Model Gelombang Panjang dengan Metoda Elemen Hingga Diskrit. Syawaluddin Hutahean 1)

Transkripsi

1 Huahan Vol. 0 No. Januar 003 urnal TEKNIK SIPIL Modl Glombang Panjang dngan Moda Elmn Hngga Dskr Syawaluddn Huahan ) bsrac Ths papr nroducs Dscr Fn Elmn Mhod (DFEM) o solv long war wav quaon. Ths mhod rduc h sz of marx sgnfcanly. In hs mhod varabls n an lmn ar compud by only consdrng varabls n adjacn lmns. Tm drvav s solvd usng dams-bashforh-moulon s prdcor-corrcor procdur. Th modl had bn sd o smula long wav propagaon n canal wh consan dph whr analycal soluon s avalabl. Th comparson bwn analycal and numrcal soluon ar n xcln agrmn. Kywords : dscr, adjacn lmns. bsrak Papr n mmprknalkan pnggunaan Moda Elmn Hngga Dskr unuk mnylsakan prsamaan glombang panjang. Moda n dak mmrlukan marx dngan ukuran yang bsar. Pada moda n prhungan varabl pada suau lmn hanya mmprhungkan pngaruh varabl pada lmn yang brbaasan. Formulas prsamaan pngaur pada lmn hngga dgunakan prosdur Galrkn,sdangkan pnylsaan dffrnal waku dgunakan moda prdkor-korkor dar dams- Bashforh-Moulon. Modl dcoba unuk mnsmulaskan propagas glombang panjang pada suau kanal dmana solus analsnya sudah rsda. Hasl modl numrs rlha sanga mndka solus modl anals. Kaa-kaa Kunc : dskr, lmn yang brbaasan.. Pndahuluan Pnylsaan prsamaan glombang panjang aau prsamaan srkulas arus dngan brbaga moda numrs lah banyak dlakukan, mula dngan moda slsh hngga, moda lmn hngga sampa dngan moda boundary fd. Brbaga moda numrs rsbu mnghaslkan prsamaan smulan aau marx dngan ukuran yang bsar. Smakn komplx gomr darah prhungan, smakn kcl ukuran grd aau lmn, akan smakn bsar ukuran marxnya. Walaupun kompur jns PC pada saa n sudah mmpunya kapasas yang sanga bsar, ap mash srng djumpa ksulan karna bsarnya ukuran marx. Pada moda slsh hngga dngan prosdur xpls dak rbnuk suau prsamaan smulan, ap moda n dak banyak dgunakan karna dprlukan prambahan waku ( ) yang sanga kcl dalam mnylsakan komponn dfrnsal rhadap waku. Pada prosdur slsh hngga xpls n, prhungan pada suau k hanya mlbakan bbrapa k dskarnya. Brdasarkan prosdur rsbu, maka pada moda lmn hngga akan dapa juga dkrjakan dngan hanya mmprhungkan pngaruh lmn yang brbaasan. Pada papr n, moda (DFEM) dgunakan unuk mnylsakan prsamaan glombang panjang yang juga mrupakan prsamaan srkulas arus. Pnrapan modl pada suau kanal mmbrkan hasl yang mndka hasl dar solus anals. ) Saf Pngajar Dparmn Tknk Spl, ITB. Caaan : Usulan makalah dkrmkan pada anggal Spmbr 00 dan dnla olh pr rvwr pada anggal 6 Spmbr 00 7 Pbruar 003. Rvs pnulsan dlakukan anara anggal 0 Pbruar 003 hngga 7 Pbruar 003. Vol. 0 No. Januar 003 7

2 Modl Glombang Panjang dngan Moda Elmn Hngga Dskr. Prsamaan Pngaur Prsamaan pngaur glombang panjang rdr dar 3 buah prsamaan yau sbaga brku. a. Prsamaan konnuas η b. Prsamaan momnum arah x c. Prsamaan momnum arah y η u v H h g ( uη ) ( uv ) 0 η u v g 0 η u v g 0 flukuas muka ar kcpaan arus pada arah x kcpaan arus pada arah y η h kdalaman praran kcpaan gravas 3. Formulas Prsamaan pada Elmn () () (3) Pada pnlan n dgunakan lmn sgmpa kuadras. Pmlhan lmn n adalah agar dprolh urunan prama yang konnu pada ss aaupun k pnghubung anar lmn dan dharapkan dapa mmprkcl jumlah lmn pada sau panjang glombang, sdangkan pmlhan lmn sgmpa adalah unuk mmprmudah pngmbangan moda dskr yang akan djlaskan pada bagan brkunya. h muka ar dam Gambar. Flukuas muka ar dan kdalaman Pada lmn sgmpa kuadras, rdapa smblan k smpul pada sap lmn (gambar ), dan varabl pada lmn dnyaakan sbaga brku. {} u N N {} u u {} v N N {} v v {} η N η N {} η {} h N N {} h h dmana N adalah fungs bnuk, Gambar. Elmn sgmpa kuadras (3.a) (3.b) (3.c) (3.d) Prosdur formulas prsamaan yang dgunakan adalah prosdur Galrkn yau. { N} L( u v, η) Ω 0, (4) dmana L(u, v, η) adalah prsamaan konnuas aau prsamaan momnum arah x aau arah y. a. Prsamaan konnuas η ( uη ) ( vh ) 0 Prosdur Galrkn pada prsamaan n mnghaslkan η { } ( uh ) ( vh ) N dω 0 x y Ω η { } { } ( uh ) ( vh ) N dω N dω x y Ω Ω dη d [ M ] {} E 6 (5.a) 8 Jurnal Tknk Spl

3 Huahan {} E { N } ( uh ) ( vh ) [ M ] { N } N d b. Prsamaan momnum arah x η u v g 0 dngan mngrjakan prosdur Galrkn akan dprolh u [ M ] {} F c. Prsamaan momnum arah y d {} F { N} u v g dω [ M ] { N} N dω Pngrjaan prosdur Galrkn pada prsamaan momnum pada arah y, akan mnghaslkan, [ M ] { G } 4. Pnylsaan Dffrnsal Waku η h { G} { N} u v g dω [ M ] { N} N dω (5.b) (5.c) (6.a) (6.b) (6.c) (7.a) (7.b) (7.c) Dffrnsal waku, dslsakan brdasarkan moda prdkor-korkor yang dkmbangkan olh dams Bashforh Moulon, yau : Prdkor : [ Μ ]{ η } [ Μ ]{} η 3{} E 6 {} E 5{} E [ Μ ]{ u } [ Μ ]{} u 3{} F 6 {} F 5{} F [ Μ ]{ v } [ Μ ]{} v 3{ G } 6 { G } 5{ G } η, u, v adalah harga pndkaan dar Korkor : Prosdur korkor n dulang-ulang sampa dprolh harga dngan prbdaan yang sanga kcl dngan hasl ras sblumnya, ap pada umumnya cukup dngan -3 kal ras. Pada prosdur rsbu rdapa prkalan [ Μ ]{ u } yang slan mmakan waku juga dapa mnambah ksalahan pmbulaan. Unuk mnghndar prkalan rsbu dlakukan prubahan sbaga brku. Prdkor : {} η, {} u, {} v [ Μ ]{} η [ Μ ]{} η { E } 4 E } {} E 5{} {} E [ Μ ]{} u [ Μ ]{} u { F } 4 F } {} F 5{} {} F [ Μ ]{} v [ Μ ]{} v { G } 4 5 G { F} { } { G } Bgu juga dngan prsamaan-prsamaan momnum sra pada prosdur korkor dlakukan modfkas yang sama. 5. Moda Elmn Hngga Dskr [ Μ]{ η} 3{} E 6{} E 5{} E d {} η {} η { d η } Prhungan dngan moda lmn hngga basanya dkrjakan skalgus pada sluruh lmn pada sluruh darah prhungan, shngga rbnuk marks dngan ukuran yang sanga bsar. Karna u pada pnlan n dkmbangkan moda lmn hngga dskr. Pada moda n prhungan dlakukan pada lmn dm lmn dngan mmprhungkan pngaruh lmn yang brbaasan bak brbaasan ss, maupun hanya k saja. Prosdur prhungan n sanga ddukung olh prosdur rav dar dams - Bashforh - Moulon, spr yang lah djlaskan pada bagan sblumnya. Vol. 0 No. Januar 003

4 Modl Glombang Panjang dngan Moda Elmn Hngga Dskr Gambar 3. Pmbagan grd Sbaga lusras dgunakan suau darah prhungan dngan grd spr pada gambar 3. Pada saa mlakukan prhungan pada lmn, hanya dlbakan lmn, jad prhungan dlakukan dngan subdoman lmn dan (gambar 4.a.). Prhungan juga akan mnghaslkan harga varabl pada lmn k, ap hasl pada lmn n dak dgunakan. Slanjunya prhungan pada lmn k akan mlbakan lmn k dan k 3, dngan subdoman spr gambar 4.b. Prhungan pada lmn k 6, akan mlbakan lmn-lmn k 5,, 0,, 7,, 8, dan 7, dngan hasl yang dgunakan hanya pada lmn k Syara Baas Pnylsaan prsamaan glombang panjang n mmrlukan bbrapa syara baas yau : a. Syara baas glombang daang, yau k-k dmana karakrsk glombang dbrkan (dkahu), bak flukuas muka ar maupun kcpaan arusnya. b. Syara baas prmukaan bnda pada, yau kcpaan pada arah normal prmukaan bnda pada adalah nol. y n α x Syara baas : u cos a v sn a 0 Gambar 5. Syara baas prmukaan bnda pada Gambar 4.a. Subdoman unuk prhungan pada lmn k n α n 3 Gambar 4.b. Subdoman unuk prhungan pada lmn k α Gambar 4.c. Subdoman unuk prhungan pada lmn k 6 Dngan prosdur n dapa dhndar pmbnukan marx global yang bsar, shngga prhungan dapa dlakukan dngan jumlah lmn dan k smpul dalam jumlah yang bsar anpa dbaas olh kapasas kompur. Gambar 6. Syara baas pada prmukaan bnda pada pada k dskonnu Pada k yang dskonnu, bsar sudu normal dhung dngan prosdur sbaga brku : Pada k yang sanga dka dngan k dngan jarak mndka nol, dsblah kr dan kanannya brlaku. u cos α v sn α 0 cos α v sn α 0 u ( cos α cos α ) v ( sn α sn α ) 0 u u v sn α cos α sn α cos α 30 Jurnal Tknk Spl

5 Huahan pada k : u v an Maka an α α α sn α cos α sn α a an cos α sn α cos α Slanjunya syara baas prmukaan pada pada k adalah : u cos α v sn α 0 7. Pngrjaan Modl pada Bbrapa Kasus a. Pada kanal Modl dkrjakan pada suau kanal dngan lbar 0 m, panjang 400 m dan kdalaman.0 m. Glombang snusodal dngan prod 0 dk, ampludo 0.05 m masuk kdalam kanal. Sbaga syara baas, pada k dambang kanal dbrkan flukuas muka ar π η sn 0 Ukuran lmn yang dgunakan adalah 0 m, shngga pada sau panjang glombang rdapa 4 lmn, sdangkan prambahan waku dgunakan sbsar.5 d aau 60 kal prhungan unuk sau proda glombang. Solus anals prmasalahan rsbu adalah : η 0.05 sn(σ k x) π σ T T proda glombang π π k blangan glombang L CT C gh kcpaan glombang g prcpaan gravas h kdalaman praran sn α cos α 000 m Gambar 7. Kanal unuk pngujan modl (dak brskala) 0 m Elvas Muka r (m) 0 m m Gambar 8. Grd-pon unuk modl numrs pada Kanal (dak brskala) 0 m Solus anals Solus numrs Jarak x Gambar. Profl muka ar pada dk k 80 Pada gambar, rlha bahwa solus modl numrs sanga dka dngan solus anals. Trdapa sdk prbdaan, hal n dkarnakan solus anals dak mmprhungkan konds ujung kanal yang ruup. Dar hasl pngujan pada kasus n, rlha bahwa modl mmbrkan hasl yang cukup bak. Ukuran lmn, dapa dgunakan lmn yang cukup bsar yau /4 panjang glombang. Unuk glombang pasang suru dngan panjang glombang mncapa rausan klomr, maka dapa dgunakan ukuran lmn mncapa 0-5 km, rganung pada luas aral prhungan. Inrval waku yang dapa dgunakan juga cukup bsar yau /60 proda glombang, unuk glombang pasang suru dngan proda 5 jam, maka dapa dgunakan nrval waku sbsar 500 dk. b. Pada kolam Kasus brkunya yang dnjau adalah kolam dngan bnuk dan ukuran spr pada gambaran brku. Kdalaman praran adalah m, glombang yang masuk kkolam glombang snusodal brproda 80 d, ampludo 0.05 m. Vol. 0 No. Januar 003 3

6 Modl Glombang Panjang dngan Moda Elmn Hngga Dskr 0 m 00 m 00 m 00 m Gambar 0. Bnuk dan ukuran kolam pada kasus (dak brskala) 0 m 0 m 00 m 00 m 00 m Gambar. Grd-pon unuk kasus (dak brskala) Solus anals unuk kasus n, bak lvas muka ar maupun arusnya blum rsda. Solus anals unuk kasus n mmang sul unuk dbua mngnga adanya prubahan lbar kanal yang ba-ba. Prubahan lbar rsbu akan mnmbulkan juga prswa dfraks aau pnybaran nrg glombang pada arah gak lurus arah glombang. Spr rlha pada pola arus hasl modl, rlha rjadnya pnybaran glombang pada arah lbar kolam (Gambar 3) spr yang dharapkan. Pada prkmbangan rakhr, analss dfraks glombang dkmbangkan dngan mnggunakan prsamaan Boussnsq. Sdangkan prsamaan glombang panjang yang dgunakan pada pnlan n mrupakan bagan dar prsamaan Boussnsq, yau dngan mmbuang suku nonlnr dar prsamaan Boussnsq akan dprolh prsamaan glombang panjang. Scara umum, modl yang akan dkmbangkan dapa mnggambarkan fnomna dfraks glombang dan juga dapa mnggambarkan pola arus pada suau basn praran dngan bak. 3 Jurnal Tknk Spl

7 Huahan Gambar. Pola arus pada dk k 60, skala : cm 0.5 m/d Gambar 3. Pola arus pada dk k 0, skala : cm 0.5 m/d Vol. 0 No. Januar

8 Modl Glombang Panjang dngan Moda Elmn Hngga Dskr Ksmpulan Dar hasl pnlan yang lah dlakukan rsbu, maka dapa dsmpulkan bahwa : Znkwcz, O.C., 83, Fn Elmns and proxmaon, John Wly & Sons. a. Moda lmn hngga dskr dapa dgunakan unuk mnylsakan prsamaan glombang panjang aau prsamaan srkulas arus. b. Dngan moda n dapa dgunakan ukuran lmn yang cukup bsar yau /4 panjang glombang. c. Moda n dak mmrlukan nrval waku yang sanga kcl, yau dapa dgunakan nrval waku /60 proda glombang. d. Pada bagan dpan glombang yang prama rlha adanya nos. Pada pnlan n blum ddapakan moda unuk mnghlangkan nos. Prlu dlakukan pnlan lbh lanju unuk mnghlangkan nos.. Pada gambar, rlha profl muka ar yang brglombang (dak smooh), yau pada glombang yang prama. Hal n dkarnakan panulan glombang nos. Bla glombang panul mncapa k baas, akan mnmbulkan kdak sablan pada modl. Karna u prlu dgunakan suau absorbng boundary dalam mmodlkan prambaan glombang ddalam kanal ruup aau kolam dmana pada pnlan n blum dgunakan. Dafar Pusaka Bckr, Erc B., 8, Fn Elmns, n Inroducon Volum I, Prnc-Hall. Chn, Y., Lu, P.L-F., 4, Modfd Boussnsq quaons and ssocad Parabolc Modls for War Wav Propagaon, Flud Mchanc (5), Vol. 88, PP , Cambrdg Unvrsy Prss. Dan, Robr G., 84, War Wav Mchancs for Engnrs and Scns, Prnc-Hall. Hrbch, John B., 000, Handbook of Coasal Engnrng, McGraw-Hll. Pndr, Gorg F., 77., Fn Elmn Smulaon n Surfac and Subsurfac Hydrology,cadmc Prss. Sansa, Frank L., 85., ppld Fn Elmn nalyss for Engnrs, CBS Inrnaonal Edons. 34 Jurnal Tknk Spl