EFISIENSI SISTEM BONUS MALUS SEBAGAI MODEL RANTAI MARKOV

Transkripsi

1 Jurnal Matmatka Vol. 9, No.3, Dsmbr 2006: EFISIENSI SISTEM BONUS MALUS SEBAGAI MODEL RANTAI MARKOV Supand Jurusan Tknk Informatka Unvrstas AKI Jl. Pmuda Smarang Abstract. Dvlopd bonus malus systm (BMS s to mak th prmum pad by nsurd wll b as closd as possbl wth xpctd occurrnc of clam n vry yar bass. To study th ffcncy of a BMS, w must prvously obsrv th ffct of clam frquncy on valu of prmum. Th ffcncy of Bonus Malus Systm can b found through ts Markov modl; that s by found a statonary dstrbuton n form of ln vctors of ts BMS Markov chan wth ts componnts as a functon of clam frquncy. In ths papr, th BMS usd s that of Brazl. Kywords: bonus malus systm, markov chan, stasonary, ffcncy. 1. PENDAHULUAN Prm asurans dbntuk proposonal dngan rsko yang trjad. Khususnya dalam asurans kndaraan brmotor/mobl prm dasar dtntukan brdasarkan bsar, harga atau kapastas dar kndaraan yang dasuranskan. Stlah masuk asurans, pnntuan bsar prm pada tahun brkutnya hanya dpngaruh olh banyaknya kclakaan dalam satu tahun prod sblumnya. Dmana dngan adanya kclakaan maka akan trjad klam. Sstm sprt pnntuan prm sprt n dsbut dngan sstm bonus-malus (BMS. Sstm n prtama kal dprknalkan dan dkmbangkan d Eropa pada awal tahun 1960 ([1],[2],[3]. Stap ngara jka tdak stap prusahaan mmlk sstm BMS yang brbda, yang mmungknkan lbh bak satu dar yang lannya ([5],[6]. Pnntuan prm dngan mnggunakan sstm BMS dapat dpandang sbaga modl multpl stat (kadaan multpl. Dasar modl stokastk kadaan multpl n adalah ranta Markov dngan banyak kadaan brhngga. Sbaga lustras prubahan prm kndaraan brmotor dar tahun prtama k tahun kdua, dngan tahun prtama tdak ada klam, atau ada satu klam, atau dua klam, dan strusnya dralsaskan sbaga bntuk transs dar kadaan. Dalam papr n akan dbahas pngaruh prubahan bsar prm trhadap nla fsns dar sstm bonus malus, yatu sstm bonus malus Brasl. 2. SISTEM BONUS MALUS Sstm bonus-malus (BMS mmprsntaskan banyaknya tarf grup yang brhngga dan brgantung pada prm tahunan. Stap tahun, tarf grup dttapkan sbaga tarf grup dar tahun sblumnya dan banyaknya klam yang trcatat dar trtanggung asurans pada prusahaan asurans slama tahun tu. Jka tdak ada klam atau klam tdak trcatat maka trtanggung trsbut akan mndapat bonus yang brbntuk pngurangan nla prm. Sdangkan jka trjad klam, palng sdkt satu klam yang trcatat maka prm yang harus dbayar pada tahun brkutnya olh trtanggung akan nak. Dngan kata lan jka dalam satu tahun prod trjad klam maka akan mndapat malus. Sstm bonus-malus dapat dnyatakan sbaga brkut. 1. Banyaknya tarf grup brhngga d awal prod dar asurans dnotaskan dngan C, dmana 1,2,.n. Sdangkan banyaknya tarf grup d akhr prod asurans dnotaskan dngan C j, j 1,2 n. Tarf grup trndah dsbut d- 207

2 Jurnal Matmatka Vol. 9, No.3, Dsmbr 2006: ngan suprbonus dan tarf grup trtngg dsbut dngan supr-malus. Prm tahunan brgantung pada banyaknya tarf grup yang trjad. 2. Prosntas dar prm dasar r (dalam % mnotaskan prosntas yang akan dkalkan dngan prm dasar sbaga prm brkutnya yang harus dbayar, dngan r 1 r 2 r 3. r n. 3. Prpndahan dar tarf grup sblumnya (k- k tarf grup brkutnya (k-j dngan k klam yang trcatat, dnyatakan dngan t j 1, trjad prpndahan dar tarf grup k - k tarf grup k - j. 0, lannya. (2.1 Untuk slanjutnya, msalkan untuk sorang pmgang pols, klam yang trcatat dalam satu tahun adalah brbntuk suatu barsan X 1, X 2,. X m dar suatu pubah acak yang salng bbas dngan fungs pluang brsama {q k }. Dnotaskan bahwa C 1,C 2, adalah tarf grup dar tahun k tahun dar pmgang pols. Tarf grup tahun sblumnya dngan banyaknya klam yang trcatat. Dngan dmkan maka prmasalahan sstm bonus-malus dapat dpandang sbaga modl ranta markov. Dngan mnggunakan tor Markov, maka {C n } barsan pubah acak dngan ruang tarf grup brhngga. {C n } adalah Ranta Markov yang mmlk matrk M(p j sdmkan hngga untuk smua n1,2, dan 0, 1,, n, Pr(C n n C n-1 n-1,., C 0 0 p( n 1, n. (2.2 dmana Pr(C n-1 n-1,., C 0 0 >0. Mnurut [8] pluang transs p j mrupakan pluang prpndahan dar tarf grup k k tarf grup k-j dar pmgang pols dapat dtulskan sbaga p j qktj (k. k 0 Mnurut ([4],[7] banyaknya klam (k yang trjad dan trcatat olh pmgang pols dasumskan mmnuh dfns pross Posson dngan laju λ. Dngan mnggunakan prsamaan (2.1 maka matrk transs p j dar ranta markov dapat mnjad k λ M( [ pj (λ ] tj( k, (2.3 k 0 k! dngan p j (λ 0 dan p (λ. n k 0 j 1 Msal ddfnskan p n j ( λ P(Y n ( Λ j. Dar prsamaan (2.3 pluang untuk tdak ada klam adalah postf, p 0 ( > 0. Dngan mnggunakan sfat dar ranta markov yang rgulr maka dprolh. Jka dstrbus pluang untuk banyaknya klam slama satu prod adalah salng bbas trhadap prod, maka tarf grup untuk polsnya brbntuk ranta Markov dngan matrk transs M( yang dbrkan dalam prsamaan (2.3.. Jka pluang untuk tdak ada klam dalam satu prod p 0 (>0, maka dsbut dngan rgular. Akbatnya p k (>0. Dngan dmkan ranta Markov dar sstm bonus-malus n adalah rgular. Artnya trdapat blangan q 1, shngga {M(} q smua unsurnya brnla postf murn. Dalam kasus rgular dngan nla gn satu yatu nla gn dar matrk M. Dstrbus stasonr, vktor kolom π( mrupakan solus tunggal dar prsamaan π( π( M(, (2.4 dngan π 1. j E j Atau dngan kata lan dstrbus stasonr yang dprolh mrupakan nla dar gn vktor dar prsamaan (2.4 yang brssuaan dngan nla gn satu dar matrk M. 3. EFISIENSI SISTEM BONUS MALUS Dalam BMS prm stasonr dnotaskan dngan b( dan dtulskan sbaga jumlahan dar prkalan vktor bars dstr- 208

3 Supand (Efsns Sstm Bonus Malus sbaga Modl Ranta Markov bus stasonr dar ranta Markov (π π 1, π 2, π n dngan vktor kolom nla prm B untuk stap kadaan aktual. Notas b( n tdak brgantung pada kadaan awal. b1 b2 π1 π 2,..., π n π b πb, bn (3.1 b( ( dngan b adalah prm yang dbayarkan pada kadaan k- ssua dnga tarf grup pada kadaan k-. Notas b( mrupakan fungs nak dar λ. Dngan mngasumskan bahwa barsan dar klam adalah d (ndpndnt dntcally dstrbutd mmpunya man V [7], maka prm ntto (prm yang dbayarkan tanpa adanya baya yang dbayarkan adalah λv, maka prsamaan (3.1 dapat dtulskan sbaga b( λv. (3.2 Fungs b( mrupakan fungs dalam λ, dan tdak lnr. Untuk dapat mlnrkan prsamaan (3.2, karna b(>0, maka fungs trsbut dapat dambl logartmanya untuk kdua ssnya. Dngan dmkan fungs logartma dar prsamaan (3.2 adalah logb(logλ+logv. (3.3 Dngan mnurunkan trhadap λ pada masng-masng ruas pada prsamaan (3.3 dprolh 1 db( 1, b( λ atau db( b( λ 1. (3.4 d( λ Prsamaan (3.4 mnunjukkan bahwa untuk stap prm yang dbayarkan olh trtanggung sama dngan prm pada sstm Bonus Malus. Prubahan pada banyaknya klam yang dharapkan pada tap prod /λ mngakbatkan prubahan pada prm rata-rata db(/b(. Scara umum prsamaan (3.4 mrupakan raso dar varans dar prm stasonr dngan varans dar frkuns klam dan dsbut sbaga fsns dar BMS yang dnotaskan dngan (, λ db( d log b( (. (3.5 b( d log λ Nla ( dar prsamaan (3.5 adalah pos-tf karna b(>0 dan scara umum 0<(<1. Slanjutnya dar prsamaan (3.5, bagan db(/ dprolh dngan mnurunkan prsamaan (3.1 trhadap λ, shngga dprolh db(λ dπ b. (3.6 Sdangkan prsamaan turunan dπ / dprolh dngan mnurunkan prsamaan (3.1 yatu ππm dan π 1 trhadap λ, dπ dπ dm M + π dπ 0 dngan bntuk matrk dm/ dar prsamaan brkut dm ( λ xp( ( T k! m k 0 k, (3.7 k+ 1 Tk dprolh (3.8 dngan T k t j (k dngan t j (k sprt pada prsamaan ( METODE MENCARI NILAI EFISIENSI METODE EKSAK Msalkan modl BMS dar Brasl pada Tabl 1, ttap hanya dambl untuk 3 kadaan saja. Dngan nla prmnya mnjad (100,90,80 dan bntuk tablnya mnjad 209

4 Jurnal Matmatka Vol. 9, No.3, Dsmbr 2006: (C, r (Tarf grup, Prosntas Tabl 1. Sstm Bonus-malus Tarf Grup stlah satu tahun Banyaknya klam (3, (2, (1, Tabl 2. Tabl transs dar Sstm Bonus malus {1,2,..} {0}. 2 {1,2,..}. {0} 3 {2,3,..} {1} {0} Dar Tabl 1 dan Tabl 2 datas maka bntuk matrk transs ranta Markovnya, M( mnjad M( 1 (1 + λ 0 0 Msalkan p1- -λ, q -λ dan rλ -λ maka bntuk matrk M( dar contoh BMS adalah p q 0 M(λ p 0 q p r r q Slanjutnya dar matrk M( datas akan dtntukan dstrbus stasonrnya. Dngan mnggunakan prsamaan (2.4 maka dapat dtulskan mnjad p q 0 ( π ( 1 π 2 π 3 π1 π 2 π 3 p 0 q. p r r q Dngan mnggunakan sstm prsamaan lnr dan mmasukan nla p, q, dan r maka dprolh nla π 1,π 2,π 3 yatu 1 ( λ + 1 (1 π 1, π 2, 1 λ 1 λ π 3 1 λ. Slanjutnya dngan mnggunakan nla-nla dar tarf grup yatu (100, 90, dan 80 dprolh prm stasonr sbaga brkut. 100 b ( λ ( π 1 π 2 π 3 90 π b. 80 Shngga turunan prm stasonr dalam λ dprolh db ( ( 1+ λ ( λ 100 λ ( 1+ λ -100 ( λ 2 ( ( ( λ 2λ ( ( 2 λ 2λ ( ( + 2λ - 90 ( λ λ λ 2 ( + 2λ - 80 ( λ 2 Dngan mngambl λλ dprolh π (π 1 π 2 π 3 ( Slanjutnya dngan mnggunakan prsamaan (3.1 dprolh nla dar prm stasonr, yatu b1 b( λ 0. 1 ( π1 π2 π3 b2 b 3 πb db( dan nla dar λ Shngga nla fsns dapat dcar dngan mnggunakan prsamaan (3.5 yatu 210

5 Supand (Efsns Sstm Bonus Malus sbaga Modl Ranta Markov 0. 1 ( λ Mtod Numrk Dar Tabl 1 dan Tabl 2, dngan mnggunakan asums pada prsamaan (2.3, maka bntuk matrk transs ranta Markovnya, M( mnjad 0 M( 0 (1 + λ dan 0 dm(/ 0 λ (1 Bntuk matrk transs M( datas mmpunya nla dtrmnan dt(m(-λ -2λ. Slanjutnya dar bntuk matrk M( n akan dcar dstrbus stasonrnya, yatu π. Dngan mngambl dstrbus awal π 1 (a 1,b 1,c 1 dngan a 1 +b 1 +c 1 1 dprolh π 2 π 1 M( 0 (a 1,b 1,c 1 0 (1 + λ [(a 1 +b 1 (1- -λ +c 1 (1-(1+ -λ a 1 -λ +c 1 λ -λ (b 1 +c 1 (1- -λ ] π 3 π 2 M( [(a 1 +b 1 (1- -λ +c 1 (1-(1+ -λ a 1 -λ +c 1 λ -λ (b 1 +c 1 (1- -λ ]. 1 (1 + 0 λ 0 π 4 π 2 M( π n+1 π n M(, dmana untuk n, maka ππm( dngan π sbaga vktor bars dngan komponnnya mrupakan fungs dar λ. Dngan mngambl λ0.1 maka bntuk matrk datas adalah M(λ Matrk M( n akan stasonr stlah n22 yatu dprolh matrk M 21 (λ Shngga dprolh dstrbus stasonr dar matrk ranta Markov M(( untuk pmlhan dstrbus awal trtntu yatu π adalah π ( Slanjutnya dngan mnggunakan prsamaan (3.1 dprolh nla dar prm stasonr yatu b1 b( λ 0. 1 ( π1, π 2 π 3 b2 b3 π b Pross slanjutnya yatu mnntukan nla dar db(/. Sblumnya db(/ n akan dtntukan trlbh dahulu nla dar dπ/ dngan mnggunakan pross tras sprt ktka mnghtung dstrbus stasonr dar matrk ranta Markov M(. Pandang bahwa π dan M( mash dalam bntuk fungs dalam λ. Karna π mrupakan suatu vktor bars yang komponnkomponnnya fungs dar λ dan matrk M( juga mrupakan matrk dngan unsur-unsurnya dalam bntuk fungs λ, maka bntuk turunan dar dπ/ adalah sprt dalam prsamaan (3.6. Slanjutnya msalkan bahwa sdπ/ maka bntuk tras dar prsamaan (3.7 adalah s 1 s 0 M(+π(dM(/ s 2 s 1 M(+π(dM(/ 211

6 Jurnal Matmatka Vol. 9, No.3, Dsmbr 2006: s n+1 s n M(+π(dM(/ untuk n, maka ssm(+π(dm(/ dngan s sbaga vktor bars dngan komponn-komponnnya mrupakan fungs dar λ. Dngan mngambl nla λ0.1 dngan bantuan program Mapl dan mngambl nla s 0 (-0.6,0.6,0, maka dprolh nla stasonr stlah n21 dngan tngkat ksalahan 10-10, yatu s 21 [ , , ] shngga untuk nla dar db(/ dapat dktahu yatu db( λ dπ b ( Dngan nla dar frkuns klam λ, prm stasonr b( dan nla dar db(/, maka untuk λ0.1 dprolh nla fsns untuk BMS contoh dalam Tabl 1 dan Tabl 2 dngan mnggunakan prsamaan 9, yatu λ db( λ ( λ 0. 1 b( λ (0.1/ Dngan dmkan maka untuk λ0.1 modl BMS dalam kasus n mmbrkan nla fsns sbsar Dar hasl prhtungan dngan mnggunakan mtod ksak maupun mtod numrk akan dprolh nla fsns yang tdak jauh brbda. Untuk kasus dmana bntuk matrk transs mmpunya ukuran ukuran yang kcl akan lbh mudah mnggunakan mtod ksak. Sbalknya untuk matrk transs yang dhaslkan dar sstm bonus malus bsar maka dsarankan akan lbh mudah dngan mnggunakan mtod pndkatan yatu mtod numrk. Dalam prhtungan slanjutnya smua nla λ n brada antara 0 dan 1. Ddalam bbrapa ngara rata-rata frkuns klam ( adalah 10% [4]. Nla 10% n slanjutnya dgunakan dalam papr n untuk untuk mnntukan nla fsns dar modl BMS. 5. STUDI KASUS MODEL BMS BRASIL Dalam sstm bonus-malus, ngara Brasl mmpunya tujuh tarf grup bonus yang dnomor dar 1 hngga 7 dngan tngkatan tarf grup 100, 90, 85, 80, 75, 70, 65. Tarf grup dmula pada tarf grup prtama yatu tarf grup 100. Jka tdak trjad klam dalam satu tahun tarf grup akan turun satu tngkat k tarf grup yang lbh rndah prosntasnya. Sdangkan jka trjad klam sbanyak k dngan k 1, maka untuk stap klamnya mngakbatkan tarf grup nak satu tngkat k tarf grup yang lbh bsar prosntasnya. BMS modl Brasl n dsajkan dalam Tabl 3. Slanjutnya dngan mnggunakan mtod numrk untuk λ0.1, dstrbus stasonr dar matrk ranta markov BMS Brasl n adalah π (π 1, π 2,, π 7 yatu π , π π , π π , π , π dngan nla fsns ( Untuk frkuns klam yang lan dngan 0 λ 2 dngan prtambahan 0.1, fsns BMS Brasl dsajkan dalam plot fsns dalam Gambar 1. Brdasarkan Gambar 1, fsns BMS ngara Brasl trjad knakan yang tajam mula dar λ0 sampa dngan λ0.6. Untuk λ>0.6 fsns mngalam pnurunan. Sdangkan fsns trtngg dcapa pada saat λ0.6 yatu Modfkas prm Pada modfkas n dlakukan prubahan prm pada kadaan palng atas. Prubahan n antara lan dngan mnakkan dan mnurunkan prm palng atas (100 dngan 105, 102 dan 95 srta 98 dsajkan 212

7 Supand (Efsns Sstm Bonus Malus sbaga Modl Ranta Markov dalam Gambar 2. Pada modfkas prtama yatu dngan mnakkan prm mnjad 105 untuk stap λ (0<λ 2 trjad knakan yatu dngan knakan rata-rata sbsar 1.1%. Untuk fsns trtngg dcapa ktka λ0.6 yatu dngan nla Modfkas slanjutnya dngan mnurunkan prm mnjad 95. Dngan modfkas n fsnsnya m- ngalam pnurunan untuk stap λ (0<λ 2 dngan rata-rata pnurunan 1.99%. Efsns trtngg dcapa pada saat λ0.6 yatu sbsar Untuk dapat mmbrkan gambaran bahwa dngan mnakkan/mnurunkan prm akan mnakkan/mnurunkan fsns dlakukan prubahan dngan prm 102 dan 98. Tabl 3. Sstm Bonus malus ngara Brasl (C, r (Tarf grup,prosntas Tarf Grup Stlah Satu Tahun Banyaknya Klam ( 7, ( 6, ( 5, ( 4, ( 3, ( 2, ( 1, Ef sns B M S B rasl Frkuns klam Gambar 1. Plot fsns BMS Brasl untuk 0 λ 2 dngan prtambahan Efsns Modfkas BMS Brasl (prubahan prm atas Smula Efsns Frkuns klam Gambar 2. Efsns Modfkas BMS Brasl dngan prubahan pada prm atas 213

8 Jurnal Matmatka Vol. 9, No.3, Dsmbr 2006: Pada prubahan prm dngan 102 nla fsns untuk stap λ (0<λ 2 juga mngalam knakan rata-rata 0.76% dngan fsns trtngg dcapa ktka λ0.6 yatu Dar Gambar 2 mnunjukkan bahwa untuk modfkas n plot nla fsns slalu brada BMS Brasl smula dan modfkas BMS Brasl dngan prubahan prm atas dngan 105. Modfkas brkutnya yatu dngan mngubah prm atas mnjad 98. Dalam modfkas n mnghaslkan nla fsns yang lbh kcl untuk stap λ (0<λ 2, dmana nla fsns rata-rata mngalam pnurunan sbsar 0.9%. Efsns trtngg dcapa ktka λ0.6 yatu Dar Gambar 2 trlhat bahwa plot nla fsns untuk modfkas n slalu brada dantara BMS Brasl smula dan modfkas BMS Brasl dngan 95. Dngan modfkas prm pada kadaan palng atas n mnunjukkan bahwa untuk 0<λ<0.4 cndrung prbdaan fsns sangat kcl (Gambar 2. Sdangkan untuk λ>0.4 trjad prubahan nla fsns yatu trjad knakan fsns jka prm atas dnakan dan pnurunan fsns jka prm atas dturunkan. Hal n mnunjukkan bahwa dngan modfkas n phak yang mngasuranskan akan cndrung brhat-hat dngan kndaraan brmotornya bla prm atas dnakkan jka dbandngkan dngan pnurunan prm atas, shngga akan mndapatkan bonus pnurunan prm untuk tahun pmbayaran prm brkutnya. 5. KESIMPULAN Brdasarkan pmbahasan pada bagan sblumnya dapat dsmpulkan bahwa tarf grup untuk tahun brkutnya dhtung brdasarkan tarf grup tahun sblumnya dngan banyaknya klam yang trcatat. Dngan dmkan maka prmasalahan sstm bonus-malus (BMS dapat dpandang sbaga Modl Ranta Markov. Modl kadaan multpl (modl Markov mrupakan suatu modl stokastk yang dbangun brdasarkan ranta markov waktu dskrt dngan ruang kadaan hngga. Dalam mnntukan fsns dar BMS dngan mnggunakan dstrbus stasonr dar ranta Markov. Dstrbus stasonr n dgunakan untuk mnntukan prm stasonr. Untuk dapat mnngkatkan fsns dar BMS trdapat dua faktor yang sangat pntng, yatu dngan mrubah prm shngga prbandngan prm trtngg dan palng rndah mnjad lbh bsar. Prubahan prm akan mnghaslkan nla fsns dar BMS yang lbh brvaras shngga akan dapat dktahu kcndrungan phak yang mngasuranskan kndaraan brmotornya brada d frkuns klam mana akan brhat-hat (pada umumnya untuk BMS Brasl dawal masuk asurans 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Bchsl., F. (1964, Erlahrungs-Tarffrung n dr Motorfahrzug haftpflcht-vrschrung, Mtt Vrn Schwz Vrschrungsmath, 64: [2] Buhlmann, H. (1964, Optmal Pramnstufnsystm, Mtt Vrn Schwz Vrschrungsmath, 64: [3] Dlaport, P. (1965, Tarfcaton du rsqu ndvdual d accdnts d automobls par la prm modl sur l rsqu, ASTIN Bull III, 3. [4] Lmar J. (1998, Bonus-Malus Systm, Th Europan and Asan Approach to Mrt Ratng. North Amrcan Actuaral Journal, 2(1: [5] Lmar,J and Hongmn Z. (1994, A Comparatv Analyss of 30 Bonus- Malus Systm. ASTIN BULETIN, 24(2: [6] Lomaranta, K. (1972, Som Asymtotc Proprts of Bonus Malus, ASTIN BULLETIN, 6(3: [7] Rolsk.T, Schmdl,H., Schmdt, V., and Tugls, J. (1999. Stochastc Procsss for Insuranc and Fnanc, John Wly & Sons, Nw york. [8] Ross. (2000, Introducton to Probablty Modls, Svnth Edton, Acadmc Prss, London, UK. 214