Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)"

Widyawati Sasmita
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA (Pertemuan Minggu I)

2 Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian Bilangan Kompleks 3 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks

3 Pendauhuluan Di dalam sistem bilangan real R, x = 0 (1) tidak mempunyai penyelesaian. Diperlukan sistem yang lebih besar dari R sehingga persamaan (1) mempunyai penyelesaian. Sistem yang dimaksud, selanjutnya akan dikenal sebagai sistem bilangan kompleks, harus mempunyai kejadian khusus (model) sistem bilangan real. Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifat-sifat aljabar dan sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R. Di samping itu, akan dibicarakan pula bentuk kutub, pangkat dan akar bilangan kompleks, dan pengertian-pengertian topologis di dalam sistem bilangan kompleks.

4 Pengertian bilangan kompleks Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan z = (x, y) (2) dengan x, y R. x dan y pada persamaan (2) masing-masing dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari z, dan ditulis x = Re(z) dan y = Im(z) Himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi, C = {(x, y) : x, y R} Bilangan kompleks berbentuk (0, y) disebut bilangan imajiner (khayal) murni.

5 Pengertian bilangan kompleks Ada korespondensi 1-1 antara R dengan {(x, 0) : x R} C. Oleh karena itu, sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C. Mengingat hal tersebut, setiap bilangan real x dapat disajikan sebagai (x, 0)

6 Operasi Alajabar Pada Bilangan Kompleks Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi, (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 y 1 = y 2 Diberikan dua bilangan kompleks z 1 = (x 1, y 1 ) dan z 2 = (x 2, y 2 ). Operasi penjumlahan z 1 + z 2 dan operasi perkalian z 1 z 2, masing-masing didefinisikan sebagai berikut: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (3) (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (4)

7 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Khususnya, untuk bilangan-bilangan kompleks (x 1, 0) dan (x 2, 0) (yang notabene merupakan bilangan real), diperoleh (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0) (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0), yang tidak lain merupakan operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real.

8 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Berdasarkan operasi jumlahan sebagaimana didefinisikan di awal, mudah dipahami bahwa (x, y) = (x, 0) + (0, y) (5) Karena R C, maka setiap k R dapat dinyatakan sebagai (k, 0) = k. Akibatnya, untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y) dan k R, berlaku k(x, y) = (k, 0)(x, y) = (kx, ky) Selanjutnya, apabila dinotasikan (0, 1) = i, maka berdasarkan persamaan (5) bilangan kompleks z = (x, y) dapat pula dituliskan sebagai z = (x, y) = x + iy

9 Operasi Alajabar Pada Bilangan Kompleks Seperti halnya di dalam R, untuk sebarang n N dan z C, didefinisikan Selanjutnya, diperoleh z 2 = zz, z 3 = zz 2, z 4 = zz 3,..., z n = zz n 1 i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0), atau, dengan kata lain i 2 = 1

10 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Menggunakan definisi penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, dapat dibuktikan teorema berikut. Theorem Untuk sebarang z, z 1, z 2, z 3 C berlaku i. Hukum komutatif: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 dan z 1 z 2 = z 2 z 1. ii. Hukum assosiatif: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) dan (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). iii. Hukum distributif: z(z 1 + z 2 ) = zz 1 + zz 2.

11 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y), berlaku: (0, 0) + (x, y) = (x, y), dan (6) (1, 0)(x, y) = (x, y) (7) Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0, 0) = 0, dan ada elemen identitas terhadap perkalian, yaitu (1, 0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z C, z + 0 = z dan z.1 = z Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya.

12 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Selanjutnya, untuk sebarang (x, y) C, maka ( x, y) C dan berlaku (x, y) + ( x, y) = (0, 0) Jadi, untuk sebarang z C terdapat (dengan tunggal) z C sehingga z + ( z) = 0 (8) Berdasarkan (8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan kompleks, yaitu z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ) (9) Jadi, apabila z 1 = (x 1, y 1 ) dan z 2 = (x 2, y 2 ), maka z 1 z 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 )

13 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Example Tentukan penyelesaian persamaan z 2 2z + 2 = 0. Penyelesaian: Misalkan z = (x, y), maka z 2 2z + 2 = 0 (x, y)(x, y) 2(x, y) + 2 = 0 (x 2 y 2 2x + 2, 2xy 2y) = 0 x 2 y 2 2x + 2 = 0 (I) dan 2xy 2y = 0 (II)

14 Dari (II) diperoleh x = 1 atau y = 0. Untuk y = 0, maka (I) menjadi x 2 2x + 2 = 0 Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian real karena diskriminannya negatif. Sedangkan untuk x = 1, maka (I) menjadi 1 y 2 = 0 y = ±1 Jadi, z = (1, 1) atau z = (1, 1).

15 Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y) 0, maka x y (, ) C, dan berlaku x 2 +y 2 x 2 +y 2 x (x, y)( x 2 + y 2, y x 2 ) = (1, 0) + y 2 Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z 0 terdapat (dengan tunggal) z 1 C, yaitu z 1 x y = (, ) sehingga x 2 +y 2 x 2 +y 2 zz 1 = 1 (10) Dengan kata lain, setiap bilangan kompleks tak nol mempunyai invers.

16 Berdasarkan persamaan (10), dapat didefinisikan operasi perbagian pada bilangan kompleks, yaitu z 1 z 2 = z 1.z 1 2, z 2 0 (11)

17 Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam pernyataan berikut. Theorem Untuk sebarang z 1, z 2 C: z 1 z 2 = 0 jika dan hanya jika z 1 = 0 atau z 2 = 0. Bukti:( ) : Diketahui z 1 z 2 = 0. Apabila z 1 0, maka terdapat z 1 1 C sehingga z 1 1 z 1 = 1. Selanjutnya, diperoleh z 2 = 1.z 2 = (z 1 1 z 1)z 2 = z 1 1 (z 1z 2 ) = z = 0 ( ) : Mudah ditunjukkan.

18 Dengan adanya teorema di atas, maka Contoh terdahulu dapat diselesaikan dengan cara melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut, yaitu: z 2 2z + 2 = 0 (z 1) = 0 (z 1 + i)(z 1 i) = 0 z = 1 i atau z = 1 + i

19 Apabila di dalam (11) diambil z 1 = 1, maka diperoleh 1 z 2 = z 1 2 (12) sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai z 1 z 2 = z 1 ( 1 z 2 ), z 2 0

20 Karena untuk sebarang z 1, z 2 0 berlaku maka (z 1 z 2 ) 1 = (z 1 diperoleh (z 1 z 2 )(z 1 1 z 1 2 ) = (z 1z 1 1 )(z 2z 1 2 ) = 1 1 z 1 2 ). Berdasarkan persamaan (12) 1 z 1 z 2 = ( 1 z 1 )( 1 z 2 ), z 1, z 2 0 (13) Selanjutnya, mudah dipahami z 1 + z 2 z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 ; z 1 z 2 z 3 z 4 = ( z 1 z 3 )( z 2 z 4 ), z 3, z 4 0

21 Example 1 ( 2 i )( i ) = 1 (2 i)(3 + 2i) = i 1 = ( 8 + i )(8 i 8 i ) = 8 i 65 = i

dokumen-dokumen yang mirip

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan