2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

Transkripsi

1 Darpublic Nopember 3 Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb... berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-, dalam rentang nilai dari sampai +. 5 = = 3,5 Gb... Fungsi tetapan (konstan): = dan = 3, 5... Fungsi Linier - ersamaan Garis Lurus ersamaan (.) adalah satu contoh persamaan garis lurus ang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-, dengan kurva seperti terlihat pada Gb... Kurva ang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu- adalah kurva ang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan terhadap perubahan, atau kita tuliskan Dalam hal garis lurus, rasio "delta " kemiringan = m =, dibaca : (.) "delta " memberikan hasil ang sama di titik manapun kita menghitungna. Artina suatu garis lurus hana mempunai satu nilai kemiringan, aitu ang diberikan oleh m pada fungsi = m. Gb... berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus ang semuana melewati titik-asal [,] akan tetapi dengan kemiringan ang berbeda-beda. Garis = lebih miring dari =, 5, garis = lebih miring dari = dan jauh lebih miring dari =, 5, dan ketigana miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis ang ke-empat memiliki m negatif,5 dan ia miring ke bawah (menurun). /

2 Darpublic Nopember 3 Gb... Empat contoh kurva garis lurus = m. Secara umum, persamaan garis lurus ang melalui titik-asal [,] adalah = m (.3) dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun)..3. ergeseran Kurva dan ersamaan Garis Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [,] melainkan memotong sumbu- misalna di titik [,]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan. Setiap nilai pada garis ini untuk suatu nilai, sama dengan nilai pada garis ang melalui [,], aitu =, ditambah. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai = +. erhatikan Gb = =,5 Gb..3. Garis lurus melalui titik [,], kemiringan. Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu- di [,b] adalah ( b) = m (.) b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu- positif (ke atas) ang berarti garis memotong sumbu- di atas titik [,]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu- negatif (ke bawah); ia memotong sumbu- di bawah titik [,]. Secara singkat, b pada (.) menunjukkan pergeseran kurva sepanjang sumbu-. Kita lihat sekarang garis ang memiliki kemiringan dan memotong sumbu- di titik [a,], misalna di titik [,]. Lihat Gb... Dibandingkan dengan garis ang melalui titik [,] aitu garis =, setiap nilai pada garis ini terjadi pada ( ) pada garis = ; atau dengan kata lain nilai pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai pada garis = dengan ( ). Contoh: =, pada garis ini terjadi pada = dan hal ini terjadi pada = ( ) pada kurva =. = = -,5 = + = / Sudaratno Sudirham, Fungsi Linier

3 Darpublic Nopember 3 Gb... Garis lurus melalui titik [,]. Secara umum persamaan garis ang melalui titik [a,] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan pada persamaan = m dengan ( a). ersamaan garis ini adalah = m( a) (.5) ada persamaan (.5), jika a positif garis = m tergeser ke arah sumbu- positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu- negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (.5) menunjukkan pergeseran kurva sejajar sumbu-. ada contoh di atas, dengan tergeserna kurva ke arah kanan dan memotong sumbu- di titik [,] ia memotong sumbu- di titik [,-]. Suatu garis ang titik perpotonganna dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringanna diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringanna adalah ( ) m = = = = dan persamaan garis adalah = (.) Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (.), dengan memberikan m = dan b =. Secara umum, persamaan garis ang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,] dan [,b] adalah Contoh: - = =( ) = m + b b dengan m = (.7) a garis memotong sumbu di, dan memotong sumbu di ersamaan garis: = + = + Bagaimanakah persamaan garis lurus ang tidak terlihat perpotonganna dengan sumbusumbu koordinat? ersamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik ang ada pada garis tersebut. Lihat Gb..5. ada Gb..5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, aitu 3/

4 Darpublic Nopember 3 ( ) m = = (.) ( ) [, ] [, ] Gb..5. Garis lurus melalui dua titik. ersamaan (.) ini harus berlaku untuk semua garis ang melalui dua titik ang diketahui koordinatna. Jadi secara umum harus berlaku m = (.9) Dengan demikian maka persamaan garis ang memiliki kemiringan ini adalah = m( ) (.) ersamaan (.) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m ang diberikan oleh (.9), bergeser searah sumbu- sebesar dan bergeser searah sumbu- sebesar. Contoh: Carilah persamaan garis ang melalui dua titik (5,7) dan Q(,). Q p Q 7 5 Kemiringan garis ini adalah m = = =, 5 - Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis ang melalui titik asal =, 5. ersamaan garis dengan kemiringan ini dan melalui titik (5,7) adalah 7 =,5( 5) =,5,5 + 7 =,5 +,75 Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi = f () akan tergeser sejajar sumbu- sebesar skala jika diganti dengan ( ), dan tergeser sejajar sumbu- sebesar skala jika diganti dengan ( ) = f () menjadi f ) = atau = f ( ) (.) ( Walaupun (.) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung ang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutna. / Sudaratno Sudirham, Fungsi Linier

5 Darpublic Nopember 3 Contoh: = kurva semula + = (pergeseran searah sumbu-) atau = ( ) (pergeseran + searah sumbu-) Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumna, aitu persamaan garis ang melalui titik (5,7) dan Q(,). ersamaan garis dengan kemiringan,5 dan melalui titik asal adalah =, 5. Garis ini harus kita geser menjadi ( b) =,5( a) agar melalui titik dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik ang diketahui, (5,7) dan Q(,). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan 7 b =,5(5 a) dan b =,5( a) Dari sini kita akan mendapatkan nilai a =, dan juga b =,75 sehingga persamaan garis ang melalui titik (5,7) dan Q(,) dapat diperoleh, aitu,75 =, 5 atau =,5( +,). Garis ini memotong sumbu- di +,75 dan memotong sumbu- di,... erpotongan Garis Dua garis lurus = a + b dan = a + b berpotongan di titik sehingga koordinat memenuhi = sehingga Contoh: a + + b = a p b b = a = a b a + b atau = a + b (.) Titik potong dua garis = + 3 dan = = + 3 = = = = 5, 5 ; = + 3 = 5,5 + 3 = 5,5 = = Jadi titik potong adalah [(5,5), ]. erhatikan Gb... berikut ini. 5/

6 Darpublic Nopember Koordinat memenuhi persamaan maupun Gb... erpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan ang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di. Contoh: Dua garis = + 3 dan = adalah sejajar..5. embagian Skala ada Sumbu Koordinat ada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis m = tan θ (.3) dengan θ adalah sudut ang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu- atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb Gb..7. anjang per skala sama di sumbu- dan. Sesungguhna formulasi (.3) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ ang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarna; jika pembagian tidak sama besar sudut θ ang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarna sehingga sudut θ sebenarna harus dihitung dari formula (.3) dan bukan dilihat dari grafik. θ 5 m = tan θ.. Domain, Kekontinuan, Simetri ada fungsi linier = m( a) + b, peubah akan selalu memiliki nilai, berapapun. eubah bisa bernilai dari sampai +. Fungsi ini juga kontinu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi = m simetris terhadap titik asal [,] karena fungsi ini tak berubah jika diganti dengan dan diganti dengan. / Sudaratno Sudirham, Fungsi Linier

7 Darpublic Nopember 3 Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva ang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi ang biasa kita jumpai dalam praktik rekaasa. ). Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan. F = ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaa lain ang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai v ( t) v + at = v kecepatan gerak benda, v kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v ( t) = at ) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V, dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar V E = l Elektron ang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adana medan listrik sebesar a = ee a adalah percepatan ang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k = at 3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa ang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang merupakan fungsi linier dari. dengan k adalah konstanta pegas. F = k ) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujungujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus ang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V i GV = R =, dengan anoda G = R G adalah tetapan ang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.ersamaan ini juga bisa dituliskan V = ir ang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. ] l katoda 7/

8 Darpublic Nopember 3 Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinatakan dengan ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah j = R = ρl A i j = dan dari persamaan di atas kita peroleh A i A = V RA = ρ V l = σe dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau gradien dari V ang kita tuliskan dv E = d. Mengenai pengertian gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). eristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadina difusi, aitu penebaran materi menembus materi lain, adalah adana perbedaan konsentrasi. Situasi ini analog dengan peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong untuk terjadina aliran muatan adalah perbedaan tegangan. materi masuk di a C a materi keluar di C a Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi ang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai J = D D adalah koefisien difusi, dc/d adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C dan C bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick ertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. dc d / Sudaratno Sudirham, Fungsi Linier