Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic"

Deddy Jayadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic

2 BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn e ini, seperti hln bilngn π, dlh bilngnnt dengn desiml tk terbts. Smpi dengn ngk di belkng kom, nilin dlh e =,78888 Bilngn e merupkn slh stu bilngn-nt ng sngt penting dlm mtemtik: ln e = (8.) ln e = ln e= (8.) Kit liht sekrng fungsi logritm nturl. Fungsi logritm nturl dri dituliskn sebgi = ln (8.) Fungsi ini didefinisikn mellui integrl (mengeni integrsi kn kit peljri pd Bb-), itu = ln dt (8.) t Di sini kit kn meliht definisi tersebut secr grfis di mn integrl dengn bts tertentu seperti (8.) berrti lus bidng ntr fungsi /t dn sumbu- ng dibtsi oleh t = dn t =. Perhtikn Gb.8.. Nili fungsi = ln dlh lus bidng ng dibtsi oleh kurv (/t) dn sumbu-t, dlm rentng ntr t = dn t =. 6 5 /t ln t Gb.8.. Definisi ln ditunjukkn secr grfis. 8-

3 Kurv fungsi = ln dlm koordint - dlh seperti pd Gb.8.. Nili ln = terjdi pd nili = e. Gb.8.. Kurv = ln. Sift-Sift. Sift-sift logritm nturl mirip dengn logritm bis. Jik dn dlh positif dn n dlh bilngn rsionl, mk: Sol-Sol ln = ln + ln ln ln ln e= ln e,5 -,5 e - -,5 - = ln ln ; n,5 = nln = ln bernili negtif untuk < = ln (8.5) Dengn membgi lus bidng di bwh kurv (/t) pd Gb.8. dlm segmen-segmen selebr t =, dn mendekti lus segmen sebgi lus trpesium, hitunglh ). ln,5 ). ln ; ). ln,5 8- Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik

4 8.. Fungsi Eksponensil Antilogritm dn Fungsi Eksponensil. Antilogritm dlh inversi dri logritm; kit melihtn sebgi sutu fungsi = ln (8.6) Mengingt sift logritm sebgimn disebutkn di ts, ekspresi ini ekivlen dengn ng disebut fungsi eksponensil. = e (8.7) Fungsi eksponensil ng penting dn sering kit jumpi dlh fungsi eksponensil dengn eksponen negtif; fungsi ini dinggp muli muncul pd = wlupun fktor u(), itu fungsi nk tngg stun, tidk dituliskn. b = e ; (8.8) Eksponen negtif ini menunjukkn bhw mkin besr b mk nili fungsi mkin kecil. untuk sutu nili b tertentu, mkin besr fungsi ini kn mkin menurun. Mkin besr b kn mkin cept penurunn tersebut. Dengn mengmbil nili =, kit kn meliht bentuk kurv fungsi eksponensil (8.8) untuk beberp nili b, dlm rentng seperti terliht pd Gb.8.. Pd Gb.8.. ini terliht bhw mkin besr nili b, mkin cept fungsi menurun.,8,6 e e,,,5,5,5,5 Gb.8.. Perbndingn kurv = e dn = e. 8-

5 Penurunn kurv fungsi eksponensil ini sudh mencpi sekitr 6% dri nili wln (itu nili pd = ), pd st = /b. Pd st = 5b kurv sudh sngt menurun mendekti sumbu-, nili fungsi sudh di bwh % dri nili wln. Oleh kren itu fungsi eksponensil bis dinggp sudh bernili nol pd = 5/b. Persmn umum fungsi eksponensil dengn mplitudo A dlh t = Ae u(t) (8.9) Fktor u(t) dlh fungsi nk tngg stun untuk mentkn bhw kit hn meninju kedn pd t. Fungsi ini menurun mkin cept jik mkin besr. Didefinisiknlh sehingg (8.9) dituliskn τ = (8.) t / τ = Ae u( t) (8.) τ disebut konstnt wktu; mkin kecil τ, mkin cept fungsi eksponensil menurun. Gbungn Fungsi Eksponensil. Gbungn fungsi eksponensil ng bnk dijumpi dlm reks dlh eksponensil gnd itu penjumlhn du fungsi eksponensil. Kedu fungsi mempuni mplitudo sm tetpi berlwnn tnd; konstnt wktu dri kedun jug berbed. Persmn fungsi gbungn ini dlh t / τ t / τ ( e ) u( t) = A e (8.) Bentuk kurv dri fungsi ini terliht pd Gb.8.. Fungsi ini dpt digunkn untuk memodelkn surj. Gelombng surj (surge) merupkn jenis puls ng wln nik dengn cept smpi sutu nili mksimum tertentu kemudin menurun dengn gk lebih lmbt. Surj tegngn ng dibngkitkn untuk keperlun lbortorium berbentuk mulus nmun kejdin lmih ng sering dimodelkn dengn surj tidklh mulus, misln rus terpn petir. 8- Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik

6 5 A = Ae t / τ = Ae t / τ = A e t / τ t / τ ( e ) 5 t/τ Gb.8.. Kurv gbungn du fungsi eksponensil. Sol-Sol. Gmbrkn dn tentukn persmn kurv fungsi eksponensil ng muncul pd = dn konstnt τ, berikut ini : ). = mplitudo 5, τ =. b). b = mplitudo, τ =. c). c = mplitudo 5, τ =.. Dri fungsi pd sol, gmbrknlh bentuk kurv fungsi berikut. ). c). d b). e f = = = + + b c + b +. Gmbrknlh bentuk kurv fungsi berikut. ). c,5 { e }, { 5e } = u( ) b). = u( ) 8-5

7 8.. Fungsi Hiperbolik Definisi. Kombinsi tertentu dri fungsi eksponensil membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dn sinus hiperbolik (sinh) e + e e e cosh v= ; sinh v= (8.) Persmn (8.) ini merupkn definisi dri cosinus hiperbolik dn sinus hiperbolik. Definisi ini mengingtkn kit pd fungsi trigonometri bis cosinus dn sinus. Pd fungsi trigonometri bis, jik = cosθ dn = sinθ mk fungsi sinus dn cosinus ini memenuhi persmn lingkrn stun (berjri-jri ), itu + = = sin θ+ cos θ. Pd fungsi hiperbolik, jik = cosh v dn = sinh v, mk fungsifungsi ini memenuhi persmn hiperbol stun : = Hl ini dpt kit uji dengn mensubstitusikn cosh v untuk dn sinh v untuk dn kit kn mendptkn bhw persmn hiperbol stun kn terpenuhi. Kit cob: v v v v e + + e e + e = cosh v sinh v= = = Bentuk kurv fungsi hiperbolik stun terliht pd Gb dengn e + e e e = cosh v= ; = sinh v= v = v = P[,] Gb.8.5. Kurv fungsi hiperbolik stun. 8-6 Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik

8 Jik kit msukkn e + e = cosh v= ; e e = sinh v= mk titik P[,] kn berd di bgin positif kurv tersebut. Kren e v sellu bernili positif dn e v = /e v jug sellu positif untuk semu nili nt dri v, mk titik P[,] sellu berd di bgin positif (sebelh knn sumbu-) kurv hiperbolik. Mirip dengn fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik ng lin didefinisikn sebgi sinh v e e cosh v e + e tnh v= = ; coth v= = (8.) cosh v v e + e sinh e e sech v= = ; csch v= = (8.5) cosh v v e + e sinh e e Identits. Beberp identits fungsi hiperbolik kit liht di bwh ini. ). cosh v sinh v=. Identits ini telh kit buktikn di ts. Identits ini mirip dengn identits fungsi trigonometri bis. ). tnh v= sech v. Identits ini diperoleh dengn membgi identits pertm dengn cosh v. ). coth v = csch v. Identits ini diperoleh dengn membgi identits pertm dengn sinh v. ). 5). cosh v + sinh v= e u. Ini merupkn konsekuensi definisin. u cosh v sinh v= e. Ini jug merupkn konsekuensi definisin. 8-7

9 Kurv-Kurv Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihtkn kurv fungsi-fungsi hiperbolik. () e = sinh e = cosh c) b) = sech = cosh e = sinh Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik

10 = coth = tnh = coth - - d) - = csch = sinh e) = csch - - Gb.8.6. Kurv-kurv fungsi hiperbolik. Sol-Sol ). Turunkn relsi sinh( u+ v) dn cosh( u+ v). ). Dikethui sinh v = /. Hitung cosh v, coth v, dn csch v. ). Dikethui sinh v = /. Hitung cosh v, tnhv, dn sech v. 8-9

11 8- Sudrtno Sudirhm, Fungsi dn Grfik

dokumen-dokumen yang mirip

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl