II. BILANGAN KOMPLEKS. Untuk mencari nilai kuadrat menggunakan persamaan

Transkripsi

1 II. BILANGAN KOMPLEKS. Pndahuluan Sstm blangan komplks pada dasarna mrupakan prluasan dar sstm blangan rl. Sstm blangan n dprknalkan untuk mmcahkan sstm-sstm prsamaan aljabar ang tdak mmpuna jawaban dalam sstm blangan komplks. Dalam aljabar ada mnggunakan blangan majnr dan blangan komplks atu pada pnlsaan dar prsamaan kuadrat atu: a + b + c = 0 Untuk mncar nla kuadrat mnggunakan prsamaan = b ± b 4ac a Sstm blangan komplks pada dasarna mrupakan prluasan dar sstm blangan rl, sstm blangan n dprknalkan untuk mmcahkan sstm-sstm prsamaan aljabar ang tdak mmpuna jawaban dalam sstm blangan komplks. Jka dskrmnan dar d = (b 4ac) adalah ngatf, kta harus mmaka akar dar angka ngatf dalam rangka mnmukan. Hana non-ngatf angka ang mmk akar ral, maka tdak mmungknkan jka mnggunakan prsamaan datas, ktka d < 0. Kcual jka mmaham mngna jns blangan lan ang dsbut blangan majnr. Angka majnr n mnggunakan smbol atu = maka = maka, 6 = 4, =, = - Dmana blangan majnr, = -, 8 =. 8 = -4, 4n = dar prsamaan datas mnunjukan blangan majnr dan blangan rl, dngan solus = ± =0 = ± 4 = ±

2 dgunakanna stlah blangan komplks untuk mnandakan satu atau sluruh angka, rl dan majnr, atau kombnas dar kduana sprt ±. Lalu + 5,7, 4, + 5 smua adalah contoh dar blangan komplks. Dalam Fska, sstm komplks mmgang pranan ang pntng sprt msalna dalam mmplajar glombang, rangkaan lstrk sampa dngan pnggambaran dnamka partkl sub-atomk.. Blangan Rl dan Imajnr adalah Bagan dar Blangan Komplks Sbuah angka komplks sprt 5+ adalah rangkaan dar dua bagan. Bagan ral (tdak mmlk ) dsbut bagan ral dar blangan komplks. Kofsn dar pada bagan lan dsbut majnr dar bagan blangan komplks. Pada 5+, 5 adalah ral dan adalah majnr. Antara ral atau majnr dar blangan komplks bsa saja brnla nol. Jka bagan ral brnla 0 maka, blangan komplks trsbut dsbut majnr ( atau, lbh sngkatna, majtr murn). Blangan ral ang brnla nol basana dhlangkan; jad 0+5 hana dtuls 5. jka bagan majnr dar blangan komplks brnla nol, blangan ral. dtuls 7+0 mnjad 7. Blangan komplks ang trdapat ral dan majnr asl hana ada d bbrapa kasus khusus.. Bdang Komplks Jka dalam sstm blangan rl kta dapat mrprsntaskanna dalam suatu gars lurus sprt ang dlustraskan pada gambar (a), maka blangan komplks lam drprsntaskan dalam suatu bdang kartsan ang dnamakan sbaga bdang komplks sprt ang dlustraskan dalam gambar (b) dngan sumbu-sumbu = R()dan = Im(). Dalam rprsntas n, untuk stap blangan komplks = a + b, kta dapat mngatkanna dngan suatu ttk (a, b) d dalam sstm koordnat kartsus.

3 Sbaga contoh kta plot Gambar. Sbaga contoh, scara gomtr kta plot ttk (5,) sprt pada gambar., kta dapat mndfnskan blangan komplks na 5+. Maka bdang komplksna Gambar. Blangan komplks dapat dvsualsaskan sbaga ttk atau vktor poss pada sstm koordnat dua dmns ang dnamakan bdang komplks atau dagram argand. Koordnat kartsus blangan komplks adalah bagan rl dan bagan majnr, sdangkan koordnat kartsus adalah r = ang dsbut modulus dan arg(). Slan tu, kta dapat pula mnatakan bdang komplks dalam koordnat polar, scara gomtr dtunjukkan olh gambar.

4 Gambar. Dngan mntransformaskan koordnat dan k dalam koordnat polar sdmkan rupa shngga r cos r sn (.) Shngga prsamaan blangan komplks mnjad r cos r sn r(cos sn ) (.) Prsamaan (.) trsbut dnamakan bntuk polar dar blangan komplks. Waklan dar (cos sn ) dtuls sbaga dnotaskan juga sbaga sn r, shngga bntuk polar dar blangan komplks dapat r cos (.).4 Trmnolog dan Notas Sprt pmbahasan sblumna, blangan komplks dapat d notaskan r cos sn r Dalam hal n, adalah blangan komplks, adalah bagan rl dar blangan komplks, dan adalah blangan majnr dar. Nla r dnamakan modulus atau nla mutlak dar, dan dnamakan sudut dar (fas, argumn, ataupunampltudo dar ). Scara smbol dapat dtuls sbaga brkut: R Im ( bukan) mod r anglof (.4)

5 Contoh: Tntukan nla r, dan sudut dar blangan komplks Pnlsaan: r r r r 4 arctan arctan 6 Dngan r sn r cos sn cos maka : cos sn.5 Aljabar Komplks Mndrhanakan k Formula + Stap blangan komplks dapat dnatakan dalam bntuk +. Untuk mnambahkn, mngurang, dan mngalkan blangan komplks. Komplks Sprt halna blangan rl, pada blangan komplks juga brlaku opras-opras aljabar sprt pnjumlahan, pngurangan, prkalan dan pmbagan. Slan tu, untuk mlakukan

6 pndrhanaan aljabar blangan komplks juga mngkut aturan aljabar basa dan ttap brlaku bahwa = -. Contoh : Contoh : Shngga, ddapatkan nla = rumus : r dan = lalu,masukkan angka dan na k rumus.. Shngga ddapatkan nla sbsar : arctan. Dapat dtuls : arctan = arc tan -= -45 atau 4. Untuk mnntukan nla r, maka dgunakan r ( ). Untuk mnntukan nla dngan mnggunakan. Komplks Konjugat Untuk mnntukan bsaran modulus blangan komplks, dprknalkan konsp komplks konjugas, dngan. Shngga dapat ddfnskan komplks konjugat untuk blangan komplks, atu: a b a b (.5) Jlas dar sn bahwa untuk mmprolh modulus dapat dlakukan mlalu ungkapan: a ba b a b (.6) Untuk mnntukan konjugat dar dua jumlah blangan komplks adalah jumlah konjugat dar angka-angka trsbut. Jka : dan,

7 Maka konjugatna Contoh : 4, maka konjugatna 4 Mnntukan Nla Mutlak dar Sprt ang tlah dktahu bahwa untuk mntukan nla r dgunakan prsamaan r (.7) Shngga trlhat jlas bahwa trdapat hubungan antara r dan. Contoh : Contoh : = 5 5 Prsamaan Komplks Jka mmbahas tntang blangan komplks,sbnarna blangan komplks adalah spasang blangan ral dan blangan majnr. Dua blangan komplks adalah sama jka dan hana jka bagan sbnarna mrka sama dan bagan majnr mrka sama. Sbaga contoh, + = + brart = dan =. Dngan kata lan, prsamaan apapun mlbatkan blangan komplks bnar-bnar dua prsamaan ang mlbatkan blangan rl. Contoh: Tntukan nla dan jka

8 ( ) Prsamaan trsbut dapat d jabarkan mnjad ( ) Dan kvaln dngan dua prsamaan rl: 0 Dar prsamaan prtama,, kta tmukan atau, substtus k prsamaan kdua, shngga dprolh atau Olh karna adalaha blangan rl, maka tdak bolh ngatf, shngga dan, maka, Aplkas Fska Masalah fska sprt gomtr dapat d sdrhanakan dngan mnggunakan satu blangan komplks dar dua prsamaan rl. Contoh: Suatu partkl brgrak pada bdang (,), dngan possna brgantung pada waktu t, ang dbrkan olh t t Tntukan magntud, atau bsaran kcpatan dan prcpatan partkl trsbut sbaga fungs waktu! Pnlsaan: Ddfnskan kcpatan komplks dan prcpatan komplks d d d d d d dan dt dt dt dt dt dt Maka bsarna kcpatan v ddfnskan v ( d/ dt) ( d/ dt) d/ dt

9 Dan hal ang sama juga pada prcpatan a d d dt v d dt a t d dt d dt ( ( t) ( ( t) ( t) ( t t) 6 ) ) /.6 Prsamaan Eulr 6 ( t) ( t) ( t), t, / dt. Shngga Rumus Eulr, dnamakan untuk Lonhard Eulr, adalah rumus matmatka dalam analss komplks ang mnunjukkan hubungan mndalam antara fungs trgonomtr dan fungs ksponnsal. (Idnttas Eulr adalah kasus spsal dar rumus Eulr.) Untuk ral θ, kta tahu dar bab pangkat dar drt untuk sn θ dan cos θ : sn θ = θ θ! + θ5 5!, cos θ = θ! + θ4 4! Dar dfns (8.), kta mnbutkan bahwa drt untuk k smua pangat, ral atau magnr. Dtulskan untuk θ,dmana θ adalah ral : θ = + θ + (θ)! + (θ)! + (θ)4 4! + (θ)5 5! + (.8) = + θ θ θ + θ4!! + θ5 4! 5! = θ! + θ4. + (θ θ + θ5 ) 4!! 5! (Prubahan dar rumus hana untuk mmbuktkan bahwa drt trsbut adalah absolut konvrgn.) Formula Eulr ddfnskan : θ = cos θ + sn θ (.9)

10 Lalu, kta harus mmbuktkan dngan mnuls blangan kompls sprt ang kta tuls d (4.) = + = r(cos θ + sn θ) = r θ (.0) Contoh:. Tntukan nla dar π 6 jawab : π 6 = r θ dngan r =, θ = π 6 dar gambar dsampng dktahu bahwa =, =, + = + maka, π 6 = +. Tntukan nla π Jawab: π/ s r θ wth r =, θ = π/. Dar gambar dbawah = 0, =, jad π/ = + = 0 =.,.7 Akar dan Pangkat Blangan Komplks Dngan mnggunakan aturan sblumna, untuk mngal dan mmbag blangan komplks,kta mmpuna

11 n = (r θ ) n = r n nθ Untuk sluruh ntgral n. Dngan kata lan, untuk mndapatkan pangkat k-n dar blangan komplks, kta mngambl pangkat k n dar modul dan mngalkan sudut dngan n. Untuk kasus r = adalah bbrapa klanan khusus. ( θ ) n = (cos θ + sn θ) n = cos nθ + sn nθ (.) Kalan bsa mnggunaan rumus n untuk mnmukan formula untuk snθ, cosθ, snθ, dan strusna Untuk akar k n dar, n, brart sbuah blangan kompls ang pangkat k n-na adalah. dar (0.) /n = (r θ ) n = r n θ n n = r (cos θ + sn θ ) (.) n n Formula n harus dgunakan dngan hat-hat..8 Fungs Eksponnsal dan Trgonomtr Ddalam matr mngna blangan komplks, trdapat prsamaan blangan komplks, dantarana sbaga brkut :...( ) r(cos sn )...() r...() Dar prsamaan trsbut, untuk fungs ksponnsal datas, dapat dubah bntukna mnjad : brdasarkan prsamaan (cos sn ) Sbnarna, trdapat hubungan rat antara fungs ksponnsal dantrgonomtr dngan prsamaan ulr, ang mana pada prsamaan ulr dapat dtulskan : cos sn Dan slalu dngat bahwa cos( ) cos dansn( ) sn, shngga untuk ang brnla ngatf dapat dtulskan : cos sn

12 Dar kdua prsamaan trsbut, untuk mncar nla dngan mtod lmnas. Brkut pnjabaranna : sn cos sn cos sn sn sn dan cos dapat dgunakan Untuk mncar nla dar cos sama sprt sblumna dngan mnggunakan mtod lmnas,sbaga brkut : cos sn cos sn cos cos Jka dgunakan sbaga pnggant θ, maka hana mnggant nla na mnjad θ,atau dapat dtulskan prsamaanna sbaga brkut : sn cos, (.) Contoh :.( ) Contoh : sn Fungs Hprbolk

13 Fungs hprbolk dapat ddfnskan sbaga kombnas dar fungs ksponn. Brkut adalah sn dan cos untuk nla murn dngan sn cos (.4) Untuk fungs hprbolk juga dapat ddfunskan dlam bntuk snh dan cosh. Brkut prsamaanna. snh cosh Adapun mpat fungs trgonomtr lan dapat ddfnskan sbaga brkut : snh tanh cosh sc h cosh coth tanh csch snh (.5) (.6) Contoh: Buktkan bahwa snh snh cos snh sn Pnlsaan: snh sn( ) (cos sn ) ( )cos ( (cos sn ) )sn

14 Contoh : Buktkan bahwa Pnlsaan: d d cosh snh d d cosh d d snh ( trbukt).0 Logartma Logartma adalah opras matmatka ang mrupakan kbalkan (atau nvrs) dar ksponn atau pmangkatan. Logartma tdak slalu blangan postf saja. Mungkn sudah umum dktahu bahwa tdak ada logartma blangan ngatf. In bnar jka hana mnggunakan blangan ral, tap hal n tdak bnar bla kta mlhat pada blangan komplks. Brkut adalah bagamana cara mnmukan logartma dar blangan komplks manapun 0 trmasuk blangan rl ngatf sbaga kasus khusus. jka = w, (.7) maka mnurut dfnsna w = ln = w. w = w+w (.8) ln = w +w = ln + ln Prsamaan trsbut sudah dknal umum untuk logartma suatu produk, untuk logartma pada blangan komplks. Kta kmudan dapat mnmukan bagan ral dan majnr dar logartma a blangan komplks dar prsamaan w = ln = ln (r θ ) = Ln r + ln θ = Ln r + θ dmana Ln r logartma basa, k bass dar blangan postf nata r Karna θ mmlk jumlah nla tak trbatas (smua brbda dngan klpatan π), Blangan komplks mmlk logartma tak trhngga banakna, brbda satu sama lan dngan

15 klpatan π. Nla pokok ln (srng dtuls sbaga Ln ) adalah ang mnggunakan prnsp nla θ, atu 0 θ <π. (Bbrapa rfrns mnggunakan -π <θ π.). Invrs dar Trgonomtr dan Fungs Hprbolk msalna. Tlah ddfnskan fungs trgonomtr dan hprbolk blangan komplks w cos (.9) Ddfnskan w=cos, atu untuk stap blangan komplk ang mmbrkan blangan ω. Skarang dapat ddfnskan nvrs dar kosnus atau ang sama. Contoh arccosw f w cos arccos olh (.0) Smua nvrs fungs trgonomtr dan hprbolk lanna ddfnskan dngan cara Sdmkan rupa shngga Dalam aljabar, msalkan Kalkan dngan dan olh u, lalu rumus kuadrat untuk dtmukan. arccos or cos u dan haslna mnjad : u u u 4u atau u 4u 0. Pcahkan prsamaan n dngan u atau u Tntukan logartma dar kdua ss prsamaan n dan slsakan. dngan kalkulator, ln( ) Ln( ) n arccos n Ln( ) n.7 untuk mmbuktkan cos dan haslna adalah, substtus ln( )

16 ln( ), 4. Sdmkan rupa shngga cos 4 Tlah trbukt. Dngan mtod ang sama, kta dapat mnmukan smua fungs trgonomtr dan hprbolk trbalk dalam stlah logartma.