BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
|
|
- Widya Lie
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis real demikian pula dalm kuliah kalkulus diferensial. Pada bab ini akan diberikan teorema penting terkait dengan derivatif suatu fungsi dan beberapa contohnya, dimulai dengan meninjau hubungan antara nilai ekstrem relatif (maksimum atau minimum relatif) suatu fungsi dan nilai derivatifnya Sebelum pembahasan lebih lanjut, diberikan terlebih dahulu pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi. Fungsi f : [a, b] R mempunyai nilai maksimum relatif di titik c [a, b] jika terdapat persekitaran dari titik c dengan radius 0, yaitu V δ (c)sehinggaf x f c untuk setiap x [a, b] V δ (c). Fungsi f : [a, b] R mempunyai nilai minimum relatif di titik c [a, b] jika terdapat persekitaran dari titik c dengan radius 0, yaitu V δ (c)sehinggaf x f c untuk setiap x [a, b] V δ (c). Jika fungsi f : [a, b] R mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik c [a, b] maka fungsi f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik c [a, b] Pembahasan selanjutnya memberikan justifikasi secara teoritis sebagai suatu proses yang umum untuk menemukan titik dimana fungsi f mempunyai ekstrem relatif dengan mencari harga derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval. Untuk kejelasan hal ini perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi f : [0, 1] R yang didefinisikan dengan f x = x. Dapat dimengerti bahwa x = 0 adalah satu-satunya titik dimana f mencapai nilai minimum relatif dan x = 1 adalah satusatunya titik dimana f mencapai nilai maksimum relatif, akan tetapi tak satupun dapat ditemukan harga nol dari derivatifnya. Sebelum diberikan Teorema 2.1 perlu diberikan terlebih dahulu pengertian titik interior (interior point) suatu himpunan tak kosong dengan topologi biasa pada garis real. Diberikan S R, titik c S disebut titik interior himpunan S, jika terdapat persekitaran c dengan radius 0, yaitu V δ (c) sehingga berlaku V δ (c) S. Koleksi semua titik interior himpnan S disebut interior (bagian dalam) himpunan S dan dinotasikan dengan S o. Sangatlah mudah dimengerti bahwa interior setiap interval tertutup terbatas [a, b] pada garis real adalah (a, b). Teorema 2.1 (Teorema Ekstrem Interior) Diberikan c titik interior interval I = [a, b] dan fungsi f : [a, b] R mempunyai nilai ekstrem relative. Jika fungsi f mempunyai derivatif di titik c, maka f c = Thobirin Herawan, Analisis Real II
2 : Dibuktikan untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relative. Misalkan f c maksimum relative. Andaikan f c 0, maka f c 0 atau f c 0. (i) Untuk f c 0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema pada Buku Analisis Real I) maka terdapat V δ (c) I, sehingga > 0, x V δ c, x c. Jika x V δ c dan x > c maka > 0, sehingga diperoleh f x f c = () > 0 f x f c > 0 f x > f c. Hal ini bertentangan dengan f c sebagai maksimum relative. (ii) Untuk f c 0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema pada Buku Analisis Real I) maka terdapat V δ (c) I, sehingga < 0, x V δ c, x c. Jika x V δ c dan x < c maka < 0, sehingga diperoleh f x f c = () > 0 f x f c > 0 f x > f c. Hal ini bertentangan dengan f c sebagai maksimum relative. Dari (i) dan (ii) terbukti f c = 0. untuk kasus f mempunyai nilai minimum relative diserahkan kepada pembaca untuk latihan. Akibat 2.2 Diberikan f : [a, b] R fungsi kontinu pada interval [a, b] dan f mempunyai nilai ekstrem relative di c (a, b), maka derivatif fungsi f di titik c tidak ada atau f c = 0. Untuk memperjelas pemahaman Akibat 4.2, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real pada [ 1, 1] yang didefinisikan dengan f x = x maka f mencapai nilai minimum relative di 0 ( 1, 1). Tetapi f 0 tidak ada. Teorema 2.3 (Teorema Rolle) Andaikan fungsi f kontinu pada [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval terbuka (a, b) dan f a = f b = 0, maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga f c = 0. : Jika f x = 0 untuk setiap x [a, b], maka jelas f x = 0 untuk setiap x [a, b]. Untuk kasus f x 0 untuk setiap x (a, b), maka f x > 0 untuk setiap x (a, b) atau f x < 0 untuk setiap x (a, b). 13 Thobirin Herawan, Analisis Real II
3 Tanpa menghilangkan keumuman bukti, untuk selanjutnya diasumsikan f x > 0 untuk setiap x (a, b). Oleh karena f kontinu pada [a, b], berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (Teorema 16.3 pada Buku Analisis Real I) maka f mempunyai nilai maksimum di suatu titik c [a, b]. Karena f a = f b = 0 maka c (a, b) dan karena f c ada maka berdasarkan Teorema 2.1 f c = 0. Teorema 2.4 (Teorema Nilai Rata-rata = TNR) Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval terbuka (a, b), maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga f b f a = f c (b a). Y (b, f(b)) y = f(x) y = (x) (a, f(a)) 0 a c b X Didefinisikan fungsi f b f a φ x = f x f a x a x I b a Dapat dijelaskan bahwa merupakan fungsi yang kontinu pada I = [a, b] dan terdiferensial pada (a, b) serta (a) = (b) = 0. Jelaskan! Berdasarkan Teorema Rolle, maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga φ c = 0. Perhatikan: f b f a φ c = f c b a f b f a 0 = f c b a f b f a = f c (b a). Teorema 2.5 Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], f terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan f x = 0 x (a, b) maka f fungsi konstan pada [a, b]. 14 Thobirin Herawan, Analisis Real II
4 Cukup dibuktikan bahwa f x = f a x > a. Berdasarkan TNR, maka terdapat c (a, x) sehingga f x f a = f c (x a) untuk a < c < x < b. Oleh karena f c = 0 untuk c (a, x) maka f x f a = 0(x a). Terbukti f x = f a. Akibat 2.6 Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu pada interval tertutup I = [a, b], terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan f x = g x x (a, b), maka terdapat suatu konstanta C sehingga f x = g x + C. Didefinisikan suatu fungsi x = f x g(x) x I sehingga x = f x g (x). Karena f x = g x maka x = 0, sehingga berdasarkan Teorema 2.5 x = C pada [a, b]. Dengan demikian f x g x = C x I = [a, b]. Untuk memperjelas teorema tersebut di atas, perhatikan contoh berikut. Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan dengan g x = 3x 2, x [ 2, 2] dan f x = 3x 2 + 4, x [ 2, 2] Perhatikan bahwa f x = g x x ( 2, 2) dan f x = g x + 4. Selanjutnya diberikan pengertian fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun sebagai berikut. a. Fungsi f : [a, b] R dikatakan monoton naik pada [a, b] jika untuk setiap x 1, x 2 [a, b] denganx 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) f(x 2 ). b. Fungsi f : [a, b] R dikatakan monoton turun pada [a, b] jika untuk setiap x 1, x 2 [a, b] denganx 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) f(x 2 ). c. Fungsi f : [a, b] R dikatakan monoton naik tegas pada [a, b] jika untuk setiap x 1, x 2 [a, b] denganx 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) < f(x 2 ). d. Fungsi f : [a, b] R dikatakan monoton turun tegas pada [a, b] jika untuk setiap x 1, x 2 [a, b] denganx 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) > f(x 2 ). e. Fungsi f turun jika fungsi f naik. Teorema berikut menunjukkan hubungan turun atau naiknya suatu fungsi dengan nilai derivatifnya pada suatu interval. Teorema 2.7 Diberikan fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada interval [a, b], maka: a. fungsi f naik pada [a, b] jika dan hanya jika f x 0 untuk setiap x [a, b] b. fungsi f turun pada [a, b] jika dan hanya jika f x 0 untuk setiap x [a, b] bagian a. (i) Syarat perlu Diketahui f naik pada [a, b], berarti untuk setiap x 1, x 2 [a, b] denganx 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) f(x 2 ). Diketahui pula f terdiferensial pada [a, b], berarti f c ada untuk c [a, b]. Ambil sembarang x [a, b]. 15 Thobirin Herawan, Analisis Real II
5 Jika x < c, karena f naik maka f(x) f(c) sehingga 0 Akibatnya 0. Jika x > c, karena f naik maka f(x) f(c) sehingga 0 Akibatnya juga 0. Berdasarkan Teorema 12.9 (pada Buku Analisis Real I) maka diperoleh f c = lim 0. x c Karena c sembarang anggota [a, b], maka dapat disimpulkan f x 0 untuk setiap x [a, b]. (ii) Syarat cukup Diketahui f x 0 untuk setiap x [a, b]. Ambil sembarang x 1, x 2 [a, b] dengan x 1 < x 2. Oleh karena f terdiferensial pada (x 1, x 2 ) dan f kontinu pada [x 1, x 2 ]. Selanjutnya dengan menggunakan TNR dapat dipilih titik c (x 1, x 2 ) sehinga f x 2 f x 1 = f c (x 2 x 1 ). Karena f c 0 dan x 1 < x 2 maka f x 2 f x 1 = f c (x 2 x 1 ) 0, sehingga diperoleh f(x 1 ) f(x 2 ). Kesimpulannya fungsi f naik. bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema berikut memberikan suatu syarat cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrem relative di titik interior pada suatu interval yang disebut uji derivative pertama. Teorema 2.8 Diberikan fungsi f : [a, b] R kontinu pada interval [a, b] dan c titik interior [a, b]. Misalkan f terdiferensial pada (a, c) dan (c, b), maka: a. Jika terdapat V δ c [a, b] dengan sifat f (x) 0 untuk setiap x (c δ, c) dan f (x) 0 untuk setiap x (c, c + δ) maka f mencapai maksimum relative di titik c. b. Jika terdapat V δ c [a, b] dengan sifat f (x) 0 untuk setiap x (c δ, c) dan f (x) 0 untuk setiap x (c, c + δ) maka f mencapai minimum relative di titik c. a. Jika x (c δ, c), maka berdasarkan TNR terdapat c x (x, c) sehingga f c f x = f c x c x. Karena f c x 0 maka diperoleh f c f x 0. Jadi f c f x untuk setiap x (c δ, c). Demikian halnya jika x (c, c + δ), maka berdasarkan TNR terdapat c x (c, x) sehingga f x f c = f c x. Karena f c x 0 maka diperoleh f x f c 0. Jadi f c f x untuk setiap x (c, c + δ). Terbukti f mencapai nilai maksimum relative di c. b. bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Untuk lebih memperjelas pemahaman Teorema 2.8 perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan f x = 3x 2 + 6x untuk setiap x [ 3, 1]. Dengan menggunakan uji derivative pertama akan ditentukan nilai ekstrem relative fungsi f. 16 Thobirin Herawan, Analisis Real II
6 Perhatikan f x = 6x + 6 untuk setiap x [ 3, 1]. Dapat ditentukan c = 1 dan = 1, sehingga jika x (c δ, c) maka x ( 2, 1), akibatnya diperoleh f x 0 untuk setiap x ( 2, 1). Selanjutnya jika x (c, c + δ) maka x ( 1, 0), diperoleh f x 0 untuk setiap x ( 1, 0). Jadi f mancapai minimum relative di c = 1. Penerapan Teorema Nilai Rata-rata (Ketidaksamaan) 1. kan bahwa e x 1 + x x R. Penyelesaian: Karena f x = e x kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 3 kasus, yaitu: a. Jika x = 0, maka benar e 0 = b. Jika x > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, x] terdapat c (0, x) sehingga f x f 0 = f c (x 0) e x e 0 = e c x e x = e 0 + e c x e x = 1 + e c x Oleh karena c (0, x) maka e c > 1, sehingga diperoleh e x 1 + x x > 0. c. Jika x < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [x, 0] terdapat c (x, 0) sehingga f 0 f x = f c (0 x) e 0 e x = e c ( x) 1 e x = xe c Oleh karena c (x, 0) maka e c < 1, dan dikarenakan x > 0, maka 1 e x < x. Akibatnya e x 1 + x x < Tunjukkan sin x x x 0. Penyelesaian: Karena f x = sin x kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 2 kasus, yaitu: a. Jika x = 0, maka benar sin 0 = 0 b. Jika x > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, x] terdapat c (0, x) sehingga f x f 0 = f c (x 0) sin x sin 0 = (cos c)x sin x = x(cos c) Oleh karena 1 cos c 1 maka x x cos c x yang berakibat x sin x x, ini ekuivalen dengan sin x x. 3. Ketidaksamaan Bernoully Jika α > 1 maka (1 + x) α 1 + αx, x > 1. : Jika f x = (1 + x) α, maka f x = α(1 + x) α 1, x > 1. Selanjutnya akan dibuktikan dalam 3 kasus, yaitu: a. Jika x = 0, maka benar (1 + 0) α = 1 + α. 0 b. Jika x > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, x] terdapat c (0, x) sehingga f x f 0 = f c (x 0) (1 + x) α 1 = xα(1 + c) α 1 17 Thobirin Herawan, Analisis Real II
7 (1 + x) α = 1 + xα(1 + c) α 1 Jika c (0, x) dan karena α > 1, maka (1 + c) α 1 > 1. Oleh karenanya (1 + x) α = 1 + xα(1 + c) α 1 > 1 + xα c. Jika 1 < x < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [x, 0] terdapat c (x, 0) sehingga f 0 f x = f c (0 x) 1 (1 + x) α = xα(1 + c) α 1 (1 + x) α = 1 xα(1 + c) α 1 Oleh karena c (x, 0), dan karena α > 1, maka (1 + c) α 1 < 1. OLeh karenanya (1 + x) α = 1 xα(1 + c) α 1 < 1 xα (1 + x) α = 1 + xα(1 + c) α 1 > 1 + xα Sifat-sifat Nilai Tengah Derivatif Pada bagian ini diakhiri dengan memberikan suatu teorema menarik yang dikenal dengan teorema Darboux. Teorema tersebut menyatakan bahwa, jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada domainnya, maka fungsi f mempunyai nilai tengah. Hal tersebut mempunyai maksud, jika f mengambil pada nilai A dan B maka setiap nilai f juga berada di antara A dan B. Lemma 2.9 Diberikan interval a, b R, fungsi f : [a, b] R, c [a, b] dan f terdiferensial di c, diperoleh: a. Jika f (c) > 0 maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga f(x) > f c untuk setiap x [a, b] dengan c < x < c + δ. b. Jika f (c) < 0 maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga f(x) > f c untuk setiap x [a, b] dengan c δ < x < c. a. bagian a ini diserahkan kepada pembaca untuk latihan b. Jika f c < 0 maka lim < 0 x c berdasarkan sifat limit fungsi (Teorema pada Buku Analisis Real I) maka terdapat V δ (c) sehingga < 0, x V δ c a, b, x c. Berarti ada δ > 0 sehingga untuk setiap x a, b dengan 0 < < δ berlaku < 0. Jika x [a, b] dan c δ < x < c maka < 0, sehingga diperoleh f x f c = () > 0 f x f c > 0 f x > f c. 18 Thobirin Herawan, Analisis Real II
8 Teorema 2.10 (Teorema Darboux) Jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada interval a, b R dan k suatu bilangan di antara f a dan f b maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga f c = k. Kemungkinan dapat terjadi (i) f a < k < f b atau (ii) f b < k < f a. Kita buktikan untuk kemungkinan (i). Misalkan f a < k < f b. Didefinisikan fungsi g: a, b R dengan g x = kx f x, x a, b. Karena f terdiferensial pada a, b maka f kontinu pada a, b. Oleh karenanya g memiliki nilai maksimum pada a, b. Perhatikan bahwa g x = k f x. Oleh karena f a < k maka g a = k f a > 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian a, maka ada δ > 0 sehingga g(x) > g(a) untuk setiap x [a, b] dengan a < x < a + δ. Jadi g(a) bukan nilai maksimum g. Selanjutnya karena k < f b maka g a = k f b < 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian b, maka ada δ > 0 sehingga g(x) > g(b) untuk setiap x [a, b] dengan b δ < x < b. Jadi g(b) juga bukan nilai maksimum g. Jadi nilai maksimum g tidak dicapai baik di a maupun di b. Oleh karena itu ada titik c (a, b) sehingga g(c) maksimum, dan berdasarkan Teorema g c = 0. Jadi g c = k f c = 0. Dengan demikian diperolehf c = k. Contoh 2.11 Diberikan fungsi signum g yang dibatasi (restriksi) pada domain [ 1, 1], g: [ 1, 1] R, yaitu 1, x > 0 g = 0, x = 0 1, x < 0 Dapat dimengerti bahwa fungsi g tidak memenuhi sifat nilai tengah derivative pada [ 1, 1]. Oleh karenanya menggunakan Teorema Darboux, tidak terdapat fungsi f sehingga f x = g(x) untuk setiap x [ 1, 1]. Dengan kata lain tidak ada fungsi pada [ 1, 1] yang mempunyai turunan fungsi g. LATIHAN 2 1. Tentukan ekstrem relative, interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun a. f x = x + 1 x, x 0 b. g x = 1, x R x 2 +1 c. x = x 2 x + 2, x > 0 d. k x = 2x + 1, x 0 x 2 2. Tentukan ekstrem relative fungsi-fungsi berikut dengan domain tertentu. a. f x = x 2 1, 4 x 4 3 b. g x = 1 (x 1) 2, 0 x 2 c. x = x x 2 12, 2 x 3 3 d. k x = x x 8, 0 x 9 3. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa sin x sin y x y, x, y R 19 Thobirin Herawan, Analisis Real II
9 4. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa x 1 < log x < x 1, untuk x > 1 x Teorema Nilai Rata-rata 5. Diberikan f: [a, b] R fungsi kontinu pada a, b dan terdiferensial pada (a, b), Tunjukkan bahwa, jika lim x a f (x) = A, maka f (a) = A 6. Diberikan f: R R didefinisikan dengan f x = x + 2x2 sin 1 x, x 0 0, x = 0 Tunjukkan bahwa fungsi f mempunyai minimum mutlak di x = 0, tetapi derivatifnya mempunyai nilai positif dan negative di sekitar Diberikan g: R R didefinisikan dengan g x = x + 2x2 sin 1 x, x 0 0, x = 0 Tunjukkan bahwa fungsi g 0 = 1, akan tetapi di sekitar 0 manapun derivatifnya mempunyai nilai positif dan negative, jadi fungsi g tidak monoton di sekitar Thobirin Herawan, Analisis Real II
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciBahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciMuhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D
1 TURUNAN, Ph.D TURUNAN 3 1 Turunan Kita mulai diskusi ini dengan memperkenalkan denisi turunan suatu fungsi Denisi 1. Misalkan I R; f : I! R dan c 2 I: Bilangan L 2 R dikatakan merupakan turunan dari
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciBAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,
BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang
Lebih terperinciKalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Lebih terperinci(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinci4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX KALKULUS DIFERENSIAL Prepared By : W. Rofianto ROFI 010 TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
BAB 4 LIMIT DAN KEKONTINUAN Everything should made as simple as possible, but no simpler. Albert EINSTEIN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuhnya matematika
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciAsimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN
FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciBAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum
Lebih terperinciBAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi
.. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A
Lebih terperinciDari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif
Lebih terperinciBAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK. A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan Pada bagian A ini pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yang pertama membahas mengenai transformasi
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciKuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika bersifat universal dan banyak kaitannya dengan kehidupan nyata. Matematika berperan sebagai ratu ilmu sekaligus sebagai pelayan ilmu-ilmu yang lain. Kajian
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciDefinisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Lebih terperinci, maka., maka 1 = 1 +1 <3 1 < = 10 3 =1
LATIHAN 4.1 1. Tentukan sebuah kondisi pada 1 yang akan menjamin bahwa : a. 1 < Penyelesaian: Kita perhatikan 1 = 1 +1
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinci