I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)"

Transkripsi

1 I. Aljabar Himpunan

2 Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi, secara berturut-turut disajikan. Selanjutnya disajikan induksi matematika yang merupakan suatu alat atau metoda pembuktian dalam matematika. Jika A menyatakan suatu himpunan dan x adalah suatu elemen, kita tulis x A sebagai singkatan untuk pernyataan x adalah suatu elemen dari A, atau x adalah angota A, atau x berada dalam A, atau himpunan A memuat elemen x. Simbol x / A menyatakan bahwa x bukan elemen A. (Dept. of Math. UNAND) 3 / 42

3 Jika A dan B adalah dua himpunan sedemikian sehingga jika x A maka x B, maka kita katakan bahwa A termuat dalam B, atau B memuat A, atau A himpunan bagian (subset) dari B, dan ditulis A B atau B A. Jika A B dan ada suatu elemen B yang tidak di dalam A, kita katakan bahwa A adalah proper subset dari B. Definisi (1) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika himpunan A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Perhatikan bahwa, untuk membuktikan bahwa A = B, kita harus menunjukkan A B dan B A. Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan mendaftarkan elemen-elemennya atau menspesifikasikan suatu sifat yang menentukan elemen-elemen himpunan tersebut. (Dept. of Math. UNAND) 4 / 42

4 Kita akan sering menulis {x : P (x)}, dibaca himpunan semua elemen x sedemikian sehingga P (x), untuk menyatakan himpunan semua elemen-elemen x dimana sifat P berlaku. Jika kita perlu menspesifikasi elemen-elemen yang diuji untuk memenuhi sifat P, kita tulis {x S : P (x)}, untuk suatu subset S dimana sifat P berlaku. Sepanjang perkuliahan ini, akan digunakan beberapa himpunan yang mungkin telah familiar bagi kita semua, dan dinyatakan dengan simbol-simbol standar. (Dept. of Math. UNAND) 5 / 42

5 Himpunan bilangan-bilangan alam (Natural), dinyatakan dengan simbol N {1, 2, 3,..} Himpunan bilangan-bilangan bulat (Integer), dinyatakan dengan simbol Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Himpunan bilangan-bilangan rasional (Rational), dinyatakan dengan simbol Q { m n, m, n Z, n 0} Himpunan bilangan-bilangan riil (Real), dinyatakan dengan simbol R. (Dept. of Math. UNAND) 6 / 42

6 Operasi Himpunan Definisi (2) 1 Misalkan A dan B adalah dua himpuan, irisan (intersection) antara A dan B, ditulis A B, adalah himpunan semua elemen-elemen yang berada dalam A dan B, yakni: A B {x : x A dan x B}. 2 Gabungan (Union) dari A dan B, ditulis A B, adalah himpunan semua elemen-elemen yang berada dalam A atau B, yakni A B {x : x A atau x B}. Perlu diperhatikan bahwa perkataan atau dalam definisi (1) bermakna inclusive, artinya kalimat x A atau x B juga bermakna x berada dalam kedua himpunan. (Dept. of Math. UNAND) 7 / 42

7 Himpunan yang tidak mempunyai elemen disebut himpunan kosong (empty set) dan dinyatakan dengan simbol. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tanpa elemen persekutuan, yakni A B =, maka kita katakan bahwa A dan B saling asing (disjoint). Teorema-teorema berikut memperlihatkan beberapa sifat operasi aljabar himpunan. Sebagian bukti dibiarkan sebagai latihan. Teorema Misalkan A, B dan C adalah sebarang himpunan, maka 1 A A = A, A A = A (sifat idempoten) 2 A B = B A, A B = B A (sifat komutatif) 3 (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (sifat asosiatif) 4 A (B C) = (A B) (A C) (sifat distributif irisan) 5 A (B C) = (A B) (A C) (sifat distributif gabungan) (Dept. of Math. UNAND) 8 / 42

8 Bukti. Kita hanya membuktikan bagian (4) dan membiarkan bukti bagian lainnya sebagai latihan. Misalkan x A (B C), maka x A dan x (B C). Ini berarti bahwa x A, dan x B atau x C. Akibatnya x A dan x B, atau x A dan x C. Akibatnya x A B atau x A C, yakni x (A B) (A C) yang menunjukkan bahwa A (B C) (A B) (A C). Sebaliknya, misalkan y (A B) (A C), maka y (A B) atau y (A C). Ini berarti bahwa y A dan y B, atau y A dan y C. Akibatnya, kita mempunyai y A, dan y B atau y C. Akibatnya y A, dan y (B C), yakni y A (B C).Ini menunjukkan bahwa (A B) (A C) A (B C). Berdasarkan dua hasil ini, kita menyimpulkan bahwa A (B C) = (A B) (A C). (Dept. of Math. UNAND) 9 / 42

9 Definisi (3) Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A adalah himpunan semua elemen A yang tidak berada dalam B. Kita simbolkan himpunan ini sebagai A\B (dibaca A minus B). Beberapa pengarang menyimbolkannya sebagai A B atau A B. Dalam bentuk notasi pembentuk himpunan ditulis: A\B {x A, x / B}. Berikut ini adalah hukum De Morgan untuk tiga himpunan. Teorema Jika A, B dan C adalah sebarang himpunan, maka 1 A\(B C) = (A\B) (A\C) 2 A\(B C) = (A\B) (A\C). (Dept. of Math. UNAND) 10 / 42

10 Bukti. Kita hanya akan membuktikan bagian pertama, dan meninggalkan bagian kedua sebagai latihan. Untuk menunjukkan ini, kita perlu menunjukkan bahwa A\(B C) (A\B) (A\C) dan (A\B) (A\C) A\(B C). Terlebih dahulu, akan ditunjukkan A\(B C) (A\B) (A\C). x A\(B C) x A tetapi x / B C x A tetapi x / B dan x / C x A tetapi x / B dan x A tetapi x / C x A\B dan x A\C x A\B x A\C. Ini menunjukkan bahwa A\(B C) (A\B) (A\C). (Dept. of Math. UNAND) 11 / 42

11 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (A\B) (A\C) A\(B C). x (A\B) (A\C) x (A\B) dan x (A\C) x A tetapi x / B dan x A tetapi x / C x A tetapi x / B dan x / C x A tetapi x / B C x A\(B C) Ini menunjukkan bahwa A\(B C) (A\B) (A\C). Berdasarkan kedua fakta ini, kita menyimpulkan bahwa A\(B C) = (A\B) (A\C). (Dept. of Math. UNAND) 12 / 42

12 Hasil Kali Cartesian (Cartesian Product) Sekarang kita akan mendefinisikan hasil kali Cartesian dari dua himpunan. Definisi (4) Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka hasil kali Cartesian dari A dan B, disimbolkankan sebagai A B, didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan a A dan b B. Gambar 1.1 (Lihat Gambar 1.1). Sehingga jika A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}, maka A B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}. (Dept. of Math. UNAND) 13 / 42

13 Contoh lainnya, jika A = {x R : 1 x 2} dan B = {x R : 0 x 1 atau 2 x 3} maka A B dapat dilihat pada gambar 1.2. Gambar 1.2 (Dept. of Math. UNAND) 14 / 42

14 Soal 1 Buktikan bagian (3) dan (4) dari teorema 1. 2 Buktikan bahwa A B jika dan hanya jika A B = A. 3 Jika B A, tunjukkan bahwa B = A\(A\B). 4 Jika A dan B adalah himpunan sebarang, tunjukkan bahwa A B = A\(A\B). (Dept. of Math. UNAND) 15 / 42

15 Fungsi Sekarang akan didiskusikan gagasan fungsi atau pemetaan (mapping). Akan diperlihatkan bahwa fungsi adalah suatu himpunan, walaupun ada visualisasi lain yang sering digunakan. Bagi matematikawan abad yang lalu, perkataan fungsi biasa diartikan sebagai suatu rumus, misalnya f(x) x 2 + 5x 2, yang mengaitkan setiap bilangan riil x dengan bilangan riil yang lain f(x). Secara formal, definisi klasik dari fungsi adalah sebagai berikut: Suatu fungsi f dari himpunan A kehimpunan B adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap x A dengan suatu elemen tunggal f(x), dengan f(x) B. (Dept. of Math. UNAND) 16 / 42

16 Mungkin sulit untuk mengintepretasikan perkataan aturan dalam definisi tersebut. Jalan keluarnya, kita akan mendefinisikan fungsi menggunakan gagasan himpunan seperti yang disinggung pada bagian 1. kunci utamanya adalah memikirkan grafik suatu fungsi sebagai himpunan pasangan terurut tertentu. Perlu diperhatikan bahwa himpunan pasangan terurut sebarang mungkin bukan merupakan grafik suatu fungsi. Definisi (5) Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan-pasangan terurut dalam A B sedemikian sehingga untuk setiap a A terdapat secara tunggal b B dengan (a, b) f, yaitu jika (a, b) f dan (a, b ) f, maka b = b. (Dept. of Math. UNAND) 17 / 42

17 Himpunan A yang memuat urutan pertama dari elemen-elemen f disebut domain dari f, ditulis D(f), atau D f. Himpunan semua elemen-elemen B yang merupakan urutan kedua dari elemen-elemen f disebut range dari f, ditulis R(f), atau R f. Notasi f : A B menunjukkan bahwa f adalah suatu fungsi dari A ke B, atau f adalah suatu pemetaan dari A ke B, atau f memetakan A ke B. Lazim juga ditulis b = f(a) jika (a, b) f. Elemen b B adalah nilai dari f di titik a, atau peta (image) dari a dibawah f. (Dept. of Math. UNAND) 18 / 42

18 Transformasi dan Mesin Disamping grafik, kita dapat juga memvisualkan suatu fungsi sebagai suatu transformasi dari himpunan A = D(f) ke sebagian dari himpunan B. Dalam hal ini, bila (a, b) f kita anggap f mengambil elemen a A dan mentransformasikan atau memetakan ke suatu elemen b = f(a) dalam subset R(f) dari B, seperti yang terlihat dalam gambar 1.3. Gambar 1.3 (Dept. of Math. UNAND) 19 / 42

19 Ada cara lain untuk memvisualkan suatu fungsi, yaitu sebagai suatu mesin yang akan menerima elemen-elemen D(f) sebagai input dan menghasilkan elemen-elemen dalam R(f) sebagai output. Jika kita ambil suatu elemen x D(f) dan meletakkannya dalam f, maka akan menghasilkan f(x). Jika kita letakkan elemen yang berbeda y D(f) kedalam f, kita akan memperoleh f(y) (yang mungkin berbeda dari f(x)). Jika kita mencoba memasukkan sesuatu yang tidak berada dalam D(f), maka elemen ini tidak akan diterima oleh f. (Lihat gambar 1.4). (Dept. of Math. UNAND) 20 / 42

20 Gambar 1.4 Visualisasi ini menjelaskan perbedaan antara f dan f(x): f adalah mesin sedangkan f(x) adalah output dari mesin bila kita meletakkan x. (Dept. of Math. UNAND) 21 / 42

21 Pembatasan dan Perluasan Fungsi Misalkan f adalah suatu fungsi dengan domain D(f) dan D 1 D(f). Definisikan suatu fungsi baru f 1 yang domainnya domain D 1 dengan f 1 (x) = f(x) untuk semua x D 1. Fungsi f 1 ini disebut pembatasan f pada himpunan D 1, dan disimbolkan oleh f 1 = f D 1. Dalam notasi himpunan dapat ditulis: f 1 = {(a, b) f : a D 1 }. Jika g adalah suatu fungsi dengan domain D(g) dan D(g) D 2, maka sebarang fungsi g 2 dengan domain D 2 sedemikian sehingga g 2 (x) = g(x) untuk semua x D(g) disebut perluasan dari g pada D 2. (Dept. of Math. UNAND) 22 / 42

22 Peta dan Prapeta Definisi (6) Misalkan f : A B adalah suatu fungsi dengan D f = A dan R f B. Jika E A, maka peta dari E dibawah f adalah subset f(e), dengan f(e) B, yang diberikan oleh f(e) {f(x) : x E}. Jika H B, maka prapeta dari H dibawah f adalah subset f 1 (H), dengan f 1 (H) A, yang diberikan oleh f 1 (H) {x A : f(x) H}. Sehingga, jika diberikan suatu himpunan E A, maka suatu titik y 1 B berada dalam peta f(e) jika dan hanya jika terdapat sekurang-kurangnya satu titik x 1 E sedemikian sehingga y 1 = f(x 1 ). (Dept. of Math. UNAND) 23 / 42

23 Dengan cara yang sama, jika diberikan suatu himpunan H B, maka suatu titik x 2 A berada dalam prapeta f 1 (H) jika dan hanya jika y 2 = f(x 2 ) H. Contoh. Misalkan f : R R didefinisikan oleh f(x) = x 2. Peta dari himpunan E = {x : 0 x 2} adalah himpunan f(e) = {y : 0 y 4}. Jika G = {y : 0 y 4}, maka prapeta dari G adalah himpunan f 1 (G) = {x : 2 x 2}. Sehingga f 1 (f(e) E. Di lain pihak kita mempunyai f(f 1 (G)) = G. Tetapi jika H = {y : 1 y 1}, maka kita mendapatkan f(f 1 (H)) = {y : 0 x 1} H. (Dept. of Math. UNAND) 24 / 42

24 Misalkan f : A B, dan G, H B. Akan ditunjukkan bahwa f 1 (G H) f 1 (G) f 1 (H). Untuk itu misalkan x f 1 (G H), maka f(x) G H sedemikian sehingga f(x) G dan f(x) H. Akibatnya x f 1 (G) dan x f 1 (H), yaitu x f 1 (G) f 1 (H) yang menunjukkan bahwa f 1 (G H) f 1 (G) f 1 (H). Sebenarnya, juga benar bahwa f 1 (G) f 1 (H) f 1 (G H), sehingga f 1 (G H) = f 1 (G) f 1 (H) (buktikan). (Dept. of Math. UNAND) 25 / 42

25 Jenis-Jenis Fungsi Definisi (7) Suatu fungsi f : A B dikatakan satu satu (injective) jika x 1 x 2 maka f(x 1 ) f(x 2 ). Pernyataan yang ekivalen dengan definisi ini adalah suatu fungsi f injective jika dan hanya jika f(x 1 ) = f(x 2 ) berakibat x 1 = x 2, untuksemua x 1, x 2 A. Sebagai contoh, misalkan A = {x R : x 1} dan definisikan f : A R oleh f(x) = x x 1. Untuk menunjukkan bahwa f injektif, kita asumsikan x 1, x 2 A dan f(x 1 ) = f(x 2 ). Maka x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1, yang berakibat x 2 (x 1 1) = x 1 (x 2 1), dan sehingga x 1 = x 2. (Dept. of Math. UNAND) 26 / 42

26 Definisi (8) Suatu fungsi f : A B dikatakan pada (surjektive), jika f(a) = B. Pernyataan yang ekivalen dengan definisi ini adalah f : A B surjektive jika R f = B, yaitu jika untuk setiap y B terdapat suatu x A sedemikian sehingga f(x) = y. Definisi (9) Suatu fungsi f : A B dikatakan satu satu pada (bijective) jika f satu satu (injective) dan pada (surjective). (Dept. of Math. UNAND) 27 / 42

27 Fungsi Invers Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Secara umum, himpunan pasangan terurut di dalam B A yang diperoleh dengan mempertukarkan anggota pertama dan kedua dari f bukan merupakan suatu fungsi. Namun demikian, jika f injectif, maka pertukaran ini mengarah kepada suatu fungsi yang disebut invers dari f. Definisi (10) Misalkan f : A B adalah suatu fungsi injectif dengan D f = A dan R(f) B. Jika g = {(b, a) B A : (a, b) f} maka g adalah injektif dengan D(g) = R(f) dan R(g) = A. Fungsi g disebut fungsi invers dari f dan dinyatakan oleh f 1. (Dept. of Math. UNAND) 28 / 42

28 Dalam notasi standar, hubungan antara fungsi f 1 dengan f dapat ditulis: x = f 1 (y) jika dan hanya jika y = f(x). Kita telah melihat bahwa fungsi f(x) = x 1 x yang terdefinisi untuk semua x A = {x : x 1} adalah injektif. Dalam hal ini tidak jelas apakah range f semua R atau hanya sebagian dari R. Untuk tujuan ini, kita selesaikan persamaan y = untuk x, sedemikian sehingga x = x 1 x y 1 + y. (Dept. of Math. UNAND) 29 / 42

29 Berdasarkan informasi ini, kita mendapatkan R(f) = {y : y 1} dan bahwa invers fungsi f mempunyai domain {y : y 1} dan diberikan oleh f 1 (y) = y 1 + y. Perlu diperhatikan bahwa jika fungsi f injektif maka fungsi inversnya juga injektif, dan fungsi invers dari f 1 adalah f (buktikan). (Dept. of Math. UNAND) 30 / 42

30 Komposisi Fungsi Kadang-kadang kita ingin mengkomposisi dua fungsi dengan terlebih dahulu mendapatkan f(x) dan kemudian menggunakan g untuk mendapatkan g(f(x), tetapi ini mungkin hanya bila f(x) D(g). Sehingga kita harus mengasumsikan bahwa R(f) D(g). Definisi (11) Misalkan f : A B dan g : B C adalah dua fungsi. Komposisi fungsi g f adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh g f(x) = g(f(x) untuk semua x A. Lihat gambar 1.5 berikut. Gambar 1.5 (Dept. of Math. UNAND) 31 / 42

31 Contoh. Misalkan f dan g adalah fungsi yang nilainya pada x R diberikan oleh f(x) = 2x, g(x) = 3x 2 1. Karena D(g) = R dan R(f) R, maka D(g f) = R, dan g f(x) = g(2x) = 3(2x) 2 1 = 12x 2 1. Dilain pihak, D(f g) = R, tetapi Sehingga g f f g. f g(x) = f(3x 2 1) = 2(3x 2 1) = 6x 2 2. Kita perlu meyakinkan bahwa R(f) D(g). Sebagai contoh, jika f(x) = 1 x 2 dan g(x) = x, maka komposisi g f(x) = g(1 x 2 ) = 1 x 2 didefinisikannya hanya untuk x D(f) yang memenuhi f(x) 0, yaitu, untuk x yang memenuhi 1 x 1. (Dept. of Math. UNAND) 32 / 42

32 Perhatikan bahwa, jika urutan kita pertukarkan, maka komposisi f g(x) = f( x) = 1 x didefinisikan untuk semua x D(g) = {x R, x 0}. Teorema berikut memperlihatkan suatu hubungan antara komposisi fungsi dan range. Teorema Misalkan g : A B dan f : B C adalah dua fungsi dan H C. Maka Buktikan! (f g) 1 (H) = g 1 (f 1 (H)). Teorema Jika f : A B injektif dan g : B C juga injektif, maka komposisi g f : A C juga injektif. Buktikan! (Dept. of Math. UNAND) 33 / 42

33 Barisan Fungsi yang domainnya N memainkan peranan penting dalam analisis. Definisi (12) Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domainnya dalam himpunan N dan rangenya termuat dalam S. Untuk suatu barisan X : N S, nilai dari X pada n N sering dinyatakan dengan x n, dan nilai ini sering disebut suku ke n dari barisan. Barisan sering dinotasikan sebagai (x n : n N) atau (x n ) dalam bentuk yang lebih sederhana. Umpamanya, barisan ( n : n N) sama dengan fungsi X : N R yang didefinisikan oleh X(n) = n. (Dept. of Math. UNAND) 34 / 42

34 Soal 1 Misalkan A = B = {x R : 1 x 1} dan perhatikan subset C = { (x, y) : x 2 + y 2 = 1 } dari A B. Adakah himpunan ini suatu fungsi? 2 Misalkan f dalah suatu fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x 2, dan misalkan E = {x R : 1 x 0} dan F = {x R: 0 x 1}. Tunjukkan bahwa E F = {0}dan f (E F ) = {0}, sedangkan f(e) = f(f ) = {y R : 0 y 1}. Sehingga f (E F ) adalah proper subset dari f(e) f(f ). 3 Tunjukkan bahwa jika f : A B dan E, F A, maka f (E F ) = f(e) f(f ) dan f (E F ) f (E) f(f ). 4 Tunjukkan bahwa jika f : A B dan G, H B, maka f 1 (G H) = f 1 (G) f 1 (H). (Dept. of Math. UNAND) 35 / 42

35 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metoda pembuktian yang digunakan dalam perkuliahan ini. Dalam bagian ini kita akan menyatakan Prinsip Induksi Matematik dan memberikan beberapa contoh untuk mengilustrasikan bagaimana cara kerja bukti induksi. Sifat Terurut dengan Rapi Himpunan Bilangan Asli N Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil. Pernyataan yang lebih detil tentang sifat ini adalah sebagai berikut: Jika S N dan jika S, maka ada elemen m S sedemikian sehingga m k untuk semua k S. Berdasarkan sifat terurut dengan rapi kita akan mengembangkan suatu versi prinsip induksi matematika yang diungkapkan dalam subset dari N. (Dept. of Math. UNAND) 36 / 42

36 Proposisi (Prinsip Induksi Matematika) Misalkan S N yang bersifat sebagai berikut: 1 1 S 2 Jika k S maka k + 1 S. Maka S = N. Bukti. Andaikan bahwa S N. Maka himpunan N\S, dan berdasarkan sifat terurut dengan rapi, N\S memuat elemen terkecil. Misalkan m adalah elemen terkecil dari N\S. Karena 1 S (berdasarkan hipotesis 1), maka m 1. Olehkarena itu m > 1 sedemikian sehingga m 1 N juga. Karena m 1 < m dan karena m adalah elemen terkecil dari N\S sedemikian sehingga m / S, maka mestilah benar bahwa m 1 S. Berdasarkan hipotesis (2), k m 1 S berakibat k + 1 = m = m S. Kesimpulan ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa m / S. Karena m diperoleh dengan mengasumsikan bahwa N\S, maka kita dapat menyimpulkan bahwa N\S =, yang menunjukkan bahwa S = N. (Dept. of Math. UNAND) 37 / 42

37 Prinsip induksi matematika sering timbul dalam kerangka kerja sifat-sifat atau pernyataan yang melibatkan bilangan asli (alam). Jika P (n) menyatakan suatu pernyataan tentang n N, maka P (n) mungkin benar untuk beberapa nilai n dan salah untuk nilai n yang lainnya. Umpamanya, jika P (n) adalah pernyataan n 2 = n, maka P (1) bernilai benar sedangkan P (n) salah untuk semua n 1, n N. Dalam hal ini, prinsip induksi matematika dapat diformulasikan sebagai berikut: Untuk setiap n N, misalkan P (n) adalah pernyataan tentang n. Anggaplah bahwa: 1 P (1) benar 2 Jika P (k) benar, maka P (k + 1) benar Maka P (n) adalah benar untuk semua n N. (Dept. of Math. UNAND) 38 / 42

38 Contoh-contoh berikut memperlihatkan bagaimana prinsip induksi matematika digunakan sebagai suatu metoda pembuktian penegasan yang melibatkan bilangan alam. 1. Untuk setiap n N, jumlah n bilangan alam pertama diberikan oleh n = 1 n(n + 1). 2 Untuk membuktikan ini, misalkan S adalah himpunan semua n N yang membuat rumus di atas benar. Kita mesti memeriksa bahwa syarat (1) dan (2) dari teorema 6 dipenuhi. Jika n = 1, kita mempunyai 1 = (1 + 1) = 1 sedemikian sehingga 1 S. Sehingga syarat 1 dipenuhi. Berikutnya, asumsikan bahwa k S dan dari asumsi ini kita ingin menyimpulkan bahwa k + 1 S. Jika k S, maka k = 1 k(k + 1). 2 (Dept. of Math. UNAND) 39 / 42

39 Jika kedua sisi persamaan ini kita tambahkan dengan k + 1, kita mendapatkan k + (k + 1) = 1 k(k + 1) + (k + 1) 2 = 1 (k + 1)(k + 2). 2 Karena ini adalah rumusan untuk n = k + 1, kita menyimpulkan bahwa k + 1 S. Sehingga syarat (2) dipenuhi. Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika, kita simpulkan bahwa S = N dan formula adalah valid untuk semua n N. (Dept. of Math. UNAND) 40 / 42

40 2. Untuk bilangan a dan b diberikan, kita akan buktikan bahwa a b adalah suatu faktor dari a n b n untuk semua n N. Untuk n = 1, pernyataan jelas benar. Misalkan a b adalah suatu faktor dari a k b k. Kita akan tunjukkan bahwa a b adalah suatu faktor dari a k+1 b k+1. Untuk itu, perhatikan hubungan berikut ini. a k+1 b k+1 = a k+1 ab k + ab k b k+1 = a(a k b k ) + b k (a b). Karena a b adalah suatu faktor dari a(a k b k ) berdasarkan hipotesis induksi dan juga suatu faktor dari b k (a b), maka a b adalah suatu faktor dari a k+1 b k+1. Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita menyimpulkan bahwa a b adalah suatu faktor dari a n b n untuk semua n N. (Dept. of Math. UNAND) 41 / 42

41 Latihan 1 Buktikan bahwa n(n + 1) = n untuk semua (n + 1) n N. 2 Tunjukkan bahwa 5 2n 1 dapat dibagi oleh 8 untuk semua n N. 3 Buktikan bahwa > n untuk semua n 2, 1 2 n n N. (Dept. of Math. UNAND) 42 / 42

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan

Lebih terperinci

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,

Lebih terperinci

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. 1 FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita

Lebih terperinci

Pengantar Analisis Real

Pengantar Analisis Real Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus

Lebih terperinci

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -

Lebih terperinci

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu

FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu FUNGSI FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam

Lebih terperinci

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen. MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Lebih terperinci

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah

Lebih terperinci

Himpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T

Himpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T Himpunan, Dan Fungsi Ira Prasetyaningrum,M.T Materi Matematika 1 Himpunan dan fungsi Matrik Limit dan kekontinuan Differensial Trigonometri Integral Bilangan Komplek Peraturan Di Kelas Mahasiswa Maksimal

Lebih terperinci

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. Pertemuan 6 Fungsi Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

Himpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.

PEMBAHASAN. Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. PEMHSN 1. Fungsi ( pemetaan ) Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. Fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya reaksi binar

Lebih terperinci

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Lebih terperinci

Teori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo

Teori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs

RELASI DAN FUNGSI. Nur Hasanah, M.Cs RELASI DAN FUNGSI Nur Hasanah, M.Cs Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan

Lebih terperinci

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang

Lebih terperinci

BAB I H I M P U N A N

BAB I H I M P U N A N 1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016 PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

Uraian Singkat Himpunan

Uraian Singkat Himpunan Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit 8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

Teori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:

Teori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh: Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang

Lebih terperinci

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN

1 Pendahuluan I PENDAHULUAN 1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban

Lebih terperinci

Pertemuan 6. Operasi Himpunan

Pertemuan 6. Operasi Himpunan Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika

Lebih terperinci

BAB II RELASI DAN FUNGSI

BAB II RELASI DAN FUNGSI 9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara

Lebih terperinci

yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur unsur pembentuknya (Definisi 2.1 Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam

yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur unsur pembentuknya (Definisi 2.1 Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam 2.1 Definisi Aljabar Boolean Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur unsur pembentuknya dan operasi operasi yang

Lebih terperinci

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya

Lebih terperinci

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Urian Singkat Himpunan

Urian Singkat Himpunan Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Himpunan adalah materi dasar yang sangat penting dalam matematika dan teknik informatika/ilmu komputer. Hampir setiap materi

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

1 INDUKSI MATEMATIKA

1 INDUKSI MATEMATIKA 1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd

RELASI DAN FUNGSI. /Nurain Suryadinata, M.Pd RELASI DAN FUNGSI Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-365/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata,

Lebih terperinci

HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan

HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Materi 3: Relasi dan Fungsi

Materi 3: Relasi dan Fungsi Materi 3: Relasi dan Fungsi I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Definisi Relasi & Fungsi Representasi Relasi Relasi biner Sifat-sifat relasi biner Relasi inversi Mengkombinasikan relasi Komposisi

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT

MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1

BAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1 BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai

Lebih terperinci

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com

HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class

Lebih terperinci

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)

Lebih terperinci