Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T."

Transkripsi

1 Kode Modul MAT. TKF Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4) Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif 2005

2 KATA PENGANTAR Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu subkompetensi, yaitu: Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. Modul ini dapat digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta. Pada modul ini disajikan konsep dasar Integrasi Fungsi dan permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral Tertentu dan Aplikasinya. Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep tentang Diferensiasi Fungsi. Yogyakarta, Oktober 2005 Penyusun Martubi, M.Pd., M.T. ii

3 DAFTAR ISI MODUL Halaman HALAMAN SAMPUL... i KATA PENGANTAR... ii DAFTAR ISI... iii PERISTILAHAN / GLOSSARY... v I. PENDAHULUAN... A. Deskripsi... B. Prasyarat... C. Petunjuk Penggunaan Modul Petunjuk bagi mahasiswa Petunjuk bagi dosen D. Tujuan Akhir... 3 E. Kompetensi... 3 F. Cek Kemampuan... 4 II. PEMBELAJARAN... 5 A. Rencana Belajar Mahasiswa... 5 B. Kegiatan Belajar Kegiatan Belajar... 5 a. Tujuan kegiatan belajar... 5 b. Uraian materi... 6 c. Rangkuman... d. Tugas... 3 e. Tes formatif... 3 f. Kunci jawab tes formatif iii

4 Halaman 2. Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar b. Uraian materi c. Rangkuman d. Tugas e. Tes formatif f. Kunci jawab tes formatif Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar b. Uraian materi c. Rangkuman d. Tugas e. Tes formatif f. Kunci jawab tes formatif Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar b. Uraian materi c. Rangkuman d. Tugas e. Tes formatif f. Kunci jawab tes formatif III. EVALUASI A. Pertanyaan B. Kunci Jawaban C. Kriteria Kelulusan IV. PENUTUP... 4 DAFTAR PUSTAKA iv

5 PERISTILAHAN / GLOSSARY Fungsi Baku : adalah fungsi yang sudah ada rumus integralnya. Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang linier ( pangkat satu ). Integrasi Fungsi : adalah operasi balikan ( invers) dari diferensiasi yang berarti mencari fungsi induk dari suatu turunan tertentu. Integral Parsial : adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan pembagian yang unsur-unsurnya saling asing ( unsur yang satu bukan turunan dari unsur lainnya). Integral Perkalian/Pembagian khusus: adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan pembagian dengan unsur yang satu merupakan turunan dari unsur lainnya. Integral Tertentu: adalah suatu proses perhitungan integral dengan batas-batas tertentu yang telah ditentukan. v

6 BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini membahas tentang konsep dasar Integrasi Fungsi serta permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier, Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus, Integral Parsial dan Integral tertentu beserta Aplikasinya. Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral tertentu dan Aplikasinya. Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan. Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi B. Prasyarat Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materimateri dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar tentang : Diferensiasi Fungsi ( Modul MAT. TKF ).

7 2 C. Petunjuk Penggunaan Modul. Petunjuk bagi Mahasiswa Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain : a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan. b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri, hal ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar. c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi. 2. Petunjuk Bagi Dosen Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan peran untuk : a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan yang dijelaskan dalam tahab belajar. c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.

8 3 d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang diperlukan. e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan. g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaannya pada setiap akhir kegiatan belajar. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul ini mahasiswa diharapkan dapat : Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. E. Kompetensi Modul MAT. TKF dengan judul Integrasi Fungsi ini disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai berikut : Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar Materi Pokok Pembelajaran Sikap Pengetahuan Ketrampilan Menggunakan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi..menjelaskan.pengertian, pengertian/konsep, notasi dan sifat-sifat notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi. fungsi. integrasi 2. Menyelesaikan 22. Integrasi masalah integra- fungsi si fungsi baku baku.. Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan melakukan perhitungan.pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi. 2. Integrasi fungsi baku. Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar

9 4 Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja Lingkup Belajar Materi Pokok Pembelajaran Sikap Pengetahuan Ketrampilan Menggunakan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi. 3. Menyelesaikan masalah integrasi fungsi majemuk linier. 4. Menyelesaikan masalah integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus. 5. Menyelesaikan masalah integral parsial 6. Menyelesaikan masalah integral tertentu dan aplikasinya Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi perkalian/pembagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral tertentu dan aplikasinya. Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan melakukan perhitungan. 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi perkalian/pembagian khusus. 5. Integral parsial 6. Integral tertentu dan aplikasinya Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar F. Cek Kemampuan Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF ini, isilah dengan tanda cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan : Sub Kompetensi Pertanyaan Jawaban Ya Tidak Bila Jawaban Ya Kerjakan Menggunakan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.. Saya mampu menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi. 2. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasi fungsi baku. 3. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasi fungsi majemuk linier. 4. Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus Tes Formatif Nomor : Tes Formatif Nomor : 2 a, b, f, g Tes Formatif No: 2 c, d, e, h, i, j Tes Formatif 2 Nomor : sd Saya dapat menyelesaikan permasalahan integrasil parsial Tes Formatif 3 Nomor : sd Saya dapat menyelesaikan permasalahan integral tertentu dan aplikainya. Tes Formatif 4 Nomor : sd. 3 Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.

10 BAB II PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Mahasiswa Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai. Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar Alasan Perubahan Paraf Dosen. Pengertian, dan notasi integrasi fungsi. 2. Integrasi fungsi baku. 3. Integrasi fungsi majemuk linier 4. Integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus. 5. Integral parsial. 6. Integral tertentu dan aplikasinya B. Kegiatan Belajar.. Kegiatan Belajar : Integrasi Fungsi Baku dan Majemuk Linier a. Tujuan Kegiatan Belajar : ). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifatsifat integrasi fungsi. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi baku. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi majemuk linier. 5

11 6 b. Uraian Materi : ). Pengertian, dan Notasi Integrasi Fungsi : Integrasi Sebagai Anti Diferensiasi Di dalam matematika banyak dijumpai pasangan operasi yang saling merupakan balikan ( anti ), misalnya : penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta logaritma dan perhitungan logaritma. Operasi balikan lainnya yang akan dibahas pada bagian ini adalah integrasi ( hitung integral ) sebagai operasi anti dari diferensiasi ( hitung diferensial ) Pada operasi deferensial permasalahnnya yaitu menentukan fungsi turunan dari dari sebuah fungsi yang telah diketahui, maka pada integrasi permasalahannya yaitu menentukan fungsi asal ( induk ) dari suatu fungsi turunan yang telah diketahui. Misalnya turunan dari f (X) adalah f (X) maka: Diferensiasi : mencari f (X) jika f (X) diketahui. Integrasi : mencari f (X) jika f (X) diketahui. Selanjutnya untuk untuk memudahkan cara penulisannya, digunakan notasi Leibniz yaitu dengan lambang f (X) dx untuk menyatakan integral dari fungsi f (X) atau integral f (X) terhadap X. Misal diketahui f (X) = sin X maka integrasinya terhadap X ditulis sin X dx. Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut: { f (X) + g (x) } dx = f (X) dx + g (X) dx { f (X) g (x) } dx = f (X) dx g (X) dx k. f (X) dx = k. f (X) dx dalam hal ini f (X) dan g(x) = fungsi X ; k = bilangan konstan

12 7 Integrasi Fungsi Baku : Berdasarkan rumus rumus dasar diferensiasi fungs, maka dengan jalan membalik operasinya akan diperoleh rumus rumus dasar integrasi fungsi baku sebagai berikut : ( Jika C = bilangan konstan, dan n = bilangan riil ) k. kx n dx = X n + + C ( asal n - ) n + k 2. dx = k. ln X + C X 3. e X dx = e X + C 4. e kx dx = e kx + C k a X 5. a X dx = + C ln a 6. cos X dx = sin X + C 7. sin X dx = cos X + C 8. sec 2 X dx = tg X + C 9. cosh X dx = sinh X + C 0. sinh X dx = cosh X + C. dx = arc. sin X + C X 2 2. dx = arc. cos X + C X 2 3. dx = arc. tg X + C + X 2

13 8 4. dx = arc. sinh X + C X dx = arc. cosh X + C X 2 6. dx = arc. tgh X + C X 2 Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu, karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui harganya yaitu C. Untuk lebih jelasnya dalam memahami rumus-rumus dasar beserta sifat-sifat integrasi tersebut berikut diberikan beberapa contoh penerapannya: a). X 7 dx = X 8 + C 8 5 b). dx = 5 ln X + C X c). 3 e X dx = 3 e X + C 5 d). 5 e 6X dx = e 6X + C 6 5 X e). 5X dx = + C ln 5 f). g). h). i). 23 cos X dx = 23 sin X + C 7 sin X dx = 7( cos X) + C = 7 cos X + C ( 4 sec 2 X 5 cos X ) dx = 4 tg X 5 sin X + C ( 9 cos X + 7 sin X ) dx = 9 sin X 7 cos X + C

14 9 5 j). dx = 5 arc. cos X + C X 2 7 k). dx = 7 arc. cosh X + C X 2 2 l). dx = 2 arc. sinh X + C + X 2 3 m). dx = 3 arc. cos X + C X 2 Integral Fungsi Majemuk dari Suatu Fungsi Linier Kadang-kadang kita harus mengintegralkan suatu fungsi majemuk, yaitu fungsi yang bentuknya mirip dengan bentuk pada rumus dasar, tetapi dengan X diganti oleh fungsi linier dalam X, misalnya (3X + 4) 7 dx, (5X 6) ½ dx, sin 6X dx, sinh ( 4X + 3) dx, cos (7 3X ) dx dan sebagainya. Pada soal (3X + 4) 7 dx dimisalkan (3X + 4) = Z, maka bentuk tersebut menjadi Z 7 dx. Karena variabelnya belum sesuai maka untuk dapat diselesaikan perlu disesuaikan dahulu, yaitu dengan kaidah sebagai berikut : Z 7 dx = Z 7 dx dz dz dz dx Karena Z = 3X + 4 maka = 3 = dx dz 3 dx Z 7 dz = Z 7. dz = Z 7 dz = Z 8 + C dz Jadi : (3X + 4) 7 dx = ( 3X + 4 ) 8 + C 24

15 0 Jika diperhatikan ternyata kaidah dasar pengintegralan tetap berlaku, tetapi masih harus dibagi dengan koefisien X. Hal ini berlaku umum untuk semua fungsi baku yang terdapat pada rumus dasar di depan. Secara umum dapat dirumuskan bahwa : Jika Z = (ax + b) maka: k k (ax + b) n dx = (ax + b ) n+ + C a ( n+) Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika X diganti ( ax + b ) sesuai bentuk integral bakunya. Contoh : a). sin (5X 7) dx = /5 cos (5X 7 ) + C b). e 3X 2 dx = e 3X 2 + C 3 c). 3 5X dx = 3 5X 5 ln 3 + C ln (4X + 3) d). dx = + C 4X e). sec 2 (0X + 8) dx = /0. tg (0X + 8) + C arc.sin 3X f). dx = + C 9X g) dx = 5 arc.tgh 2X + C 4X 2

16 c. Rangkuman : ). Pengertian, Notasi dan Sifat Integrasi Fungsi. Integrasi Fungsi : adalah sebuah operasi dari diferensiasi fungsi, yaitu sebuah proses mencari induk dari suatu fungsi turunan tertentu. Integral dinotasikan dengan lambang : Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut: { f (X) + g (x) } dx = f (X) dx + g (X) dx { f (X) g (x) } dx = f (X) dx g (X) dx k. f (X) dx = k. f (X) dx dalam hal ini f (X) dan g(x) = fungsi X ; k = bilangan konstan 2). Integrasi Fungsi Baku Untuk mencari integral fungsi baku digunakan rumus : a. X n dx = X n + + C ( asal n ) n + b. dx = ln X + C X c. e X dx = e X + C d. e kx dx = e kx + C k a X e. a X dx = + C ln a

17 2 f. cos X dx = sin X + C g. sin X dx = cos X + C h. sec 2 X dx = tg X + C i. cosh X dx = sinh X + C j. sinh X dx = cosh X + C k. dx = arc. sin X + C X 2 l. dx = arc. cos X + C X 2 m. dx = arc.tg X + C + X 2 n. dx = arc.sinh X + C X 2 + o. dx = arc.cosh X + C X 2 p. dx = arc.tgh X + C X 2 3). Integrasi Fungsi Majemuk Linier Secara umum jika Z = (ax + b) maka: k Z n dx dapat dihitung dengan rumus : k k Z n dx = (ax + b ) n+ + C a (n + ) Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika X diganti ( ax + b ) sesuai bentuk integral bakunya.

18 3 d. Tugas : Tentukanlah integral integral berikut ini : ). (X 3 3X 2 + 4X 5) dx 9). 7(X 2 ) ½ dx 2). ( 3 sin X 2 cos X) dx 0). 2 sec 2 X dx 7 3). ( e X e 2X ) dx ). ( X) dx X 4). 6 ( X 2 ) ½ dx 2). (9 X + 0 X ) dx 5). (2X 7) 4 dx 3). cosh ( + 4X) dx 6). e 5X 4 dx 7 4). dx 7). sinh 7X dx 2X - 3 8). 5 3X+2 dx 5). 5 ( + 4X 2 ) ½ dx e. Tes formatif : ). Jelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat dari integrasi fungsi! 2). Tentukanlah integral integral berikut ini : 4 a). (X 3 + X ) dx f). ( 4 3 sinh X ) dx X 2 4 b). dx g). ( X ) 2 dx + X 2 X c). cos (7X 2) dx h). sec 2 (3X + 5) dx d). (5X 8) 7 dx i). cosh (3 + 7X) dx e). 7 4X + 5 dx j). 3 ( + 6X 2 ) ½ dx

19 4 f. Kunci Jawab Tes Formatif : ). Lihat rangkuman, nomor ) halaman modul ini. 4 2). a). ½ X 2 + ½ X C f). 4 X 3 cosh X + C X b). 4 arc.tg X + C g). ⅓ X 3 2X + C X c). sin (7X 2) + C h). ⅓ tg (3X + 5) + C d). (5X 8) 8 + C i). sinh (3 + 7X) + C e). 7 4X + 5 j). ¾ arc. sinh 4X + C + C 4 ln 7 2. Kegiatan Belajar 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 : ). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi perkalian khusus. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi pembagian khusus. b. Uraian Materi 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus pada bagian ini yaitu perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunan (diferensiasinya). Jika diketahui suatu fungsi f (X) dan turunanya f (X) maka bentuk integral perkalian khusus tersebut dapat ditulis : f (X). f (X) dx, atau jika dimisalkan Z = f (X) dan turunan Z terhadap X adalah dz = f (X) dx maka bentuk tersebut menjadi Z dz, sehingga integralnya dapat dicari dengan rumus : Z dz = ½ Z 2 + C

20 5 Contoh : ). Tentukan integral dari tg X. sec 2 X dx Jawab : Misal Z = tg X maka dz = sec 2 X dx tgx sec 2 X dx = ½ tg 2 X + C ln X 2). dx = ln X. dx = ln X d (ln X ) X X = ½ ( ln X ) 2 + C 3). sinh X. cosh X dx = sinh X d (sinh X ) = ½ sinh 2 X + C 4). (3X 2 2X + 4). (6X 2) dx = ½ ( 3X 2 2X + 4 ) 2 + C sin X 5). dx = sin X. d (sin X) X 2 = ½ ( sin X ) 2 + C Selanjutnya untuk pembagian khusus, yaitu dz maka Z penyelesainnya sama dengan rumus dasar nomor b, yaitu : dx = ln X + C X Jadi untuk bentuk pembagian khusus ini yang sama, yaitu : berlaku rumus dz = ln Z + C Z

21 6 Contoh: 6X + 4 ). dx Z = 3X 2 + 4X 5 3X 2 + 4X 5 dz = ( 6X + 4) dx 6X + 4 dx = ln ( 3X 2 + 4X 5) + C 3X 2 + 4X 5 cos X 2). cotg X dx = dx sin X d (sin X) = = ln sin X + C sin X sec 2 X d ( tg X) 3). dx = = ln tg X + C tg X tg X cos θ d ( + sin θ ) 4). d θ = = ln ( + sin θ ) + C + sin θ + sin θ sec X. tg X d ( sec X ) 5). tg X dx = dx =. sec X sec X = ln sec X + C c. Rangkuman 2 : Integral Perkalian/Pembagian Khusus : Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus adalah perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunannya. Rumus Integral Perkalian Khusus : Z dz = ½ Z 2 + C dz Rumus Integral Perkalian Khusus : = ln Z + C Z ( Z = fungsi X, dz/dx = turunan Z terhadap X )

22 7 d. Tugas 2 : Tentukan integral-integral berikut ini : 4X 2 ). 3 sin X cos X dx 6). dx X ln X sin X 2). dx 7). dx 4X cos 2X 0 X 5 3). (X 3 4X) (6X 2 8) dx 8). - dx X 2 3X arc. tgh X sin 2X 4). dx 9). dx X 2 cos 2X 5 cos X 3 sec 2 X 5). dx 0). dx X 2 3 tg X e. Tes Formatif 2 : 6X 2 ). cos 3X sin 3X dx 6). dx 0 X 3 7 ln 3X 8 cos 4X 2). dx 7). dx 7X 3 sin 4X 8 X + 6 3). (2X 3 + 4X) (9X 2 + 6) dx 8). - dx 3X 2 + 2X 5 7 arc. tg 2X 4 sin 5X 4). dx 9). dx + 4X 2 cos 5X 2 cos 3X 4 sec 2 6X 5). dx 0). dx 9X 2 7 tg 6X

23 8 f. Kunci Jawab Tes Formatif 2 : ). /6 cos 2 3X + C 6). ln (0X 3 7) + C 5 2). ( ln 3X) 2 + C 7). 2 ln (3 sin 4X) + C 4 3). ¾ (2X 3 + 4X) 2 + C 8). 3 ln (3X 2 + 2X 5) + C 7 4 4). ( arc. tg 2X) 2 + C 9). ln (cos 5X ) + C 4 5 5) ⅓ (cos 3X) 2 + C 0). ⅔ ln (7 tg 6X ) + C 3. Kegiatan Belajar 3 : Integral Parsial a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 : ). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi perkalian parsial. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi pembagian parsial. b. Uraian Materi 3 : Integrasi Parsial Integrasi Perkalian Parsial : Pada bagian sebelumnya telah dipelajari integrasi bentuk khusus perkalian antara dua unsur yang terdiri dari sebuah fungsi dan fungsi turunannya. Kaidah pengintegralan pada bagian tersebut hanya berlaku khusus perkalian perkalian yang sejenis, sehingga dapat digunakan pada bentuk perkalian lain yang terdiri atas dua unsur secara bebas, artinya unsur yang satu bukan merupakan turunan dari yang lain. Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian bebas ini digunakan suatu cara yang biasa disebut integral parsial. Dinamakan demikian karena hasil pengintegralan pertama masih

24 9 memuat permasalahan integral atau masih mengandung bagian yang harus diintegralkan lagi. Adapun caranya adalah sebagai berikut : Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X, maka : U. dv = U.V V. du Pada cara ini dituntut untuk dapat memilih dengan tepat, fungsi mana yang harus diambil ( dimisalkan ) sebagai U dan mana yang dimisalkan V karena kesalahan pemilihan kedua bentuk tersebut akan mengakibatkan penyelesaian yang berlarutlarut atau bahkan tidak dapat diperoleh penyelesaian yang semestinya. Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang dimisalkan U adalah : ). Fungsi logaritma ( ln X ) 2). Fungsi perpangkatan dari X ( X n ) 3). Fungsi eksponensial ( e X ) 4). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya. Contoh : Tentukan integral integral berikut : Jawab : ). X 2.ln X dx 2). X 2 e 3X dx 3). e 3X sin X dx ). X 2 ln X dx = U dv Misal : U = ln X dv = X 2 dx du = dx V = X 2 dx = ⅓ X X X ln X dx = ln X. ⅓ X 3 ⅓ X 3. X dx

25 20 2). X 2 e 3X dx = U. dx = ⅓ X 3 ln X ⅓ X 2 dx = ⅓ X 3 ln X X 3 + C 9 misal U = X 2 dv = e 3X dx du = 2 X dx V = e 3X dx = ⅓ e 3X X 2 e 3X dx = X 2. ⅓ e 3X ⅓ e 3X 2X dx = ⅓ X 2 e 3X ⅔ X e 3X dx Karena hasilnya masih mengandung integral dari bentuk perkalian dua fungsi lagi, maka dilakkukan pemisalan lagi dengan memilih U dan dv sesuai kaidah, akhirnya diperoleh hasil : X 2 e 3X dx = ⅓ X 2 e 3X ⅔ ( X.⅓ e 3X ⅓ e 3X dx ) = ⅓ X 2 e 3X ⅔ ( ⅓ X e 3X /9 e 3X ) + C = ⅓ e 3X ( X 2 ⅔ X 2/9 ) + C 3). e 3X sin X dx = U dv Misal U = e 3X dv = sin X dx du = 3 e 3X dx V = sin X dx = cos X e 3X x sin X dx = e 3X cos X ( cos X ) 3e 3X dx = e 3X cos X + 3 e 3X cos X dx Karena masih ada tanda integral, maka dimisalkan lagi sehingga : e 3X sin X dx = e 3X cos X+3(e 3X sin X 3 sin X.e 3X dx) = e 3X cos X + 3e 3X sin X 9 e 3X sin X dx Hasil di atas ternyata masih terdapat lagi bentuk yang mengandung integral, namun jika diperhatikan bentuk tersebut adalah bentuk yang sejenis dengan soal semula. Jika terdapat kejadian seperti ini maka tidak

26 2 perlu lagi diadakan pemisalan U dan dv, tetapi cukup mengumpulkan bentuk sejenis tersebut kedalam bentuk satu ruas yaitu ruas kiri, sehingga untuk soal diatas menjadi: e 3X sin X dx + 9 e 3X sin X dx = e 3X cos X + 3e 3X sin X 0 e 3X sin X dx = e 3X ( 3 sin X cos X ) + C e 3X sin X dx = e 3X ( 3 sin X cos X ) 0 + C Integrasi Permbagian / Pecahan Parsial Yang dimaksud integrasi pembagian/pecahan parsial pada bagian ini adalah integrasi dari suatu bentuk pembagian/pecahan yang tidak termasuk kedalam bentuk baku yang sudah dikenal sebelumnya dan juga pembilang pecahan tersebut bukan merupakan turunan (derivative) dari penyebutnya. Pecahanpecahan yang dimaksud disini adalah khusus pecahan-pecahan aljabar, misalnya : X+ X 2 dx, dx dan sebagainya. X 2 3X+2 ( X 2 )( X 2 + ) Untuk menyelesaikan persoalan semacam ini, maka bentuk pecahan tersebut terlebih dahulu harus diubah dengan cara menyatakannya ke dalam pecahan parsialnya, yaitu sejumlah pecahan aljabar yang lebih sederhana sehingga memungkinkan untuk dapat diintegralkan dengan lebih mudah. Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu : ). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya. 2). Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.

27 22 3). Faktor linier ( ax + b ) akan memberi pecahan parsial yang A berbentuk : - ax + b 4). Faktor (ax+b) 2 akan memberi pecahan parsial yang berbentuk: A B + - ax + b ( ax + b ) 2 5). Faktor (ax+b) 3 akan memberi pecahan parsial berbentuk : A B C ax + b ( ax + b ) 2 ( ax + b ) 3 6). Faktor kuadrad ( ax 2 + bx + c ) memberi pecahan parsial yang berbentuk : Contoh Soal : AX + B - ax 2 + bx + c Tentukan integral-integral di bawah ini : X + 4X² ). dx 3). dx X² 3X+2 X.(2X )² X² 2). dx (X 2) (X² +) Jawab: X+ X+ ). dx = dx X² 3X+2 (X 2) (X ) X+ A B = + - (X 2) (X ) X 2 X X + = A ( X ) + B ( X 2 )

28 23 Bentuk ini adalah identitas yang berlaku untuk setiap harga X, namun akan lebih sederhana jika dipilih X yang dapat membuat salah satu sukunya berharga nol (0). Ambil (X ) = 0 artinya X =, sehingga: + = A( ) + B( 2) 2 = 0 B Jadi B = 2 Selanjutnya ambil (X 2) = 0 artinya X = = A(2 ) + B(2 2) 3 = A + 0 Jadi A = 3 Dengan demikian bentuk integral tersebut dapat di tulis menjadi: X+ 3 2 dx = dx = dx X 2 3X + 2 X 2 X = 3 ln (X 2) 2 ln (X ) + C ====================== X 2 A BX + C 2). dx = ( + dx (X 2) (X 2 + ) X 2 X 2 + X 2 A BX + C = + - (X - 2) (X 2 + ) X 2 X 2 + X 2 = A(X 2 + ) + (X 2) (BX + C) Untuk X = = A(2 2 + ) = 0 4 = 5A Jadi A = 4/5 Selanjutnya untuk mencari harga B dan C samakanlah koefisien-koefisien X pangkat tertinggi, dalam hal ini adalah X 2 : (X 2 ) = A + B B = A = 4/5 Jadi B = /5

29 24 Untuk X = 0 0 = A 2C C = ½ A = ½. 4/5 = 2/5 X 2 4/5 /5 X + 2/5 Jadi dx = + dx (X - 2)(X 2 + ) X 2 (X 2 + ) 4 X 2 = + + dx 5 X 2 5 X X = ln (X 2) + ln (X 2 + ) + arc.tg X + C X dx = ln (X 2) + ln (X 2 +) + arc.tg X + C (X )(X 2 +) X 2 + A B C 3). dx = ( + + ) dx X ( 2X ) 2 X 2X (2X ) 2 4X 2 + A B C = + +. X ( 2X ) 2 X 2X (2X ) 2 4X 2 = A(2X ) 2 + BX (2X ) + CX Ambil 2X = 0 yaitu untuk X = ½ 4.½ 2 + = A(2. ½ ) 2 + B. ½ (2. ½ ) + C. ½ 2 = ½ C C = 4 Samakan koefisien x untuk pangkat tertinggi : [ X 2 ] 4 = 4A + 2B 2A + B = 2 Untuk X = 0 maka A = sehingga didapat B = 0 4X = X( 2X ) 2 X ( 2X ) 2 4X dx = --- dx dx X( 2X ) 2 X 2X ) 2

30 25 = ---- dx + 4 (2X ) 2 dx X 4( 2X ) = ln X C.2 2 = ln X + C 2X ================== c. Rangkuman 3 : Integral Perkalian / Pembagian Parsial : adalah integral perkalian / pembagian dua buah fungsi yang saling asing ( yang satu bukan turunan lainnya) dan juga bukan bentuk baku yang sudah ada rumusnya. ). Rumus Integrasi Perkalian Parsial : Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X, maka : U. dv = U.V V. du Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang dimisalkan U adalah : a). Fungsi logaritma ( ln X ) b). Fungsi perpangkatan dari X ( X n ) c). Fungsi eksponensial ( e X ) d). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya. 2). Integrasi Pembagian / Pecahan Parsial : ubahlah pecahan aljabar itu menjadi pecahan parsialnya yang sudah ada rumus integralnya. Pecahan parsial di sini khusus untuk pecahan aljabar.

31 26 Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu : a). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya. b). Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya. c). Faktor linier ( ax + b ) akan memberi pecahan parsial A yang berbentuk : - ax + b d). Faktor (ax+b) 2 berbentuk: A B + - ax + b ( ax + b ) 2 akan memberi pecahan parsial yang e). Faktor (ax+b) 3 akan memberi pecahan parsial berbentuk: A B C ax + b ( ax + b ) 2 ( ax + b ) 3 6). Faktor kuadrad ( ax 2 + bx + c ) memberi pecahan parsial yang berbentuk : AX + B ax 2 + bx + c - d. Tugas 3 : Tentukan integral - integral berikut ini : ). X 2 cos 5X dx 6). X 3 ln ( X + 7 ) dx 2). 2X 3 e 3X dx 7). e 5X sin 3X dx 2X 2 + X + X 3 + X + 4). dx 9). dx (X )(X 2 +) X 4 + X 2 dx 3X + 2 5). 0). dx X 2 ( + X 2 ) (X 2)(X 2 4)

32 27 e. Tes formatif 3 : Tentukan integral - integral berikut ini : ). X 2 sin 7X dx 4). 4 X 2 ln 3 X dx 2). 4X 3 e 2X dx 2X 8 X 3). dx 5). dx X 2 8X + 5 (X 2) 2 (X+) f. Kunci Jawab Tes Formatif 3 : ). /7 X 2 cos 7X + 2/49 X sin 7X + 2/343 cos 7X + C 2). e 2X (2X 3 3X X + ½ ) + C 3). 4½ ln ( X 5 ) 2½ ln ( X 3 ) + C 4). ⅓ X 3 ( ln 3 X ⅓ ) + C 2 5). ln ( X 2 ) + ln ( X + ) + C X 2 4. Kegiatan Belajar 4 : Integral Tertentu dan Aplikasinya a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 : ). Mahasiswa dapat menyelesaikan integral tertentu sebuah fungsi jika diketahui batas-batasnya. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung luas daerah antar dua kurva. 4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi fungsi untuk menghitung volume benda putar.

33 28 b. Uraian Materi 4 : Integrasi Tertentu dan Aplikasinya Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka : a b f (X) dx disebut integral tertentu (integral Riemann) dari f (X) mulai X = a sampai X = b Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar sebagai berikut : Jika diketahui anti turunan dari f (X) adalah F (X) maka : b f (X) d(x) = F(X) ] = F ( b ) F ( a ) a a b Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan konstan. Contoh Soal : Hitunglah : 2 ). ( 4X 9X 2 ) dx 2). sin 3 (2X). cos (2X) dx 0 Jawab : /4 2 2 ). ( 4X 9X 2 ) dx = 2X 2 3X 3 = 2 ( ) 3( ) = = 5

34 29 ¼ 2). sin 3 (2X). cos (2X) dx 0 Misal U = sin 2X du = 2 cos 2X dx ½ du = cos 2X dx Sehingga soal tersebut dapat diganti : ¼ sin 4 2X ¼ ½ (sin 3 2X) ( 2 cos 2X ) dx = ½ ] ¼ = /8 sin 4 2X ] = /8 ( sin 4 ½ sin 4 0 ) 0 = /8 ( 0 ) = /8 Luas Daerah di Bawah Kurva : Y Luas daerah di bawah suatu kurva Y= f(x) Y = f ( X ) di atas sumbu X dari X = a sampai X = b sebagaimana tampak pada gambar di samping, yaitu daerah yang diarsir dapat A dihitung dengan rumus : 0 a b X b b A = Y dx atau A = f (X) dx a a satuan luas Contoh Soal : ). Y Y=X 2 + Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di sebelah ini!

35 30 Jawab : Luas daerah yang diarsir ( A ) : 2 A = ( X 2 + ) dx 2 2 = ⅓ X 3 + X = ⅓ ( 2 3 ( 2 ) 3 ) + ( 2 ( 2) ) 2 = ⅓ = 9 ⅓ satuan luas 2). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 + X dan sumbu X dari X = sampai X = 4 4 Jawab : A = ( 2 + X ) dx ½ 4 = 2X + ⅔ X = 2 (4 ) + ⅔ ( 4 ½ ½ ) = ⅔. 7 = 0 ⅔ satuan luas Luas Daerah Antara Dua Kurva : Jika diketahui kurva-kurva Y = f (X) dan Y = g (X) dengan f (X) g (X) Y dan keduanya kontinyu pada selang Y=f (X) a X b. Maka luas daerah antara kedua kurva tersebut dari X = a Y=g (X) sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus: 0 a b b A = [ f (X) g (X) ] dx satuan a luas

36 3 Harga batas a dan b dalam hal ini tidak selalu telah diketahui secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung masalahnya). Contoh Soal : ). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 X 2 dan kurva Y = X seperti yang ditunjukkan dalam gambar dibawah ini! Y Jawab : Y = X Pertama-tama cari dahulu batas integrasinya, yaitu titik potong kedua kurva. 0 X 2 X 2 = X 2 X 2 X = 0 Y = 2 X 2 X 2 + X 2 = 0 ( X + 2 ) ( X ) = 0 X + 2 = 0 atau X = 0 X = 2 X = Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang dimaksud adalah X = 2 sampai X =, sehingga : A = ( 2 X 2 ) X dx = ( X 2 X + 2 ) dx 2 2 = ( ---- X X 2 + 2X ) = ( 2) ( 2) 2 = 2 ( 2) 3 2 = 4 ½ satuan luas

37 32 2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol Y 2 = 4X dan garis yang persamaannya 4X 3Y = 4 Jawab : Kedua kurva Y 2 = 4X dan 4X 3Y = 4 dipotongkan sehingga diperoleh : Y 2 3Y = 4 Y 2 3Y 4 = 0 (Y 4) (Y+) = 0 Y 4 = 0 Y = 4 Y + = 0 Y = Untuk Y = 4 diperoleh X = 4 Y = diperoleh X = ¼ Jadi titik potong kedua kurva ( 4, 4 ) dan (¼, ) Daerah yang dicari luasnya tampak seperti gambar dibawah : Y 4, 4 4X 3Y=4 0 X Y 2 =4X Dalam hal ini luasnya dihitung dengan rumus : A = b { f (Y) g (Y) } dy a Bila ditulis dalam fungsi Y di dapat :

38 33 Y 2 = 4X X = ¼ Y 2 4X 3Y = 4 X = ¾ Y + Jadi luas daerah tersebut : 4 3 Y 2 4 A = ( Y + ) dy = (3Y + 4 Y 2 ) dy = ( Y 2 + 4Y Y 3 ) ] = ( ) { ( ) ( ) ( ) 3 } = - - = 5,2 satuan luas 24 Menghitung Volume Benda Putar : Y Y Y = f ( X ) f (X ) 0 a b X 0 V X Jika suatu daerah di bawah kurva Y= f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu putaran ( 360 ), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus : b b V = { f (X )} 2 dx atau V = Y 2 dx a a satuan volume

39 34 Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran maka volume benda putarnya : b V = X 2 dy a satuan volume Contoh : ). Daerah yang di batasi oleh kurva Y = X 2, sumbu X dan garis X = 3 di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 Hitunglah volume benda putar yang terbentuk! Jawab : Isi ( Volume ) benda putar yang terjadi : V = Y dx = (X 2 ) 2 dx = X 4 dx = X 5 ] = ( ) = 48,6 satuan volume 2). Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X 3, sumbu Y dan garis Y = 3 diputar satu putaran mengelilingi sumbu Y! Jawab: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan perubah integral dalam Y, sehingga volume benda putar yang terbentuk dihitung dengan rumus : b V = X 2 dy a karena Y = X 3 maka X = Y / 3 sehingga didapat:

40 35 3 V = ( Y /3 ) 2 dy V = Y 2/3 dy =. 3/5. Y 5/3 ] 0 0 = 3/5.. (3 ) 5/3 =,76 satuan isi c. Rangkuman 4 : Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka : a b f (X) dx disebut integral tertentu (integral Riemann) dari f (X) mulai X = a sampai X = b Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar : ( Jika F (X) adalah anti turunan dari f (X) ) b f (X) d(x) = F(X) ] = F ( b ) F ( a ) a a b Luas Daerah di Bawah Kurva : Luas daerah di bawah suatu kurva Y = f ( X ) di atas sumbu X dari X = a sampai X = b dapat dihitung dengan rumus : b b A = Y dx atau A = f (X) dx a a satuan luas

41 36 Luas Daerah Antara Dua Kurva : Luas daerah antara dua kurva f (X) dan g (X) dari X = a sampai X = b dapat ditentukan dengan rumus: b A = [ f (X) g (X) ] dx a satuan luas Volume Benda Putar : Jika suatu daerah di bawah kurva Y = f (X) antara garis X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu putaran ( 360 ), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus : b b V = {f (X )} 2 dx atau V = Y 2 dx a a satuan volume Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran maka volume benda putarnya : b V = X 2 dy a satuan volume d. Tugas 4 : ). Hitunglah harga integral-integral berikut ini! 3 a). (3X 2 2X+ 4 ) dx c). X 2. sin X dx ½ b). (X 2 + /X 3 ) dx d). cos2 X. sin X dx 4 0

42 37 2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y= ( X+2 ) ( X 4 ) dan sumbu X. 3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva Y = 3 e 2X dan Y = 3e X dan ordinat pada X = dan X = 2 4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini a. b. Y Y Y = X 3 Y = 2X X 2 Y = 4 O X X 5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4 diputar 360 o mengelilingi sumbu X. 6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang dibatasi oleh kurva Y = X 2 + 5, sumbu X dan ordinat pada X = dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu Y. e. Tes formatif 4 : ). Hitunglah harga integral-integral berikut ini! 3 ½ 3 sin 2X a). ( t + 2 ) 2 dt b). dx 0 + cos 2 X 2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 ) 2 dengan kurva Y = 0 X 2

43 38 3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0 dan X = ¼ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu X. f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 : ). a). 4/5 b). 2, 079 2). 2⅓ satuan luas. 3). 8,72 satuan volume

44 BAB III EVALUASI A. Pertanyaan. Tentukanlah integral-integral berikut ini! a. Y = (5X 4 4X 2 3X X ) b. Y = 7 ( 3X 2 9X + 2 ) ( 0 X 5 ) dx c. Y = ( X 3 ).sin ( 5X 7 ) dx 5 cos 3X d. Y = -dx X - 4 sin 3X 2. Hitunglah! 3 a. 5X 2 e 2X dx b. 4 cos 3. sin3 d ¼ 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 6X X 2 dan Y = X 2 2X. 4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva Y = X + 3, sumbu X, garis X = 2 dan garis X = 5 diputar satu putaran mengelilingi sumbu X! B. Kunci Jawaban a. Y = X 5 X 3 X X + X X + C b. Y = ( 3X 2 9 X + 2 ) 2 + C 6 39

45 c. Y = { (X 3 ) + X }.cos (5X 7) + ( X 2 ) cos (5X 7) + C b. Y = ln ( 4 sin 3X ) + C 3 2. a. 6546,48 b. ⅓ 3. 2⅓ satuan luas satuan volume = 405,65 satuan volume C. Kriteria Kelulusan Kriteria Skor ( 0) Bobot Nilai Keterangan Kognitif ( soal nomor sd. 4 ) 5 Ketelitian menulis notasi Ketepatan prosedur 2 Ketepatan formula jawaban Ketepatan waktu NILAI AKHIR Syarat lulus nilai minimal 56

46 BAB IV PENUTUP Demikianlah mudul MAT. TKF dengan judul Integrasi Fungsi ini telah selesai disusun dengan dilengkapi beberapa latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum. Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya ( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini. 4

47 DAFTAR PUSTAKA Frank Ayres, Jr., 984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga. Njoman Susilo dkk., 988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid. Jakarta : Erlangga Spiegel, M.R Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga Stroud, K.A Erlangga. Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta: 42

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kode Modul MTL. OTO 207-02 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU i L C d i V i = L ----- d t Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

I N T E G R A L (Anti Turunan)

I N T E G R A L (Anti Turunan) I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.

Lebih terperinci

INTEGRAL MATERI 12 IPS ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN

INTEGRAL MATERI 12 IPS ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN MODUL MATEMATIKA INTEGRAL MATERI 12 IPS ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp.

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN

INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036

Lebih terperinci

INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN

INTEGRAL ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono. Nip PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN MODUL MATEMATIKA INTEGRAL ( MAT 12.1.1 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,

Lebih terperinci

CONTOH SOAL UAN INTEGRAL

CONTOH SOAL UAN INTEGRAL 1. Diketahui. Nilai a = a. 4 b. 2 c. 1 d. 1 e. 2 2. Nilai a. d. b. e. c. 3. Hasil dari a. b. d. e. c. 4. Hasil dari a. cos 6 x. sin x + C b. cos 6 x. sin x + C c. sin x + sin 3 x + sin 5 x + C d. sin x

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 Materi Pokok : Integral Pertemuan Ke- : 1 dan Alokasi Waktu : x pertemuan (4 x 45 menit) Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Lebih terperinci

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS)

RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) Kode / Nama Mata Kuliah : A11.54101/ Kalkulus 1 Revisi 2 Satuan Kredit Semester : 4 SKS Tgl revisi : Agustus 2014 Jml Jam kuliah dalam seminggu : 4

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI

MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI Nama : Syifa Robbani NIM : 125100301111002 Dosen Kelas : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc : L Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 01/5

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 01/5 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. /5 Nama Sekolah : SMK Diponegoro Lebaksiu Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : XII / 5 Alokasi Waktu : x 45 menit ( x pertemuan) Standar Kompetensi Kompetensi

Lebih terperinci

INTEGRASI Matematika Industri I

INTEGRASI Matematika Industri I INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris

Lebih terperinci

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis

DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3, maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau Turunan kea y 11 atau d( ) B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = n maka d (3) atau ditulis

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2008 1 KATA PENGANTAR Modul pembelajaran ini di rancang untuk membimbing peserta didik

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti

Lebih terperinci

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan

Lebih terperinci

GAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1

GAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1 GAMBARAN UMUM Pada ujian nasional tahun pelajaran 006/007, bentuk tes Matematika tingkat berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 0 soal dengan alokasi waktu 0 menit. Acuan yang digunakan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR

RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh SUTIKA DEWI 0854004458 FAKULTAS SAINS DAN

Lebih terperinci

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:

Lebih terperinci

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN A. Analisis dan Deskripsi Data Analisis data dilakukan dengan tiga tahap. Pertama, analisis secara kualitatif untuk mengetahui validitas isi soal dengan telaah soal.

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010 . Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan

Lebih terperinci

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga.

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga. ix M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 2 yang disajikan pada bahan ajar ini membahas materi tentang barisan, deret, dan integral. Pembahasan barisan dan deret hanya sekitar 11 persen dari dari keseluruhan

Lebih terperinci

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu

Lebih terperinci

INTEGRAL. C = konstanta. Integral tak tentu adalah integral yang tidak ada batasnya. - Contoh : Rumus rumus integral tak tentu dari fungsi aljabar

INTEGRAL. C = konstanta. Integral tak tentu adalah integral yang tidak ada batasnya. - Contoh : Rumus rumus integral tak tentu dari fungsi aljabar INTEGRAL 1. Pengertian Integral Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial),secara matematis dapat dirumuskan : dengan : f (x) = turunan f(x) C = konstanta 1.1 Integral Tak Tentu Integral tak

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP

SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP SATUAN ACARA PERKULIAHAN JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA ITP Mata kuliah : Kalkulus II Kode Mata Kuliah : TIS2213 SKS : 3 Waktu Pertemuan : 16 kali Pertemuan Deskripsi : Mata kuliah Kalkulus II mempelajari

Lebih terperinci

Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam

Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO

GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO SPMI- UNDIP GBPP xx.xx.xx xx Revisi ke Tanggal Dikaji Ulang Oleh Dikendalikan Oleh Disetujui Oleh Ketua Program Studi GPM DekanFakultas. UNIVERSITAS

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi

Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika/Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus II/MT 307/2 3. PRASYARAT : Kalkulus I 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : Matakuliah

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

PROBLEMATIKA DALAM TEKNIK INTEGRASI SUBSTITUSI DAN PARSIAL SERTA ALTERNATIF PEMECAHANNYA

PROBLEMATIKA DALAM TEKNIK INTEGRASI SUBSTITUSI DAN PARSIAL SERTA ALTERNATIF PEMECAHANNYA PROBLEMATIKA DALAM TEKNIK INTEGRASI SUBSTITUSI DAN PARSIAL SERTA ALTERNATIF PEMECAHANNYA Kusnul Chotimah Dwi Sanhadi 1, Yoga Muhamad Muklis 1, Universitas Sebelas Maret 1 choosenewl@gmail.com, yogamuklis@gmail.com

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

Lampiran 2 LEMBAR KERJA KELOMPOK MAHASISWA 1

Lampiran 2 LEMBAR KERJA KELOMPOK MAHASISWA 1 Lampiran 2 LEMBAR KERJA KELOMPOK MAHASISWA 1 Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Kalkulus Materi : Integral (Penggunaan integral pada luas daerah bidang rata) Waktu : 2 x 50 menit KELOMPOK

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari

Lebih terperinci

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22 TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika

Lebih terperinci

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Indikator Pokok Bahasan/ Materi Aktivitas Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Indikator Pokok Bahasan/ Materi Aktivitas Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : Maret 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11.54201 / Kalkulus II 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks :

Lebih terperinci

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,

Lebih terperinci

PETUNJUK TEKNIS. Program Studi : Pendidikan Teknologi Agroindustri

PETUNJUK TEKNIS. Program Studi : Pendidikan Teknologi Agroindustri PETUNJUK TEKNIS 1. IDENTITAS MATA KULIAH Nama mata kuliah : Matematika Terapan Bobot SKS : 2 Nomor Mata Kuliah : TG300 Semester : 1 Prasyarat : Matematika Dasar Program Studi : Pendidikan Teknologi Agroindustri

Lebih terperinci