BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada"

Transkripsi

1 BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi Bervariasi Terbatas. Pada BAB II ini dibahas mengenai sifat-sifat bilangan real, topologi bilangan real, barisan, limit dan kekontinuan fungsi. 2.1 Sifat-sifat dan Topologi Bilangan Real Sifat-sifat bilangan real yang akan dibahas meliputi pengertian dan sifatsifat nilai mutlak. Selain sifat-sifat bilangan real, juga akan dibahas topologi bilangan real. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk sebarang a R, nilai mutlak, dituliskan dengan a, didefinisikan dengan a a, jika a > 0, = 0, jika a = 0, a, jika a < 0. Sebagai contoh 3 = 3, -7 = - (-7) = 7, dan 0 = 0. 6

2 7 Teorema (Darmawijaya, S., 2006). Untuk setiap x, y, dan z bilangan real, berlaku sifat-sifat sebagai berikut: i. x 0 x = 0 jika dan hanya jika x = 0. ii. x = x. iii. xy = x y. iv. Jika y 0, maka x y jika dan hanya jika y x y. v. x x x. Bukti : (i) Dari Definisi 2.1.1, 0 untuk setiap. Jika 0, menurut Definisi diperoleh 0. Sebaliknya, jika 0, maka 0 atau equivalen dengan 0 berakibat 0. (ii) Jika 0, Jika 0, maka 0 sehingga. Jika 0 maka. (iii) Jika salah satu 0 atau 0 maka mudah dipahami bahwa. Jika 0 dan 0, atau 0 dan 0, maka 0 sehingga.. Jika 0 dan 0, maka 0 sehingga. (iv) Dari diperoleh dan yang berakibat dan yang ekuivalen dengan. (v) Jelas bahwa 0 sehingga menurut (iv), diperoleh.

3 8 Teorema (Pertidaksamaan Segitiga) (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap x, y R, berlaku.. Bukti : 0 = x + 2xy + y 2 2 x + 2 xy + y 2 2 = x + 2 x. y + y 2 2 = ( x + y ) 2 Jadi terbukti. Teorema (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap a dan b R berlaku i. x y x + y. ii. x y x y. Bukti: (i) Menurut hukum pertidaksamaan segitiga diketahui bahwa x + y x + y, subtitusikan y dengan x + ( y) x + ( y) x y x + y y, sehingga diperoleh x y x + y, karena y = y. (ii) Karena x = x y + y, maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh x = ( x y) + y x y + y yang berarti x y x y.

4 9 Karena y = y x + x, maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh y = ( y x) + x y x + x yang berarti x y x y. Karena x y x y dan x y x y sehingga diperoleh x y x y. Selanjutnya akan dibahas tentang batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan bilangan real. Definisi (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R dan A φ. i. Bilangan u R disebut batas atas A, jika a u untuk semua a A. ii. Bilangan v R disebut batas bawah A, jika v a untuk semua a A. iii. Himpunan A yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke atas. iv. Himpunan A yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke bawah. v. Himpunan A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Contoh Diberikan himpunan A = {a a < 5}, himpunan A terbatas ke atas, karena terdapat x,yaitu x a untuk setiap a A ( x merupakan batas atas dari himpunan A ). Diperoleh x 5, yaitu x = 5, 6,, atau dengan kata lain contoh batas atas dari himpunan A adalah x 1 = 5, x 2 = 6, x 3 =7,999, x 4 = 100,.

5 10 Sehingga dapat dibentuk himpunan semua batas atas dari himpunan A, misalkan X, dengan X = {x x 5}. Berikut ini diberikan pengertian tentang supremum dan infimum. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan A dan A. i. Jika A terbatas ke atas, maka ada bilangan u yang disebut supremum (batas atas terkecil) dari himpunan A, ditulis sup A, jika memenuhi: a. u batas atas dari himpunan A. b. Jika k sebarang batas atas A, maka u k. ii. Jika A terbatas ke bawah, maka ada bilangan v yang disebut Infimum (batas bawah terbesar) dari A, ditulis inf A, jika memenuhi: a. v batas bawah himpunan A. b. Jika l sebarang batas bawah A, maka v l. Contoh Diberikan himpunan A = [1, 2) {3, 4}, himpunan A merupakan himpunan yang terbatas dengan infimum 1 dan supremum 4. Teorema (Supremum dan infimum) (Darmawijaya, S., 2006). i. u supremum himpunan A jika dan hanya jika a. u batas atas A, yaitu untuk setiap a A berakibat a u, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a A sehingga u < a u.

6 11 ii. v infimum himpunan A jika dan hanya jika a. v batas bawah A, yaitu untuk setiap a A berakibat a v, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a A sehingga v a < v +. Bukti: i. ( ) Karena u supremum (batas atas terkecil) himpunan A, maka u bukan batas atas himpunan A. Hal ini berarti ada a A sehingga u < a. Selanjutnya karena u batas atas terkecil himpunan A, maka setiap a A berlaku a u, khususnya a u. Dengan demikian terbukti ada a A sehingga u < a u. ( ) Karena diketahui bahwa a u untuk setiap a A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga u < a diperoleh u batas atas dan tak ada batas atas u 1 (yang lain) dengan u 1 < u. Sebab jika ada maka dengan mengambil = u u 1 diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a A sehingga u - < a atau u 1 = u (u u 1 ) < a. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum. ii. ( ) Karena v infimum (batas bawah terbesar) himpunan A, maka v + bukan batas bawah himpunan A, hal ini berarti ada a A sehingga a < v +. Selanjutnya karena v batas bawah terbesar himpunan A, maka setiap a A berlaku a v, khususnya v a. Dengan demikian terbukti ada a A sehingga v a < v +. ( ) Karena diketahui bahwa a v untuk setiap a A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga a < v + diperoleh v batas bawah

7 12 dan tak ada batas bawah v 1 (yang lain) dengan v 1 > v. Sebab jika ada maka dengan mengambil = v 1 - v diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a A sehingga a < v + 1 atau a < v + (v 1 v) = v 1. Dengan kata lain terbukti bahwa v merupakan infimum. Teorema (Aksioma Supremum pada R )(Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke atas di dalam R mempunyai supremum. Bukti: Misalkan himpunan A, A, dan A terbatas ke atas, serta u = batas atas A, sehingga a u untuk setiap a A, dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga u < a. Andaikan terdapat batas atas lain yang lebih kecil, misalnya u 1 dengan u 1 < u, maka dengan mengambil 1 = u u 1 sehingga ada a A. Sehingga u - < a atau u 1 = u (u u 1 ) < a, sedangkan untuk u 1 batas atas terkecil seharusnya u 1 a, sehingga pengandaian salah, yaitu tidak terdapat batas atas yang lebih kecil dari pada batas atas u. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum A. Teorema (Akibat Aksioma Supremum) (Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong dan terbatas ke bawah di dalam R mempunyai infimum.

8 13 Bukti: Sifat infimum dapat diturunkan dari sifat supremum. Misalkan himpunan A, A, dan A mempunyai batas bawah. Didefinisikan himpunan A 1 = {-a : a A}. Akan dibuktikan jika A terbatas bawah maka A 1 terbatas atas. Ambil sebarang batas bawah A, misalkan w, maka w a untuk setiap a A. Sehingga w -a (untuk setiap -a A 1 ), jadi w batas atas A 1. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa u = infimum A. Karena u = sup A 1, maka u -a untuk setiap -a A 1. Sehingga (-u) a untuk setiap a A. Jadi u merupakan batas bawah A sehingga u inf A. (2.1) Misalkan w = inf A maka w a untuk setiap a A, sehingga w -a untuk setiap -a A 1. Jadi w batas atas A 1 sehingga -w sup A 1 = u. Oleh karena itu inf A = w - u (2.2) dari pertidaksamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh inf A = -u. Jadi didapatkan akibat aksioma supremum sebagai berikut; Setiap himpunan bilangan nyata tak kosong dan terbatas ke bawah mempunyai infimum.

9 14 Sifat himpunan bilangan real yang lain adalah sifat Archimedes. Berikut diberikan sifat Archimedes pada himpunan bilangan real. Teorema (Sifat Archimedes) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika x R, maka terdapat bilangan n N sehingga x < n. Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Diambil sebarang x R. Andaikan tidak terdapat bilangan n N sehingga x < n. Berarti untuk setiap n N berlaku x n, akibatnya x merupakan batas atas N. Dengan aksioma supremum, karena N φ, N R dan N terbatas ke atas, maka N mempunyai supremum katakan u =sup N. Jika diambil bilangan ε = 1, maka menurut Lemma terdapat m N sehingga u 1 < m u yang mengakibatkan u < m + 1 u + 1. Karena m + 1 N, terjadi kontradiksi. Pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, yang benar untuk setiap x R, terdapat n N, x < n. Selanjutnya akan dibahas mengenai pengertian dan sifat interval di dalam R. Untuk sebarang a, b R, didefinisikan interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b sebagai berikut (Pfeffer W.F, 1993): [ a b] = { x R a x b}, :, ( a b) = { x R a < x < b}, :, [ a b) = { x R a x < b}, :, dan ( a, b] = { x R : a < x b}

10 15 berturut-turut disebut interval tertutup, terbuka, dan setengah terbuka di dalam R. Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam R dikatakan non degenerate jika a < b, selanjutnya interval tertutup non degenerate disebut sel (cell). Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam R mempunyai panjang interval yang dituliskan dengan l ([ a, b] ), l ([ a, b) ), (( a, b] ) l, atau l (( a, b) ) yang didefinisikan ([, ]) ([, )) ((, ]) ((, )) l a b = l a b = l a b = l a b = b a. Selanjutnya akan dikenalkan topologi pada R, seperti kedudukan titiktitik di dalam himpunan, sifat-sifat himpunan, dan lainnya. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui a R, r > 0. Persekitaran a dengan radius r, dinotasikan N ( a ), didefinisikan { R } N ( a) = x : x a < r. r r ( ) Gambar 2.1. persekitaran a dengan radius r Dengan demikian, untuk a R, 0 r >, diperoleh N ( a) ( a r, a r) r = +.

11 16 Contoh Interval terbuka (, 1 ) merupakan persekitaran 1 dengan radius r =, dapat ditulis dengan (1). 2. Interval terbuka (a, b) merupakan persekitaran dapat ditulis dengan ( ). dengan radius r =, Definisi (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. i. Titik x A disebut titik-dalam (interior-point) himpunan A jika ada bilangan r > 0 sehingga N ( x) A. r ii. Titik x A disebut titik-limit (limit-point) atau titik cluster himpunan A jika untuk sebarang bilangan 0 r > berlaku N ( x) A { x} r. iii. Titik x A disebut titik-batas (boundary-point) himpunan A jika untuk c sebarang bilangan r > 0 maka N ( x) A dan N ( x) A. r r Contoh (i) Misal 1,2 3,4. Setiap 1,2 merupakan titik-dalam himpunan A, karena ada bilangan dengan 0. 1,2 sehingga berlaku N δ ( x) A. Sedangkan 2,3,4 bukan titik-dalam himpunan A. (ii) Misal 1,2 3,4. Setiap 1,2 merupakan titik-limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku N ( x) A { x} r.

12 17 (iii) Misal 1,2 3,4. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan 0 diperoleh Nr ( p), ( p = 1,2,3,4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota A c. Definisi (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. i. Himpunan o A merupakan himpunan semua titik-dalam pada himpunan A. ii. Himpunan A ' merupakan himpunan semua titik-limit pada himpunan A. iii. Himpunan ( A) merupakan himpunan semua titik-batas himpunan pada A. Definisi (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A R. i. Himpunan A dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam A. ii. Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika c A terbuka. Definisi (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A, B R. Himpunan A dan B dikatakan tidak saling tumpang-tindih (non-overlapping) jika A o o B =.

13 18 Definisi (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. Titik p disebut titik terasing ( isolated point) himpunan A, jika p A dan p bukan titik-limit himpunan A. Contoh Misal 1,2 3,4. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan 0 diperoleh Nr ( p), ( p = 1,2,3,4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota A c. Bilangan 3 dan 4 masing-masing merupakan titik-terasing himpunan A, sebab dengan mengambil 1/2, diperoleh N 1/2 (3) A = {3}, dan N 1/2 (4) A = {4}. Selain itu 3 dan 4 juga bukan titik-limit himpunan A. 2.2 Limit Fungsi Berikut akan dibahas mengenai konsep limit fungsi yaitu definisi limit fungsi di suatu titik, sifat-sifat limit fungsi, dan definisi limit kiri dan limit kanan suatu fungsi. Definisi (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Misalkan A, suatu titik c disebut titik cluster jika untuk setiap > 0 terdapat paling sedikit satu titik x A, x c, sedemikian sehingga x c <. Sebagai contoh, misalkan A = (0, 1], sehingga A = {x : 0 x 1} merupakan himpunan titik cluster dari A.

14 19 Definisi (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Diberikan fungsi f : A dan c titik cluster A. Bilangan L disebut limit fungsi f di c, jika untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x A dengan 0 < x c < δ, maka f ( x) L < ε. Limit fungsi f dengan nilai L pada definisi diatas dapat ditulis dengan, lim Contoh Misalkan fungsi f : A, c titik cluster A, dan f (x) = b untuk semua x. Akan ditunjukkan bahwa lim. Jika diambil sebarang > 0 terdapat > 0, misalkan = 1, maka jika 0 < x c < 1, diperoleh f(x) b = b b = 0 <. Karena diambil sebarang sehingga dari definisi diperoleh lim. Contoh Diberikan fungsi 2 1,. Akan ditunjukan bahwa lim Misal diberikan 0. Akan ditemukan 0 sedemikian hingga jika 0 < x 3 < δ maka f ( x) L < ε, dimana 2x 1 = 5. Sekarang didapatkan bahwa f ( x) 5 = (2x 1) 5 = 2x 6 = 2 x 3 dan ini akan akan ε ε kurang dari ε jika x 3 <. Dengan demikian dapat diambil δ = sehingga 2 2 ε jika 0 < x 3 < δ = maka f ( x) 5 = 2 x 3 < 2δ = ε. Sehingga untuk ε > 0 2

15 20 dapat dipilih 0 sedemikian sehingga jika 0 < x 3 < δ maka f ( x) 5 =< ε. Jadi benar bahwa lim Teorema (Parzynski, W. R. dan Zipse, P. W, 1982) Jika L = lim dan G = lim maka lim = L+G. Bukti: Misalkan diambil bilangan > 0. Karena L = lim, terdapat 1 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x a < 1 maka f (x) L <. Karena G = lim, terdapat 2 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x a < 2 maka g (x) G = G - g(x) <. Misalkan = min( 1, 2 ), maka jika 0 < x a <, diperoleh (f(x) g(x)) ( L G) = ( f(x) L )+( G - g(x)) f(x) L + G - g(x) = + =. Sehingga lim ) = L + G. Selain definisi tentang limit di suatu titik, berikut diberikan definisi tentang limit kanan dan limit kiri suatu fungsi. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[ a, b] R. i. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kanan di c, jika terdapat L R, sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk

16 21 setiap x [ a, b) lim f ( x) = L. +, x < c < x + δ, berlaku f ( x) L < ε dan dituliskan ii. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kiri di c, jika terdapat K R, sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk setiap x ( a, b] lim f ( x) = K., x δ < c < x, berlaku f ( x) K < ε dan dituliskan Berdasarkan Definisi 2.2.4, jika fungsi f mempunyai limit kanan untuk setiap x [ a, b) +, dituliskan f ( c ) = lim f ( x) dan jika fungsi f mempunyai limit kiri untuk setiap x ( a, b] +, dituliskan f ( c ) = lim f ( x). Teorema Diberikan fungsi f, g :[ a, b] R. Jika lim f ( x) = K dan lim g( x) = L, maka berlaku lim f + g ( x) = K + L. i. ( ) + ii. untuk sebarang α R, ( α ) + lim f ( x) = αk. + + Teorema Diberikan fungsi f, g :[ a, b] R. Jika lim f ( x) = K dan lim g( x) = L, maka berlaku

17 22 lim f + g ( x) = K + L. i. ( ) ii. untuk sebarang α R, ( α ) lim f ( x) = αk. 2.3 Fungsi Kontinu Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep kekontinuan fungsi, meliputi definisi fungsi kontinu di suatu titik dan fungsi kontinu pada himpunan. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A R R dikatakan kontinu di c A jika untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x A dengan x c < δ berlaku < ε. Dengan kata lain Fungsi f : A R R dikatakan kontinu di jika diberikan persekitaran Nε ( f ( c)) dari maka terdapat Nδ ( c) dari sehingga jika berada di A N ( c), maka berada di N ( f ( c)). Jika adalah suatu δ titik cluster, maka definisi tersebut sebanding dengan definisi limit yang menunjukan bahwa kontinu di jika dan hanya jika f ( c) = lim( x), Jadi, jika adalah titik cluster, maka tiga kondisi harus dipenuhi: (i) harus terdefinisi di, (ii) limit di harus ada di, dan (iii) nilai ada dan sama dengan lim. ε

18 23 Contoh Diberikan fungsi, maka kontinu di 2 karena (i) terdefinisi di 2, yaitu (ii) lim lim 2. (iii) Berdasarkan (i) dan (ii) dapat diketahui bahwa nilai sama dengan lim lim. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A R R dikatakan kontinu pada A jika untuk setiap x A, fungsi f kontinu di x. Contoh Fungsi 3 adalah fungsi kontinu pada selang, dimana,. Misal ambil sebarang selang,, yaitu (-3,5) dengan 3 5 untuk. Maka jelas untuk setiap memenuhi definisi sedemikian hingga lim untuk setiap 3, Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas Berikut ini diberikan definisi mengenai Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas. Terlebih dahulu akan dibahas tentang Fungsi Monoton. Kemonotonan fungsi pada suatu selang dapat dilihat dengan membandingkan nilainya di setiap titik pada selang itu. Secara intuitif, suatu fungsi yang nilainya semakin besar

19 24 adalah monoton naik, sedangkan fungsi yang nilainya semakin kecil adalah monoton turun. Fungsi Monoton pada suatu selang didefinisikan sebagai berikut. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[, ] a b R, i. Fungsi f dikatakan turun monoton (monotonically decreasing) pada [ a, b ], jika untuk setiap x, y [ a, b], dengan x y <, berlaku f ( x) f ( y). ii. Fungsi f dikatakan naik monoton (monotonically increasing) pada [ a, b ], jika untuk setiap x, y [ a, b], dengan x y <, berlaku f ( x) f ( y). iii. Fungsi f disebut fungsi monoton (monotonic function) pada [ a, b ], jika fungsi f naik monoton atau turun monoton. Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi Fungsi Terbatas pada [ a, b ] dan contoh untuk memahami definisi yang diberikan. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f :[ a, b] R dikatakan terbatas (bounded), jika terdapat M > 0, dengan sifat f ( x) M, untuk setiap x [ a, b ]. Contoh Misalkan didefinisikan fungsi f pada interval A = [1, 4] dengan f (x) = x 2 +3, fungsi f(x) terbatas di A, karena untuk x [1, 4] dapat diambil M = 20 sehingga f(x) < 20 = M.

20 25 Gambar 2.2. Grafik Fungsi f x 2 ( ) = x Turunan (Derivative) Fungsi Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep turunan (derivative) fungsi, meliputi definisi turunan (derivative) fungsi di suatu titik, turunan (derivative) fungsi pada himpunan, dan beberapa sifatnya. Definisi (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[ a, b] R dan titik c (a,b). Bilangan L disebut derivative fungsi f di titk c jika untuk setiap terdapat δ >0 sehingga untuk setiap x [a,b] dengan 0< < δ berlaku L < ε. x c Selanjutnya bilangan L disebut derivative fungsi f di titik c dan ditulis dengan f (c)=l. Derivative fungsi f dititik c diberikan dengan f '( c) = lim. x c

21 26 Fungsi f dikatakan terdeferensial pada [a,b] jika fungsi f mempunyai derivative disetiap titik c [a,b]. Selanjutnya fungsi f dikatakan terdeferensial kontinu pada [a,b] jika f mempunyai derivative disetiap titik di c (a,b) dan f kontinu pada [a,b]. Himpunan fungsi-fungsi yang terdeferensial kontinu pada [a,b] ditulis C 1 [ a, b ]. Contoh Akan ditentukan derivatif untuk. Misalkan di maka 2 2 x c ( x c)( x + c) f '( c) = lim = lim = lim = lim( x + c) = 2c. x c x c x c Jadi dalam hal ini fungsi didefinisikan di semua dan 2 untuk. Misal diambil nilai untuk 3, didapat derivative fungsi di titik 3 adalah Teorema (Teorema Nilai Tengah) (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui fungsi f :[ a, b] R kontinu pada [ a, b] jika [ ] dengan f ( x) k f ( y) < < maka terdapat c [ a, b] sehingga f ( c) = k. x, y a, b, k R Teorema (Teorema Nilai Rata-Rata) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika diketahui fungsi f :[ a, b] R kontinu pada [, ] ( a, b) maka terdapat c ( a, b) sehingga f ( b) f ( a) = f '( c)( b a). a b dan terdeferensial pada

22 27 Teorema (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika : mempunyai sebuah turunan di, maka kontinu di Bukti: untuk semua, diperoleh = ( x c) x c Karena ada, maka ( f x f c ) = ( x c ) lim ( ) ( ) lim lim( ) x c lim = f '( c).0 lim f ( x) lim f ( c) = 0 lim f ( x) = lim f ( c) lim f ( x) = f ( c) Karena lim f ( x ) = f ( c ), dengan demikian kontinu di. Teorema (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika f : I R terdeferensial di interval, maka a) f naik di jika dan hanya jika f '( x) 0 untuk semua b) f turun di jika dan hanya jika f '( x) 0 untuk semua Bukti: a) ( ) Akan dibuktikan fungsi naik. Andaikan f '( x) 0 untuk semua. Jika x1, x 2 di memenuhi x1 < x2 maka akan digunakan teorema nilai rata-

23 28 rata untuk di interval tertutup j = [ x1, x2] untuk memperoleh suatu titik di ( x, x ) sedemikian hingga 1 2 f ( x ) f ( x ) = f '( c)( x x ) Karena f '( c) 0 dan x2 x1 > 0 sehingga f ( x2) f ( x1 ) 0, dengan kata lain f ( x2) f ( x1 ). Karena f ( x1 ) f ( x2) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di, dengan demikian disimpulkan bahwa naik di. ( ) Akan dibuktian 0. Andaikan terdeferensial dan naik di. Untuk sebarang ( atau ) ( untuk 0 karena fungsi naik didapat 0 sehingga 0, dan untuk 0 karena fungsi naik didapat x c 0 sehingga 0. Selanjutnya, karena x c 0 x c ), maka f '( c) = lim x c dan 0 lim lim 0 x c x c lim 0 x c Dapat disimpulkan bahwa 0. b) ( ) Akan dibuktikan fungsi turun. Andaikan f '( x) 0 untuk semua. Jika x1, x2 I memenuhi x1 < x2, maka akan digunakan teorema nilai rata-

24 29 rata untuk di himpunan interval j = [ x1, x2] untuk memperoleh suatu titik ( x, x ) sedemikian hingga di 1 2 f ( x ) f ( x ) = f '( c)( x x ) Karena f '( c) 0 dan x2 x1 > 0 sehingga f ( x2) f ( x1 ) 0, dengan kata lain f ( x2 ) f ( x1 ). Karena f ( x1 ) f ( x2) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di, dengan demikian disimpulkan bahwa turun di. ( ) Akan dibuktikan 0. Andaikan terdeferensial dan naik di. Untuk sebarang ( atau ). Untuk 0 karena fungsi turun didapat 0 sehingga 0 x c, dan untuk 0 karena fungsi turun didapat 0 sehingga 0 ), maka x c 0. Selanjutnya, karena x c f '( c) = lim x c dan 0 lim lim 0 x c x c lim 0 x c Dapat disimpulkan bahwa 0.

25 30 Contoh Akan ditentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi 6 5,. Selanjutnya dicari, yaitu 2 3. Untuk maka fungsi naik pada 3. Untuk maka fungsi turun pada 3.

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN

URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang

Lebih terperinci

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass,

II. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi Integral Atas dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, serta teorema-teorema yang mendukung

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3

Lebih terperinci

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c, BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1 FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281

Lebih terperinci

Pengantar : Induksi Matematika

Pengantar : Induksi Matematika Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian

Lebih terperinci

YOHANA SUWANDI NIM 83950

YOHANA SUWANDI NIM 83950 INTEGRAL MCSHANE TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains YOHANA SUWANDI NIM 83950 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111

TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

Oleh: Naning Sutriningsih

Oleh: Naning Sutriningsih Oleh: Naning Sutriningsih SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 0 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Allah Rabbul Alamin, atas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 An-2 1. PENDAHULUAN Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan

Lebih terperinci

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas

Lebih terperinci

Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji

Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,

Lebih terperinci

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN BAB 4 LIMIT DAN KEKONTINUAN Everything should made as simple as possible, but no simpler. Albert EINSTEIN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuhnya matematika

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)

KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?

Lebih terperinci

Coba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real.

Coba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real. TUGAS ANREAL BAB Dosen: Julan HERNADI SELESAIKAN SOAL-SOAL BERIKUT SEKUAT KEMAMPUAN YANG ANDA MI- LIKI. WALAUPUN DALAM KETERBATASAN INTELIGENSI, COBALAH BERUSAHA LEBIH KERAS DALAM BELAJAR.. Jelaskan peran

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak

SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com

Lebih terperinci

1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3

1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3 Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik

Lebih terperinci

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta

FOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Kajian Fungsi Metrik Preserving

Kajian Fungsi Metrik Preserving Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral

Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Johan Matheus Tuwankotta 1 February 2, 2012 1 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 10, Bandung, Indonesia. mailto:theo@math.itb.ac.id

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings

Lebih terperinci

Bab II Kajian Teori Copula

Bab II Kajian Teori Copula Bab Kajian Teori Copula.1 Pendahuluan Copula Tesis ini mengacu pada terminologi copula sebagai fungsi yang menghubungkan fungsi distribusi multivariat terhadap fungsi distribusi marginal uniform. Misalkan

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: 831143 PROGRAM

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik merupakan suatu

Lebih terperinci

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f). Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah

Lebih terperinci

, maka., maka 1 = 1 +1 <3 1 < = 10 3 =1

, maka., maka 1 = 1 +1 <3 1 < = 10 3 =1 LATIHAN 4.1 1. Tentukan sebuah kondisi pada 1 yang akan menjamin bahwa : a. 1 < Penyelesaian: Kita perhatikan 1 = 1 +1

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..

(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I.. 3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,

Lebih terperinci

Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral

Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Johan Matheus Tuwankotta March 5, 203 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia. mailto:theo@math.itb.ac.id

Lebih terperinci

HUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.

HUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Fuzzy berarti kabur atau samar-samar. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI

FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar

Lebih terperinci