FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS"

Transkripsi

1 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap anggota A mempunyai kawan tunggal anggota B. Contoh : A f B A f B A B a f(a) a a b f(b) b b c f(c) c c fungsi fungsi bukan fungsi A. Beberapa Macam Fungsi Pendalaman Materi Pernahkah anda berpikir sebagai seorang yang bekerja di perusahaan penerbangan dan bertugas untuk membuat jalur penerbangan dan bertugas untuk membuat jalur penerbangan pesawat agar berjalan dengan baik? Mungkin dalam bayangan kita sangat sulit, tetapi prinsip dasar cara membuat jalur tersebut adalah fungsi yang akan kita pelajari pada bab ini. Perhatikan gambar rute penerbangan dari Bandung ke berbagai kota lain! Dalam bahasa matematika hubungan penerbangan tersebut dapat digambar sebagai berikut. Beberapa Fungsi Khusus. Fungsi konstan apabila untuk setiap harga Df selalu berlaku f() = bilangan tetap (konstanta). Contoh grafik fungsi konstan dapat dilihat pada gambar dibawah ini.. Fungsi identitas, apabila fungsi tersebut memasangkan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.

2 Contoh grafik fungsi identitas dapat dilihat pada gambar dibawah ini.. Fungsi modulus atau fungsi mutlak dapat dinyatakan dalam bentuk f() = dan didefinisikan sebagai berikut. jika 0 = - jika 0 Contoh grafik fungsi modulus f() = - dapat dilihat pada gambar dibawah ini. 4. Fungsi linear, apabila fungsi f: R R didefinisikan sebagai f() = a + b, a dan b suatu konstanta, serta a 0. Contoh grafik fungsi linear f() = + dapat dilihat pada gambar dibawah ini. 5. Fungsi kuadrat, apabila fungsi f: R R didefinisikan sebagai f() = a + b + c, dengan a, b dan c suatu konstanta serta a 0. Bentuk grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Contoh grafik fungsi kuadrat f() dapat dilihat pada gambar dibawah ini. 6. Fungsi campuran, apabila fungsi tersebut merupakan gabungan dari banyak fungsi. 7. Fungsi genap dan fungsi ganjil. Fungsi f() disebut fungsi genap apabila berlaku f(-) = f(). Fungsi f() disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(-) = -f(). Sifat-sifat Fungsi. f: A B adalah fungsi into apabila ada anggota b B yang bukan peta dari a A.. f: A B adalah fungsi injektif (satu-satu) apabila setiap b B yang mempunyai kawan di A, kawannya itu tunggal.. f: A B adalah fungsi surjektif (onto) apabila setiap b B mempunyai peta a A.

3 4. f: A B adalah fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) apabila fungsi tersebut injektif sekaligus surjektif. Contoh : fungsi into fungsi injektif (fungsi satu-satu) fungsi surjektif (fungsi onto) fungsi bijektif Materi Pengayaan Terdapat definisi lain dari fungsi sebagai berikut. Suatu relasi S adalah suatu fungsi jika dan hanya jika (a, b) S dan (a, c) S maka b = Contoh : (, y)y.. Relasi T dinyatakan dengan T = Tunjukkan T adalah fungsi! Akan ditunjukkan bahwa jika (a, b) T dan (a, c) T maka b = Ambil (a, b) T maka b = a dan (a, c) T maka c = a. Karena b = a dan c = a maka b = Terbukti bahwa T adalah fungsi. (, y)y. Selidiki apakah U suatu fungsi.. Diberikan relasi U = Ambil (a, b) U maka b = a Ambil (a, c) U maka c = a (Ingat bahwa (, -) dan (, ) keduanya anggota U) b = a dan c = a maka b = c. Akan tetapi b = c tidak menyatakan bahwa b = c, melainkan Jadi U bukan fungsi. Contoh Soal!. Suatu fungsi pada bilangan real dinyatakan dalam bentuk gambar dibawah ini. b c a. Relasi manakah yang merupakan fungsi? Jelaskan jawabanmu! Relasi (a) merupakan fungsi Relasi (b) bukan fungsi Penjelasan Pada grafik (a) garis sejajar sumbu Y memotong grafik hanya di satu titik. Pada grafik (b) garis sejajar sumbu Y memotong grafik lebih dari satu titik sehingga grafik tersebut bukan merupakan grafik fungsi.

4 Cara untuk menentukan suatu grafik merupakan fungsi adalah tarik sembarang garis lurus sejajar dengan kodomain. (i) Jika semua garis yang ditarik memotong grafik di satu titik saja, grafik itu adalah fungsi. (ii) Jika ada garis yang ditarik memotong grafik lebih dari satu titik, maka grafik itu bukan fungsi. Cara ini dikenal dengan nama metode garis lurus.. Gambarlah grafik fungsi konstan f() = 5, R. Ditentukan suatu fungsi berikut. -, untuk F() =, untuk -, untuk - a. Tentukan f(), f(-),, f(4) Gambarlah grafiknya Tentukan Rf a. f() =, untuk > f(4) = 4 = f() =, untuk f() = = - f() = +, untuk < - f(-) = (-) + = - Rf = y y R 4. Dari fungsi kuadrat f: a + b + c, nilai dari fungsi-fungsi f(0) =, f(-) = 6, dan f() = -. tentukan a, b dan 4

5 5. Ditentukan fungsi identitas B pada A = {-8, -4, -, 0,, 4, 6, 8}. a. Lengkapi daftar berikut! B() Gambarlah grafik B pada R! a B() Selidiki fungsi-fungsi berikut genap atau ganjil! a. f() = cos + f() = 5 sin f() = 4 d. f() = e. f() = 5 a. f() = cos + f(-) = cos (-) + = cos + f(-) = f() Jadi fungsi f() = cos + adalah fungsi genap. f() = 5 sin f(-) = 5 sin (-) = -5 sin f(-) = -f() Jadi fungsi f() = 5 sin adalah fungsi ganjil... d... e Ditentukan : A = {4, 9, 6, 5,.} B = {,, 4, 5,.} Suatu fungsi dari A ke B disajikan dengan rumus f:. Tunjukkan bahwa f: adalah fungsi bijektif. 5

6 f: A B dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = {(4, ), (9, ), (6, 4), (5, 5),.}. setiap b B mempunyai tetap satu kawan a A, atau a berkorespondensi satusatu dengan B atau f: A B bijektif. Soal-Soal Latihan A. Pilihlah jawaban yang tepat!. Grafik fungsi f() = y ditunjukkan oleh gambar. a. d. e.. Apabila diketahui f() =, grafik yang terbentuk merupakan fungsi. a. konstan d. campuran identitas e. kuadrat modulus. Fungsi h: R R ditentukan oleh h() =. Jika h(p) = 80, nilai p adalah. a. 80 d e Apabila fungsi linear f: ab + b, nilai fungsi f() = 4 dan f(-) = 5, nilai a dan b adalah. a. a = - ; b = d. a = - ; b = 4 a = ; b = - e. a = ; b = -4 a = 4 ; b = - 5. Fungsi h: A R, A = {,, 4, 6} ditentukan oleh h() = +. Range dari h adalah. a. {,, 4, 6} d. {6, 8, 0, } {, 6, 8, } e. {6, 8, 0, 4} {4, 8, 0, 4} 6. Grafik disamping merupakan grafik fungsi. a. f() = f() = + + f() = d. f() = e. f() = + 6

7 7. Grafik fungsi modulus ditentukan oleh gambar. a. d. e. 8. Fungsi f: R R ditentukan oleh f() =. Apabila = -, 0,, dan 5. anggota dari daerah asal yang mempunyai peta 56 adalah. a. {-} d. {5} {0} e. { } {} 9. Nilai-nilai dari sebuah fungsi kuadrat sebagai berikut. f(0) =, f(-) = 6, f() = -. Fungsi kuadrat tersebut adalah.. a. f() = 4 + d. f() = + f() = + 4 e. f() = + 4 f() = 0. Ditentukan suatu fungsi adalah sebagai berikut. -, untuk 4 g() =, untuk - 4, untuk - Nilai Rf untuk f(), f(-), f(5) adalah. y 4 y y - a. Rf = y d. Rf = Rf = y y R e. Rf = y y - Rf = y y 4. Fungsi ganjil ditunjukkan oleh. a. f() = 4 d. f() = 4 sin f() = 9 e. f() = 4 f() = cos. Diketahui fungsi f: R R dengan f() = + a 5. Jika f() =, nilai a adalah. a. d. 9 5 e. 7

8 6. Fungsi f: A B yang dinyatakan oleh diagram panah tersebut adalah fungsi. a. into d. surjektif onto e. bijektif injektif 4. Diagram panah yang menunjukkan fungsi bijektif adalah. a. d. e. 5. Perhatikan diagram panah berikut! Fungsi f: A B yang digambarkan oleh diagram panah disamping adalah fungsi. a. into d. injektif dan into onto e. bijektif injektif B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat!. Fungsi pada R ditentukan dengan f() = 6 a. Carilah (bila ada) f(0), f(), f( ), dan f(-7). Carilah bila f() ada. Ditentukan suatu fungsi sebagai berikut 4 untuk - f() = untuk - - untuk a. Tentukan f(0), f(), f(5) dan f(-) Gambarlah grafiknya Tentukan range fungsi (Rf) 8

9 . Apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya? a. f() = sin + cos f() = + sin 4 f() = 4. Ditentukan A = {,,, 4, 5} B = {, 4, 9, 5} Fungsi f: A B disajikan dengan aturan: f: n n, jika n ganjil f: n 4, jika n genap Tunjukkan bahwa fungsi f: A B adalah onto. 5. Fungsi h: R R didefinisikan dengan h() = p + q + r, p, q, dan r bilangan konstanta. Buktikan bahwa jika g() = h( + ) h(), fungsi g() merupakan fungsi linear! B. Aljabar Fungsi Dalam operasi bilangan, kita mengenal empat macam operasi yaitu +, -, dan :. Keempat macam operasi pengerjaan tersebut dapat kita gunakan pada operasi fungsi berikut ini.. Jumlah dan selisih dua fungsi menghasilkan fungsi lagi. (f + g) () = f() + g() dan (f g) () = f() g(). Dengan Df + g = Df Dg dan Df g = Df Dg. Perkalian dua fungsi menghasilkan fungsi (f g) () = f() g() dengan D f g = Df Dg. Pembagian sebuah fungsi dengan fungsi yang lain menghasilkan fungsi berikut. f f() () dengan Df/g = Df Dg, g() 0. g g() Contoh Soal. Fungsi konstan dan fungsi identitas. Fungsi konstan f: Fungsi identitas f: Jika kedua fungsi dijumlahkan, tentukan hasil operasi dua fungsi tersebut, kemudian gambarkan grafik untuk f: R R. f + f: + atau + Tabel untuk beberapa nilai adalah sebagai berikut. Nilai Fungsi

10 Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut.. Fungsi kuadrat dengan fungsi linear. f: + 4 f: 4 Tentukan selisih dua fungsi tersebut, kemudian gambarkan grafik untuk f: R R. f f: ( + 4) ( 4) f f: Tabel untuk beberapa harga sebagai berikut. Nilai Fungsi Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut.. Fungsi linear dengan fungsi linear f: + f: Tentukan hasil kali dua fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya. f f: ( + ) ( ) f f: 0

11 Tabel untuk beberapa harga sebagai berikut. Nilai Fungsi Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut. 4. Fungsi kuadrat dengan fungsi linear f: + f: f Tentukan dan gambarkan grafiknya. f f : atau f - y =, - ( -)( -) y =, - y = Tabel untuk beberapa harga adalah sebagai berikut. Nilai Fungsi

12 Grafik fungsi f: R R berdasarkan tabel adalah sebagai berikut. Soal-soal Latihan A. Pilihlah jawaban yang tepat!. Diketahui fungsi f: R R, g: R R, dan h: R R dengan f() = + dan g() = +. apabila h = f + g, fungsi h adalah. a. h() = + d. h() = - + h() = + 5 e. h() = + 5 h() = 5. Perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut diperoleh apabila fungsi kuadrat f() = dikurangkan dengan fungsi. a. f() = d. f() = + f() = e. f() = + f() = -. Diketahui f: R R, g: R R, h: R R dengan f() = 4 dan h() = + 4. Apabila h = f + g, fungsi g adalah. a. g() = + d. g() = + 4 g() = + 4 e. g() = + 4 g() = Diketahui f: R R, g: R R, h: R R dengan f() = - + dan g() 9. apabila h = 9 f, grafik fungsi h yang sesuai adalah. a. e. d.

13 5. Diketahui f: y f: 4 5 f: + f Apabila g =, fungsi g adalah. f a. g() = + d. g() = 5 g() = e. g() = 4 5 g() = Fungsi konstan f: 5 dikalikan dengan fungsi kuadrat g: - + diperoleh fungsi. a d e Fungsi kuadrat + dibagi dengan fungsi linear dihasilkan. a. d e. 8. Fungsi linear + dikalikan dengan fungsi linear 4 diperoleh fungsi. a. linear d. identitas konstan e. modulus kuadrat 9. Grafik berupa garis lurus dapat dihasilkan melalui perkalian dua fungsi, yaitu fungsi. a. kuadrat dengan fungsi kuadrat d. linear dengan fungsi konstan kuadrat dengan fungsi linear e. konstan dengan fungsi kuadrat linear dengan fungsi linear 0. Fungsi f: g() = y f: 4 f: 4 f Apabila g =, fungsi g adalah. f a. g() = d. g() = + 4 g() = + e. g() = g() = 4 B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat! Tentukan hasil operasi dua fungsi berikut, kemudian tunjukkan dengan grafik untuk f: R R!. Fungsi f() = ditambah dengan fungsi g() = -8.. Fungsi linear f() = + dikalikan fungsi konstan g() = -. Fungsi kuadrat f() = - dengan fungsi konstan g() =. 4. Fungsi identitas f() = dikurangi dengan fungsi linear g() = 5. Fungsi kuadrat f() = + dibagi dengan fungsi linear g() =

14 C. Fungsi Komposisi Pendalaman Materi Sebutir kerikil yang dijatuhkan kedalam air akan membentuk lingkaran-lingkaran pada permukaannya. Jari-jari lingkaran itu bertambah panjang mengikuti waktu, yang dirumuskan dengan r = 4t. masalahnya adalah, bagaimana hubungan luas lingkaran terhadap waktu? Misalkan L luas lingkaran, dan dirumuskan dengan L = r. Dikatahui bahwa r = 4t, maka L menjadi suatu fungsi komposisi dari waktu (t), yang dirumuskan: L = r = (4t) = 6t Dalam subbab ini kita akan mempelajari fungsi komposisi seperti dalam uraian masalah diatas. Fungsi komposisi atau fungsi komposit merupakan fungsi tunggal yang merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih. Jika f: A B dan g: B C, h: A C disebut fungsi komposisi dari f dan g ditulis g f. jadi, h() = g f() = g(f()). Contoh : Fungsi komposisi f g terdefinisi apabila Rg Df dengan pembatasan atau tidak dengan pembatasan anggota Dengan. Sifat komposisi fungsi sebagai berikut.. (f g) (g f). (f (g h) = ((f g) h) = (f g h). (f l) = (l f) = f; l adalah fungsi identitas. Contoh Soal!. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R ditentukan oleh rumus f() = dan g() =. Tentukan: a. (f g) (); (g f) () a. (f g) () = f(g()) = f( ) = (- ) = (g f) () = g(f()) = g( ) = ( ) = R ditentukan oleh. Diketahui f: R R ditentukan oleh f() = dan g: g() = -. Tunjukkan nilai yang mengakibatkan fungsi komposisi g f tidak terdefinisi. Untuk = f() = = 4

15 = 4 f(4) = 4 = 5 (g f) () = g(f()) = g( ) = ( - ) - = - 5 (g f) () = 5 = tidak terdefinisi (g f) (4) = 4 5 = Jadi, untuk = fungsi komposisi g f tidak terdefinisi.. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R dinyatakan dengan rumus f() =, g() =, dan h() = +. Tentukan : a. (h g f)() (f g h)() 4. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dengan f() = nilai fungsi komposisi (f g)(5). dan g() =. Tentukan - 5. Tunjukkan bahwa sifat komutatif pada kedua fungsi g() = dan h() = + tidak berlaku. 6. Jika g() = + dan fungsi komposisi (f g)() = 9 +, tentukan f(). Cara I (f g)() = 9 + f(g()) = 9 + f( + ) = 9 + = ( + ) 4 f() = 4 Cara II (f g)() = 9 + adalah fungsi kuadrat dan g() = + adalah fungsi linear, maka f() adalah fungsi kuadrat. Misal f() = a + b + c (f g)() = 9 + f(g()) = 9 + f( + ) = 9 + a( + ) + b( + ) + c = 9 + 9a + a + 4a + b + b + c = 9 + 9a + (a + b) + (4a + b + c) = 9 + Koefisien : 9a = 9 a = Koefisien : a + b = 4a + b = 4 a = b = 0 Suku bilangan tetap : 4a + b + c = c = 0 5

16 Jadi, f() = 4 c = -4 Soal-Soal Latihan A. Pilihlah Jawaban yang tepat!. Fungsi f: A B dan fungsi g: B C ditunjukkan oleh gambar berikut. Range dari g f adalah a. {a, b, c, d} d. {, 4, 5} {,,, 4,5} e. {k, m, n} {k, l, m, n, o}. Diketahui fungsi f: R R; g: R R, f() = dan g() = (g f)() =. - a. d. - - e. -. Diketahui fungsi f = {(, ), (, 5), (, ), (4, 5), (5, )} dan fungsi g = {(, 4), (, ), (, 4), (4, ), (5, )}. f: A B dan g: B C Himpunan Rf Dg pada komposisi g f adalah. a. {,,, 4, 5} d. {,, 4} {, 4} e. {, 5} {{,, 5} 4. Diketahui f() = + dan g() =. apabila (h g f)() =, h() adalah. a. d. + e. 5. Fungsi f: R R; g: R R; h: R R dinyatakan dengan rumus: f() = +, g() =, dan h() = +. Apabila (f g h)() =, nilai adalah. a. d. 4 e Diketahui fungsi f: R R; g: R R, dengan f() = 5 dan g() =. Nilai dari (f g)(-) adalah. a. - d e Diketahui fungsi f: R R; g: R R; h: R R dengan f() =, g() = + dan h() = 0 5. Apabila (f g)(), nilai adalah. a. - d e. 8 6

17 8. Diketahui fungsi f: R R; g: R R; h: R R dengan f() =, g() = 5, dan h() =. Nilai fungsi komposisi (f g h)() adalah. a. d. 8 e Apabila f: R R, f() =, R bilangan real dan l() = adalah fungsi identitas, (lf)(-) adalah. a. - d. 6 e Diketahui fungsi f: R R; g: R R dengan (f g)() = ( ). Apabila g() = +, nilai f(-) adalah. a. d. 8 6 e. 49 B. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!. Diketahui f: R R; g: R R, f() = - dan g() = +. Tentukan f(g()) dengan g(f()).. Diketahui fungsi f: {(, a), (5, b), (7, c)} dan fungsi g = {(q, ), (k, ), (l, ), (m, 4)}, f: A B dan g: B C. selidikikah fungsi komposisi g f terdefinisi atau tidak.. Diketahui fungsi f: R R; g: R R dan h: R R dengan f() = +, g() =, dan h() = +, tentukan nilai fungsi komposisi (f g h)() untuk = Jika f() dan l adalah fungsi identitas, tunjukkan bahwa f l = l f = f. 5. Diketahui fungsi f: R R; g: R R dengan (f g)() = ( + 4)( ) tentukanlah : a. Nilai g() jika f() = Nilai f(-) jika g() = + Soal Pengayaan. Jika f() = - a. (f g)(0) (f g)( 8 ) (g f)(0) dan g() = tentukan (jika mungkin) niali dari :. Jika f() = + dan g() = a. (f g)() (g f)(), tentukan rumus fungsi berikut dan daerah asalnya : - 7

18 . Dalam waktu tahun, sebuah perusahaan alat berat mampu menghasilkan unit mesin per tahun. Harga penjualan mesin per unit meningkat sesuai rumus P = Tuliskan rumus pendapatan tahunan dari perusahaan tersebut setelah tahun! 4. Pada pukul.00, pesawat A terbang kearah utara dengan kecepatan 400 km/jam. Satu jam kemudian pesawat B terbang kearah selatan dengan kecepatan 00 km/jam. Dengan mengabaikan kelengkungan bumi dan dianggap kedua pesawat terbang pada ketinggian yang sama, tentukan rumus J(t) yaitu jarak antara dua pesawat tersebut t jam setelah pukul.00. (terdapat dua rumus untuk J(t), yaitu untuk 0 t dan t > ) 5. Tuliskan f() = log sebagai suatu komposit dari empat fungsi. D. Fungsi Invers Pendalaman Materi Suatu fungsi f: y adalah himpunan pasangan berurutan (, y) sedemikian sehingga tidak ada dua pasangan berurutan (, y) yag memiliki nilai yang sama. Akan tetapi, beberapa pasangan berurutan (, y) tersebut mungkin memiliki nilai y yang sama. Jika pada suatu fungsi f tidak ada dua pasangan berurutan (, y) yang memiliki nilai y yang sama, maka terdapat suatu fungsi f - yang disebut fungsi invers. Jadi, misalkan f: X Y maka f - : Y X. Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi juga merupakan fungsi, invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula. Syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi invers adalah sebagai berikut. Fungsi f mempunyai invers jika dan hanya jika f fungsi bijektif (korespondensi satu-satu). Daerah hasil f adalah daerah asal f - dan daerah asal f adalah daerah hasil f -. Dalam menentukan fungsi invers f - suatu fungsi f, maka f harus terdefinisi agar nilai y yaitu peta dari oleh f ada. a b Jika f() =, f - () = c d - d b c - a Materi Pengayaan Jika suatu fungsi f tidak memiliki fungsi invers, kita dapat membatasi domainnya sehingga fungsi yang terbatas tersebut memiliki invers, misalnya fungsi f didefinisikan dengan y = 4 dengan domain - 0dan range y 0 y, maka tentukan f -, domain dan rangenya. Untuk menyelesaikannya kuadratkan kedua ruas persamaan sehingga diperoleh : 4y = 4. () akan tetapi perlu diingat bahwa kuadrat dan y = - 4 juga menghasilkan 4y = 4. Sekarang akan kita abaikan hal ini, dan menyelesaikan persamaan (), maka didapat : = + y. () Persamaan () ini bukanlah persamaan yang tepat, karena kita hanya dapat menggunakan satu tanda saja. Ingat bahwa domain f adalah - 0, artinya kita hanya dapat menggunakan tanda minus (-). Akibatnya fungsi invers f - adalah : 8

19 = - y Domain dari f - adalah y 0 y (Jika kita memiliki domain dari fungsi f adalah, dan rangenya adalah , maka f - tidak ada). Jika suatu fungsi f memiliki invers yang tidak dapat dirumuskan maka invers fungsinya tersebut dapat diberi sebuah nama baru dan menjadi fungsi yang sangat berguna. Misalnya fungsi f yang didefinisikan y = dengan domain - dan range y 0 Perhatikan bahwa grafik y = naik jika bertambah, dan tidak ada dua nilai yang menghasilkan nilai y yang sama sehingga f - ada. Masalahnya adalah kita tidak dapat menyelesaikan rumus dari terhadap y. fungsi f - menjadi suatu fungsi baru, yang dinamakan logaritma dari y dengan bilangan pokok atau = log y. Contoh Soal!. Diketahui fungsi f: R R dengan f() +. apakah invers fungsi f merupakan fungsi invers? f() +, misal y = f() y = + = y = + y - Dari y = +, jika y <, tidak ada Df yang dipetakan ke y < sehingga f tidak surjektif. Dari = + y -, jika y > mempunyai dua kawan, yaitu = y - sehingga f tidak injektif. Jadi, f tidak bijektif atau f - bukan merupakan fungsi invers.. Diketahui f: R R dirumuskan dengan f() = - a. Tentukan fungsi invers dari f Tentukan domain dan range dari f Tentukan p jika f - (p) = 5. Soal-soal latihan 4 A. Pilihlah Jawaban yang tepat!. 4 Fungsi invers dari f() adalah. - a. - 4 d. 4 - e

20 - 4. Jika f() =, fungsi inversnya yaitu f - () adalah. - a. - d. e Diketahui fungsi f: R R dirumuskan dengan f() =. Agar f - (k) =, nilai k adalah. a. d. 4 e Fungsi f: R R ditentukan oleh f() =. Agar fungsi tersebut terdefinisi, maka Rf 9 - adalah. 4 a. R d. R, R, e. R, R, 4 5. a b Diketahui fungsi f: R R dengan rumus f() =. Fungsi invers dari f adalah. p q a. f - p q () = d. f - b - q () = a b p - a f - p - q () = e. f - q b () = a - b a q f - b q () = p - a 6. Apabila f() =, f - (5) adalah. - 5 a. - d. 8 - e Fungsi invers dari f adalah f - () =, fungsi f adalah. a. d. - - e. + 0

21 8. Fungsi f: R R dirumuskan dengan f() =. a. - d. 4 e Fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah. a. f() = d. f() = + f() = e. f() = f() = + 0. Diketahui f: R R ditentukan f() = 5 -, maka. a. f - (-) = d. f - () = f - (-) tidak terdefinisi e. f - () = - f - (0) = 5 B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat!. Apabila f() = 4 +, tentukan : a. fungsi invers dari f nilai c jika f - (c) =. Tentukan fungsi inversnya! a. 5 f() = g() = 5 -. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan fungsi yang mempunyai invers. a. y = + y = y = - + d. y =, apabila f - (a) adalah, nilai a adalah 4. Diketahui f: R R dirumuskan dengan f() = Tentukan : a. fungsi invers dari f domain dan range dari f q jika f - (q) = 4-5. Diketahui fungsi f: R R dengan f() =. tunjukkan bahwa invers fungsi f bukan merupakan fungsi invers. E. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Pendalaman Materi Sama seperti fungsi yang lainnya, fungsi komposisi juga dapat ditentukan inversnya. Pengertian fungsi invers dari fungsi komposisi.

22 Jika fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h atau h = (f g), fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h - = (f g) - Rumus fungsi invers suatu fungsi komposisi dapat diperoleh :. langsung dari fungsi komposisinya. dengan mengkomposisikan fungsi-fungsi invers penyusunnya dengan membalik urutannya: (f g) - = g - f - (f g h) - = h - g - f - Perhatikan diagram berikut. Contoh soal. Diketahui f: R R dan g: R R ditentukan oleh f() = + dan g() = 5. tentukan fungsi invers dari fungsi h = (g f). Fungsi komposisi h() = (g f)() = g(f()) = g( + ) = 5 ( + ) = 6 h() = a a = 6 - a = 6 h - - a (a) = 6 h - - () = 6 Jadi, fungsi invers dari fungsi komposisi h() = (g f)() adalah (g f) - - () =. 6. Ditentukan f: R R dan g: R R yang dirumuskan f() = 4 dan g() = 5. Tentukan rumusan untuk : a. fungsi f - (); fungsi g - () fungsi (g f) - dan (f g) - Soal-soal latihan 5 A. Pilihlah jawaban yang tepat. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R yang ditentukan oleh f() =. Rumus untuk (g f) - () adalah. a. - d. 5 - e dan g() =

23 . Diketahui fungsi f() = adalah. a. - dan g() = Df = 0, R - d. e Rumus untuk (g f) - (). Diketahui fungsi f: R R dan g: R R yang dirumuskan dengan f() = - dan g() = 4. Jika peta dari (g f) - () =, nilai adalah. a. - d. - e Diketahui fungsi f: R R dan g: R R. Jika f() =, nilai (g f) - () - dan g() = adalah. a. - d. 0 e Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R; f() = +, g() = 5 dan h() = +. Rumus untuk (f g h) - () adalah. a. d. - e Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R didefinisikan dengan f() =, g() =, dan h() =. Rumus untuk (h g f) - () adalah. a d. e Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R didefinisikan dengan f() =, g() = 4, danm h() = + 5. nilai dari (g h f) - () adalah. 7 a. - d e Diketahui f, g, dan h adalah fungsi-fungsi pada R serta ditentukan f() = 5, g() = + 6, dan h() = 4. Jika peta dari (f g h) - () =, nilai adalah. a. -5 d e. - -

24 9. Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R serta ditentukan f() =, g() = dan h() =. Jika peta dari (f g h) - () =, nilai adalah. a. -8 d. 4-4 e Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R dengan f() = dan h() =. nilai dari (f g h)- (-) adalah. 5 a. - d. 4 7 e. 5, g() = - 5 B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat!. Fungsi f: R R ditentukan dengan rumus f() = 5 + dan g: R R ditentukan dengan rumus g() = 6 7. tentukan rumus untuk (f g) - ().. Diketahui (f g) - () = 7, tentukan f().. Jika f - dan g - berturut-turut adalah invers dari fungsi f dan fungsi g, dengan f() = + dan g() =, 0, tentukan : a. (f f - )() (g - g)() (f g) - () 4. Diketahui fungsi f: R R, g: R R dan h: R R yang didefiniskan dengan f() = 6, g() = +, dan h() =. Tentukan : a. (f g h)() (f g h) - () f - (), g - () dan h - () 5. Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R dengan f() = 4, g() = +, dan h() = 5. Tentukan nilai jika petanya oleh (h - g - f - ) adalah. 4

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar: BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. FUNGSI Definisi Fungsi Diketahui 2 buah himpunan A dan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke, ditulis f : A didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017 BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 15th March 2017 Ilham Saifudin (TM) BAB 2. FUNGSI 15th March 2017 1 / 24 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Fungsi

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B.

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. x Masukan Fungsi f

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu. Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I 177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat

Lebih terperinci

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :) Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut

Lebih terperinci

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

BAB V RELASI DAN FUNGSI

BAB V RELASI DAN FUNGSI BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

F U N G S I. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.

F U N G S I. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc. F U N G S I Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc Email: rahadiandimas@yahoo.com JURUSAN ILMU DAN TEKNOLOGI PANGAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA ...KONSEP DASAR Fungsi adalah suatu pemetaan dari satu

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

Penerapan Komposisi Fungsi Dan Invers Kehidupan Sehari-hari

Penerapan Komposisi Fungsi Dan Invers Kehidupan Sehari-hari Penerapan Komposisi Fungsi Dan Invers Kehidupan Sehari-hari Oleh kelompok 6 : Amrun Nasution Andri Fajar Irwanto Joko Saputro Muhammad Aziz F.R. Samsul Saputra Kelas XI IPA 1 Mata Pelajaran : Matematika

Lebih terperinci

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA

SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA PEMERINTAH PROVINSI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA SEKOLAH STANDAR NASIONAL (SSN) Jl. RA Fadillah Komp. Kopassus Cijantung Telp. 8400005,

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. PEMHSN 1. Fungsi ( pemetaan ) Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. Fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya reaksi binar

Lebih terperinci

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Bab 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mendeskripsikan konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,

Lebih terperinci

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi

Lebih terperinci

2.6 FUNGSI DAN RELASI

2.6 FUNGSI DAN RELASI 177 Bab 3 FUNGSI P ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke atas oleh seseorang. Secara tidak langsung ternyata anda telah memperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah fungsi yang

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a)

BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a) BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Sebagai contoh, harga barang tergantung pada banyaknya

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N Pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubuungan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Jika a A dan pasangannya b B, maka ditulis

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Contoh 4,19 Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunanj A ke himpunan B. Relasi mana yang merupakan fungsi?

Contoh 4,19 Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunanj A ke himpunan B. Relasi mana yang merupakan fungsi? C. Fungsi Perhatikan relasi anaknya dari himpunan anak-anak () ke himpunan ayahanyahnya () seperti yang ditunjukkan dengan diagram panah berikut. naknya jid Enal Naufal Nisa Muhsin Nawir Hamrun Hasan Gambar

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

Pengantar Analisis Real

Pengantar Analisis Real Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat *Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 01 (RPP 01)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN 01 (RPP 01) RENCN PELKSNN PEMELJRN 01 (RPP 01) Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester lokasi Waktu : SM Saraswati Singaraja : Matematika : X/Ganjil : 2 x 4 menit I. Standar Kompetensi: 2. Memecahkan masalah yang berkaitan

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci