URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN

Transkripsi

1 Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan Limit Barisan 7.1 Definisi Suatu barisan bilangan real ( barisan di R ) adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan asli N dan mempunyai range yang termuat di himpunan bilangan real R. 7.2 Definisi Misalkan X = (x n ) dan Y = (y n ) masing-masing adalah barisan bilangan real. Berturut-turut didefinisikan jumlah, selisih, dan perkalian barisan: X + Y = ( x n + y n n N ), X - Y = ( x n - y n n N ), dan X. Y = ( x n y n ), n N Jika c R, didefinisikan cx = (cx n n N ). Jika Z = (z n ), barisan bilangan real dengan z n 0 untuk setiap n N, maka didefinisikan hasilbagi barisan X dan Z adalah barisan X/Z = (x n /z n n N ). 7.3 Definisi Misalkan X = (x n ) adalah suatu barisan bilangan real. Suatu bilangan real x disebut limit dari (x n ) jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat suatu bilangan asli K( ) sehingga untuk semua n terletak pada lingkungan- dari x ( V (x) ). 7.4 Teorema ( Keunikan Limit Barisan ) Limit suatu barisan bilangan real ( jika ada ) adalah unik. 7.5 Teorema Misalkan X = (x n ) barisan bilangan real, dan x R. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (a) X konvergen ke x. K( ), x n 1

2 (b) Untuk setiap lingkungan- V ( x ), terdapat suatu bilangan asli K( ) sehingga untuk semua n K( ), x n terletak pada V ( x ). (c) Untuk setiap > 0 terdapat suatu bilangan asli K( ) sehingga untuk semua n K( ), x n memenuhi x n - x <. (d) Untuk setiap > 0 terdapat suatu bilangan asli K( ) sehingga untuk semua n K( ), x n memenuhi x - < x n < x Definisi Jika X = (x1, x2,, xn, ) adalah barisan bilangan real dan jika m bilangan asli yang diberikan, maka ekor-m dari X adalah barisan X m = ( x m + n n N ) = ( x m + 1, x m + 2, ) 7.7 Teorema: Misalkan X = ( x n n N ) barisan bilangan real dan m N. Barisan ekor-m X m = ( x m + n n N ) dari X konvergen jika dan hanya jika barisan X konvergen. Dalam kasus ini, lim X m = lim X. 7.8 Teorema Misalkan A = (a n ) dan X = (x n ) masing-masing barisan bilangan real dan x R. Jika untuk suatu C > 0 dan suatu m N berlaku: x n - x C a n untuk setiap n N, n m, dan jika lim (a n ) = 0, maka lim (x n ) = x. 8. Teorema Limit Barisan 8.1 Definisi Suatu barisan bilangan real X = (x n ) disebut terbatas jika dan hanya jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga x n M untuk setiap n N. 8.2 Teorema Suatu barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas. 8.3 Teorema (a) Jika X = (x n ) dan Y = (y n ) masing-masing adalah barisan bilangan real dan berturut-turut konvergen ke x dan y, dan misalkan c R, maka barisan-barisan X + Y, X Y, X.Y, dan cx berturut-turut konvergen ke x + y, x y, x.y, dan cx. 2

3 (b) Jika X = (x n ) konvergen ke x dan Z = (z n ) barisan bilangan real yang 8.4 Teorema tidak nol konvergen ke z ( z konvergen ke x/z. 0 ), maka barisan hasil bagi X/Z Jika X = ( x n ) suatu barisan bilangan real yang konvergen dan jika x n 0 untuk setiap n N, maka x = lim ( x n ) Teorema Jika X = (x n ) dan Y = (y n ) masing-masing barisan bilangan real yang konvergen dan x n y n, untuk setiap n N, maka lim (x n ) lim (y n ). 8.6 Teorema Jika X = (x n ) barisan bilangan real yang konvergen, a, b R dan a x n b, untuk setiap n N maka a lim (x n ) b. 8.7 Teorema Apit Misalkan X = (x n ), Y = (y n ) dan Z = (z n ) masing-masing barisan bilangan real dan x n y n z n, untuk setiap n N. Jika lim (x n ) = lim (z n ), maka Y = (y n ) konvergen dan lim (x n ) = lim (y n ) = lim (z n ). 8.8 Teorema Jika barisan X = ( x n ) konvergen ke x, maka barisan ( x n x ) konvergen ke 8.9 Teorema Jika barisan X = ( x n ) konvergen ke x dan x n 0, maka barisan ( x n ) konvergen ke x Teorema Misalkan ( x n ) suatu barisan bilangan real positif sehingga lim ( x n + 1 /x n ) = L. Jika L < 1, maka barisan ( x n ) konvergen dan lim ( x n ) = 0. 3

4 9. Barisan Monoton 9.1 Definisi Misalkan X = ( x n ) suatu barisan bilangan real. Barisan X disebut naik jika memenuhi ketidaksamaan ungkapan lain x 1 x 2 x n x n + 1 atau dengan x n x n + 1 untuk setiap n N Barisan X disebut turun jika memenuhi ketidaksamaan ungkapan lain x 1 x 2 x n x n + 1 atau dengan x n x n + 1 untuk setiap n N Barisan X disebut monoton jika barisan itu naik atau turun ( tidak keduanya ) Teorema Konvergensi Monoton Suatu barisan bilangan real monoton adalah konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Selanjutnya: (a) Jika X = (x n ) barisan naik terbatas, maka lim (x n ) = sup { x n n N } (c) Jika Y = (y n ) barisan turun terbatas, maka lim (y n ) = inf { y n n N } 4

5 5