Teorema Pemetaan Buka

Transkripsi

1 dan Lemma Schwarz

2 dan Lemma Schwarz dan Lemma Schwarz

3 dan Lemma Schwarz Peta dari sebuah himpunan buka terhadap pemetaan analitik yang tidak konstan senantiasa buka. Misalkan f : C C suatu fungsi analitik yang tidak konstan. Misalkan pula bahwa U C adalah sebuah himpunan buka. Maka himpunan: V = f (U) = {f (z) z U} juga merupakan himpunan buka.

4 dan Lemma Schwarz Lemma Schwarz Misalkan f analitik di cakram satuan, dan f 1 di sana dengan f (0) = 0. Maka: 1. f (z) z 2. f (0) 1. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika f (z) = e iθ z

5 dan Lemma Schwarz Bukti Lemma Schwarz Pandang fungsi: Perhatikan bahwa g(z) = { f (z) z 0 < z < 1 f (0) z = 0 g(z) = f (z) z 1 r. pada lingkaran berjari-jari r. Jika r 1, maka Lemma terbukti.

6 dan Lemma Schwarz Pemetaan Bilinear Fungsi analitik di cakram satuan dan terbatas oleh satu di sana dapat dinyatakan oleh pemetaan bilinear: dengan α < 1. Misalkan B α (z) = z α 1 αz, B = {B α (z) α < 1}.

7 dan Lemma Schwarz Perhatikan bahwa α < 1 berakibat 1/α > 1 z. Jadi 1 αz 0. Jadi B α analitik di seluruh z 1

8 dan Lemma Schwarz Perhatikan bahwa α < 1 berakibat 1/α > 1 z. Jadi 1 αz 0. Jadi B α analitik di seluruh z 1 Perhatikan pula bahwa: ( ) ( ) z α z α B α 2 = = 1, 1 αz 1 αz jika z = 1.

9 dan Lemma Schwarz Contoh 1 Misalkan f adalah fungsi analitik yang terbatas oleh 1 di cakram satuan dengan f ( 1 2 ) = 0. Kita ingin mencari batas untuk f ( 3 4 ). Pandang: h(z) = f (z)(1 1 2z). Misalkan h(z) h( 1 2 ) g(z) = z 1 z h ( 1 2 ) z = 1 2 Misalkan pula: B 1 2 = z z.

10 dan Lemma Schwarz Dalam f : g(z) = f (z) (z) B 1 2 z f ( 1 2 ) z = 1 2 Maka g analitik di z 1 dan g 1. Jadi z 1 2 f (z) z. Jadi: f ( )

11 dan Lemma Schwarz Contoh 2: Misalkan f adalah fungsi yang analitik dan terbatas oleh satu di cakram satuan. Maka nilai max f ( 1 f B 3 ) dicapai oleh f yang memenuhi: f ( 1 3 ) = 0.

12 dan Lemma Schwarz Jawab Andaikan f ( 1 3 ) 0. Pandang: Jika ω = 1, maka ω f ( 1 3 ) 1 f ( 1 3 )ω = g(z) = f (z) f ( 1 3 ) 1 f ( 1 3 )f (z). ω f ( 1 3 ) 1 f ( 1 3 )ω ω f ( 1 3 ) = 1. 1 f ( 1 3 )ω

13 dan Lemma Schwarz Perhatikan bahwa jika z < 1 maka f < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan.

14 dan Lemma Schwarz Perhatikan bahwa jika z < 1 maka f < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan. Jika kita turunkan ( ) 1 g f ( 1 3 = ) 3 1 f ( 1 3 ) 2 sehingga dipenuhi: g ( 1 3 ) > f ( 1 3 ).

15 dan Lemma Schwarz Perhatikan bahwa jika z < 1 maka f < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan. Jika kita turunkan ( ) 1 g f ( 1 3 = ) 3 1 f ( 1 3 ) 2 sehingga dipenuhi: g ( 1 3 ) > f ( 1 3 ). Jadi kita telah menemukan sebuah fungsi lain yaitu g yang modulus turunannya lebih besar dari modulus turunan f di 1 3. Kontradiksi, haruslah f ( 1 3 ) = 0.

16 dan Lemma Schwarz Contoh 3: Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max f (α) f B dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

17 dan Lemma Schwarz Contoh 3: Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max f (α) f B dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0. Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi: f (z) B α (z)

18 dan Lemma Schwarz Contoh 3: Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max f (α) f B dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0. Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi: f (z) B α (z) Tunjukkan bahwa f (α) B (α).

19 dan Lemma Schwarz Contoh 3: Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max f (α) f B dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0. Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi: f (z) B α (z) Tunjukkan bahwa Jadi f (α) B (α). max f (α) = B α(α). f B

20 dan Lemma Schwarz Teorema Morera Theorem Misalkan f fungsi kontinu pada sebuah himpunan buka D. Jika f (z)dz = 0, Γ dengan Γ adalah himpunan batas dari sebarang daerah persegi panjang tutup di D, maka f analitik di D.

21 dan Lemma Schwarz Definition Misalkan {f n } barisan fungsi yang terdefinisi pada D dan f adalah fungsi yang terdefinisi pada D. f n dikatakan konvergen secara uniform pada kompakta jika f n f secara uniform pada setiap himpunan kompak K D. Theorem Jika f n konvergen secara uniform pada kompakta dan f n analitik, maka f analitik.