.. HALAMAN JUDUL INGGRI.. HALAMAN PERETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGEAHAN.... HALAMAN KEALIAN KARYA... HALAMAN PEREMBAHAN... ABTRAK... v v v ABTRACT v KATA PENGANTAR v DAFTAR II.. x DAFTAR TABEL. xv DAFTAR GAMBAR. xv BAB I PENDAHULUAN A. Laar Blakang B. Prumusan Masalah 4 C. Pmbaasan Masalah... 4 D. Tujuan Pnulsan... 4 E. Mod Pnulsan... 5 F. Manfaa Pnulsan... 5 x

15 G. smaka Pnulsan... 5 BAB II LANDAAN TEORI A. Varabl Random... 7 B. Fungs Probablas. Fungs Dsrbus Kumulaf Dskr.. Fungs Dsrbus Kumulaf Konnu 3. Fungs Dnsas.. C. Nla Harapan dan Varans D. Dsrbus Normal 4 E. Fungs Varabl Random F. Dsrbus Lognormal.. 7 G. Torma Lm Pusa.. 3 H. Inrval Kprcayaan 3 I. mulas Kompur. 38 J. Pnduga Dnsas Krnl 44 K. Kuanl-Kuanl Plo 47 L. Torma Lm Pusa Dalam mulas Kompur.. 54 BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA AHAM A. Prgrakan Harga aham 59 B. Modl Mamas Harga aham. Modl aham Dskr 68. Modl Harga aham Konnu Dsrbus Lognormal Harga aham.. 74 x

16 4. Inrval Konvdns Harga aham 83 C. Kompuas Ass Pah. Pola Prgrakan Harga aham dngan kala Waku yang Brbda Jumlah Kuadra Rurn. BAB IV APLIKAI PADA HARGA AHAM INDONEIA Analsa harga saham Indonsa 8 BAB V PENUTUP A. Ksmpulan 8 B. aran 8 DAFTAR PUTAKA.9 LAMPIRAN x

17 DAFTAR TABEL Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl Tabl xv

18 DAFTAR GAMBAR Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar xv

19 Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar 4.4. Gambar 4.5. Gambar 4.6. Gambar Gambar xv

20 Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar xv

21 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Blakang Dalam khdupan shar-har kadang djumpa pmbraan nang saham, prgrakan harga saham, nvsas dalam bnuk saham, dan jual bl saham. Tap blum nu sap orang ahu nang dfns dan sluk bluk prgrakan harga saham. Dfns saham u sndr adalah suau obyk fnansal yang nlanya dkahu pada saa n, ap dapa brubah pada masa yang akan daang. Harga saham pada dasarnya dgunakan sbaga ukuran kprcayaan sorang nvsor. Hal n akan dpngaruh fakor-fakor yang ada spr bra yang sdang brkmbang, kadaan gografs, dsas-dsus, spkulas dan lan sbaganya. Prgrakan harga saham yang sdang brkmbang mnggambarkan smua nformas unuk dkahu nvsor dan smua prubahan pada harga akan mmbrkan nformas baru hposs fsns pasar. Mnuru hposs fsns pasar, jka ngn mmprdks harga saham unuk masa yang akan daang maka harus dkahu scara lngkap nang sjarah dar daa harga saham sblumnya dan fakor-fakor lan spr kadaan prusahaan, kadaan gografs, spkulas dan lan sbaganya. Tap pada pmbahasan kal n hanya akan dgunakan sjarah dar daa harga saham sblumnya unuk mmprdks prgrakan harga saham. Karna prgrakan harga saham pada dasarnya dak dapa dprdks scara pas, maka akan dbua modl mamaka nang prgrakan harga saham

22 rsbu. Dfns dar modl mamaka u sndr adalah rprsnas smbolk yang mlbakan formulas mamaka. Jka dbrkan harga saham pada saa, ujuannya adalah unuk mmbua modl mamaka yang mndskrpskan harga saham pada waku T. pr yang lah dsbukan daas, karna prgrakan harga saham pada dasarnya dak dapa dprdks scara pas, maka mrupakan sbuah varabl random unuk sap. Mskpun harga saham basanya dbulakan mnjad sau aau dua mpa dsmal, dasumskan bahwa harga saham mmlk nla. Modl harga saham ada dua macam modl yau modl saham dskr dan modl saham konnu. Pada prubahan yang dak dapa dprdks scara pas akan dambahkan sbuah knakan flukuas random pada prsamaan. upaya pa dmsalkan δ, dmana δ adalah nrval waku kcl, shngga harga saham dapa dnukan pada k-k dskr { }. Modl waku dskrnya adalah, δ δ Y, dmana adalah paramr konsan basanya >, shngga δ mnggambarkan sbuah prgrakan nak pada harga saham. adalah paramr konsan yang mnnukan kkuaan flukuas random, dan dsbu volalas. Y,Y,Y, adalah blangan random yang brdsrbus dnk dan ndpndn N,.

23 3 Unuk mndapakan sbuah modl prubahan rlaf dalam nrval waku δ, dmsalkan δ dngan ujuan unuk mndapakan sbuah modl yang vald unuk yang konnu dalam nrval T. Prgrakan harga saham yang dbrkan pada bursa-bursa saham pada dasarnya prgrakan scara dskr ap smakn kcl nrval prubahan wakunya, harga saham dak lag brsfa dskr. Olh karna u prgrakan harga saham akan ddkakan pada modl saham konnu. Msalkan nrval waku [, ] dngan Lδ. Dkahu, dan dar modl dskr dprolh δ, δ,.., Lδ. Maka modl waku konnunya pada saa adalah Z, dmana Z brdsrbus N,. Kmudan modl mamas rsbu dsmulaskan. Prama-ama akan dgunakan kompur unuk mmbangkkan blangan random dan dar blangan random n dgunakan unuk mmbangkkan nla varabl random. Kmudan akan dunjukkan bagamana mnggunakan varabl random unuk mmbangkkan modl dskr dan konnu rhadap waku.

24 4 B. Prumusan Masalah Masalah yang akan dbahas pada skrps n adalah :. Bagamana mnyusun modl saham konnu dar modl saham dskr?. Bagamana cara mnymulaskan modl mamaka dar prgrakan harga saham? 3. Bagamana mngaplkaskan modl rsbu pada prgrakan harga saham d Indonsa? C. Pmbaasan Masalah. Torma Lm Pusa dak dbukkan.. Modl yang akan dbahas dalam skrps n hanya modl rurn harga saham, modl harga saham dskr dan modl harga saham konnu. 3. Hanya akan dgunakan sjarah dar daa harga saham unuk mnganalsa prgrakan harga saham. 4. Program yang dgunakan adalah Exl, P, dan Malab. 5. Grafk frkuns rlaf, pnduga dnsas krnl dan grafk kumulaf pada bab II dan bab III brupa hsogram, ap karna krbaasan Malab maka ampak spr grafk bar. D. Tujuan Pnulsan Tujuan dar pnulsan dar skrps n adalah unuk mmbua modl mamas dar prgrakan harga saham dan mnymulaskannya. Mlalu

25 5 smulas rsbu prgrakan suau saham dapa danalsa, shngga dapa dprolh prdks prgrakannya unuk waku yang akan daang. E. Mod Pnulsan Pnulsan skrps n mnggunakan mod sud pusaka, yau dngan mnggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang lah dpublkaskan, shngga dak dmukan hal baru. F. Manfaa Pnulsan Manfaa dar pnulsan skrps n adalah dapa dpaham hubungan modl saham dskr dan modl saham konnu. lan u pmbaca dapa juga mmprolh prdks nang prgrakan harga saham unuk waku yang akan daang. G. smaka Pnulsan BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I dbahas nang laar blakang, prumusan masalah, pmbaasan masalah, ujuan pnulsan, mod pnulsan, manfaa pnulsan, dan ssmaka pnulsan.

26 6 BAB II: LANDAAN TEORI Dalam bab II akan dbahas nang varabl random, fungs probablas, nla harapan dan varans, dsrbus normal, fungs varabl random, dsrbus lognormal, orma lm pusa, nrval konvdns, smulas kompur, pnduga dnsas krnl, kuanl-kuanl plo, dan orma lm pusa dalam smulas kompur. BAB III: MODEL MATEMATIKA DAN IMULAI PERGERAKAN HARGA AHAM Dalam bab III n akan dbahas nang prgrakan harga saham, modl mamaka harga saham dan juga kompuas as pah. BAB IV: APLIKAI PADA HARGA AHAM INDONEIA Dalam bab IV n akan dbrkan conoh analsa daa harga saham yang ada d Indonsa dngan mnggunakan modl harga saham dan kompuas ass pah. BAB V: PENUTUP Dalam bab V n akan dbrkan nang ksmpulan dan saran.

27 BAB II LANDAAN TEORI A. Varabl Random Gagasan unuk mndfnskan sbuah fungs yang dknal dngan varabl random mbul karna modl-modl mamaka dksprskan dalam bnuk nla-nla numrs darpada hasl prcobaan asl spr ss, warna, aau yang lan. Dfns..: Varabl random, msalnya X adalah fungs yang ddfnskan pada ruang sampl, yang mmakan sap lmn kblangan ral. Noas : X x, x R Unuk lambang varabl random dgunakan huruf-huruf kapal X, Y, Z, sdangkan unuk mlambangkan nla varabl random yang mungkn, dgunakan huruf-huruf kcl yang brssuaan spr x, y, z. Conoh..: Jka ssorang mlmpar dua buah dadu scara brsamaan maka, ruang sampl {,j},j {,, 3, 4, 5, 6}}. Varabl random X mnyaakan jumlah blangan yang muncul pada kdua buah dadu maka X,j j, shngga X, 3 X6,

28 8 Konsp varabl random dapa dpaham sbaga sbuah pmaan dar hmpunan khmpunan blangan blangan ral. Kmudan konsp n dpaka unuk mnghung pluang mbulnya suau kjadan. Dngan mngambl conoh.., ddfnskan kjadan mmprolh jumlah blangan maksmal 3. Tk-k sampl kjadan n dapa dulskan sbaga Y,3 aau Y {,3} aau dapa pula dnyaakan dalam nrval Y { y y 3}. Dngan probablas : 3 P Y 3 P,,,,,. 36 Varabl Random Dskr Dan Varabl Random Konnu Dfns..: Varabl random dskr adalah varabl random yang nlanya brhngga aau akbrhngga rblang, slan n dsbu varabl random konnu. Conoh..: varabl random dskr : o X Banyaknya kclakaan mobl dalam waku sau ahun d Yogyakara. o Frkuns dnyu janung prmn. varabl random konnu : Conoh varabl random konnu adalah M lamanya prmanan caur dalam sau babak. Mskpun dalam knyaaannya basa dukur waku hanya dngan sauan rdka spr mn aau dk, sara ork dapa dukur waku dngan smbarang sauan kcl.

29 9 B. Fungs Probablas Dfns..: Fungs fx PX x,,, 3, yang mnyaakan probablas unuk smua kmungknan nla varabl random dskr X dsbu fungs probablas. Fungs probablas rsbu dapa dnyaakan dalam rumus fungs aau abl yang mmua pasangan nla varabl random x brku dngan pluangnya yang dsbu dsrbus probablas. Conoh..: buah kon dlmparkan sbanyak kal dan X adalah varabl random yang mnyaakan banyaknya muka yang dprolh. Varabl random X yang mmlk dsrbus probablas sbaga brku : Tabl.. Tabl dsrbus probablas X PXx 4 4 Dfns.. : Probablas dar a X b dnukan olh ngral fx dngan baas bawah x a dan baas aas x b, dngan X adalah varabl random konnu dan f adalah fungs dnsas yang brnla ral

30 b Pa X b a f x dx... Fungs Dsrbus Kumulaf Dskr Dfns..3: Fungs dsrbus kumulaf suau varabl random dskr X ddfnskan sbaga Fx PX x unuk smua nla ral x. Kadang-kadang fungs Fx dsbu juga fungs dsrbus.. Fungs Dsrbus Kumulaf Konnu Dfns..4: Fungs dsrbus kumulaf suau varabl random X, dngan fungs dnsas fx ddfnskan sbaga : x Fx f d. Fungs dnsas fx mrupakan drvaf dar Fx. 3. Fungs Dnsas Pada fungs dsrbus yang mngandung k-k rpuus yang brhngga banyaknya, loncaan yang rdapa pada suau k rpuus mrupakan probablas mbulnya varabl random X pada k rsbu. Kmudan dapa pula dsmpulkan bahwa pada ruang sampl konnu, pluang mbulnya varabl random pada suau k rnu sama dngan nol. Dngan dmkan, prnyaaan

31 pluang suau varabl random konnu slalu dnyaakan dalam pluang brnla dalam nrval. Dfns..5: Fungs fx dsbu fungs dnsas bag varabl random konnu X bla dan hanya bla mmnuh syara : fx unuk smua nla x ral f x dx C. Nla Harapan Konsp nla harapan mmgang pranan yang sanga pnng dalam saska. Conoh yang palng mudah adalah man dan varans suau varabl random. Kduanya adalah paramr-paramr yang hampr slalu muncul dalam knk-knk analss saska lmnr maupun lanju. Yang dmaksud dngan nla harapan dnyaakan dalam dfns brku, Dfns.3.: EX n x p x, jka x dskr dngan fungs probabl as p x xf x dx, jka X konnu dngan fungs dnsas f x.3 Dnjau dar sg varabl random yang dskr, maka nla harapan EX mrupakan suau nla fungs lnar dar smua unsur ddalam doman fungs dngan pluang yang brssuaan sbaga fakor pmbobo.

32 Conoh.3.: Dalam plmparan sbuah maa dadu smbang sbanyak sau kal, ka akan mnrma uang sbanyak k pada ss yang ampak. Unuk brman sau kal lmparan ka harus mmbayar c rupah. Prama-ama ka prhakan bahwa hadah yang ka rma ap prmanan adalah varabl random dngan dsrbus probablas sbaga brku : Tabl.3. Tabl dsrbus probablas Hadah X PXx /6 /6 /6 /6 /6 /6 EX./6. /6 3. /6 4. /6 5. /6 6. /6 3,5 rupah Brapa rupah yang harus ka bayar agar prmanan rsbu adl? Prmanan dsbu adl jka c 3, 5 rupah. Dngan dmkan raa-raa hadah yang ka rma sama dngan banyaknya uang yang ka bayarkan unuk brman. Nla harapan EX 3, 5 dapa dnrprsaskan sbaga brku : jka prmanan u dapa dulang sbanyak-banyaknya, maka prbandngan anara jumlah hadah dngan banyaknya kal prmanan adalah 3, 5. fa-sfa Nla Harapan Dfns.3.: Jka X adalah varabl random dan gx adalah fungs dar varabl random X maka,

33 3 E[gX] n g x p x, jka X dskr dngan fungs probablas p x g x f x dx, jka X konnu dngan fungs dnsas f x.4 Torma.3.: Jka X adalah varabl random dngan fungs dnsas fx, a dan b konsana, gx dan hx fungs-fungs varabl random brharga ral, maka E[agx bhx] a E[gx] b E[hx]. 5 Buk : Jka X adalah varabl random konnu maka mnuru dfns nla harapan E[agxbhx] [ ag x bh x] f x dx a x f x dx b g h x f x dx ae[gx] be[hx] Dfns.3.3: Varans varabl random X adalah : VarX E[x- ]. 6 fa-sfa lan nla harapan : Unuk a dan b blangan konsan maka brlaku. Ea a. EbX b EX

34 4 3. EX a EX a 4. EbX a b EX a fa-sfa lan varans : Unuk a dan b blangan konsan maka brlaku. VarX dak ngaf. VarX a VarX 3. VarbX b VarX 4. VarbX a b VarX Dfns.3.4: Fungs Gamma duls Γ k, unuk smua k> ddfnskan sbaga k Γ k d.7 Fungs Gamma mmnuh sfa-sfa : Γ k k Γ k Γ n n! Γ/ π k>, dan n,,...8 D. DITRIBUI NORMAL Dsrbus normal sanga pnng bak dalam saska or maupun rapan. Dsrbus n prama kal dplajar pada abad kdlapan blas, kka orang mngama gala pngukuran brdsrbus smrk dan brbnuk bl. D Movr mngmbangkan bnuk mamak dsrbus n pada ahun 733,

35 5 sbaga bnuk lm dsrbus bnomal. Laplac juga lah mngnal dsrbus n sblum ahun 775. Gauss mnurunkan prsamaan dsrbus n dar suau sud nang gala dalam pngukuran yang brulang-ulang dar kuanas yang sama, dan mmpublkaskannya pada ahun 89. Unuk mnghormanya dsrbus normal juga dknal sbaga dsrbus Gauss. Pada abad kdlapan blas dan smblan blas, brbaga usaha lah dlakukan unuk mmbua dsrbus n sbaga hukum probablas yang mndasar smua varabl konnu, maka dgunakan nama dsrbus normal. Dfns.4.: uau varabl random konnu X dkaakan brdsrbus normal dngan man dan varans, apabla varabl u mmpunya fungs probablas yang brbnuk fx x.9 π dngan < X < > < < π 3,4 dan, 78. Jka fungs probablas u dgambar, maka ka prolh grafk spr dalam gambar dbawah n dan dnamakan kurva normal.

36 6 x Gambar.4.. : kurva normal dngan man dan varans Brku n akan dunjukkan bahwa dsrbus normal mmnuh sa-sfa fungs dnsas. Prama, harus dunjukkan bahwa ngral dar fungs dnsas normal adalah. Kdua, harus dunjukkan bahwa dan adalah man dan varans dar X. Dngan mnsubsuskan z x dan dx dz, ddapa : I / f x;, dx dz π z z / π dz Bla dmsalkan w z /, maka z w dan dz w -/ / dw, shngga I / w π w dw Dngan mnggunakan fungs Gamma ddapa, Γ/ I π Ingran yang dprolh dngan mnsubsuskan z x mmgang pranan yang sanga pnng dalam mnnukan probablas varabl random normal.

37 7 Prhungan mnjad lbh sdrhana karna nla probablas lah dablkan. Fungs dnsas hasl ransformas dar X k Z dsbu Dsrbus normal sandar yang fungsnya, φ z π z, < z < Brku n dngan mnggunakan prsamaan.3 akan dcar nla harapan dan varans dar varabl random X yang brdsrbus normal. x EX x xp dx π Msal z x maka x z dan dx dz shngga dprolh EX x z π dz z x dz π z z dz π z z z dz dz π z z dz π jka dmsalkan, -/z w maka z w dan z dz -dw aau dz dw z dw w shngga dprolh

38 8 EX π dz z z π w dw π dw dw w w ] ] π z z π. EX dx x x xp π Msal, z x maka x z dan dz dx shngga dprolh EX dz x z π dz z z π dz z z z π dz dz z dz z z z z π π π

39 9 z z dz π z π z dz msal ½ z w maka z w dan z dz dw shngga dprolh EX π dw w w w w w dw π w w dw π dngan mnggunakan prsamaan.7 dan.8 ddapakan EX π w w dw Γ3/ π Γ/ π π π.. Dngan mnggunakan prsamaan.6 maka VarX EX [EX] -.

40 karang akan dcar nla EX 4 EX 4 dx x x 4 xp π Msal, z x maka x z dan dz dx shngga dprolh EX 4 dz x z π 4 dz z z 4 π dz z z z z z π dz z dz z dz z z z z π π π dz dz z z z π π. * unuk z z z dz z π π dz msal ½ z w maka z w dan z dz dw maka ruas kanan bagan prama prsamaan * mnjad w dw w dz z w z π π w dw w w 4 π

41 w w dw π w π dngan mnggunakan prsamaan.7 dan.8 ddapakan w dw 4 π 4 z z dz Γ π Γ Γ π π Γ π π 4 π 3 unuk z z 4 z 3 π dz π z dz msal ½ z w maka z w dan z dz dw maka ruas kanan bagan kdua pada prsamaan * mnjad 4 π 3 z 3 z 3 4 dz π w w w dw w unuk 6 z z π 3 8 w w dw π 3 6 w w dw π 3 6 Γ Γ Γ dz π 3 6 π 3 6 π msal ½ z w maka z w dan z dz dw maka ruas kanan bagan kga pada prsamaan * mnjad 6 z z π dz 6 π dw w w w

42 6 z z π dz 6 w w dw π w w dw π dngan prsamaan.7 dan.8 ddapakan 6 z z π dz Γ3/ π Γ/ π π π 6 unuk 3 4 z z unuk 4 π π z dz dz 4 Jad EX z z 4 z z 6 z z dz dz dz π π π z z z dz dz π π hngga nla EX E. Fungs Varabl Random alah sau ujuan dar saska adalah mmbua ksmpulan nang populas brdasarkan nformas yang rdapa dalam sampl dan mnnukan ukuran yang ssua unuk mnark ksmpulan. Topk fungs varabl random sanga ra kaannya dngan ujuan rsbu. Hal n dsbabkan karna sask

43 3 yang dpaka unuk mnduga dan mngambl ksmpulan nang paramr mrupakan fungs dar n buah pngamaan random yang rdapa dalam sampl. baga gambaran, dalam masalah pndugaan raa-raa populas, dar sampl random brukuran n akan ddapakan pngamaan y, y,.., y n. Maka akan dgunakan raa-raa sampl n y y.4 n sbaga pnduga raa-raa populas. Pranyaan yang dapa dajukan adalah sbrapa bakah y sbaga panduga dar. Jawabannya rganung pada sfa dar varabl random Y, Y,.., Y n. Kbakan dar suau pnduga dapa dukur, msalnya dngan ksalahan pndugaan, yau slsh anara pnduga dan paramr yang dduga dalam hal n y dan. Karna Y, Y,.., Y n adalah varabl-varabl random dalam sampl brulang, maka Y adalah juga varabl random yang mrupakan fungs dar Y, Y,.., Y n. Dngan dmkan, dak dapa dnukan scara pas bahwa ksalahan pndugaan akan kurang dar suau blangan rnu, msalnya B. Akan ap, jka dapa dnukan dsrbus problas dar Y, maka dsrbus n dapa dpaka unuk mnnukan probablas bahwa ksalahan pngukuran kurang dar aau sama dngan B. Unuk mnnukan dsrbus probablas dar fungs suau varabl Y, Y,.., Y n harus dmukan rlbh dahulu dsrbus probablas brsama dar varabl-varabl random rsbu. cara umum dapa dasumskan bahwa sampl

44 4 dprolh brdasarkan pngamblan sampl scara random. Hal n brar bahwa pngamblan sampl dar populas brhngga akan mnghaslkan prcobaan yang dak bbas, ap prcobaan n scara snsal mnjad prcobaan bbas jka ukuran populas rlaf bsar dbandngkan dngan ukuran samplnya. Pada pmbahasan slanjunya akan dasumskan bahwa populas brukuran rlaf bsar rhadap sampl, shngga varabl random yang rka salng bbas sau dngan yang lannya. Dngan dmkan, bak unuk varabl random dskr maupun konnu, dsrbus probablas brsama Y, Y,.., Y n yang brasal dar populas yang sama adalah fy, y,.., y n py py..py n lanjunya prnyaaan Y, Y,.., Y n adalah sampl random dar fy darkan sbaga varabl-varabl random Y, Y,.., Y n adalah salng bbas dngan dsrbus brsama fy. Mnnukan Dsrbus Probablas Fungs Varabl Random Unuk mnnukan dsrbus probablas suau fungs varabl random dapa dmpuh dngan 3 mod, yau mod fungs dsrbus, mod ransformas, dan mod fungs pmbangk momn. Dalam skrps n akan dgunakan mod ransformas sau-sau unuk mnnukan dsrbus probablas suau fungs varabl random. Mod Tranformas sau-sau Prama-ama dasumskan ranformas varabl-varabl dalam sau dmns. Andakan ux adalah fungs brnla ral dar varabl x. Jka prsamaan

45 5 y ux mmpunya prsamaan unggal, msalnya x wy, maka ranformas rsbu adalah ranformas sau-sau. Torma.5.: Andakan X adalah varabl random dskr dngan dsrbus probablas f x x dan Y ux mndfnskan rnsformas sau-sau. Dngan kaa lan prsamaan Y ux mmpunya pnylsaan unggal x wy. Maka dsrbus probablas dar Y adalah F y y f x wy y B {y f y y>}.5 Buk : F y y P[Yy] P[uXy]P[Xwy]f x wy Conoh.5.: Andakan X~GEOp, yau F x x pq x- x,, 3,.. Tnukan dsrbus probablas dar Y X- Jawab : Y X-, maka ux x-, wy y, shngga f y y f x y pq y, y,,,.. Torma.5.: Andakan X adalah varabl random konnu dngan fungs dnsas f x x, dan Yux mndfnskan ransformas sau-sau A {x f x x>} k B {y f y y>} dngan ransformas nvrs x wy. Jka urunan d/dywy konnu dan ak nol pada B, maka fungs dnsas dar Y adalah d F y y f x wy wy, y B.6 dy

46 6 Buk : Jka yux adalah fungs sau-sau, maka ada dua kmungknan yau monoon nak aau urun. Pada kasus monoon nak, ux y bla dan hanya bla x wy. hngga F Y y P[uX y] P[X wy] F x wy, akbanya d d d f Y y Fx w y Fx w y w y dy dw y dy d f x wy wy, karna dalam kasus n d/dywy> dy Pada kasus monoon urun, ux y bla dan hanya bla wy x. hngga F Y y P[uX y] P[X wy] -F x wy, dan d f Y y f x w y w y dy d f x w y w y, karna dalam kasus n d/dywy< dy Turunan dar wy dsbu sbaga Jacoban dar ransformas dan dsmbolkan dngan J d/dywy. Dapa dlha pula bahwa mnransformas varabl konnu kuvaln dngan mnggan varabl dalam ngral, shngga mod ransformas dsbu juga mod pngganan pubah. Conoh.5.: Andakan varabl random X mmpunya dsrbus x Fx x, Tnukan fungs dnsas dar Y x < x <

47 7 Jawab : Dapa dunjukkan bahwa f x x -x, karna Y x maka ransformas nvrsnya x wy lny, J w y /y, shngga dngan mnggunakan prsamaan.6 ddapakan f x y f x ln y y ln y, < y < y y -3, y B, F. Dsrbus Lognormal Torma.6.: Jka X adalah varabl random yang brdsrbus normal dngan man dan varans, dan jka X ln y, maka fungs dnsas unuk Y adalah ln y /, y> y π fy, slannya.7 Buk : Fungs probablas dar dsrbus normal adalah fx x.. ** π Dngan mnggunakan prsamaan.6 akan ddapakan fungs dnsas unuk Y. f x x x π

48 8 Jka x ln Y maka prsamaan ** mnjad f x ln y ln y π X wy ln y w y /y d f y y f x wy wy dy f y y f x ln y y ln y π y fy ln y y π karang akan dcar nla harapan dan varans dar dsrbus lognormal rsbu. EY y y ln y π dy ln y dy π msal z EY ln y maka y z z π z dz π z z z dz π z dan dy dz z dz shngga dprolh

49 9 z z dz π z dz π msal w z maka z w dan dz dw shngga dprolh EY π w dw w dw π msal v w maka w v dan dw v dv shngga dprolh EY π v dv v v v dv π Γ/ π π π.8 EY y y π ln y dy ln y y dy π

50 3 ln y x dy π msal z ln y maka y z dan dy z dz shngga dprolh EY π z z z z dz π z z z dz π z z dz π z 4 z dz π dz π z dz msal w z maka z w dan dw dz shngga dprolh EY w π dw w dw π msal v w maka w v dan dw dv shngga dprolh v EY π v dv v

51 3 v dv π v v v dv π π π.9 Dngan mnggunakan prsamaan.6 maka ddapakan Var Y EY [ E Y ]. G. Torma Lm Pusa Torma brku mnyaakan bahwa raa-raa suau sampl yang rdr dar n buah varabl random yang brdsrbus scara dak normal ap dnk Y, Y,..., Yn mmlk fungs dnsas yang sama sra bbas sokask rhadap ssamanya, dsrbusnya akan mndka dsrbus normal dngan brambahnya nla n ukuran sampl.

52 3 Torma.7. Torma Lm Pusa : Andakan Y,...,, Y Yn adalah varabl-varabl random yang brdsrbus bbas sokask dnk dngan E Y dan varansnya V <, maka unuk n akan brdsrbus normal sandar. _ Z Y n /. n Y H. Inrval Kprcayaan Nla pndugaan suau paramr θ brdasarkan pnduga k, bukanlah suau konsana yang mnunjukkan dngan pa bbrapa nla yang sbnarnya mlankan suau varabl random. Apabla pnybaran θ dapa dkahu, maka dapalah dnukan suau nrval dngan pluang rnu mncakup nla paramr θ yang sbnarnya. Inrval spr n dsbu pnduga nrval aau lbh dknal dngan nrval kprcayaan. Tk rngg dan rndah dar nrval kprcayaan dsbu baas kprcayaan aas dan baas kprcayaan bawah. Probablas dar nrval kprcayaan dsbu kofsn kprcayaan. Msalkan θ dan θ adalah baas kprcayaan bawah dan aas unuk paramr θ, shngga jka P θ < θ < θ α.

53 33 probablas, α adalah kofsn kprcayaan. Inrval random yang dhaslkan olh θ dan θ dkaakan nrval kprcayaan dua ss. dangkan nrval kprcayaan sau ss dnyaakan dalam P θ < θ α.3 yang akan mnghaslkan nrval sau ss bawah yau θ, dan P θ < θ α.4 yang akan mnghaslkan nrval sau ss aas yau,θ. alah sau mod yang brguna unuk mnnukan nrval kprcayaan adalah mod pvo. Mod n rganung pada pnnuan bsaran pvo yang mmlk dua karakrsk :. Kuanas pvo mrupakan fungs dar pngukuran sampl dan paramr θ yang dak dkahu.. Kuanas pvo mmlk dsrbus probablas yang dak rganung pada paramr θ. Conoh.8.: Msalkan dnukan suau pngamaan unggal Y dar suau dsrbus ksponnsal dngan raa-raa θ. Tnukan nrval kprcayaan θ dngan kofsn kprcayaan,9.

54 34 Jawab : Fungs dnsas unuk Y adalah : f y y / θ, y θ, slannya Jka U Y/θ maka YUθ dan Y θ, mnggunakan mod ransformas maka fungs dnsas ksponnsal mnjad : f y u, y >, slannya hngga varabl U Y/θ adalah fungs dar Y dan θ, dan dsrbus dar U dak rganung dar θ. Maka dapa dgunakan U Y/θ sbaga bsaran pvo. Karna akan dnukan pnduga nrval dngan kofsn kprcayaan,9, maka rlbh dahulu dnukan nla a dan b shngga P a < U < b, 9 fu,5,9,5 u Gambar.7.. Grafk fungs dnsas ksponnsal alah sau cara unuk mnnukan nla a dan b adalah a P U < a u du,5

55 35 a,5 kdua ruas dkurang dan dkalkan, maka prsamaan mnjad a,95 kdua ruas dlogarmakan, maka prsamaan mnjad a ln,95 kdua ruas dkalkan, maka prsamaan mnjad a ln,95 a,5. dangkan P U > b u du,5 b,5 b kdua ruas dlogarmakan, maka prsamaan mnjad b ln,5 kdua ruas dkalkan, maka prsamaan mnjad b ln,5 a,996 aau dngan kaa lan a,5 dan b,996. Jad dprolh Y,9 P,5 < U <,996 P,5 < <, 996 θ Karna akan mncar pnduga nrval unuk θ, maka dngan mmanpulas prdaksamaan daas maka dprolh

56 36 Y,5,996 Y Y,9 P,5 < <,996 P < < P < θ < θ Y θ Y,996,5 Jad baas bawah dan aas unuk nrval kprcayaan θ adalah Y/,996 dan Y/,5. Unuk mnnukan nla numrk dar baas n, maka prlu dlakukan pngamaan shngga dhaslkan nla Y dan nla n dsubsuskan shngga nla u mnghaslkan nla numrk unuk baas nrval kprcayaan θ. Inrval Kprcayaan ampl Bsar Unuk paramr arg θ adalah, p,, aau p p maka unuk sampl bsar θ θ Z.5 θ akan mndka dsrbus normal sandar. In brar bnuk θ θ Z adalah θ suau bsaran pvo, dan mod pvo dapa dgunakan unuk mnnukan pnduga nrval unuk paramr arg θ. Conoh.8.: Msalkan θ adalah suau sask yang brdsrbus normal dngan raa-raa dan varans θ dan kofsn kprcayaan α. Jawab : θ. Tnukan nrval kprcayaan unuk θ yang mmlk

57 37 Bsaran θ θ Z θ mmpunya dsrbus normal sandar. hngga nla dua kor dar dsrbus n adalah Z α dan Z, sdmkan shngga P Z < Z < α α α / Zα / -α α / α / Gambar.7.. Grafk fungs dnsas N, ubsuskan Z k dalam prnyaaan probablas daas, maka dprolh θ θ P Zα / < < Zα / α θ jka kdua ruas dkalkan dngan maka dprolh θ P Zα / < θ θ < Zα / α θ θ dan kurangkan kdua ss dngan θ, maka dprolh P θ Zα / < θ < θ Zα / α θ θ kalkan kdua ruas dngan -, maka dprolh

58 38 P θ Zα / < θ < θ Zα / α θ θ Jad dprolh baas kprcayaan bawah dan aas unuk θ adalah : Baas kprcayan bawah θ Z α dan Baas kprcayan aas θ Z α / / θ θ Conoh daas dapa dgunakan unuk mnnukan nrval kprcayaan sampl bsar unuk p,, dan p - p, dngan mnggunakan pnduga paramr., I. mulas Kompur Modl yang akan dkmbangkan unuk pnafsran harga saham akan mlpu blangan random dan akan dgunakan smulas kompur unuk mlakukan prcobaan, mnggambarkan pmkran dan juga unuk mnduga kuanas yang dak dapa dunjukkan scara analk. mulas dsn dapa darkan sbaga suau ssm yang dgunakan unuk mmcahkan aau mngurakan prsoalan-prsoalan dalam khdupan nyaa yang pnuh dngan kdakpasan dngan dak aau mnggunakan modl aau mod rnu dan lbh dkankan pada pmakaan kompur unuk mndapakan solusnya. mulas mnyangku pmbangkan pross sra pngamaan dar pross unuk mnark ksmpulan dar ssm yang dwakl. dangkan mnuru Naylor 966 dalam Rubnsn & Mlamd smulas adalah knk numrk unuk mlakukan ksprmn pada kompur, yang mlbakan jns mamaka dan modl rnu yang mnjlaskan prlaku bsns aau konom pada suau prod waku rnu.

59 39 Mnuru Borowsky & Borwn smulas ddfnskan sbaga knk unuk mmbua konsruks modl mamaka unuk suau pross aau suas, dalam rangka mnduga scara karakrsk aau mnylsakan masalah brkaan dngannya dngan mnggunakan modl yang dajukan. Bbrapa kunungan smulas : o Mnghma waku o Dapa mlbar-luaskan waku o Mngorks ksalahan-ksalahan prhungan o Dapa dhnkan dan djalankan kmbal o Mudah dprbanyak Jka ddalam suau laboraorum smulas unsur manusanya dkluarkan maka yang rnggal adalah kompur, prosdur opras, fungs-fungs mamas dan juga dsrbus probablas, maka akan dprolh n dar smulas kompur. mulas kompur hanya mnggunakan kompur unuk mmcahkan masalah ssua kbuuhan yang kmudan dprogramkan kdalam kompur. mua ngkah laku yang djadkan sbaga prsoalan dalhkan kdalam program, rmasuk knuan logka pngamblan kpuusan dan plaksanaannya. Ddalam modl prgrakan harga saham akan dgunakan blangan random. Blangan random u sndr adalah suau blangan yang dambl dar skumpulan blangan, dmana ap-ap lmn dar kumpulan blangan n mmpunya pluang yang sama unuk rambl. Brdasarkan pada ngka ksulan unuk mmprdks blangan yang akan dbangkkan slanjunya maka blangan random dbag mnjad dua yau blangan random spnuhnya Trully Random dan blangan

60 4 random smu Psudo-Random. Ddalam skrps n hanya akan dgunakan blangan random psudo. Blangan random psudo adalah kumpulan blangan yang dhaslkan mnggunakan algorma yang mnrapkan rumus mamaka unuk mnghaslkan blangan yang rlha acak. alah sau algorma unuk pmbangkan blangan random psudo adalah Lnar Congrunal Gnraor LCG. Algorma LCG mmpunya bnuk dngan, x n blangan random k n x n blangan random k n- m angka modulo x n ax b modm.6 n a dan b mrupakan konsana dalam LCG, dngan a adalah fakor pngal dan b adalah ncramn facor Conoh.9.: Mmbangkkan blangan random sbanyak 8 kal dngan a, b 7, m dan x. Jawab : X 7 mod X 7 mod 9 X3 9 7 mod 5 X4 5 7 mod 7 X5 7 7 mod

61 4 X6 7 mod 9 X7 9 7 mod 5 X8 5 7 mod 7 Blangan yang dbangkkan adalah :, 9, 5, 7,, 9, 5, 7 Ddalam kompur blangan random yang dbangkkan adalah blangan random psudo. Dsn akan dgunakan program Malab unuk mmbangkkan blangan random psudo brdsrbus rnu. Pada Tabl.9. brku akan dunjukkan dua hmpunan yang rdr dar spuluh blangan. Blangan-blangan n dprolh dngan mmbangkkan blangan random psudo dngan mnggunakan fungs rand dan randn pada Malab unuk mmprolh sampl U, dan N,. Tabl.9. puluh blangan random psudo brdsrbus U, dan N, U, N,

62 4 Dapa dlha pada Tabl.9. bahwa dugaan sampl U, rsbar dalam nrval,, sdangkan dugaan sampl N, brada dskar nol. Brku n akan dbandngkan raa-raa dan varans yang ddapa scara ors dar suau dsrbus rnu dngan raa-raa dan varans yang ddapa dar pmbangkan blangan random. cara ors unuk dsrbus N, dngan mnggunakan prsamaan.3 dan.6 nla harapan dan varansnya adalah sbaga brku, EX x x xp dx π VarX EX [EX] x x xp dx π sdangkan unuk U, nla harapan dan varansnya, EX x dx b a a dx x dx dx b a b a b b a b a VarX EX [EX] x b a dx b a b a 3 3 b a b a 3 b a b a 3. 4 karang akan dgunakan pmbangkan blangan random dngan M sampl { } M ξ unuk mncar raa-raa dan varans M ξ.7 M M

63 43 M ξ.8 M M unuk blangan random brdsrbus N, dan U,. lah ddapa blangan random brdsrbus N, dan U,, kmudan dcar raa-raa dan varansnya dngan mngkkan pada command wndow mana dan vara A adalah blangan random brdsrbus rnu yang lah dbangkkan. Tabl.9. Nla harapan dan varans mnggunakan M sampl dar pmbangkan blangan random U, dan N, U, N, M M M M M M Dar Tabl.9. dapa dlha bahwa raa-raa dan varans sampl U, mndka nla dan sdangkan unuk N, raa-raa dan varans mndka dan, shngga dapa dsmpulkan bahwa raa-raa dan varans yang ddapa dar pmbangkan blangan random brdsrbus N, dan U, akan mndka nla harapan dan varans orsnya.

64 44 J. Pnduga Dnsas Krnl Ts sask slanjunya adalah dngan mnggunakan grafk unuk mlha apakah nla dar fungs dnsas yang ddapa dar pmbangkan blangan random brdsrbus rnu akan mndka nla dnsas orsnya. Unuk mncar pnduga nla dnsas dar suau dsrbus rnu dngan blangan random, prama-ama sumbu x akan dbag kdalam subnrval-subnrval, dngan lbar x dan akan dhung brapa banyak sampl dalam sap subnrval. Dsn akan dbrkan M sampl dan N yang ddfnskan sbaga banyaknya sampl dalam subnrval [ x, x]. Jka probablas dar X mngambl nla dalam subnrval [ x, x] maka dngan mnggunakan frkuns rlaf ddapa, N Ρ x X x.9 M dar Dfns.. ddapa, x Ρ x X x f x dx..3 Msal x adalah k ngah dar subnrval [ x, x], dngan mnggunakan pndkaan jumlah Rmann dprolh x x Dar prsamaan.9.3 ddapa x f x dx xf x..3 N M x f x N f x..3 M x Prsamaan.3 n dsbu prsamaan pnduga nla dnsas krnl.

65 45 karang akan dlha apakah grafk pnduga nla dnsas krnl U, dan N, yang ddapa dngan pmbangkan blangan random akan mndka nla dalam grafk fungs dnsas orsnya. Prama-ama akan dlha unuk grafk fungs dnsas scara ors. Unuk fungs dnsas U, ddapa, Gambar... Dnsas U, dan unuk fungs dnsas N, ddapa Gambar... Dnsas N,.

66 46 karang dngan mnggunakan prsamaan.3 akan dunjukkan grafk pnduga nla dnsas krnl dngan mnggunakan pmbangkan blangan random U, sbanyak 3, 4, 5, 6 dan lbar nrval,5. umbu x mnunjukkan k ngah ap subnrval dan sumbu y mnunjukkan nla pnduga dnsas krnlnya. Dngan mnggunakan Program. pada lampran akan ddapa, Gambar..3 Grafk pnduga dnsas krnl unuk pmbangkan blangan random U, lanjunya akan dunjukkan juga grafk pnduga dnsas krnl unuk pmbangkan blangan random N, dngan nrval -4 x 4, lbar nrval,5 dan banyaknya blangan random yang akan dbangkkan sbanyak 3, 4, 5, 6.. umbu x mnunjukkan k ngah ap subnrval dan sumbu y mnunjukkan nla pnduga dnsas krnlnya. Dngan mnggunakan Program. pada lampran akan ddapa,

67 47 Gambar..4. Grafk pnduga dnsas krnl unuk pmbangkan blangan random N,. Dar Gambar..4 daas dapa dunjukkan bahwa jka M smakn bsar maka akan dprolh grafk pnduga nla dnsas krnl yang akan mndka grafk fungs dnsas orsnya. K. Kuanl-Kuanl Plo Unuk slanjunya akan dplajar nang kuanl-kuanl plo, yang akan dgunakan unuk mmrksa blangan random yang lah dbangkkan. Pada dasarnya jka dbrkan k-k daa ξ, ξ,..., ξm, maka kuanl-kuanl plo akan dhaslkan dngan langkah-langkah brku n : a. Tk-k daa ξ, ξ,..., ξ M durukan dar yang rkcl.

68 48 b. Pnggambaran kuanl-kuanl plo dngan sumbu x adalah ξ k daa yang lah durukan dan sumbu y adalah zk/m. Pada dasarnya pnggambaran kuanl adalah unuk mlha apakah blangan yang lah dbangkkan mnybar scara mraa dalam nrval rsbu. Jka dbangkkan M blangan random dngan dsrbus rnu dan durukan dar yang rkcl, maka prlu dlha apakah blangan-blangan random rsbu mnybar scara mraa. Unuk mlhanya, blangan random yang lah dbangkkan ad dbandngkan dngan nla-nla dar kuanlnya. Karna kuanl u sndr adalah nla-nla yang mmbag sjumlah daa mnjad n bagan yang sama bsar. Jka nla dar pmbangkan blangan random rsbu mndka nla dar kuanlnya, maka dapa dsmpulkan bahwa blangan yang lah dbangkkan rsbu lah mnybar scara mraa. Dfns.. : Jka fx adalah fungs dnsas dan < p <, maka kuanl p dar f adalah zp, dan mmnuh z p x dx f p..33 Dfns.. : Eror fungs rfx adalah ngral ganda dar dsrbus Gaussan dngan man dan varans yang ddfnskan sbaga rfx π x d..34

69 49 Torma..: Jka Nx adalah fungs dsrbus N, dan rfx π x d maka dprolh Nx x rf..35 Buk : Jka rfx π x d maka rfx/ d π x msal s maka d ds, sdangkan unuk maka s dan unuk x maka s x, shngga dprolh rfx/ π x s ds x s rfx/ ds π rfx/ π x s ds

70 5 s karna dsrbus normal mrupakan dsrbus yang smrs dan mmnuh sfasfa fungs dnsas maka ds, shngga jka baasnya dubah dar π sampa x mnjad - sampa x maka prsamaan harus dkurang, maka ddapa rfx/ x s π ds rfx/ N x Nx rf x Dar dfns.. Nzp p, maka dprolh z p rf p kalkan kdua ruas dngan p dan kurangkan dngan z p rf p z p rfnv p zp rfnvp- Nla zp n akan dgunakan unuk mnnukan nla kuanl N, Gambar.. dan.. brku akan mnunjukkkan hubungan anara kuanl N, dngan fungs dnsas dan fungs dsrbusnya, dngan M 9. Gambar.. mnkankan bahwa unuk zk/m rdapa k-k ddalam

71 5 sumbu x yang dsbu kuanl zp yang akan mmbag kurva dnsas N, mnjad M 9 wlayah dan smua wlayah mmpunya luas yang sama. dangkan Gambar.. mmbrkan fungs fx dan mnunjukkan bahwa zk/m adalah k-k dalam sumbu x yang brpasangan dngan k-k p pada sumbu y, dmana nla-nla yang brada ddalam sumbu y mmpunya knakan yang sama. Dngan Program.3 dan Program.4 pada lampran ddapa Gambar... Tk kuanl dalam sumbu x yang mmbrkan wlayah yang sama dbawah kurva dnsas.

72 5 Gambar.. Tk kuanl ddalam sumbu x, dmana Nx mmpunya knakan yang sama. karang akan dlha hubungan dsrbus suau sampl dngan kuanlkuanlnya. Unuk M yang bsar, jka kuanl-kuanl plo mnghaslkan k yang mndka gars mrng fungs yx, maka dapa dsmpulkan bahwa k daa rsbu mnggambarkan dsrbus yang brssuaan dalam fx aau dngan kaa lan sampl dan kuanlnya brdsrbus sama. Unuk mlhanya, jka sumbu x dbag kdalam M subnrval dmana sap nla ddalam k subnrval ruup unuk zk/m, maka ddapa sau nla dalam ap subnrval. Jad unuk k daa rkcl ξ ruup unuk z/m, daa rkcl kdua, ξ akan ruup z/m, dan srusnya. karang akan dcar mpa kmungknan kombnas dar sampl N, dan U, dngan kuanl N, dan U,. Jka kuanl-kuanl plo brada dskar gars mrng yx, maka dapa dkaakan bahwa nla sampl dan

73 53 kuanlnya mnggambarkan dsrbus yang brssuaan. Tap sblumnya prlu dcar rlbh dahulu rumus unuk kuanl U,. Dfns..3 : X mrupakan varabl random konnu yang brdsrbus sragam bla fungs dnsasnya, a x b f x b a..36, slannya Dar dfns fungs dnsas daas ddapa, x f x unuk U,, maka mnuru dfns kuanl, slannya z p f x p z p dx dx p z p p zp p. Nla zp nlah yang akan dgunakan unuk mnnukan nla kuanl U, Dngan Program.5 pada lampran ddapa gambar..3, dngan sumbu x mnunjukkan sampl daa sdangkan sumbu y mnunjukkan kuanlnya.

74 54 Gambar..3. Kuanl-kuanl plo dngan M, pnggambaran sampl-sampl ξ, ξ,..., ξ pada sumbu x rhadap zk/m pada sumbu y. M L. Torma Lm Pusa Dalam mulas Kompur karang akan dbrkan grafk pnduga dnsas krnl dan kuanlkuanl plo unuk mnunjukkan khbaan orma lm pusa. Jka dambl sampl dngan pmbangkan blangan random yang brdsrbus smbarang msal U,, maka unuk n yang bsar dsrbus samplngnya akan mndka dsrbus normal. pr yang lah dkahu mlalu pmbahasan sub bab J dan K nang pnduga dnsas krnl dan kuanl-kuanl plo, bahwa suau sampl random yang brdsrbus normal maka hsogram pnduga dnsas krnlnya akan mndka grafk fungs dnsas normal orsnya unuk M yang bsar. Dan juga kuanl-kuanl plo yang akan brada dskar gars y x.

75 55 Unuk pmbahasan kal n akan dprlhakan bahwa unuk suau sampl yang ddapa dngan pmbangkan blangan random yang brdsrbus U,, maka mnuru orma lm pusa dsrbus samplng harga mannya akan mndka dsrbus normal. Hal n akan dunjukkan dalam hsogram dnsas krnlnya yang akan mndka grafk fungs dnsas normal orsnya dngan syara M bsar, karna dsrbus samplng nlah yang akan dgunakan unuk mncar nla pnduga dnsas krnlnya. Prama-ama akan dbangkkan blangan random U,, dan akan dmasukkan kdalam prsamaan.7.torma Lm Pusa, dmana dan. Dalam Gambar.. dgunakan x, 5 dalam nrval [-4,4]. Dsn akan dgunakan hsogram, shngga sap prsg panjang mmpunya k ngah x dan mmpunya ngg N / M x. Unuk mlha prbdaan pada hsogramnya maka akan dgunakan M dan n dngan brbaga macam ukuran. Kurva dnsas N, orsnya dgambarkan dngan gars puus-puus. Dngan mnggunakan Program.6 ddapakan,

76 56 Gambar... Pnduga dnsas krnl unuk sampl dalam prsamaan.. Dalam Gambar.. daas dapa dlha kurva pnduga dnsas krnl yang mndka kurva fungs dnsas N, srng dngan brambahnya nla M. Unuk bars prama dapa dlha unuk nla n kcl dambl n dan nla M yang smakn mmbsar, maka hsogram pnduga dnsas krnlnya smakn mndka grafk pnduga dnsas N,. Hal n dkarnakan syara mulak dar pnduga dnsas krnl yau M harus bsar. Jad kka nla n kcl maka nla M yang smakn mmbsar spr mnuupnya shngga grafk pnduga dnsas krnlnya ap mndka grafk fungs dnsas N, orsnya. Unuk bars kdua dapa dlha grafk yang jauh dar grafk fungs dnsas N,, hal n dkarnakan syara dar pnduga dnsas krnl dak dpnuh M harus bsar. dangkan unuk bars kga dapa dlha hsogram yang smakn mndka grafk fungs dnsas N, srng brambahnya nla M dan n.

77 57 Unuk lbh jlas lha gambar bars kolom 4 dngan gambar bars 3 kolom 4. Mlalu dua gambar rsbu dapa dlha jka nla n bsar maka garfk pnduga dnsas krnlnya akan smakn mndka grafk dnsas N, orsnya. dangkan unuk Gambar.. brku akan mnggambarkan kuanl N, dngan sampl daa ξ yang brdsrbus U, dan dmasukkan kdalam prsamaan.. Torma Lm Pusa. Dngan nla M dan n yang brmacammacam, dan.5, /. pr lah dplajar daas bahwa jka suau sampl daa dan kuanlnya brdsrbus sama, maka akan ddapakan k-k yang brada dskar gars y x. Dngan mnggunakan Program.7 ddapakan, Gambar... Kuanl-kuanl plo unuk sampl dalam prsamaan.. rhadap kuanl N,. Dar gambar daas dapa dlha bahwa k-k kuanlnya brada dskar gars yx srng brambahnya nla M syara unuk mnggambar kuanl. Unuk bars prama dapa dlha unuk nla n kcl dambl n dan nla M yang

78 58 smakn mmbsar, maka k-k kuanlnya akan smakn mndka gars y x. Hal n dkarnakan syara mulak dar pnduga dnsas krnl yau M harus bsar. Jad kka nla n kcl maka nla M yang smakn mmbsar spr mnuupnya shngga k-k kuanlnya ap brada dskar gars y x. Unuk bars kdua dapa dlha bahwa k-k kuanlnya jauh dar gars y x, hal n dkarnakan syara dar pnduga dnsas krnl dak dpnuh M harus bsar. Tap dar ga gambar rsbu bars kdua dapa dlha dngan jlas, kka nla n smakn mmbsar maka k-k kuanlnya smakn mndka gars y x. dangkan unuk bars kga dapa dlha k-k kuanlnya yang smakn mndka gars y x srng brambahnya nla M dan n. Unuk lbh jlas lha gambar bars kolom 3 dngan gambar bars 3 kolom 3. Mlalu dua gambar rsbu dapa dlha jka nla n bsar maka k-k kuanlnya akan smakn mndka gars y x. Jad dar Gambar.. dan.. dapa dlha khbaan Torma Lm Pusa mlalu grafk pnduga dnsas krnl dan kuanl-kuanl plo.

79 BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA AHAM A. Prgrakan Harga aham aham mrupakan suau obyk fnansal yang nlanya dkahu pada saa n, ap dapa brubah pada masa yang akan daang. Prgrakan harga saham pada dasarnya mrupakan suau kprcayaan bag sorang nvsor. Harga saham u sndr dpngaruh bbrapa fakor anara lan, bra yang sdang brkmbang, dsas-dsus, spkulas, kadaan gografs, dan lan sbaganya. Mskpun sdrhana hal n mngasumskan bahwa rspon pasar skka u juga dpngaruh pngaruh dar luar dan karna u, harga saham yang sdang brkmbang mnggambarkan smua nformas masa lalu. Mnuru Hposs Efsns Pasar, jka ngn mmprdks harga saham unuk masa yang akan daang maka harus dkahu scara lngkap nang sjarah dar daa harga saham sblumnya dan fakor-fakor lan spr kadaan prusahaan, kadaan gografs, spkulas dan lan sbaganya. Tap dalam pmbahasan kal n hanya akan dgunakan sjarah dar daa harga saham sblumnya unuk mmprdks prgrakan harga saham. Unuk modl yang akan dunjukkan, jka Hposs Efsns Pasar drma maka prsamaan yang mndskrpskan prubahan saham pada waku k prlu mlbakan harga saham pada waku dan pada waku sblumnya.

80 6 Daa Harga aham Dalam Gambar 3.. mnunjukkan harga saham haran IBM dar bulan Januar -pmbr. Harga pnuupan dar sap ransaks dbua dalam sap har prdagangan. dangkan Gambar 3.. mnunjukkan harga saham mngguan IBM dar Januar 998 sampa Dsmbr. Dalam Gambar 3.. rdapa 84 k daa dan k daa unuk Gambar 3... IBM Haran 8 Harga 6 4 -Jan- -Fb- -Mar- -Apr- -May- -Jun- -Jul- -Aug- -p- Gambar.3... Harga aham Haran IBM dar bulan Januar sampa pmbr

81 6 IBM Mngguan Jan-98 -Apr-98 -Jul-98 -Oc-98 -Jan-99 -Apr-99 -Jul-99 -Oc-99 -Jan- -Apr- -Jul- -Oc- -Jan- -Apr- -Jul- -Oc- Harga Gambar.3... Harga aham Mngguan IBM dar Januar 998 sampa Dsmbr Dar Gambar 3.. dapa dlha bahwa unuk daa harga saham haran bulan januar sampa dngan pmbr, pada gambar dapa dlha dngan jlas harga saham pada awal bulan januar sampa akhr bulan januar cndrung nak, ap mula pada prngahan fbruar sampa dngan prngahan mar harga sahamnya cndrung urun. cara ksluruhan harga saham pada ahun rsbu flukuaf dan jka mlha dar sfa prgrakan grafk rsbu bsa dprdks harga saham unuk bulan okobr akan mngalam pnurunan. Hal n bsa dlha dar sfa prgrakan harga saham dar akhr bulan jun sampa akhr bulan pmbr yang cndrung urun. dangkan unuk Gambar 3.. adalah daa harga saham mngguan dar ahun 998 sampa ahun. Dar gambar dapa dlha harga saham pada awal ahun 998 sampa prngahan ahun 999 mngalam knakan, ap pada awal pmbr ahun 999 sampa Novmbr 999 harga sahamnya cndrung urun.

82 6 dangkan pada bulan M sampa Jul rlha harga sahamnya brgrak scara horzonal. cara ksluruhan dapa dlha bahwa harga saham unuk ahun 998 sampa ahun cndrung nak. Ksmpulannya akan dprolh prkraan nang prgrakan harga saham yang bak jka nrval wakunya smakn panjang. Unuk mmrksa daa harga saham n apakah brdsrbus normal aau dak akan dgunakan s sask yang lah dplajar dalam Bab II. Dalam gambar 3..3, 3..4, dan 3..5 brku akan dunjukkan hasl dar s sask rsbu. Dalam s sask n akan mlbakan nla rurn. Rurn mrupakan hasl yang dprolh dar nvsas yang dgunakan unuk mngukur prubahan kmakmuran yau prubahan kkayaan pada saa waku rnu. Prubahan kmakmuran n mnunjukkan ambahan kkayaan dar kkayaan sblumnya. Gambar 3..3 mlbakan rurn haran r haran dngan dan adalah harga saham dan., 3. Apabla dmlk rurn haran dngan raa-raa dan sandar dvas, maka rurn haran dngan skala Z nya adalah sbaga brku, haran r r haran 3. dngan dan sbaga prhungan raa-raa dan varans sampl yang ddfnskan dalam prsamaan.7 dan.8.