DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Transkripsi

1 (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007

2

3 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Dalam perkataan lain, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.

4 Definisi formal Kekontinuan pada Interval Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

5 Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka

6 Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup

7 Contoh 1 Misalkan f : R R didefinisikan sebagai { x, x 1; f (x) = 3 2, x > 1 Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].

8 Proposisi 2 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x I dan setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk y I dengan x y < δ. f (x) f (y) < ɛ

9 Contoh 3 (i) Fungsi f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I. (ii) Fungsi g(x) = x kontinu pada sebarang interval I. (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I [0, ).

10 Soal Latihan 1 Misalkan f : [0, 5] R didefinisikan sebagai { 2x, 0 x < 1; f (x) = 1, 1 x 5. Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya. 2 Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. 3 Misalkan I adalah suatu interval tertutup dan 0 < C < 1. Misalkan f : I I adalah suatu fungsi yang memenuhi f (x) f (y) < C x y untuk tiap x, y I ; yakni f kontraktif pada I. Buktikan bahwa f kontinu pada I.

11 Proposisi 4 Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ R. Maka λf + µg dan fg kontinu pada I. Juga, jika g(x) 0 untuk tiap x I, maka f g kontinu pada I.

12 Contoh 5 (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval. (ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f (x) = 1 x kontinu pada (0, ). (iii) Fungsi f (x) = x + x kontinu pada sebarang interval I [0, ), karena f 1 (x) = x dan f 2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I [0, ).

13 Proposisi 6 Misalkan g : I J kontinu pada interval I dan f : J R kontinu pada interval J. Maka f g kontinu pada I. Bukti. Ambil x I dan ɛ > 0 sebarang. Karena f kontinu di u = g(x), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (u) f (v) < ɛ untuk v J dengan u v < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di x, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga g(x) g(y) < δ untuk y I dengan x y < γ. Akibatnya, kita peroleh f (g(x)) f (g(y)) < ɛ untuk y I dengan x y < γ. Ini berarti bahwa f g kontinu di sebarang x I.

14 Contoh 7 (i) Fungsi h(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval, karena f (x) = x dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval. (ii) Fungsi h(x) = 1 x 1+ x kontinu pada sebarang interval I [0, ).

15 Proposisi 8 Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Jika c I dan x n suatu barisan di I dengan lim x n = c, maka lim f (x n) = f (c). n n Catatan. Perhatikan bahwa kesimpulan pada Proposisi 8 menyatakan bahwa ( ) lim f (x n) = f lim x n. n n Dalam perkataan lain, operasi limit dan f dapat bertukar urutan.

16 Soal Latihan 1 Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. f (x) = 1 1+ x. g(x) = 1 + x 2. 2 Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r I berlaku f (r) = r 2. Buktikan bahwa f (x) = x 2 untuk setiap x I. 3 Misalkan f : [0, 1] [0, 1] adalah fungsi kontraktif. Konstruksi barisan x n dengan x 1 I dan x n+1 = f (x n ), n N. Buktikan bahwa x n konvergen ke suatu L [0, 1], dan L = f (L).

17 Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

18 Teorema 9 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.

19 Teorema 10 Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaitu f (I ), juga merupakan suatu interval.

20 Teorema 11 (Teorema Nilai Antara) Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u. Catatan. Teorema 11 setara dengan Teorema 10. Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) < u < f (b). Tinjau himpunan H := {x [a, b] : f (x) < u}. Jelas bahwa H karena a H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah c = sup H. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.

21 Teorema 12 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b]. Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan x n di [a, b] sedemikian sehingga f (x n ) + untuk n. (1) Karena x n terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu sub-barisan x nk yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f (x nk ) f (c) untuk k. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah f terbatas pada [a, b].

22 Teorema 13 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b]. Bukti. Dari Teorema 12 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := sup f ([a, b]). Konstruksi barisan x n di [a, b] dengan f (x n ) v untuk n. Karena x n terbatas, terdapat sub-barisan x nk yang konvergen ke suatu titik c [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (x nk ) f (c) untuk k. Jadi mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.

23 Contoh 14 Persamaan 10x 7 13x 5 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ( 1, 0). Misalkan f (x) = 10x 7 13x 5 1. Maka, f ( 1) = 2 dan f (0) = 1. Karena f kontinu pada [ 1, 0] dan 0 terletak di antara f ( 1) dan f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ( 1, 0) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

24 Contoh 15 Misalkan f : [a, b] [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c [a, b] sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f.] Peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f (a) a dan f (b) b. Tinjau g(x) = f (x) x, x [a, b]. Karena f kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f (a) a 0 dan g(b) = f (b) b 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c [a, b] sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f (c) = c.

25 Soal Latihan 1 Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara. 2 Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real. 3 Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuk setiap x I terdapat y I sedemikian sehingga f (y) 1 f (x). 2 Buktikan bahwa terdapat suatu c I sedemikian sehingga f (c) = 0.