BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,

Transkripsi

1 BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang persekitaran-ε, hanya berlaku jika x terletak pada persekitaran-δ dari c, dan x c. Pemilihan nilai δ bergantung pada pemilihan nilai ε, sehingga kadang-kadang ditulis δ = δ(ε). Yang perlu diperhatikan adalah, f tidak harus terdefinisi di c, tetapi harus terdefinisi pada titiktitik di sekitar c (terletak pada persekitaran-δ dari c) 6.1 Definisi A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c, = (c-δ, c + δ), memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c. Dengan kata lain : A R, c titik limit dari A jika A {c} Contoh : 1. A 1 = (0,1), 0 merupakan titik limit dari A 1? = A 1 {0} = - {0}. Jadi, 0 merupakan titik limit dari A 1. 1 merupakan titik limit dari A 1? =. A 1 {1} = - {1} =. Jadi,..

2 Dengan demikian, titik limit dari A 1 adalah.. 2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Buktikan! 3. A 2 = { n N}. 0 merupakan satu-satunya titik limit dari A Teorema Bilangan real c adalah titik limit dari A, A R, jika dan hanya jika ada barisan (a n ) dalam A dan a n c, n N sedemikian hingga lim (a n ) = c ( ) A R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan ada barisan (a n ) dalam A dan a n c, n N sedemikian hingga lim (a n ) = c c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n N, persekitaran- dari c, yaitu memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan c. Jika a n, n N merupakan titik-titik tersebut, maka a n A, a n c, dan lim (a n ) = c. (terbukti) ( ) jika ada barisan (a n ) dalam A dan a n c, n N sedemikian hingga lim (a n ) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A (a n ) dalam A dan a n c maka (a n ) dalam A {c}, dan lim (a n ) = c, artinya untuk sembarang δ > 0, K(δ) N, sehingga jika n K(δ), maka a n. Dengan kata lain, terdapat persekitaran-δ dari c,, yang memuat titik-titik a n, n K(δ), a n A dan a n c. Jadi, c merupakantitik limit dari A. 6.3 Definisi Limit A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A

3 Bilangan real L merupakan limit dari f di c, jika untuk sembarang persekitaran-ε dari L,, ada persekitaran-δ dari c,, sedemikian hingga untuk sembarang x A, x c, maka f(x). Catatan Pengambilan nilai δ bergantung pada pengambilan ε, sehingga kadang-kadang δ ditulis dengan δ(ε). Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan ditulis : L = lim atau L = lim f(x) menuju L untuk x menuju c 6.4 Teorema Jika f : A R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c. Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L 1 dan L 2, L 1 L 2. Pilih ε > 0, sehingga dan saling asing, yaitu ε = L 1 L 2. L 1 merupakan limit f di c, maka δ 1 > 0, sehingga jika x A, x c f(x) L 2 merupakan limit f di c, maka δ 2 > 0, sehingga jika x A, x c f(x) Ambil δ = min{δ 1, δ 2 }, dan merupakan persekitaran-δ dari c. Karena c merupakan titik limit dari A, maka paling sedikit terdapat satu titik dalam A, yaitu x 0 c dan x 0 A. Sebagai akibatnya, f(x 0 ), dan f(x 0 ). Hal tersebut kontradiksi dengan.. Kontradiksi tersebut terjadi karena asumsi bahwa., akibatnya..

4 Kriteria ε δ untuk Limit 6.5 Teorema f : A R, c titik limit dari A, maka : (i) lim L jika dan hanya jika (ii) Untuk sembarang ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x A dan 0 < x - c < δ(ε), maka f(x) - L < ε. (i) (ii) Jika f mempunyai limit L di c. Maka untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, sehingga untuk setiap x A dan x, x c, maka f(x). Apabila kita uraikan satu-persatu dari pernyataan di atas, akan terdapat : * untuk sembarang ε > 0 terdapat δ(ε) > 0, berarti.. ** untuk setiap x A dan x, x c, berarti x A,., dan.. *** f(x), berarti.. Jika *, **, dan *** kita gabungkan, maka akan diperoleh. (iii) (i) Untuk sembarang ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sehingga jika x A dan 0 < x - c < δ(ε), maka f(x) - L < ε. Kita uraikan masing-masing pernyataan tersebut : * Untuk sembarang ε > 0, maka akan diperoleh ** Terdapat δ(ε) > 0, artinya.. *** x A dan 0 < x - c < δ(ε) artinya x A dan x - c > 0 dan x - c < δ(ε), sehingga diperoleh dan. **** f(x) - L < ε artinya.. Dari *, **, ***, dan **** dapat disimpulkan.. Contoh -contoh 1. Tentukan x - 1 agar memenuhi x 2-1 <

5 Jawab : Ambil x - 1 < 1, maka akan diperoleh :. < x-1 <. < x < < x + 1< x 2-1 < (x 1)(x + 1) < x - 1 x +1 <.. x - 1 <, jadi x lim = b Tampak bahwa f(x) =, x R. Agar lim = b, maka ε > 0, ambil δ = 1, sehingga jika 0 < x - c < 1 diperoleh f(x) - b = b - b = 0 < ε. Terbukti bahwa.. 3. lim = c g(x) =.. x R. Jika ε > 0, ambil δ =, sehingga jika 0 < x - c < δ maka diperoleh g(x) c = -. < ε. Karena ε diambil sembarang, maka terbukti bahwa.. 4. lim = c 2 h(x) =.. x R. Untuk menunjukkan lim = c 2, maka harus ditunjukkan : h(x) c 2 = -. < ε Ambil sembarang ε > 0 dan x yang cukup dekat dengan c. Misal x - c < 1. Pergunakan teorema ketidaksamaan -, diperoleh : x c + 1 sehingga x + c x + c..

6 Oleh karena itu, jika x - c < 1, maka akan diperoleh : (*) x 2 c 2 =.. x - c dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari ε. Hal tersebut akan dipenuhi jika x - c <.. (1) Oleh karena itu, pilih δ(ε) = inf (1,..) ; sehingga jika 0 < x - c < δ(ε) maka memenuhi: x - c < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan dari (1) diperoleh x 2 c 2 x - c < ε. Karena nilai δ(ε) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai ε > 0, maka terbukti bahwa.. Kriteria Barisan Untuk Limit 6.6 Teorema (Kriteria Barisan) f : A R, dan c merupakan titik limit dari A; maka : (i) lim L jika dan hanya jika (ii) Untuk setiap barisan (x n ) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga x n c, n N, maka barisan (f(x n )) konvergen ke L (i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (x n ) merupakan barisan dalam A dengan lim(x n ) = c dan x n c, n N. Kita harus menunjukkan bahwa barisan (f(x n )) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut kriteria..), jika diambil sembarang ε > 0 akan terdapat., sehingga jika x memenuhi. < x - c <.., dengan x A, maka f(x) memenuhi f(x) - L < ε lim(x n ) = c, artinya untuk sembarang δ > 0, K(δ) N, sehingga untuk n K(δ) berlaku (2) Tetapi, setiap x n memenuhi (1). Jadi, jika n K(δ) maka berlaku f(x n ) - L < ε artinya.

7 (ii) (i) Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu dengan mengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar. Andaikan lim L, maka akan ada persekitaran-ε 0 dari L,, sehingga untuk setiap persekitaran-δ dari c,, yang diambil, terdapat paling sedikit satu nilai x δ A dengan x δ c, tetapi f(x δ ). Oleh karena itu, n N, persekitaran- dari c, memuat bilangan x n, sedemikian hingga 0 < x n - c <, dan x n A Tetapi, f(x n ) - L ε 0, n N. Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (x n ) termuat dalam A {c} yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(x n )) tidak konvergen ke L. Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar! Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan. Contoh : Jika (x n ) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu bilangan c, maka (x 2 n ) konvergen ke c 2. Oleh karena itu, dengan menggunakan Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x 2 mempunyai limit : lim c 2 Kriteria Divergensi Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada suatu titik. 6.7 Kriteria Divergensi A R, f : A R, dan c merupakan titik limit dari A. (a) Jika L R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika barisan (x n ) dalam A, x n c n N, sehingga barisan (x n ) konvergen ke c, tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke L.

8 (b) Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika barisan (x n ) dalam A, x n c Contoh : n N, sehingga barisan (x n ) konvergen ke c, tetapi (f(x n )) tidak konvergen di R. 1. lim tidak ada di R. Jika diambil barisan (x n ) dengan x n =, untuk n N, maka lim (x n) = 0, tetapi ϕ(x n ) = = n, dan barisan (ϕ(x n )) =(n) merupakan barisan yang tidak konvergen karena. Oleh karena itu menurut teorema 6.7 disimpulkan bahwa.. 2. lim tidak ada. 1 0 Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut : sgn (x) Ingat bahwa sgn (x) = untuk x 0. Akan ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan ditunjukkan lim tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (x n ) dan lim (x n ) = 0, tetapi.. Ambil x n =, untuk n N, maka lim (x n) = dan sgn(x n ) =. untuk n N, sehingga.. Jadi, lim tidak ada. 3. lim sin tidak ada di R.

9 Jika g(x) = sin, untuk x 0. Akan ditunjukkan bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c dengan menetapkan dua barisan (x n ) dan (y n ), dimana x n 0 dan y n 0, n N sedemikian hingga lim (x n ) = 0 dan lim (y n ) = 0 tetapi lim (g(x n )) lim (g(y n )), hal itu menunjukkan bahwa lim tidak ada. Ingat : sin t = 0 jika t = n, dan sint = + 1 jika t = 2, untuk n Z. Ambil x n = untuk n N, maka lim (x n) =.. dan g(x n ) = = n N, sehingga lim (g(x n )) = Ambil y n =, untuk n N, maka lim (y n) =.. dan g(y n ) = =, n N sehingga lim (g(y n )) = Karena., maka lim sin tidak ada di R.

10