BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Transkripsi

1 BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-sifatnya. TIK: Setelah mempelajari pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat. menghitung nilai it fungsi yang diberikan.. menentukan kekontinuan suatu fungsi yang diberikan. Limit fungsi Pengertian it fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara geometri/grafis. Secara Aljabar : Misalkan f ( ), maka dengan mengambil beberapa nilai untuk mendekati, diperoleh tabel nilai berikut. 0,9 0,99 0,999 0,9999,000,00,0, f(),9,99,999,999,000,00,0, Dari tabel terlihat bahwa jika, maka f() dan ditulis. Secara Grafis : Jika nilai-nilai dan f() pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik yang kemudian dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut Secara Analisis Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa it f() untuk mendekati a adalah L, dan ditulis f a ( ) L 3

2 jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu > 0 sehingga f ( ) L bilamana 0 < a <. Jadi jika diterapkan pada contoh di atas jika untuk setiap > 0, terdapat > 0, sehingga untuk setiap dengan 0 berlaku <. Limit Kiri dan Limit Kanan Jika nilai mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f() mendekati L, dituliskan a f ( ) dituliskan L. Jika nilai mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f() mendekati L, a f ( ) L. Sifat : Nilai f ( ) ada dan sama dengan L jika dan hanya jika f ( ) a keduanya ada dan sama dengan L. a dan f ( ) a I. Tentukan nilai it fungsi di bawah ini secara aljabar dan secara grafis, kemudian jika diberikan 0,0, tentukan nilai yang bersesuaian II. Carilah nilai it di bawah ini ( )

3 h0 3 h h 0. h0 3 h 3 h ( ) 4. ( ) 0 5. ( ) ( ) III.. Misalkan a. f ( ) 0, jika 0 f ( ), jika 0. Sketsalah grafik f dan tentukan, jika c. f ( ) b. f() d. f(0). Misalkan f ( ) a. f ( ) b. f ( ), jika, jika. Sketsa grafik f dan tentukan 5, jika c. f ( ) d. f(). Limit Hasil e dan Limit Menuju Takhingga. Rumus : ( ) e dan ( ) e. 0 5

4 Contoh Hitunglah.., jika ada Penyelesaian :. Misalkan y maka. Untuk, maka y sehingga y. y y y 3 y y y. e. Hitunglah nilai it fungsi di bawah ini.. ( 5 ) Kekontinuan Fungsi Limit sebuah fungsi ketika mendekati a seringkali dapat ditemukan secara sederhana dengan menghitung nilai fungsi tersebut di a. Definisi matematika untuk kontinuitas sangat dekat dengan arti kata kontinuitas dalam kehidupan sehari-hari, yaitu istilah yang digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan terus menerus tanpa terputus oleh gangguan. Fungsi f dikatakan kontinu pada a, jika :. f(a) ada. f ( ) ada a f ( ) f(a). a 6

5 Jika f tidak kontinu di a, dikatakan f diskontinu di a. Contoh Gambar di bawah ini memperlihatkan grafik suatu fungsi f. Di bilangan manakah f diskontinu dan mengapa? Gambar Penyelesaian: Akan diselidiki kekontinuan fungsi f di -,, dan. Karena f() tidak ada, maka f diskontinu di. Grafik terputus di, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini berbeda. Di sini f() ada, tetapi f ( ) tidak ada (karena it kiri dan it kanannya berbeda). Oleh karena itu f diskontinu di. Bagaimana dengan? Walaupun f(-) (ada) dan f ( ) 3 (ada), akan tetapi f ( ) f ( ), sehingga f diskontinu di -. Tentukan apakah fungsi di bawah ini kontinu pada nilai yang diberikan :.. 4., jika 0 f ( ), jika 0 pada 0 dan, jika, jika f ( ), jika pada dan 5, jika, jika f ( ) pada 5, jika, jika f ( ) pada, jika 7