III HASIL DAN PEMBAHASAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "III HASIL DAN PEMBAHASAN"

Transkripsi

1 Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ = θ dengan fungsi periodizer kutub p. Kurva fungsi periodizer kutub f dengan beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai berikut:.5.0, Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub p θ, 5, 0, 0 θ π. Ilustrasi dengan contoh: Grafik fungsi f θ = θ, 0 /, ditampilkan.5 (a) Gambar 0 Kurva f θ = θ, 0 /. (b) Gambar Kurva fungsi periodizer kutub f (a) N = 4 dan θ 0 = 0 rad, (b) N = 5 dan θ 0 = π 4 rad. Fungsi periodizer untuk f dituliskan sebagai berikut: III HASIL DAN PEMBAHASAN Karya ilmiah ini menyajikan persamaan tunggal untuk menampilkan kurva komposit (dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan tunggal untuk kurva periodik. Perangkat matematika yang digunakan adalah fungsi tangga satuan Heaviside (untuk kurva komposit umum) dan fungsi periodizer (untuk kurva periodik). Persamaan tunggal yang dibentuk selanjutnya diterapkan pada kurva komposit sederhana dan bangun geometri poligon. 3. Fungsi Tangga Satuan Heaviside Penggunaan fungsi tangga satuan Heaviside dalam mendefinisikan fungsi bilangan real pada selang tertentu dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan

2 6 sebuah fungsi bilangan real f, dalam variabel x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika a, b adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas dari x = a ke x = b (dengan a < b), dapat dituliskan: g x = f x H x, a H x, b () dengan H(x, a) & H(x, b) adalah fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk: Fungsi tangga satuan Heaviside (3) dan (4) dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub, yaitu: H θ, α = H θ, α =, θ > α 0, θ α, θ α 0, θ < α (5) (6) H x, a = 0, x < a, x > a H x, b = 0, x < b, x > b Persamaan (3) pada Bab II mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk H x, a, bernilai 0 ketika x < a dan bernilai ketika x > a. Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai fungsi H ketika x = a. Jika dikaitkan dengan ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside sebagai tombol switch on pada suatu alat elektronik, maka kondisi ketika tombol switch on ditekan dapat diinterpretasikan bahwa alat sudah menyala (bernilai ) atau alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada pembentukan fungsi tunggal didefinisikan menjadi dua bentuk, yaitu: H x, a = 0, x a, x > a H x, a = 0, x < a, x a a a H (x,a) Gambar Fungsi tangga satuan Heaviside H dan H dalam koordinat Cartesius. x H (x,a) x (3) (4) Gambar 3 Fungsi tangga satuan Heaviside H dan H dalam koordinat kutub. Perbedaan pada pendefinisian fungsi tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan pertaksamaan daerah asal yang beragam. 3. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Suatu Selang Fungsi 3.. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a, a n ) Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [a, a n ) dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a x < a n (7) Persamaan (7) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (4)):

3 7 H x, a =, x a 0, x < a H x, a n =, x a n 0, x < a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x < a = 0, x a dan x < a n, x a n = 0, x < a atau x a n, a x < a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x < a atau x a n f x, a x < a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a x < a n, dan fungsi g bernilai nol pada x < a atau x a n. 3.. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a, a n ] Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal (a, a n ] dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a < x a n. (8) Persamaan (8) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3)): H x, a =, x > a 0, x a H x, a n =, x > a n 0, x a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x a = 0, x > a dan x a n, x > a n = 0, x a atau x > a n, a < x a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x a atau x > a n f x, a < x a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a < x a n, dan fungsi g bernilai nol pada x a atau x > a n Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a, a n ] Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [a, a n ] dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a x a n. (9) Persamaan (9) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3) dan (4)): H x, a =, x a 0, x < a H x, a n =, x > a n 0, x a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x < a = 0, x a dan x a n, x > a n = 0, x < a atau x > a n, a x a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x < a atau x > a n f x, a x a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a x a n, dan fungsi g bernilai nol pada x < a atau x > a n Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada a, a n Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal a, a n dapat disajikan

4 8 g x = f x H x, a H x, a n, a < x < a n. (0) Persamaan (0) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3) dan (4)): H x, a =, x > a 0, x a H x, a n =, x a n 0, x < a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x a = 0, x > a dan x < a n, x a n = 0, x a atau x a n, a < x < a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x a atau x a n f x, a < x < a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a < x < a n, dan fungsi g bernilai nol pada x a atau x a n. Secara umum, pola persamaan (7) sampai (0) dapat dituliskan seperti pada Tabel. Tabel Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu Tipe Domain f Pengali (Heaviside) [a,b) H (a) H (b) (a,b] H (a) H (b) 3 [a,b] H (a) H (b) 4 (a,b) H (a) H (b) a < b; a, b konstanta R dengan nilai H j (a) sama dengan H j x, a dalam persamaan Cartesius dan H j θ, a dalam persamaan kutub; j =,. 3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit Kurva komposit merupakan gabungan dari beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran dan kurva lainnya dalam sistem koordinat kutub. Kurva komposit lazimnya disajikan dalam bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah ini diperkenalkan metode lain untuk menyajikan kurva komposit dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside. Misalkan f adalah fungsi sesepenggal bernilai real dengan variabel bebas x yang didefinisikan f x = atau f x, a x < a f x, a x a 3 f n x, a n x < a n a, a,, a n R f x = f x, a x < a ; f x = f x, a x a 3 ; () f x = f n x, a n x < a n. Persamaan () dapat didefinisikan pula sebagai berikut (mengacu pada Tabel ): f x = f x H x, a H x, a, f x = f x H x, a H x, a 3, f x = f n x H x, a n H x, a n. () Selanjutnya, rangkaian persamaan () digabungkan dengan operasi penjumlahan sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal f x = f x H x, a H x, a +f x H x, a H x, a f n x H x, a n H x, a n atau dapat diekspresikan: f x = n i= j =, ; k =, ; f i x H j x, a i H k x, a i+ j = jika x = a i D fi, j = jika x = a i D fi, k = jika x = a i+ D fi,, (3)

5 9 k = jika x = a i+ D fi, i =,,, n ; Persamaan (3) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub, yaitu dengan mengubah variabel bebas x dengan variabel. = 5 x 5, 4 x ; 3 x + 3, < x < 0; x + 3, 0 x < ; 3 5 x 5, x < 4; (5) f θ = n i = j =, ; k =, ; f i θ H j θ, a i H k θ, a i+ j = jika θ = a i D fi, j = jika θ = a i D fi, k = jika θ = a i+ D fi, k = jika θ = a i+ D fi, i =,,, n ; Langkah Penyelesaian Kasus, (4) Persamaan (3) dan (4) berlaku untuk mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi tunggal yang dapat menampilkan kurva komposit. Langkah penyelesaian kasus representasi fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:. didefinisikan fungsi sesepenggal dan pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk koordinat Cartesius dan untuk koordinat kutub),. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas fungsi (x = a i, i =,,, n), 3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside untuk setiap fungsi, 4. ditentukan persamaan tunggal kurva komposit dengan menyubstitusikan hasil poin () dan (3) pada persamaan (3) untuk persamaan Cartesius dan persamaan (4) untuk persamaan kutub. Contoh Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Cartesius. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan f x = f x, 4 x ; f x, < x < 0; f 3 x, 0 x < ; f 4 x, x < 4;. n = 5, a = 4, a =, a 3 = 0, a 4 =, a 5 = 4; 3. Fungsi f, f, f 3, dan f 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel ). Tabel Tabel pengali fungsi f i pada (5) Fungsi Domain Pengali f (x) [ 4, ] H x, 4 H (x, ) f (x) (,0) H x, H (x, 0) f 3 (x) [0,) H x, 0 H x, f 4 (x) [,4) H x, H x, 4 4. Persamaan tunggal kurva komposit f(x): f x = 4 f i x H j x, a i H k x, a i+ i= = f x H x, 4 H x, +f x H x, H x, 0 +f 3 x H x, 0 H x, +f 4 (x) H x, H x, 4 (6) 5. Kurva f pada (6) dibangkitkan dengan perintah Plot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran ). y Gambar 4 Kurva fungsi sesepenggal f. x

6 0 Contoh Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Kutub. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan = g θ H θ, 0 H θ, π +g θ H θ, π H θ, π +g 3 θ H θ, π H θ, 3π g x = g θ, 0 θ < π ; g θ ; π θ π; g 3 θ ; π < θ < 3π ; g 4 θ ; 3π θ < π; g θ = 4 cos θ cos θ ; g θ = 4 cos θ cos θ ; (7) +g 4 θ H θ, 3π H θ, π (8) 5. Kurva g pada (8) dibangkitkan dengan perintah PolarPlot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran ). g 3 θ = cos(θ) + cos(θ) + 4 sin(θ) sin(θ) ; g 4 θ = cos(θ) + cos(θ) + 4 sin(θ) sin(θ) ;. n = 5, a = 0, a = π, a 3 = π, a 4 = 3π, a 5 = π; 3. Fungsi g, g, g 3, dan g 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel ), Tabel 3 Tabel pengali fungsi g i pada (7) Fungsi Domain Pengali g θ g θ g 3 θ g 4 θ [0, π ) H θ, 0 H θ, π π, π H θ, π H θ, π π, 3π H θ, π H θ, 3π [ 3π, π) H θ, 3π H 4. Persamaan tunggal kurva komposit: g θ = 4 i= θ, π g i θ H j θ, a i H k θ, a i+ Gambar 5 Kurva fungsi sesepenggal g. 3.4 Kurva Poligon Tak Teratur Persamaan parametrik poligon tak teratur diperoleh dengan menyubstitusi fungsi f i pada persamaan tunggal untuk kurva komposit (3) dengan persamaan parametrik poligon, x i,i+ dan y i,i+ (persamaan (5) dan (6)), sehingga diperoleh persamaan parametrik baru untuk poligon tak teratur, x dan y dengan variabel bebas s, x s = y s = 4 4 n i=0 n 3 4 x i,i+ s H j s, s i H k s, s i+ y i,i+ s H j s, s i H k s, s i+ i=0 i = 0,,,...,n. (9) x(s) = persamaan parametrik untuk sumbu x dengan parameter s, y(s) = persamaan parametrik untuk sumbu y dengan parameter s, s = variabel bebas menyatakan jarak, s i = fungsi panjang sisi poligon dari verteks awal (P 0 ) ke verteks ke-i (P i ), n = jumlah verteks poligon,

7 H j s, s i dan H k s, s i+ ialah fungsi tangga satuan Heaviside. Langkah Penyelesaian Kasus Persamaan (9) berlaku untuk menyelesaikan kasus fungsi poligon teratur. Kasus yang dimaksud adalah pembangkitan sebuah lintasan/kurva garis linear melingkar yang melewati verteks-verteks poligon yang diketahui. Langkah penyelesaian kasus:. n pasangan verteks-verteks (x, y) koordinat Cartesius yang akan diplotkan menjadi verteks poligon (n >) dituliskan dan diberi label P i, i = 0,,,, n berurutan berlawanan arah jarum jam dimulai dari P i. Verteks P 0 = P n karena poligon adalah kurva tertutup.. nilai-nilai poin () disubstitusi pada persamaan (4) untuk mendapatkan nilai panjang sisi poligon, 3. nilai pada poin () dan () disubstitusi pada persamaan (5) dan (6) untuk mendapatkan persamaan parametrik sesepenggal segmen garis P i P i+, i = 0,,,, n ; 4. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside, 5. hasil poin (3) dan (4) disubstitusi pada persamaan (9) untuk mendapatkan persamaan parametrik tunggal poligon tak teratur. Contoh 3 Akan ditentukan persamaan parametrik tunggal untuk merepresentasikan sebuah pentagon (poligon dengan lima sisi) tak teratur dengan koordinat verteks-verteks poligon ialah (4,3), (8,), (9,7), (7,9), dan (3,6).. Verteks-verteks pentagon dilabeli: P 0 (4,3), P (8,), P (9,7), P 3 (7,9), P 4 (3,6), P 5 (4,3). Panjang sisi poligon yang terukur dari verteks P 0 ialah: s 0 = 0, s = 4.3, s = 9., s 3 =.0506, (30) s 4 = , s 5 = 0.8 (rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3). 3. Persamaan parametrik sesepenggal dari setiap segmen garis pentagon P i P i+, i = 0,,,, n ; dengan variabel bebas u: x 0 u = u + 4, x u = 0.96 u + 7.9, x 3 u = 0.707u + 5.5, x 34 u = 0.8 u , x 45 u = 0.36 u.39, y 0 u = 0.43 u + 3, y u = 0.98 u.043, y 3 u = u , y 34 u = 0.6 u , y 45 u = u x u x 0 u, 0 < u 4.3 x u, 4.3 < u 9. = x 3 u, 9. < u.0506 x 34 u,.0506 < u x 45 u, < u 0.8 y u y 0 u, 0 < u 4.3 y u, 4.3 < u 9. = y 3 u, 9. < u.0506 y 34 u,.0506 < u y 45 u, < u 0.8 (3) (rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3). 4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah H, H u, s i = 0, u s i (3), u > s i i = 0,,,3,4 u = variabel bebas menyatakan jarak yang terdefinisi pada s 0, s 5 ; 5. Persamaan parametrik poligon tak teratur: x u = 4 i=0 x i,i+ u H u, s i H u, s i+

8 y u = 4 i=0 y i,i+ u H u, s i H u, s i+ (33) 6. Kurva poligon tak teratur (33) dibangkitkan dengan perintah ParametricPlot pada software Mathematica 8.0 sehingga diperoleh Gambar 6 berikut. y = R p x tan β (36) R p = jari-jari poligon, (x,y) = koordinat verteks pertama. (x,y) Sisi pertama Gambar 8 Sisi poligon pada kuadran I. Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub r(θ) = R p tan β sin θ+tan β cos θ (37) Gambar 6 Kurva pentagon tak teratur. 3.5 Kurva Poligon Teratur Prosedur Pembentukan Persamaan Tunggal Gambar 7 Kurva poligon teratur. Misalkan diberikan sebuah poligon teratur dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat dan salah satu verteks berada di sumbu-x. Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisisisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jarijari poligon yang diambil dengan menarik garis dari pusat poligon ke salah satu verteks (ilustrasi pada Gambar 7). Pada segitiga tersebut berlaku: α = π N β = π α = π N N (34) (35) Persamaan linear sisi pertama poligon atau sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x pada kuadran I (ilustrasi Gambar 8) ialah: Selanjutnya, variabel bebas pada (37) diganti dengan fungsi periodizer kutub p (persamaan ()) sehingga diperoleh: r p θ, N, θ 0 = R p tan β sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (38) Persamaan (38) disebut sebagai persamaan poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub dengan jari jari lintasan R p yang berpusat di titik asal dan berotasi 0 rad. Setelah diperoleh persamaan (38), persamaan parametrik poligon teratur dapat dituliskan sebagai: x θ, R p, N, θ 0 = x 0 + r θ, N, θ 0 cos θ R p tan β cos θ = x 0 + sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (39) y θ, R p, N, θ 0 = y 0 + r θ, R p, N, θ 0 sin θ R p tan β sin θ = y 0 + sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (40) dengan : N = banyaknya sisi poligon, R p = jari-jari poligon, θ 0 = sudut rotasi verteks P 0 (berlawanan arah jarum jam), θ = variabel bebas menyatakan radian,

9 x 0, y 0 = titik pusat kurva poligon, p = fungsi periodizer dalam koordinat kutub, = N N π rad. Persamaan (39) dan (40) dapat merepresentasikan persamaan lintasan gerak melingkar beraturan yang berawal di koordinat R p, θ 0, jika dibiarkan menjalani akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup dengan pusat x 0, y 0 dalam ruang x-y berupa kurva garis linear (3) yang berulang terputusputus sebanyak N kali. Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon teratur setelah nilai-nilai parameternya diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon teratur disajikan pula, sebagai contoh dari aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4 menyajikan persamaan parametrik dari setiap gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme program dapat dilihat di Lampiran. Contoh 4 Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jarijari (R p ) satuan, dan sudut putaran (θ 0 ) 0 rad dapat dituliskan dalam persamaan parametrik tan β cos θ x θ = sin p θ, N, 0 + tan β cos p θ, N, 0 tan β sin θ y θ = sin p θ, N, 0 + tan β cos p θ, N, 0 β = N N π, p θ, N, 0 = π N N n= sin Nn θ n.0. (b) 3 (c) Gambar 9 Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N): (a) N = 4 (tetragon), (b) N = 5 (pentagon), (c) N = 9 (nonagon/enneagon). Contoh 5 Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N = 6) dengan pusat poligon x 0, y 0, jari-jari (R p ) satuan, sudut putaran (θ 0 ) 0 rad, dan verteks awal P 0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik tan β cos θ x θ = x 0 + sin p θ, 6, 0 + tan β cos p θ, 6,0 tan β sin θ y θ = y 0 + sin p θ, 6,0 + tan β cos p θ, 6,0 β = N N π = 3 π, p θ, 6,0 = π 6 sin 6n θ 6 n n = (a) (a)

10 4 p θ, 5, θ 0 = π 5 5 n= n sin 5n θ θ 0. (, ) (b) (a) (c) Gambar 0 Heksagon pada Contoh 5 dengan pusat: a) (,), b) (,), c) (0,7). Contoh 6 (b) Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N = 5) dengan sudut putaran θ 0, pusat (6,5), jarijari (R p ) 4 satuan, dan verteks awal P 0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik x θ 4 tan β cos θ = 6 + sin p θ, 4, θ 0 + tan β cos p θ, 4, θ 0 y θ 4 tan β sin θ = 5 + sin p θ, 4, θ 0 + tan β cos p θ, 4, θ 0 (c) Gambar Pentagon pada Contoh 6 dengan sudut putaran:a) 0, b) /4, c) /. β = N N π = 3 0 π,

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama. Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2. Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

20. TRANSFORMASI. A. Translasi (Pergeseran) ; T = b. a y. a y. x atau. = b. = b

20. TRANSFORMASI. A. Translasi (Pergeseran) ; T = b. a y. a y. x atau. = b. = b . TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) ; T b a + b a atau b a B. Refleksi (Pencerminan). Bila M matriks refleksi berordo, maka: M atau M. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu, sumbu, garis, dan garis

Lebih terperinci

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Xpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05

Xpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05 Xpedia Matematika Kapita Selekta Set 05 Doc. Name: XPMAT9705 Doc. Version : 0-07 halaman 0a Garis singgung pada kurva y=x -x + akan sejajar dengan sumbu x di titik yang absisnya... x = x = 0 x = 0 dan

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI

MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 14 Sesi NGAN TRANSFORMASI A. ROTASI Rotasi adalah memindahkan posisi suatu titik (, y) dengan cara dirotasikan pada titik tertentu sebesar sudut tertentu.

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Pengertian. Transformasi geometric transformation. koordinat dari objek Transformasi dasar: Translasi Rotasi Penskalaan

Pengertian. Transformasi geometric transformation. koordinat dari objek Transformasi dasar: Translasi Rotasi Penskalaan Pengertian Transformasi geometric transformation Transformasi = mengubah deskripsi koordinat dari objek Transformasi dasar: Translasi Rotasi Penskalaan Translasi Mengubah posisi objek: perpindahan lurus

Lebih terperinci

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010 . Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Transformasi Geometri Sederhana

Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut dengan manipulasi. Perubahan gambar dengan mengubah koordinat

Lebih terperinci

21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI GOMETRI

21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI GOMETRI 21. SOAL-SOAL TRANSFORMASI GOMETRI Maka rotasi terhadap R[, 18 ] = cos18 sin18 sin18 cos18 UAN22 1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah: A. y = x + 1 C. y = 2 x - 1 E.

Lebih terperinci

BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Luas Daerah di Bidang Volume Benda Pejal di Ruang: Metode Cincin Metode Cakram Metode Kulit Tabung

Lebih terperinci

LATIHAN SOAL PROFESIONAL

LATIHAN SOAL PROFESIONAL LATIHAN SOAL PROFESIONAL 1. Jika 7 x = 8; maka 7 +x =. A. 686 B. 512 C. 4 D. 256 E. 178 7 x = 2 (7 x ) = 2 7 x = 2 7 x+ = 7. 7 x = 7. 2 = 4. 2 = 686 2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku sama kaki

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus

Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus BAB 7. GERAK ROTASI 7.1. Pendahuluan Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut

Lebih terperinci

F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I

F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Lingkaran x 6) 2 + y + ) 2 menyinggung garis y di titik a), ) b), ) c) 6, ) d) 6,

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber: Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Materi W8e TRIGONOMETRI 1. Kelas X, Semester 2. E. Grafik Fungsi Trigonometri.

Materi W8e TRIGONOMETRI 1. Kelas X, Semester 2. E. Grafik Fungsi Trigonometri. Materi W8e TRIGONOMETRI 1 Kelas X, Semester 2 E. Grafik Fungsi Trigonometri www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Trigonometri tata koordinat Cartesius fungsi trigonometri sumbu-x sebagai nilai sudut sumbu-y

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram

GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret

Lebih terperinci

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -

8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x - 1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II

Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

PAKET TRY OUT UN MATEMATIKA IPA

PAKET TRY OUT UN MATEMATIKA IPA PAKET TRY OUT UN MATEMATIKA IPA Berilah tanda silang (x) pada huruf A, B, C, D atau E di depan jawaban yang benar!. Kesimpulan dari pernyataan: "Jika bencana alam tsunami terjadi, maka setiap orang ketakutan"

Lebih terperinci

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E 1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS 1. Bilangan-Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan real yang dapat menempati seluruh titik pada garis lurus, hal ini dinamakan garis bilangan real seperti pada Gambar 1. Operasi penjumlahan,

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

19. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) B. Refleksi (Pencerminan) C. Rotasi (Perputaran)

19. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) B. Refleksi (Pencerminan) C. Rotasi (Perputaran) 9. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) ; T = b a b a atau b a B. Refleksi (Pencerminan). Bila M matriks refleksi berordo, maka: M atau M. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu, sumbu, garis =, dan

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis

Lebih terperinci

PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan nomor 40.

PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan nomor 40. PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor sampai dengan nomor 0. 5. Jika a b 5, maka a + b = 5 (A). (C) 0. 0.. 7.. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -

Lebih terperinci

2009 ACADEMY QU IDMATHCIREBON

2009 ACADEMY QU IDMATHCIREBON NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2008/2009 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Rabu/22 April 2009 Program Studi : IPA Waktu : 08.00 10.00 Petunjuk: Pilihlah satu jawababan yang tepat! 1. Perhatikan

Lebih terperinci

Persamaan Parametrik

Persamaan Parametrik oki neswan (fmipa-itb) Persamaan Parametrik Kita telah lama terbiasa dengan kurva yang dide nisikan oleh sebuah persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y: Contohnya persamaan eksplisit seperti y x

Lebih terperinci

DESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA

DESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 30 Agustus 2013

Hendra Gunawan. 30 Agustus 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 30 Agustus 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Selesaikan pertaksamaan berikut: 1. x + 1 < 2/x. (sudah dijawab) 2. x 3 < x + 1. 8/30/2013 (c) Hendra

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

KINEMATIKA. A. Teori Dasar. Besaran besaran dalam kinematika

KINEMATIKA. A. Teori Dasar. Besaran besaran dalam kinematika KINEMATIKA A. Teori Dasar Besaran besaran dalam kinematika Vektor Posisi : adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat. Pangkalnya di titik pusat koordinat, sedangkan ujungnya pada

Lebih terperinci

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004 Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

OUTLINE Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan. Kalkulus. Dani Suandi, M.Si.

OUTLINE Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan. Kalkulus. Dani Suandi, M.Si. Nilai Mutlak Kalkulus Dani Suandi, M.Si. Nilai Mutlak 1 Notasi Selang Menyelesaikan 2 Nilai Mutlak Definisi Nilai Mutlak Sifat Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Cartesius Grafik Persamaan Notasi Selang Nilai

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00. Diketahui premis- premis : () Jika Andi penurut maka ia disayang nenek. () Andi seorang anak penurut Ingkaran kesimpulan premis- premis tersebut adalah... Andi seorang

Lebih terperinci

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.

Lebih terperinci

Transformasi Geometri Sederhana. Farah Zakiyah Rahmanti 2014

Transformasi Geometri Sederhana. Farah Zakiyah Rahmanti 2014 Transformasi Geometri Sederhana Farah Zakiyah Rahmanti 2014 Grafika Komputer TRANSFORMASI 2D Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci