BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

Transkripsi

1 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang. Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Topologi merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Beberapa sifat dari ruang topologi X bergantung kepada distribusi dari himpunan-himpunan terbuka dalam ruang topologi tersebut. Ruang topologi X disebut ruang Hausdorff atau ruang topologi terpisah jika setiap pasangan titik yang berbeda a dan b di X masing-masing termasuk ke dalam himpunan-himpunan terbuka yang disjoint. Dalam tugas akhir ini akan diberikan sifat yang harus dipenuhi pada suatu himpunan dalam ruang Hausdorff agar himpunan tersebut dikatakan kompak Permasalahan Berdasarkan uraian di atas permasalahan yang diambil dalam tugas akhir ini adalah bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah)?

2 Pembatasan Masalah Dari permasalahan yang dihadapi tersebut akan dikaji atau dipelajari bagaimana sifat himpunan-himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah) meliputi definisi-definisi, teorema serta bukti-bukti yang terkait dengan materi tersebut Tujuan Penulisan Tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah dapat mempelajari tentang sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah) Sistematika Penulisan Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari 4 bab yang dilengkapi oleh kata pengantar, daftar isi, daftar lampiran dan lampiranlampiran yang mendukung. Secara garis besar, sistematika pembahasan pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut : Bab I Pendahuluan, pada bab ini dikemukakan tentang latar belakang masalah pembuatan tugas akhir, perumusan masalah yang dihadapi di dalam menyusun tugas akhir, pembatasan masalah tugas akhir, tujuan tugas akhir dan sistematika pembahasan laporan tugas akhir yang menerangkan sekilas dari isi tiap bab yang terdapat pada laporan tugas akhir ini. Bab II Materi Penunjang, pada bab ini dibahas mengenai materi yang terkait dengan teori himpunan dan ruang topologi. Bab III Pembahasan, pada bab ini dibahas mengenai bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah). Bab IV Penutup, bab ini merupakan bab akhir laporan

3 3 yang memuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Selain itu juga dimuat mengenai saran-saran penulis untuk mengembangkan sistem pendukung keputusan dalam tugas akhir ini.

4 4 BAB II MATERI PENUNJANG Untuk mempermudah pemahaman pada bab selanjutnya, pada bab ini akan dibahas beberapa definisi, teorema dan contoh yang mendukung materi pokok. Bab ini terdiri dari dua subbab yaitu himpunan dan ruang topologi. Adapun untuk himpunan terdiri dari lima subbab yaitu : himpunan dan elemen, himpunan bagian (subset) dan superset, himpunan universal dan himpunan kosong, kelas, dan operasi-operasi pada himpunan. Sedangkan untuk ruang topologi terdiri dari 6 subbab yaitu : definisi ruang topologi, titik limit, himpunan tertutup, penutup dari himpunan, (tititk interior, titik eksterior, batas) dan (persekitaran dan sistem persekitaran). 2.1 Teori Himpunan Himpunan adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu himpunan adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu kumpulan dari obyek-obyek, dan biasanya dinotasikan oleh huruf besar,,,, Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu himpunan disebut elemen-elemen dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil,,,, Pernyataan adalah elemen dari atau termasuk di dalam dinotasikan oleh. Negasi dari ditulis dan ini berarti bukan elemen atau p tidak termasuk di dalam.

5 Himpunan, Elemen (unsur) Ada dua cara untuk menyatakan suatu himpunan yaitu (a) Bila mungkin semua elemennya ditulis (cara Roster), misalnya,,,, yaitu suatu himpunan yang elemennya huruf vokal (,,,, ). elemen yang satu dengan yang lainnya dipisahkan oleh tanda koma dan dituliskan di antara dua kurung kurawal {}. (b) Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan (cara Rule). Contoh:, 0 dibaca adalah himpunan dari sedemikian hingga adalah bilangan bulat dan x adalah lebih dari nol, yaitu bahwa adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Huruf menyatakan sebarang elemen dari, garis tegak dibaca sedemikian hingga, dan koma (,) sebagai dan. Contoh Himpunan B tersebut di muka dapat ditulis 1,2,3,. Catatan : 6, 3, dan. Contoh Misalkan = himpunan semua bilangan riil dengan dan dan. Berikut ini didefinisikan. Interval terbuka dari sampai (, ) :

6 6 Interval tertutup dari sampai, : Interval terbuka-tertutup dari sampai (, : Interval tertutup-terbuka dari sampai, ) : Interval terbuka-tertutup dan tertutup-terbuka disebut juga interval setengah terbuka. Dua himpunan dan dikatakan sama, ditulis, bila dan mempunyai elemen-elemen yang sama, yaitu bila setiap elemen dari termasuk di dalam dan setiap elemen termasuk di dalam. Negasi dari adalah. Contoh Misal 3 2 0, 2,1 dan 1,2,2,1, maka. Suatu himpunan disebut terhingga (finite), bila himpunan tersebut memuat n elemen yang berbeda, di mana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut himpunan tak hingga (infinite). Himpunan yang memuat tepat satu anggota disebut himpunan singelton (singleton) Subset, Superset Himpunan disebut subset dari ditulis bila dan hanya bila setiap elemen dari terdapat di dalam, atau adalah superset dari ditulis bila maka. Dapat dikatakan juga bahwa termuat di dalam

7 7 atau memuat. Negasi dari ditulis atau dan dinyatakan bahwa ada sedemikian hingga. Contoh Misal diketahui 1,3,5,7,, 5,10,15,20,, 2 = 3,5,7,11,, karena setiap bilangan prima yang lebih dari 2 adalah ganjil. Tetapi, karena 10, sedangkan 10. Contoh Misal adalah himpunan semua bilangan bulat positif, adalah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan semua bilangan rasional adalah himpunan semua bilangan riil Maka. Definisi Dua himpunan dan adalah sama bila dan hanya bila dan. Dalam hal tetapi dan, dikatakan bahwa adalah himpunan bagian murni dari atau memuat dan biasanya ditulis.

8 8 Teorema Bila, dan sebarang himpunan maka : (i) (ii) Bila dan maka Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Dalam teori himpunan, semua himpunan dibentuk oleh himpunan bagianhimpunan bagian dari suatu himpunan tetap. Himpunan tetap seperti itu disebut himpunan universal atau semesta pembicaraan dan di dalam tugas akhir ini himpunan universal dinotasikan dengan. Ada pula suatu himpunan yang tidak mempunyai elemen, dan himpunan ini disebut himpunan kosong, yang diberi notasi atau { }, yang merupakan himpunan terhingga dan merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jadi untuk sebarang himpunan,. Contoh Misal dipunyai 1 0, jika semestanya himpunan semua bilangan real maka persamaam tersebut tidak mempunyai penyelesaian tetapi jika semestanya himpunan semua bilangan komplek persamaan tersebut mempunyai penyelesaian. Contoh Bila 4, maka adalah himpunan kosong, atau.

9 9 Contoh Bila { }, maka, karena berisi satu anggota Kelas Terdapat suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan misalnya himpunan garis, garis sendiri merupakan himpunan dari tititk-titik. Himpunan yang elemennya terdiri dari himpunan-himpunan disebut kelas. Contoh Elemen dari kelas 2,3, 2, 5,6 adalah himpunan-himpunan 2,3, 2, dan 5,6. Contoh Misalkan adalah suatu himpunan. Himpunan kuasa dari, ditulis P ( ) atau 2 adalah kelas dari semua himpunan bagian dari. Jadi, bila,,, maka P ( ),,,,,,,,,, Umumnya, bila terhingga dengan elemen di dalamnya, maka P ( ) mempunyai 2 anggota Operasi-operasi pada himpunan Gabungan dari dua himpunan dan, ditulis, adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk ke dalam atau, yaitu

10 10 Irisan dari dua himpunan dan, ditulis, adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk di dalam dan, yaitu Bila, yaitu bila dan tak mempunyai elemen persekutuan, maka dan tak mempunyai elemen persekutuan, maka dan disebut lepas (disjoint) atau tak beririsan. adalah kelas dari himpunan-himpunan disebut kelas lepas (disjoint) dari himpunan-himpunan, bila tiap-tiap pasangan himpunanhimpunan yang berbeda di dalam adalah lepas. Komplemen relatif dari himpunan terhadap himpunan, atau selisih dan, ditulis, adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk tetapi tidak termasuk di, yaitu Dapat diketahui bahwa dan adalah lepas, yaitu ( ) Komplemen absolut atau disebut komplemen dari suatu himpunan, ditulis adalah himpunan yang elemen-elemennya bukan elemen dari, yaitu Dapat dikatakan pula bahwa adalah selisih dan. Teorema Untuk setiap,, berlaku hukum-hukum aljabar himpunan sebagai berikut:

11 Hukum sama kuat. 2..( ) ( ) Hukum Asosiatif. ( ) ( ) 3.. Hukum Komutatif. 4.. ( ) ( ) ( ) Hukum Distributif. ( ) ( ) ( ) 5.. Hukum Identitas a. Hukum komplemen b. c. ( ) d. =, 7. a. ( ) = Hukum De Morgan b. ( ) = Catatan: Tiap-tiap hukum di muka analogi dengan hukum-hukum logika.

12 12 Misalnya,. Pernyataan majemuk dan ditulis adalah equivalen logis dengan dan yaitu. Teorema Diberikan himpunan dan, bila dan hanya bila (i) (ii) (iii) (iv) (v) 2.2 Ruang Topologi Topologi dan Ruang Topologi Dalam subbab ini dibahas mengenai topologi dan ruang topologi yang merupakan dasar dari pembahasan berikutnya. Untuk lebih jelas diberikan definisi-definisi dan teorema yang mendukung dalam topologi sebagai berikut: Definisi Misal adalah suatu himpunan tidak kosong. Suatu kelas yang anggotanya himpunan bagian-himpunan bagian dari disebut topologi pada, bila dan hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut :

13 13 [0 1 ] dan termasuk dalam [0 2 ] Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari adalah anggota [0 3 ] Irisan dari dua himpunan anggota adalah anggota. Anggota-anggota dari disebut himpunan-himpunan terbuka, dan bersama yaitu (, ) disebut ruang topologi. Catatan : Untuk penulisan ruang topologi (, ) secara umum cukup ditulis dengan kecuali topologinya ingin ditonjolkan. Contoh-contoh topologi Contoh Topologi biasa (usual topology) pada himpunan semua bilangan riil = Himpunan semua bilangan riil τ:, 0 (, ) Akan ditunjukkan bahwa (, ) adalah ruang topologi disebut topologi biasa (usual topologi). 1. karena, jika, 0 sehingga (, ), implikasi ini bernilai benar sebab antisidennya bernilai salah. Dimana sebab, 0 (, ). 2., akan ditunjukkan G. U i I i

14 14 G i i I Ambil sebarang U (x δ, x δ) G. Jadi (x δ, x δ) G U untuk suatu i I 0 sehingga G i i I. Jadi U i I G τ. 3. Jika, maka sebab untuk sebarang 0 sehingga (, ). 0 sehingga (, ). min(, ) (, ) (, ). (, ) (, ). Jadi (, ). Contoh Misalkan,,,,.,, masing-masing himpunan bagian dari 2. Manakah yang merupakan topologi pada X, bila,,,,,,,,,,,.,,,,,,,,,,,.,,,,,,,,,,,,. Jawab : adalah topologi pada, karena memenuhi ketiga sifat (aksioma) diatas. bukan topologi pada, karena himpunan dan,, merupakan elemen tetapi,,,,,.

15 15 bukan topologi pada, karena himpunan,, dan,,, merupakan elemen tetapi,,,,,,. Contoh Misal adalah kelas dari semua himpunan bagian dari, atau 2. Maka adalah topologi pada, karena memenuhi [0 1 ], [0 2 ], [0 3 ]. disebut topologi diskrit, dan (, ) disebut ruang topologi diskrit, atau secara singkat disebut ruang diskrit. Contoh Dari aksioma [0 1 ], suatu topologi pada harus memuat himpunan dan. Kelas, yang hanya memuat dan adalah topologi pada., disebut topologi indiskrit, dan (, ) disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit. Contoh Diberikan himpunan tak hingga, topologi pada didefinisikan dengan, jika hanya jika atau = berhingga. Akan ditunjukkan bahwa topologi pada : (i) dan termasuk dalam. Bukti : Dari Definisi sudah diketahui bahwa dan termasuk dalam.

16 16 (ii) Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari adalah anggota. Bukti : Diketahui bahwa, maka atau = berhingga maka atau = berhingga, selanjutnya atau ( ) = Karena dan berhingga maka ( ) = juga berhingga jadi. (iii) Irisan dari dua himpunan anggota adalah anggota. Bukti : Diketahui bahwa, maka atau = berhingga, selanjutnya maka atau = Karena dan berhingga maka ( ) = juga berhingga jadi. Maka topologi tersebut disebut topologi kofinit. Teorema Jika τ τ topologi pada maka irisan τ τ juga merupakan topologi pada. [01]., τ τ, karena, τ dan, τ.

17 17 [03]. Bila, τ τ, maka, τ, dan, τ. Karena τ dan τ topologi pada, τ dan τ jadi τ τ. [02]. Bila, τ τ, maka, τ dan, τ karena τ dan τ topologi pada, maka τ, τ, jadi τ τ. Dalam contoh berikut ditunjukkan bahwa gabungan dari topologi-topologi belum tentu topologi. Contoh Diberikan topologi pada,, dengan Kelas-kelas =,, dan =,, Diketahui bahwa =,,, bukan topologi pada, karena,, tetapi =,. Bila adalah himpunan terbuka yang memuat titik, maka disebut lingkungan terbuka dari p atau persekitaran terbuka dari, dan tanpa yaitu disebut persekitaran terbuka terhapuskan dari Titik Limit ( ) Misal adalah ruang topologi. Suatu titik disebut titik limit dari himpunan bila dan hanya bila setiap himpunan terbuka yang memuat, memuat suatu titik anggota yang berbeda dengan, atau bila terbuka,, maka ( ) ).

18 18 Himpunan dari titik-titik limit dari ditulis dan disebut set derive dari. Contoh ,,,, dengan =,,,,,,,,,,, dan =,,. Perhatikan bahwa adalah titik limit dari, karena himpunan-himpunan terbuka yang memuat yaitu dan {,,, masing-masing memuat titik dari yang berbeda dengan yaitu. Tetapi titik bukan titik limit dari, karena himpunan terbuka, tidak memuat titik dari yang berbeda dengan. Dengan cara yang sama dan adalah titik limit dari sedangkan bukan titik limit dari. Jadi =,, yang disebut set derive dari. Contoh Misal ruang topologi indiskrit yaitu (, ) dengan =,. Maka adalah himpunan terbuka yang memuat sebarang. Jadi p adalah titik limit dari setiap himpunan bagian dari, kecuali himpunan kosong dan himpunan. Jadi, himpunan dari titik-titik limit dari yaitu adalah: ' A = c {p} X, bila A φ, bila A = φ = X- {p}, b ila A = {p} memuat dua titik ata u lebih

19 19 Bukti : = untuk = =, jadi bukan titik limit, Jadi q X, q p merupakan titik limit = Jika memuat dua atau lebih elemen Misal, maka sebab jika,,, maka, jadi merupakan titik limit jadi = Himpunan tertutup Misal adalah ruang topologi. Himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup bila dan hanya bila adalah himpunan terbuka.

20 20 Contoh Diberikan himpunan,,,, dengan kelas,,,,,,,,,,, himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari adalah,,,,,,,,,,, adalah komplemen komplemen dari himpunan bagian terbuka dan tertutup dari, sedangkan, bukan himpunan bagian terbuka dan bukan himpunan bagian tertutup dari. Contoh Misal adalah ruang diskrit yaitu setiap himpunan bagian dari adalah terbuka. Maka setiap himpunan bagian dari adalah juga tertutup, karena komplemennya selalu terbuka. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian dari adalah terbuka dan tertutup. Diketahui bahwa =, untuk setiap himpunan bagian dari, maka diperoleh proposisi berikut: Teorema Dalam ruang topologi, himpunan bagian dari adalah terbuka bila dan hanya bila komplemennya tertutup. Aksioma [0 1 ], [0 2 ], dan [0 3 ] dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut :

21 21 Teorema Bila ruang topologi, maka kelas dari himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari memilki sifat-sifat berikut : (i) dan adalah himpunan himpunan tertutup (ii) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (iii) Gabungan dari dua himpunan tertutup adalah tertutup Bukti: Misal adalah ruang topologi dan = kelas himpunan bagian tertutup dari memiliki sifat: (i) dan adalah anggota Sebab sehingga = dimna dan terbuka. (ii), maka,, tertutup terbuka τ terbuka τ Jadi ( ) = terbuka maka tertutup (iii), maka, tertutup terbuka τ terbuka τ Jadi ( ) = terbuka maka A B tertutup

22 Penutup dari Himpunan Misal himpunan bagian dari ruang topologi. Penutup dari, ditulis atau adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat. Dengan kata lain, bila adalah kelas dari semua himpunan bagian tertutup dari yang memuat, maka = i F i. Dapat diketahui bahwa adalah tertutup, karena adalah irisan dari himpunan-himpunan tertutup. Selanjutnya juga, adalah superset tertutup terkecil dari, dengan demikian, bila adalah himpunan tertutup yang memuat, maka. Berdasarkan hal tersebut, himpunan adalah tertutup bila dan hanya bila, dan diperoleh pernyataan berikut : Teorema Bila penutup dari himpunan, maka (i) adalah tertutup (ii) Bila superset tertutup dari, maka ; dan (iii) adalah tertutup bila dan hanya bila = Bukti : (i) = i I Fi, himpunan tertutup memuat, karena irisan dari himpunan tertutup adalah tertutup maka tertutup. (ii), tertutup, (iii) Jika tertutup, jadi.

23 23 Contoh Diberikan himpunan,,,, dan,,,,,,,,,,, dengan kelas himpunan tertutup dari adalah,,,,,,,,,,,. Dari definisi diatas diperoleh,,,,,,,,. Contoh Misal adalah ruang topologi kofinit, yaitu komplemen dari himpunan-himpunan terbuka. Maka himpunan-himpunan tertutup dari topologi tersebut adalah himpunan bagian - himpunan bagian terhingga dari dengan. Jadi bila terhingga, penutup adalah sendiri, karena tertutup. Sebaliknya, bila tak hingga, maka adalah superset tertutup dari ; jadi adalah. Selanjutnya, untuk suatu himpunan bagian dari ruang kofinit, maka = A = A bila A X bila A terhingga tak hingga Penutup dari suatu himpunan dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik limit dari himpunan tersebut sebagai berikut :

24 24 Teorema Diberikan ruang topologi jika, maka =. Bukti : Andaikan dan ini berarti terdapat yang mana terdapat persekitaran yang tidak beririsan dengan. Misal : persekitaran terbuka dari dan tidak beririsan dengan. Ini berarti = sehingga c tertutup. Jadi c merupakan himpunan tertutup yang memuat. Dari definisi (irisan semua himpunan tertutup yang memuat ) maka pasti memuat atau c. Jadi didapatkan c sedangkan berarti c. Merupakan kontradiksi jadi pengandaian salah Jadi.

25 25 Teorema Bila himpunan bagian dari ruang topologi, maka penutup dari adalah gabungan dari dengan, yaitu dimana himpunan semua titik limit dari. Bukti : Ambil sebarang (menurut Teorema diatas) setiap persekitaran beririsan dengan maka atau jika, maka titik limit ( ) Jadi maka. Jika maka setiap persekitaran x beririsan dengan sehingga jadi =. Teorema Misal ruang topologi, tertutup jika hanya jika memuat semua titik limit dengan kata lain tertutup jika hanya jika. Bukti : Dari teorema point (iii) dan teorema diatas diperoleh : Untuk tertutup jika hanya jika = jika hanya jika.

26 26 Contoh Diberikan himpunan semua bilangan rasional. Di dalam topologi biasa untuk, setiap bilangan real adalah titik limit dari sebab, 0, ( ) berarti, maka =. Jadi penutup dari adalah himpunan semua bilangan real, yaitu =. Definisi Himpunan bagian dari ruang topologi disebut padat (dense) dalam, bila termasuk dalam penutup, yaitu. Khususnya, adalah padat dalam atau himpunan bagian padat dari bila dan hanya bila. Contoh Diberikan himpunan =,,,, dengan kelas,,,,,,,,,,, himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari adalah,,,,,,,,,,,. Dapat diketahui bahwa {, = dan {, = {,,,. Jadi himpunan, adalah himpunan bagian padat dari, tetapi himpunan, bukan himpunan bagian padat dari.

27 27 Teorema Diberikan ruang topologi dan,, maka memenuhi : (i) = (ii) (iii) (iv) ( ) Bukti : Untuk point (iii) dimana = A A =, = (A B) (A B) (A B) = A B ( ) maka adalah titik limit 0, 0 ( ) 0, (0 ) (0 ) 0, (0 ) (0 0 dan 0

28 28 Jadi ( ) maka atau 0, 0 atau 0, 0 0, (0 ) (0 ) 0, 0 ( ), ( ) Jadi ( ) Jadi ( ) Jadi = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) =.

29 Titik Interior, Eksterior dan Batas Titik Interior Misal himpunan bagian dari ruang topologi. titik disebut titik interior dari, bila p termasuk himpunan terbuka himpunan bagian dari, yaitu, himpunan terbuka. disebut interior dari. Himpunan dari titik-titik interior dari, ditulis int( ), 0 A atau Misal: Diberikan ={,,,,,,,,,,,,,,, =,, =, Interior dari dapat dinyatakan sebagai berikut : Teorema Interior dari himpunan adalah merupakan gabungan dari semua himpunan bagian terbuka dari atau : himpunan semua titik interior : U G a a A : himpunan terbuka yang memuat dan,. : { G G τ,a G A,a A} a a Selanjutnya juga bahwa : (i) adalah terbuka a

30 30 (ii) himpunan bagian terbuka terbesar dari ; yaitu bila himpunan bagian terbuka dari maka ; dan (iii) adalah terbuka bila dan hanya bila Bukti : (i) : U G a a A karena terbuka maka terbuka. (ii) himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam, yaitu jika dan terbuka, maka. (iii) terbuka bila hanya bila. Jika maka terbuka karena himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam. Jelas jika terbuka maka Jadi Titik Eksterior Eksterior dari ditulis eks ( ), adalah interior dari komplemen, yaitu ( ). atau titik eksterior,, jika p merupakan titik interior. Himpunan semua titik eksterior ( ) ( ) ( ) 0.

31 31 Contoh =,, =, ( ) ( ) Contoh ,2) 3 ( ) ( ) (, 1) 2,3) (3, ) ( ) ( ) = (, 1) (2,3) (3, ). Contoh Dipunyai titik,,,,,,, = = ( ) ( ) = ( ), Batas Batas dari, ditulis ( ), adalah himpunan dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari. Contoh : =,,,,,,,,,,,,,

32 32 =,, =, ( ) ( ) = ( ) ( ) =,. Contoh : =, = topologi biasa = (1,2 3 = (1,2) ( ) = (, 1) (2,3) (3, ) ( ) = 1,2,3. Berikut ini hubungan titik interior, titik eksterior, dan batas. Teorema Misal himpunan bagian dari ruang topologi. Maka penutup dari adalah gabungan dari interior dan batas dari, yaitu = ( ). Contoh : Diberikan, di dan interval interval,,, yaitu,, (, ) (, dan, ) dimana dan adalah titik-titik akhir.

33 33 = a b,, ( ) (, ) = a b (, ), (, ) ( ) (, ) = a b (,, (, ) ( ) (, ) = a b, ), (, ) I ( ) (, ) Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ),, = ( ), = ( ), = ( ), = D 0 ( ), Persekitaran dan Sistem Persekitaran Misal p adalah titik di ruang topologi. Suatu himpunan bagian dari disebut persekitaran dari jika dan hanya jika adalah suatu superset dari himpunan terbuka yang memuat yaitu : dengan himpunan terbuka

34 34 Kelas dari semua persekitaran dari, ditulis, disebut sistem persekitaran dari. Contoh : Misal diberikan himpuan,,, dengan topologi τ : {, X, {b,c}, {c,d}, {c}, {b,c,d}} dan. = =,,,,,,,, =,,,,,,,,,,,,, Misal dipunyai himpunan,,, bukan merupakan persekitaran dari titik, tetapi merupakan persekitaran dari titik dan karena memuat himpunan terbuka dari topologi tersebut., bukan persekitaran karena,, bukan persekitaran karena tidak ada himpunan terbuka yang memuat dalam himpunan,,. {, merupakan persekitaran. Jika persekitaran, maka ( ). Untuk suatu sistem persekitaran dari suatu titik ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proposisi berikut, yang disebut aksioma persekitaran, seperti berikut :

35 35 Teorema Misalkan adalah ruang topologi dan. (i) dan termasuk ke dalam tiap anggota ( jadi jika, maka (ii) Irisan dari dua anggota termasuk. Bukti : Jika,, sehingga A B sehingga 2 dengan jadi. (iii) Setiap superset dari anggota termasuk. (Jika dan maka ) Bukti: Misal dan, A himpunan terbuka dimana. Jadi. (iv) Tiap anggota adalah superset dari anggota dengan adalah persekitaran dari tiap-tiap titik dari yaitu untuk tiap. Bukti :, jika hanya jika terbuka. Jika maka himpunan terbuka sehingga superset dari maka dan untuk.