BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh

Transkripsi

1 BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu fungsi telah dibahas pada bab II. Selanjutnya, pada bab ini akan dikaji teori dari integral Lebesgue yang meliputi definisi dan sifat-sifatnya. Pada subbab 3.1 akan dibahas terlebih dahulu integral Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana, kemudian pada subbab 3.2 akan dibahas teori integral Lebesgue dari fungsi tak negatif. Terdapat fakta bahwa sebarang fungsi terukur tak negatif dapat didekati oleh suatu fungsi sederhana. Hal ini mengakibatkan Integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum juga dapat dikonstruksi melalui pendekatan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana. 3.1 Integral Lebesgue dari Fungsi Khusus yang Terukur dan Sifat-sifatnya Pada subbab ini akan dibahas integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi khusus yang terukur, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana. Teori ini selanjutnya akan digunakan untuk mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum. 51

2 52 Definissi (Fungsi Karakteristik) Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur dan. Fungsi karakteristik untuk himpunan A yaitu : {0,1} yang didefinisikan dengan, 1 = 0 Fungsi Dirichlet adalah salah satu contoh dari fungsi karakteristik untuk bilangan rasional Q. Fungsi ini merupakan salah satu fungsi yang terintegralkan Lebesgue sebagaimana pada pembahasan selanjutnya. Teorema Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur. Fungsi karakteristik dari himpunan, adalah terukur jika dan hanya jika adalah himpunan terukur. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik dari himpunan yang terukur didefinisikan sebagai ukuran Lebesgue dari irisan domain fungsi tersebut dengan himpunan, sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut ini. Definisi Misalkan : {0,1} adalah fungsi karakteristik yang terukur dan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik didefinisikan sebagai = =

3 53 Definisi (Fungsi Sederhana) Misalkan adalah sebuah himpunan terukur, dengan =1,2,3,, adalah subset-subset dari E yang saling lepas dengan =1 = dan misalkan adalah bilangan real berbeda yang berhingga banyaknya. Sebuah fungsi sederhana :, didefinisikan sebagai. Jika nilai dibatasi menjadi 0 < maka fungsi sederhana yang telah didefinisikan sebelumnya disebut fungsi sederhana tak negatif. Berdasarkan Definisi 3.1.4, setiap fungsi sederhana adalah sebuah kombinasi linear berhingga dari fungsi karakteristik. Perhatikan bahwa sebarang fungsi yang didefinisikan pada himpunan terukur, misalkan, yang hanya mempunyai berhingga banyak nilai yang berbeda 1, 2,, dapat selalu dituliskan sebagai fungsi sederhana = di mana ={ := } dan =1 =. Contoh Misalkan diberikan interval tertutup dan terbatas [,] R. Untuk = 1,2,3,,, misalkan =[ 1, sedemikian sehingga =1 =[,] dan misalkan juga adalah suatu bilangan real tak negatif. Jika adalah fungsi karakteristik untuk masing-masing interval maka hasil jumlah =

4 54 adalah sebuah fungsi tangga yang juga merupakan fungsi sederhana karena masing-masing subinterval adalah terukur. Selanjutnya ambil dua buah interval [0,1] dan (1,2], jika =2 Q [,] +3 Q,] Maka adalah sebuah fungsi sederhana sebab interval [0,1] dan (1,2] terukur dan hanya memiliki berhingga buah nilai yang berbeda, namun bukan merupakan fungsi tangga. Teorema Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada himpunan terukur E, dalam bentuk. Fungsi sederhana s adalah terukur jika dan hanya jika masing-masing himpunan dengan =1,2,3,, adalah himpunan terukur. Teorema berikut ini menjelaskan bahwa untuk sebarang fungsi terukur, dapat ditemukan suatu barisan fungsi sederhana yang konvergen ke fungsi terukur tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi terukur dapat didekati oleh fungsi sederhana. Teorema Misalkan : [0, ] adalah sebuah fungsi terukur. Terdapat barisan fungsi sederhana yang terukur pada sedemikian sehingga a) 0. b) ketika, untuk setiap.

5 55 Bukti Misalkan diberikan sebuah fungsi terukur : [0, ], akan ditunjukkan bahwa terdapat barisan dari fungsi-fungsi sederhana yang memenuhi kondisi di atas. Untuk N dan 1 2, partisikan [0, ] ke dalam subinterval-subinterval yang tidak saling tumpang tindih, oleh, = 1 2, 2 Kemudian definisikan juga, = 1 1 2, Definisikan fungsi sederhana pada dengan 2 2 dan = 1 [,. = 1, + =1 2 Sehingga adalah fungsi sederhana yang terukur untuk setiap N, karena, dan masing-masing adalah himpunan terukur. Sekarang ambil sebarang, N dengan, perhatikan bahwa, 2 2 = 1, + 1, + = =1 2 dengan demikian monoton naik. Selanjutnya akan dibuktikan bagian b). Jika < (dengan kata lain f terbatas), yaitu misalkan di mana =1 2 adalah konstanta real positif. Karena, terdapat bilangan asli terkecil 0 di mana < sedemikian sehingga untuk setiap berlaku,

6 56 Maka untuk setiap dan N di mana, terdapat N sedemikian sehingga 1 2 < < 1 2. Misalkan diberikan sebarang >0, terdapat 1 N sedemikian sehingga < 1 2 < untuk setiap dan untuk setiap. Jika =, maka definisikan =, sehingga lim =. Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana yang terukur, kemudian akan dibahas juga sifat-sifatnya Definisi Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang terukur pada E dengan bentuk =, Dimana 1, 2,, adalah nilai yang berbeda dari s dan =1 =, dan misalkan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi sederhana s atas himpunan A didefinisikan sebagai =. =1 Penetapan 0. =0 digunakan di sini, sebab mungkin terjadi =0 untuk suatu i sedangkan =. Teorema 3.1.9

7 57 Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi pada E. Jika dimana A terukur, maka a) + b) =. = +. c)... d) =.. =. e) 0.. =0, =0... f). Teorema Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan, dengan A dan B adalah himpunan terukur. a) Jika = maka = +. b) Jika dan 0 maka. 3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya Sebelum pembahasan mengenai integral Lebesgue untuk fungsi tak negatif yang terukur, akan didefinisikan terlebih dahulu bagian positif dan bagian negatif dari sebuah fungsi. Bagian positif dan bagian negatif ini diperlukan dalam mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi umum yang terukur.

8 58 Definisi Misalkan adalah sebuah himpunan terukur dan misalkan diberikan sebarang fungsi : [0, ]. Bagian positif + dari fungsi didefinisikan sebagai,, 0 + = 0, <0 Dan bagian negatif dari fungsi didefinisikan sebagai,, <0 = 0, 0. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bagian positif dan bagian negatif dari sebuah fungsi terukur adalah terukur, Sebagaimana teorema berikut ini. Teorema Misalkan adalah sebuah himpunan terukur. Jika : [0, ] adalah sebuah fungsi terukur, maka + dan adalah fungsi teurukur. Bukti Misalkan adalah sebarang fungsi terukur yang didefinisikan pada, akan ditunjukkan bahwa + dan adalah fungsi terukur. Berdasarkan definisi dari + dan, bagian positif dan bagian negatif dari fungsi dapat dituliskan secara berturut-turut sebagai, + =max{,0} Dan = min{,0}.

9 59 Karena fungsi terukur, maka berdasarkan Teorema fungsi + dan adalah terukur. Dapat dilihat bahwa baik + maupun bernilai tak negatif dan dapat dituliskan, = = +. Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur tak negatif dan beberapa sifat dari integral tersebut. Definisi Misalkan E adalah himpunan terukur dan [0, ] adalah sebuah fungsi terukur yang bernilai tak negatif. Integral Lebesgue untuk f didefinisikan oleh sup: h 0. Ketika f diintegralkan atas sebuah himpunan terukur, diperoleh sup: h 0. Berikut ini akan dibahas mengenai sifat kemonotonan dan kelinearan dari integral Lebesgue untuk fungsi bernilai tak negatif yang terukur Lebesgue. Teorema Misalkan f dan g adalah fungsi terukur non negative dan.

10 60 Bukti. a) Jika. pada A maka. b) Untuk >0,+ dan adalah fungsi terukur non negative maka Dan +=+ =. Pertama akan dibuktikan bagian a). Misalkan diberikan dua buah fungsi terukur sederhana,: [0, ] dengan... Misalkan dan adalah sebarang fungsi terukur sederhana pada yang memenuhi sifat 0 dn 0 secara berturut-turut. Karena akibatnya diperoleh pada, sehingga sup:0 =. Jika diambil supremum atas seluruh fungsi sederhana maka akan diperoleh, =sup:0. Untuk membuktikan bagian b), pertama akan diperlihatkan untuk >0 berlaku =.. Misaklan adalah sebarang fungsi sederhana pada dengan 0 dan misalkan juga merupakan fungsi sederhana sedemikian sehingga 0. Dengan mengambil supremum atas seluruh dan diperoleh,

11 61 sup:0 =sup:0 Dengan demikian, =sup:0. =. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa, +=+, Yaitu menunjukkan kedua peryataan berikut berlaku: i) + ii) Pertama akan diperlihatkan pernyataan i) berlaku. Misalkan dan adalah dua buah fungsi sederhana terukur dengan 0 dan 0 pada. Karena 0 dan 0 akibatnya diperoleh + +, dengan menggunakan definisi integral Lebesgue untuk fungsi + atas dan berdasarkan sifat kelinearan integral untuk fungsi sederhana, diperoleh +=sup+: =+. Dengan mengambil supremum atas seluruh dan diperoleh,

12 Untuk ketaksamaan sebaliknya, misalkan adalah sebuah fungsi terukur sederhana pada, misalkan =min{,} dan =, di mana dan adalah fungsi terukur sederhana dan lebih lanjut diperoleh 0 dan 0 pada. Dengan demikian, =+ 〱 +. Dengan mengambil supremum atas seluruh diperoleh + +. Karena pernyataan i) dan ii) berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa += Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya Sebelumnya telah didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi khusus, dimulai dari fungsi karakteristik sampai dengan fungsi tak negatif yang terukur. Selanjutnya, akan didefinisikan integral Lebesgue untuk sebarang fungsi yang terukur dan akan dikaji juga sifat-sifatnya. Definisi Misalkan : [0, ] adalah fungsi terukur. Integral Lebesgue untuk fungsi f atas himpunan terukur didefinisikan sebagai,

13 63 = +. Fungsi f dikatakan terintegralkan Lebesgue jika masing-masing + dan bernilai hingga. Koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue akan dinotasikan dengan 1. Selanjutnya, akan dibahas beberapa sifat-sifat dasar dari integral Lebesgue untuk sebarang fungsi terukur yang umum. Teorema Misalkan : [0, ] adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah subset terukur dari E. Fungsi f terintegralkan Lebesgue atas A jika dan hanya jika terintegralkan atas A. Bukti Misalkan f adalah sebuah fungsi terukur dan himpunan terukur. Pertama asumsikan bahwa, akan diperlihatkan bahwa 1. Karena, diperoleh dengan demikian haruslah + <, < dan <. Sehingga, karena + dan adalah fungsi terukur yang bernilai tak negatif akibatnya diperoleh,

14 64 = + + Jadi dapat disimpulkan bahwa 1. = + + <. Selanjutnya asumsikan bahwa 1, akan ditunjukkan bahwa. Karena 1, akibatnya dengan demkian, Sehingga diperoleh, + = + + < < dan <. = + <. Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa. Teorema Misalkan adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah himpunan terukur dengan. Jika terdapat sebuah fungsi sedemikian sehingga, maka. Bukti Misalkan diberikan sebarang fungsi terukur dan subset yang terukur, dan asumsikan bahwa terdapat sedemikian sehingga. Akan ditunjukkan bahwa. Karena + + = akibatnya diperoleh + dan

15 65. Karena ketiga fungsi +,,dan terukur dan tak negatif, berdasarkan Teorema diperoleh, Karena maka, Dengan demikian, + dan + +. < dan < = + Jadi, dapat disimpulkan bahwa. <. Berikut ini akan disajikan beberapa Teorema mengenai sifat-sifat dasar Integral Lebesgue. Teorema ini adalah perumuman dari beberapa sifat-sifat dasar Integral Lebesgue yang telah disajikan pada subbab sebelumnya. Teorema Jika, dengan,: [0, ] maka: a) Fungsi di mana c adalah sebarang konstanta, dan =. b) Fungsi +, dan +=+. c) Jika., maka

16 66. d) Jika 1 dan 2 adalah himpunan terukur yang saling lepas di E, maka = e) Jika di mana dan adalah sebarang konstanta, maka.. Bukti Misalkan diberikan sebarang, dan sebarang konstanta, akan diperlihatkan bahwa pernyataan a), b), c) dan d) berlaku. Pertama akan dibuktikan bagian a), asumsikan bahwa 0, akibatnya + = + dan =. Sehingga, berdasarkan Definisi diperoleh = + = = =. Selanjutnya, jika <0 maka + = dan = +, sehingga diperoleh

17 67 = + = + =. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa =. Berikutnya akan dibuktikan bagian b). Diketahui bahwa,, akibatnya berdasarkan Teorema 3.3.2, 1. Karena dan adalah fungsi terukur yang bernilai tak negatif, maka berdasarkan Teorema terintegralkan atas dan berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh + + <. Dengan demikian + 1, dan +. Lebih jauh, diperoleh += = + + = = + =+.

18 68 Selanjutnya akan dibuktikan bagian c). Diketahui bahwa... Hal ini mengakibatkan 0. Oleh karena itu, diperoeh 0 Dengan menggunakan hasil dari pernyataan b) didapatkan, = +. Dengan demikian terbukti bahwa. Untuk membuktikan bagian d) perhatikan bahwa, = = + = +. Terakhir, bagian e) jelas berlaku, karena 1 =. Teorema Jika dengan : [0, ], maka. Bukti Misalkan diberikan sebarang fungsi, karena = dan = + +, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh = +

19 69 = + + =. Jadi terbukti bahwa =. Berikut ini akan disajikan Teorema-teorema yang menjadi konsep penting dari pembahasan ruang, terutama pada pembahasan barisan fungsi di dan fungsional linear terbatas. Teorema (Teorema Konvergensi Terbatas) Misalkan adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur yang terdefinisi pada himpunan terukur E dengan < dan misalkan untuk setiap x dan n dan untuk suatu bilangan real M. Jika =lim untuk setiap, maka = lim.

20 70 Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada 1 yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di 1 jika barisan fungsi tersebut monoton naik. Teorema (Teorema Kekonvergenan Monoton) Misalkan adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada. Jika 0 dan lim =, untuk setiap, maka terukur dan, Bukti lim =lim. Misalkan adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada, monoton naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi pada. Teorema menjamin keterukuran dari lim. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa lim =lim. Karena +1 untuk setiap N, maka berdasarkan Teorema diperoleh +1 untuk setiap N. Selanjutnya, karena barisan konvergen ke fungsi maka untuk setiap N, berdasarkan Teorema maka untuk setiap N. Perhatikan bahwa, barisan monoton naik dan terbatas oleh, oleh karena itu akan terdapat [0, sedemikian sehingga lim =.

21 71 Sekarang akan diperlihatkan bahwa =lim dengan menunjukkan bahwa, i) ii). dan =, yaitu Karena =sup{ : N} dan, N akibatnya diperoleh,. Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti. Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan adalah sebarang fungsi sederhana sedemikian sehingga 0, dan misalkan adalah sebarang konstanta dengan 0<<1 dan definisikan =:0,di mana =1,2,3, Karena terukur untuk setiap N akibatnya himpunan terukur untuk setiap N dan karena monoton naik maka diperoleh, Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa =. Karena untuk setiap N, maka diperoleh =1. Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa. Ambil sebarang, jika =0 maka =0 untuk setiap N dan =0, dengan demikian untuk setiap N. Selanjutnya jika >0, maka >> dan > untuk setiap N yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa, untuk suatu N dan akibatnya diperoleh. Jadi = Sekarang perhatikan bahwa,.

22 72 untuk =1,2,3, Dengan demikian, diperoleh lim atau dengan kata lain lim lim Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap 0,1, maka diperoleh Untuk setiap fungsi sederhana terukur dengan 0, sehingga dengan mengambil supremum atas seluruh diperoleh,. Dengan demikian ketaksamaan (i) dan (ii) berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa lim Ĺ==lim. Teorema (fatou s lemma) Jika 1, 2, adalah fungsi terukur tak negatif, maka lim inf lim inf.

23 73 Bukti. Definisikan, =inf, +1, +2, dengan =1,2,3,. Perhatikan bahwa 0,, dan adalah barisan monoton naik. Berdasarkan Teorema , adalah fungsi terukur untuk =1,2,3, dan lim =lim inf. Sehingga dengan menggunakan Teorema diperoleh lim inf =lim = lim = lim inf lim inf karena. Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di 1 yang konvergen mempunyai limit di 1. Teorema (Teorema Konvergensi Terdominasi) Misalkan : [, ] adalah fungsi terukur untuk setiap N dan asumsikan bahwa fungsi 0 di mana. Jika lim dan,

24 74 maka lim 1 dan lim = lim. Bukti Diberikan sebarang barisan fungsi terukur pada di mana barisan konvergen titik demi titik pada dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi 0 di mana sedemikian sehingga untuk setiap. Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku. Misalkan =lim untuk setiap, akibatnya berdasarkan Teorema adalah sebuah fungsi terukur. Karena untuk setiap N dan maka berdasarkan Teorema untuk setiap N, demikian juga karena =lim haruslah, akibatnya. Selanjutnya, perhatikan bahwa karena dan akibatnya fungsi +,+,,dan adalah fungsi terukur yang bernilai non negative. diperoleh, Yaitu, Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi + dan + liminf+ =+ liminf+.

25 75 + +liminf. Karena maka bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh, diperoleh liminf. Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak negatif 噮 dan, diperoleh dengan kata lain, liminf = liminf Akhirnya diperoleh, lim sup. lim sup lim inf Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim inf ada dan sama dengan lim.. Selanjutnya akan didefinisikan integral tak tentu dari suatu fungsi terukur yang terdefinisi pada suatu interval [,].

26 76 Definisi Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada [,] dan pada setiap interval [,] [,]. Didefinisikan fungsi F dengan =+ Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f. Teorema Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval [,], maka berlaku =+ dengan = dan konstanta c. Dengan kata lain terintegralkan pada interval [,] dan =. Teorema berikut ini menyatakan hubungan antara fungsi yang terintegralkan Riemann dengan fungsi yang terintegralkan Lebesgue, yaitu jika

27 77 sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan Lebesgue. Teorema Jika R[,] maka [,] dan [,] =R.