Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral"

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic

2 Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham

3 Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Bandung fdg- Alamat pos: Kanaakan D-, Bandung, 45. Fa: (6) () 547

4 Kata Pengantar Dalam buku ini penulis mencoba menajikan bahasan matematika bagi pembaca untuk memperoleh pengertian dengan lebih mudah tentang kalkulus. Walaupun materi ang dibahas adalah materi matematika, namun uraian dengan bahasa matematika telah dicoba untuk sangat dibatasi. Pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan pernataan-pernataan serta gambaran grafis ang lebih mudah difahami. Penulis berharap bahwa pengertian dasar ang bisa diperoleh dari buku ini akan mendorong minat untuk mendalami materi lebih lanjut. Buku ini dutujukan untuk umum. Bahan utama isi buku adalah catatan penulis sewaktu mengikuti kuliah di Institut Teknologi Bandung, sedangkan contoh-contoh hubungan diferensial dan soal-soal persamaan diferensial penulis ambil dari buku Analisis Rangkaian Elektrik. Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal berupa bilangan nata. Karakterisasi fungsi-fungsi serta perhitungan diferensial dan integral sangat dipermudah dengan bantuan komputer. Hal demikian banak dilakukan dalam meghadapi persoalan ang kompleks. Namun buku ini tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan menajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang fungsi serta hitungan diferensial dan integral. Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini ada manfaatna. Saran-saran pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan lebih lanjut. Bandung, Nopember Wassalam, Penulis

5 << La plus grande partie du savoir humain est déposée dans des documents et des livres, mémoires en papier de l humanité.>> A. Schopenhauer, dari Mini-Encclopédie, France Loisirs ISBN

6 Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi Bab : Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinuan, Simetri. Bentuk Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banak. Fungsi dengan Banak Peubah Bebas. Koordinat Polar. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan. Bab : Fungsi Linier 5 Fungsi Tetapan. Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis. Bab : Gabungan Fungsi Linier 7 Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp. Bab 4: Mononom dan Polinom 7 Mononom: Mononom Pangkat Dua; Mononom Pangkat Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom Pangkat Tiga. Bab 5: Bangun Geometris 55 Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola. Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua. Perputaran Sumbu. Bab 6: Fungsi Trigonometri 69 Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi. Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 85 Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus. Spetrum Dan Lebar Pita. Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 95 Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Eponensial. Fungsi Hiperbolik. Bab 9: Turunan Fungsi-Fungsi () 5 Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. iii v iii

7 Bab : Turunan Fungsi-Fungsi () Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial d dan d. Bab : Turunan Fungsi-Fungsi () Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial. Bab : Integral () 4 Integral Tak Tentu. Penggunaan Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Penggunaan Dalam Praktek. Bab : Integral () 6 Luas Sebagai Suatu Integral - Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Bab 4: Integral () 69 Volume Sebagai Suatu Integral. Panjang Kurva. Nilai Rata-Rata Suatu Fungsi. Pendekatan Numerik. Bab 5: Persamaan Diferensial 79 Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa. Bab 6: Persamaan Diferensial () 9 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi. Bab 7: Koordinat Polar Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan Oval Cassini. Luas Bidang. Indeks Referensi 5 Biodata penulis 6 iv Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

8 Bab Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik.. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan fungsi besaran. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan f () (.) Perhatikan bahwa penulisan f () bukanlah berarti sama dengan f kali, melainkan untuk menatakan bahwa merupakan fungsi dari ang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah akan memiliki nilai jika kepada kita berikan suatu nilai. dan adalah peubah (variable) ang dibedakan menjadi peubah-takbebas () dan peubah-bebas (). Peubah-bebas adalah simbol dari suatu besaran ang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas memiliki nilai ang tergantung dari nilai ang dimiliki. Dilihat dari nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (.) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran ang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis L T L ( λt ) dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebalikna, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturna makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalna, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturna. Walaupun nilai di ruas kanan (.) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

9 .. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Dalam kebanakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nata ang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a < < b Ini berarti bahwa bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, ang dapat kita gambarkan sebagi berikut: a b a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a < b ang kita gambarkan sebagai a b Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a b.. Kurva, Kekontinuan, Simetri Kurva. Fungsi f () dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu- atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

10 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat menggambarkan nilai-nilai pada garis ini (lihat Gb..); peubah memiliki nilai ang berupa bilangan-nata. Q[-,] III - IV R[-,-] II - - P[,] S[,-] -4 Gb... Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nata dapat dinatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh:,,,...adalah bilangan-nata bulat;,586 adalah bilangan-nata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas, ang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilaina adalah, Selain sumbu- ditetapkan pula sumbu- ang tegak lurus pada sumbu-, memanjang ke arah ke bawah dan arah ke atas, ang melewati titik referensi di sumbu- dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu- dengan sumbu- merupakan titik referensi ang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [,]. Pada sumbu- ditetapkan juga satuan skala seperti halna pada sumbu-, ang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nata di sumbu-. Besaran fisik ang dinatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-; misalna sumbu- menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- dan sumbu-, selanjutna kita sebut bidang -, akan terbagi dalam 4 kuadran, aitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb... I

11 Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita natakan posisina sebagai K[ k, k ], dengan k dan k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu- dan di sumbu- dari titik K ang sedang kita tinjau. Pada Gb... misalna, posisi empat titik ang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[,], Q[-,], R[-,-] dan S[,-]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nata akan berkaitan dengan satu titik di bidang -. Dengan cara inilah pasangan nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi f() dapat divisualisasikan pada bidang -. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi di bidang -, dan kurva ini memiliki persamaan f(), sesuai dengan pernataan fungsi ang divisualisasikanna. Contoh: sebuah fungsi, 5 (.) Setiap nilai akan menentukan satu nilai. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai dan akan terlihat seperti pada Tabel-.. Tabel dst. -,5,5,5 dst. Fungsi, 5 ang memiliki pasangan nilai dan seperti tercantum dalam Tabel-.. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb... Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [,] dan memiliki kemiringan tertentu (ang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah, 5.,5 R,5 Q,5 P -,5-4 Gb... Kurva dari fungsi, 5 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

12 Dengan contoh ini, relasi (.) ang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan aitu persamaan dari kurva ang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai jika diketahui nilai, dan sebalikna kita juga dapat memperoleh nilai jika diketahui nilai. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi, 5 membentuk kurva dengan persamaan, 5 di bidang -. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-,-,5], Q[,], R[,.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. Kekontinuan. Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Sarat untuk terjadina fungsi ang kontinu dinatakan sebagai berikut: Suatu fungsi f() ang terdefinisi di sekitar c dikatakan kontinu di c jika dipenuhi dua sarat: () fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) f ( c) c ang kita baca limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). Contoh: Kita lihat misalna fungsi /. Pada fungsi ini tidak terdefinisi karena / tidak dapat kita tentukan berapa nilaina; lim f ( ) tidak terdefinisi jika menuju nol. Kedua persaratan c kekontinuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinu di. Hal ini berbeda dengan fungsi ang terdefinisikan di (lihat selanjutna ulasan di Bab-) sebagai u( ), untuk untuk < 5

13 ang bernilai untuk < dan bernilai untuk. Perhatikan Gb... / / - u() Gb... Fungsi Tak terdefinikan di. Terdefinisikan di / dan u() Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. Contoh: Perhatikan contoh pada Gb..4. berikut ini. Kurva, simetris terhadap sumbu-. Jika kita ganti nilai dengan -, nilai tidak berubah karena berpangkat genap. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

14 Kurva,5 simetris terhadap titik-asal [,]. Di sini berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika diganti dan diganti. Kurva 9 simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV., 6 tidak berubah bila diganti tidak berubah jika dan diganti dengan dan ,5 tidak berubah jika diganti dan diganti dengan dan -6 dan dipertukarkan diganti dengan Gb..4. Contoh-contoh kurva fungsi ang memiliki simetri..4. Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanakan dinatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas secara eksplisit dinatakan dalam, seperti f (). Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai tidak diberikan secara eksplisit dalam. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit. 8 (.) 7

15 Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (.) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat - dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh ang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat ang akar-akarna adalah ( 8 8), ± 4( 8) Nilai dan dapat dihitung untuk setiap ang masih memberikan nilai nata untuk. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 4( 8) ± (.4) ang merupakan bentuk pernataan eksplisit f (). Kurva fungsi ini terlihat pada Gb Gb..5. Kurva ± 4( 8) 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

16 .5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. ).,5. Pada fungsi ini setiap nilai hana memberikan satu nilai. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb..6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu- namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang Gb..6. Kurva,5 ).. Pada fungsi ini, hana mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.7.,6,,8,4,5,5 Gb..7. Kurva 9

17 ).. Peubah tak-bebas hana mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb..8. Sesungguhna kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva. Hal ini terlihat pada Gb.. di mana mengambil nilai baik positif maupun negatif.,5,5 -,4 -,8 4). log. -, -,6 Gb..8. Kurva Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baikna kita mengingat kembali tentang logaritma. log adalah logaritma dengan basis ; log a berarti berapakah harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi log berarti log ; log ; log,;...dst. Kurva fungsi log terlihat pada Gb..9.,8,4 -,4 4 -,8 Gb..9. Kurva log Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

18 5).. Fungsi ini berlaku untuk nilai negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa tidak hana sama dengan, melainkan ±. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb... Gb... Kurva Fungsi Bernilai Banak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banak. ). Fungsi ±. Perhatikan bahwa ada dua nilai untuk setiap nilai. Sesungguhna bernilai ± dan bukan hana saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb... Jika hana mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh dan pada fungsi bernilai tunggal.,5,5 -, ,5,5,5 -,5 - Gb... Kurva ±

19 ). Fungsi. Fungsi ini bernilai banak; ada dua nilai untuk setiap nilai. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb Gb... Kurva / ± /.6. Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Fungsi dengan banak peubah bebas tidak hana tergantung dari satu peubah bebas saja,, tetapi juga tergantung dari peubah bebas ang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas dan t dinatakan sebagai f (, t) (.5) Sesungguhna dalam peristiwa fisis banak fungsi ang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banak, misalna persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi () dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banak sebagai w f (,, z, u, v) (.6) untuk menatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas,, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banak juga mungkin bernilai banak, misalna Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

20 ρ z (.7) Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hana meninjau nilai positif dari ρ dan kita natakan fungsi ang bernilai tunggal ini sebagai ρ z (.8).7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinatakan sebagai P(,) maka dalam koordinat polar dinatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah r sinθ ; r cosθ ; r θ tan ( / ) Hubungan ini terlihat pada Gb... rcosθ r θ Gb... Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. P rsinθ

21 .8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi f () mungkin juga dituliskan sebagai (t) (t) (.) jika dan masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi ang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter..9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hana akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hana pada bilangan nata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak dicakup oleh buku ini. Bahasan dari Bab- mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-6 mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-7. 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

22 Bab Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai. Kita tuliskan k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb... berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-, dalam rentang nilai dari sampai ,5 Gb... Fungsi tetapan (konstan): 4 dan, 5... Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus Persamaan (.) adalah satu contoh persamaan garis lurus ang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-, dengan kurva seperti terlihat pada Gb... Kurva ang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu- adalah kurva ang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan terhadap perubahan, atau kita tuliskan "delta " kemiringan m, dibaca : (.) "delta " 5

23 Dalam hal garis lurus, rasio memberikan hasil ang sama di titik manapun kita menghitungna. Artina suatu garis lurus hana mempunai satu nilai kemiringan, aitu ang diberikan oleh m pada fungsi m. Gb... berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus ang semuana melewati titik-asal [,] akan tetapi dengan kemiringan ang berbeda-beda. Garis lebih miring dari, 5, garis lebih miring dari dan jauh lebih miring dari, 5, dan ketigana miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis ang ke-empat memiliki m negatif,5 dan ia miring ke bawah (menurun) ,5 Gb... Empat contoh kurva garis lurus m. Secara umum, persamaan garis lurus ang melalui titik-asal [,] adalah m (.) dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun)... Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis,5 Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [,] melainkan memotong sumbu- misalna di titik [,]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan. Setiap nilai pada garis ini untuk suatu nilai, sama dengan nilai pada garis ang melalui [,], aitu, ditambah. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai. Perhatikan Gb... 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

24 Gb... Garis lurus melalui titik [,], kemiringan. Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu- di [,b] adalah ( b) m (.4) b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu- positif (ke atas) ang berarti garis memotong sumbu- di atas titik [,]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu- negatif (ke bawah); ia memotong sumbu- di bawah titik [,]. Secara singkat, b pada (.4) menunjukkan pergeseran kurva sepanjang sumbu-. Kita lihat sekarang garis ang memiliki kemiringan dan memotong sumbu- di titik [a,], misalna di titik [,]. Lihat Gb..4. Dibandingkan dengan garis ang melalui titik [,] aitu garis, setiap nilai pada garis ini terjadi pada ( ) pada garis ; atau dengan kata lain nilai pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai pada garis dengan ( ). Contoh:,8 pada garis ini terjadi pada dan hal ini terjadi pada ( ) pada kurva ( ) Gb..4. Garis lurus melalui titik [,]. 7

25 Secara umum persamaan garis ang melalui titik [a,] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan pada persamaan m dengan ( a). Persamaan garis ini adalah m( a) (.5) Pada persamaan (.5), jika a positif garis m tergeser ke arah sumbu- positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu- negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (.5) menunjukkan pergeseran kurva sejajar sumbu-. Pada contoh di atas, dengan tergeserna kurva ke arah kanan dan memotong sumbu- di titik [,] ia memotong sumbu- di titik [,-]. Suatu garis ang titik perpotonganna dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringanna diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringanna adalah ( ) m dan persamaan garis adalah (.6) Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (.4), dengan memberikan m dan b. Secara umum, persamaan garis ang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,] dan [,b] adalah Contoh: m b b dengan m (.7) a garis memotong sumbu di, dan memotong sumbu di 4 4 Persamaan garis: Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

26 Bagaimanakah persamaan garis lurus ang tidak terlihat perpotonganna dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik ang ada pada garis tersebut. Lihat Gb..5. Pada Gb..5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, aitu ( ) m (.8) ( ) [, ] [, ] - - Gb..5. Garis lurus melalui dua titik. Persamaan (.8) ini harus berlaku untuk semua garis ang melalui dua titik ang diketahui koordinatna. Jadi secara umum harus berlaku m (.9) Dengan demikian maka persamaan garis ang memiliki kemiringan ini adalah m (.) Persamaan (.) inilah persamaan garis lurus melalui titik asal dan sejajar dengan garis melalui dua titik (, ) dan (, ). Contoh: Carilah persamaan garis ang melalui dua titik P(5,7) dan Q(,). 9

27 P Q 7 Kemiringan garis ini adalah, 5 p Q 5 Garis dengan kemiringan ini dan melalui titik asal adalah, 5 Perhatikan bahwa persamaan ini adalah persamaan garis ang melalui titik asal, dan sejajar dengan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(,). Kita masih harus mencari perpotonganna dengan salah satu sumbu agar kita dapatkan persamaan garis ang melalui titik P dan Q tersebut. Untuk itu kita perhatikan hal berikut lebih dulu. Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi f () akan tergeser sejajar sumbu- sebesar skala jika diganti dengan ( ), dan tergeser sejajar sumbu- sebesar skala jika diganti dengan ( ) f () menjadi f ( ) atau f ( ) (.) Walaupun (.) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung ang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutna. Contoh: kurva semula (pergeseran searah sumbu-) atau ( ) (pergeseran searah sumbu-) Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

28 Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumna, aitu persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(,). Persamaan garis seharusna adalah b, 5 atau,5( a). Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik ang diketahui, misalna P(5,7). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan 7 b,5 5 atau 7,5(5 a). Dari sini kita akan mendapatkan nilai a,6 dan juga b,75 sehingga persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(,) dapat diperoleh, aitu,75, 5 atau,5(,6). Garis ini memotong sumbu- di,75 dan memotong sumbu- di,6..4. Perpotongan Garis Dua garis lurus a b dan a b berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi sehingga b b P a a P ap b Contoh: a P b ap b atau P ap b Titik potong dua garis dan (.) P 5,5 ; P 5,5 4 atau P 4 5,5 8 4 Jadi titik potong adalah 4] P[(5,5),. Perhatikan Gb..6. berikut ini.

29 P Koordinat P memenuhi persamaan maupun. - - Gb..6. Perpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan ang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di. Contoh: Dua garis 4 dan 4 8 adalah sejajar..5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis m tanθ (.) dengan θ adalah sudut ang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu- atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb mtanθ θ 5 5 Gb..7. Panjang per skala sama di sumbu- dan. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

30 Sesungguhna formulasi (.) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ ang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarna; jika pembagian tidak sama besar sudut θ ang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarna sehingga sudut θ sebenarna harus dihitung dari formula (.) dan bukan dilihat dari grafik..6. Domain, Kekontinuan, Simetri Pada fungsi linier m( a) b, peubah akan selalu memiliki nilai, berapapun. Peubah bisa bernilai dari sampai. Fungsi ini juga kontinu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi m simetris terhadap titik asal [,] karena fungsi ini tak berubah jika diganti dengan dan diganti dengan..7. Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva ang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi ang biasa kita jumpai dalam praktik rekaasa. ). Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan. F ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaa lain ang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai v ( t) v at v kecepatan gerak benda, v kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v ( t) at ) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V, dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar

31 Elektron ang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adana medan listrik sebesar anoda V E l a ee a adalah percepatan ang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k at ) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa ang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang merupakan fungsi linier dari. dengan k adalah konstanta pegas. F k 4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus ang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V i GV, dengan G R R G adalah tetapan ang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.persamaan ini juga bisa dituliskan V ir ang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinatakan dengan R ρl A 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ] l katoda

32 ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah atas kita peroleh j i A V RA ρ i j dan dari persamaan di A V l σe dengan E V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau dv gradien dari V ang kita tuliskan E. Mengenai pengertian d gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadina difusi, aitu penebaran materi menembus materi lain, adalah adana perbedaan materi masuk di a C a konsentrasi. Situasi ini analog dengan C peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong a untuk terjadina aliran muatan adalah perbedaan tegangan. materi keluar di Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi ang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai dc J D d D adalah koefisien difusi, dc/d adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C dan C bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. 5

33 Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hana berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menadari bahwa fungsi linier bukan hana sekedar pernataan suatu garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi ang banak dijumpai dalam praktik rekaasa. Soal-Soal. Tentukan persamaan garis-garis ang membentuk sisi segi-lima ang tergambar di bawah ini Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer- di atas.. Carilah persamaan garis ang a) melalui titik asal (,) dan sejajar garis ; b) melalui titik asal (,) dan sejajar dengan garis. 4. Carilah persamaan garis ang melalui a) titik potong dan titik potong 4 ; b) titik potong 4 dan titik potong 5 ; c) titik potong dan titik potong Carilah persamaan garis ang a) melalui titik potong 5 dan sejajar dengan garis ; b) melalui titik potong 4 5 dan sejajar dengan garis. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

34 Bab Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau ang lain. Artina waktu, temperatur, tekanan dan lainna itu menjadi peubah bebas,, sedangkan besaran fisis ang tergantung padana merupakan peubah tak bebas,. Pada umumna perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik... Fungsi Anak Tangga Fungsi tetapan membentang pada nilai dari sampai. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan ang muncul pada dan membentang hana pada arah positif, kita memerlukan fungsi lain ang disebut fungsi anak tangga satuan ang didefinisikan bernilai nol untuk <, dan bernilai satu untuk dan dituliskan sebagai u (). Jadi u( ) untuk untuk < (.) Jika suatu fungsi tetapan k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain ang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), aitu ku() (.) Fungsi anak tangga (.) bernilai nol untuk <, dan bernilai k untuk. Gb... memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi,5u ( ) dan fungsi,5u( ) ang bernilai nol untuk < dan bernilai,5 dan,5 untuk. 7

35 5,5 u() ,5 u() Gb... Fungsi anak tangga. Fungsi anak tangga seperti (.) dikatakan mulai muncul pada dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga ang baru muncul pada a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinatakan dengan mengganti peubah dengan ( a). Dengan demikian maka fungsi anak tangga ku( a) (.) merupakan fungsi ang mulai muncul pada a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu- dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-. Gb... memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. 5,5 u( ) Gb... Kurva fungsi anak tangga tergeser. Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai ang terdefinisi di. Oleh karena itu fungsi ini kontinu di, berbeda dengan fungsi / ang tidak terdefinisi di (telah disinggung di Bab-). 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

36 .. Fungsi Ramp Telah kita lihat bahwa fungsi a berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [,], membentang dari - sampai. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk <, ang dapat diperoleh dengan mengalikan a dengan fungsi anak tangga satuan u() (ang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk < ). Jadi persamaan fungsi ramp adalah au() (.4) Jika kemiringan a, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan. Fungsi ramp tergeser adalah a( g) u( g) (.5) dengan g adalah pergeseranna. Perhatikanlah bahwa pada (.5) bagian a( g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan u( g) adalah fungsi anak tangga satuan ang tergeser. Gb... memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan u( ), fungsi ramp u( ), dan fungsi ramp tergeser,5( ) u( )... Pulsa u() u() - 4 Gb... Ramp satuan u(), ramp u(), ramp tergeser,5(-)u(-).,5(-)u(-) Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai tertentu dan menghilang pada >. Bentuk pulsa ini dapat dinatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, ang memiliki amplitudo sama tetapi 9

37 berlawanan amplitudo dan berbeda pergeseranna. Persamaan umumna adalah au( ) au( ) (.6) menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga ang pertama dan adalah pergeseran fungsi anak tangga ang ke-dua, dengan >. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah ang memberikan bentuk pulsa, ang muncul pada dan menghilang pada. Selisih ( ) disebut lebar pulsa lebar pulsa (.7) Gb..4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo, ang muncul pada dan menghilang pada, ang persamaanna adalah u( ) u( ) { u( ) u( ) } lebar pulsa u(-) u(-)-u(-) u(-) - Gb..4. Fungsi pulsa u(-)-u(-) Apa anga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, aitu { u( ) u( ) }, adalah pulsa beramplitudo ang muncul pada dan berakhir pada. Secara umum pulsa beramplitudo A ang muncul pada dan berakhir pada adalah A{ u( ) u( ) }; lebar pulsa ini adalah ( ). Contoh lain: Pulsa ang muncul pada, dengan lebar pulsa 4 u( ) u( ). dan amplitudo 4, memiliki persamaan { } Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

38 Fungsi pulsa memiliki nilai hana dalam selang tertentu aitu sebesar lebar pulsana, ( ), dan di luar selang ini nilana nol. Oleh karena itu fungsi apapun ang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hana dalam selang di mana fungsi pulsana juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb..5. memperlihatkan deretan pulsa perioda Gb..5. Deretan Pulsa. Peubah biasana adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol t off. Satu perioda T t on t off. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah ton rr pulsa maks (.8) T dengan maks adalah amplitudo pulsa..4. Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumna adalah { ( ) u( )} mu( ) A u (.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (.9) dapat kita tulis ma { u ) u( )} ( Perhatikan bahwa u ( ) karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb..6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp u( ) dengan fungsi pulsa,5{ u( ) u( ) } ang hana memiliki nilai antara dan. Perhatikan bahwa hasil kalina hana memiliki

39 nilai antara dan, dengan kemiringan ang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp. u( ),5{ u( ) u( ) } { u( ) u( ) } u(),5{u(-)-u(-)} Gb..6. Perkalian fungsi ramp dan pulsa. Perkalian fungsi ramp mu( ) dengan pulsa { u( ) u( b) } membentuk fungsi gigi gergaji ( m ) { u( ) u( b) } ang muncul pada t dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb..7). 8 mu() 6 4 m{u()-u(-b)} {u()-u(-b)} b Gb..7. Kurva gigi gergaji Seperti halna pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasana terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb..8. Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah rr gigi - gergaji maks (.) Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

40 dengan maks adalah nilai puncak gigi gergaji Gb..8. Gigi gergaji terjadi secara periodik..5. Gabungan Fungsi Ramp Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk au( ) b( ) u( ) c( ) u( )... (.) Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, u( ) dan ( ) u( ) seperti terlihat pada Gb..9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi ang pertama pada saat mencapai u() u() ( )u( ) 4 5 ( )u( ) Gb..9. Gabungan ramp dan ramp tergeser. Gb... memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, u( ) dan 4( ) u( ). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

41 negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi ang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan akan menurun mulai dari u() 4( )u( ) u() 4( )u( ) 4 5 Gb... Gabungan ramp dan ramp tergeser. Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa pulsa u( ) u( ) akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb (-)u(-) {u() 4(-)u(-)}{u(-)-u(-)} u() Gb... Kurva {u() 4u( )}{u(-)-u(-)} Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb... Gb... Gelombang segitiga. 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

42 Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika ang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalna, kita jumpai dalam osciloscope..6. Domain, Kekontinuan, Simetri Fungsi anak tangga satuan ang tergeser u( a) hana mempunai nilai untuk a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi ang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hana memiliki nilai pada rentang a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinu. Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hana fungsi ang memiliki sumbu- sebagai sumbu simetri ang akan tetap simetris terhadap sumbu- apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan ang tergeser. 5

43 Soal-Soal Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai pada bentuk gelombang sinal dalam rangkaian listrik.. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini : a) : maks 5, muncul pada. b) : maks, muncul pada. c) : maks 5, muncul pada.. Dari fungsi-fungsi di soal nomer, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. a). 4 ; b). 5 ; c). 6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa, muncul pada. b). Amplitudo, lebar pulsa, muncul pada. c). Amplitudo 5, lebar pulsa, muncul pada. 4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik ang berupa deretan pulsa dengan amplitudo, lebar pulsa, perioda Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo dan perioda,5. 6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 5 perioda perioda Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

44 Bab 4 Mononom dan Polinom Mononom adalah pernataan tunggal ang berbentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit 5 7 ( 5) 4 5 Contoh ang pertama,, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, aitu pangkat tertinggi dari peubah bebas. Contoh ke-dua,, adalah fungsi berpangkat empat. Contoh dan 4 adalah fungsi mononom berpangkat satu dan berpangkat nol ang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan ang memiliki kurva berbentuk garis lurus. 4.. Mononom Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai fungsi genap, kita tuliskan k (4.) Karena di-kuadratkan, maka mengganti dengan tidak akan mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-. Nilai hana akan negatif manakala k negatif. Kita ingat bahwa pada fungsi linier k nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam. Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu- jika k positif dan akan berada di bawah sumbu- jika k negatif. Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.. memperlihatkan kurva fungsi (4.) untuk tiga macam nilai positif k. 7

45 Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada, nilai sama dengan k Gb.4.. Kurva fungsi k dengan k positif. Gb.4. memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adana nilai minimum, aitu pada titik [,], kurva untuk k negatif menunjukkan adana nilai maksimum pada titik [,] Gb.4.. Kurva fungsi k dengan k negatif. Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k ang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu- diperoleh dengan menggantikan peubah dengan ( a), dan pergeseran sejajar sumbu- sebesar b skala diperoleh dengan mengganti dengan ( b). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua ang tergeser menjadi b) k( ) (4.) ( a 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

46 Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.. untuk a dan b, a dan b, serta a dan b. Untuk nilai-nilai ini, dengan k, persamaan dapat kita tuliskan menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) Gb.4.. Pergeseran kurva mononom pangkat dua. Perhatikanlah bahwa adalah pergeseran dari ke arah positif sumbu- sebesar skala; adalah pergeseran dari ke arah positif sumbu- sebesar skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah. Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap ang lain adalah berpangkat 4, 6 dan seterusna. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva ang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua aitu simetris terhadap sumbu-, berada di atas sumbu- jika k positif dan berada di bawah sumbu- jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap ang memiliki koefisien k sama besar. Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai bertambah namun hal ini hana terlihat mulai dari. Pada nilai lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar. 9

47 Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama. Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal ang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap ang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien ang ang meningkat dengan meningkatna pangkat Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama. Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan dengan koefisien ang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai ang kecil tetap terlihat. Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien ang makin besar pada pangkat ang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat ang makin besar, situasi ang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

48 6 4 6 Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien ang makin rendah pada mononom berpangkat tinggi. Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai ang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menusul kurva berpangkat rendah pada nilai > ; perpotongan dengan kurva dari fungsi ang berpangkat rendah terjadi pada nilai ang besar. Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh peristiwa fisis. ). Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinatakan sebagai v ( t) at (lihat contoh fungsi linier sub-bab-.7). Jarak ang ditempuh mulai dari titik awal adalah s ( t) at ). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k at 4

49 anoda ] katoda l (lihat contoh fungsi linier sub-bab-.7). Waktu tempuh dapat dihitung dari formula l. s ( t) at, di mana s(t) ). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan j r sentral adalah ψ e k dengan k adalah vektor bilangan gelombang ang searah dengan rambatan gelombang. gelombang Energi kinetik elektron sebagai gelombang, E k, adalah E k h k m e k π, λ : panjang λ E k m e massa electron, h suatu konstanta. E k dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua (Dari Bab-8, ref. [4]) k Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah dan dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis k. Pangkat ganjil berikutna adalah, 5, 7 dan seterusna. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk positif dan bernilai negatif untuk negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai untuk >. 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

50 Untuk < kurva makin landai ang berarti makin tajam pembengkokan garis lurus ang terjadi di dalam rentang. Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil. Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis k bisa terjadi pada nilai <. 4.. Polinom Pangkat Dua Fungsi polinom pangkat dua berbentuk a b c (4.4) Berikut ini kita akan melihat apa ang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a, b 5, dan c, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat. 4

51 Jika kurva 5 ditambahkan pada maka kurva akan bertambah tinggi di sebelah kanan titik [,] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [,] seperti terlihat pada Gb.4.7.a (a) 5/ sumbu simetri 5/ / - (b) sumbu simetri (c) -5 Gb.4.7. Penjumlahan, 5, dan 44 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

52 Karena 5 melalui titik [,] dan juga melalui titik [,] maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva 5 (4.5) 4 ang juga melalui titik [,]. Selain di kurva penjumlahan ini juga memotong sumbu- di 5/ karena dua titik ini (aitu dan 5/ ) memenuhi persamaan 5. Kurva ini memiliki sumbu simetri ang memotong sumbu- di 5/ 4 seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan ditambahkan pada 4 tebentuklah 5 (4.6) 5 ang merupakan pergeseran dari 4 ke arah positif sumbu- sebesar skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c. Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4) ang dapat kita tuliskan sebagai a a b a b a a b c b a c a b 4ac 4a b c 4a (4.7) Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva adalah kurva a b ang tergeser sejajar sumbu- sejauh a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu- sejauh Perhatikan Gb.4.8. b 4ac. 4a 45

53 46 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Gb.4.8. Pergeseran kurva a sejajar sumbu- ke kiri sejauh b/a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu- ke bawah sejauh (b 4ac)/4a. Sumbu simetri terletak pada a b dan kurva memotong sumbu- di sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, aitu di dan. Dari persamaan (4.7) kita dapatkan 4 4 a ac b a b a a ac b a b a a ac b a b 4 4 a ac b a b ± a ac b a b 4, ± (4.8) ang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-; dua akar nata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu- bernilai nol -5 a b c } a a ac b 4 4 a b

54 b ac ( b 4a 4 4ac) (4.9) Jika ( b 4ac) < maka kurva tidak memotong sumbu-. Keadaan ini memberikan akar kompleks ang belum akan kita bahas. Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:. Jika c, maka fungsi menjadi a b ang memotong sumbu- b b di dan dan memiliki sumbu simetri di a a ang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat a b c.. Nilai puncak fungsi a b c a b ditambah c aitu b c 4 a adalah nilai puncak b 4 ac atau. 4a. Fungsi kuadrat a b c memotong sumbu- di, b ± a b 4ac a 47

55 4.. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan k. Jika k positif, fungsi ini akan bernilai positif untuk positif dan bernilai negatif untuk negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebalikna. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb Gb.4.9. Kurva fungsi k. Fungsi mononom ang tergeser sejajar dengan sumbu- dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah dengan ( a), dan jika tergeser sejajar sumbu- sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti dengan ( b). Fungsi mononom pangkat tiga ang tergeser akan menjadi dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.. k( a) b (4.) 48 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

56 ( ) -4 ( ) -6 Gb.4.. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser. Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum ang berbentuk a b c d (4.) Karena k naik untuk positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan menebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [,] dan turun di sebelah kiri [,]. Kita ambil a 4 untuk menggambarkan a dan b 9, c 8, d untuk menggambarkan kurva fungsi b c d seperti terlihat pada Gb.4..a. 49

57 (a) (b) - Gb.4.. Mononom pangkat tiga dan fungsi kuadrat. Dengan a positif maka kurva bernilai positif untuk > dan bernilai negatif untuk <. Kurva fungsi kuadrat telah kita kenal. Jika ditambahkan pada maka nilai-nilai di sebelah kiri titik [,] akan berkurang sedangkan ang di sebelah kanan titik [,] akan bertambah. Kurva ang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b. Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan dan menghasilkan kurva ang memotong sumbu- di tiga titik. Ini berarti bahwa persamaan pangkat tiga a b c d (dengan nilai koefisien ang kita ambil) memiliki tiga akar nata, ang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi dengan sumbu- tersebut. 5 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

58 Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva di daerah negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menebabkan pengurangan nilai didaerah ini juga tidak terlalu banak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4..a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu- di tiga tempat akan tetapi ang terlihat hana dua. Titik potong ang ke-tiga berada jauh di negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan ang ke-tiga ini. - (a) a kurang positif (b) a terlalu positif - Gb.4.. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga. Jika koefisien a terlalu positif, penurunan di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva ang kita 5

59 peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4..b. Di sini kurva tidak memotong sumbu- di daerah negatif. Hana ada satu titik potong di sumbu- positif. Jika a akan terjadi fungsi kuadrat ang sudah kita bahas di sub-bab sebelumna. Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva bernilai positif di daerah negatif dan bernilai negatif di daerah positif. Hal ini menebabkan nilai akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva ang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4..a. - 5 (a) (b) - Gb.4.. Fungsi pangkat tiga dengan a negatif. Kurva berpotongan dengan sumbu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan ang ke-tiga berada jauh di daerah positif. Makin negatif a 5 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

60 makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu- di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4..b. CATATA : Sesungguhna perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu- tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama a. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratna, juga akan menentukan letak titik potong Domain, Kekontinuan, Simetri Peubah pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari sampai. Nilai peubah akan mengikuti nilai. Fungsi polinom kontinu dalam rentang tersebut. Demikian pula halna jika kita mempunai fungsi ang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom,. Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua k simetris terhadap sumbu- karena penggantian dengan tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom ang berpangkat genap. Kenataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi ang simetris terhadap sumbu-; misalna fungsi cosinus ang akan kita pelajari di bab lain. Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga k simetris terhadap titik asal [,]. Penggantian dengan dan penggantian dengan tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil diberikan pada fungsi ang simetris terhadap titik asal [,], seperti fungsi sinus ang akan kita pelajari di Bab-6. Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva ang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadina simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah ang diperlukan untuk terjadina simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil. Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu ang juga merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [,]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva ang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menebabkan penjumlahan 5

61 dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva ang tergeser ini memiliki sumbu simetri ang sejajar dengan sumbu-. Soal-Soal. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu- kurva fungsi-fungsi berikut ini. 4 ; 5 7 ; ; Dari soal nomer-, tentukanlah koordinat titik perpotongan antara kurva-kurva fungsi berikut ini dan ; dan ; dan. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu- kurva fungsi-fungsi berikut ini. 5 ; ; 4 4. Dari soal nomer-, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut. dan ; dan ; dan 5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu- kurva fungsi-fungsi berikut ini. 5 7 ; ; Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut. dan ; dan ; dan 4 54 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

62 Bab 5 Bangun Geometris 5.. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, ) (5.) Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik ang memenuhi persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi persamaan dan setiap titik ang memenuhi persamaan harus pula terletak pada kurva. Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di antarana telah kita pelajari di bab pertama. Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hana nilai-nata dari dan ang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai ang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan pembahasan. Contoh:. Jika kita cari nilai kita dapatkan ± 55

63 Apabila nilai mutlak lebih besar dari, maka nilai bilangan di bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita membatasi hana pada rentang. Karena kurva ini simetris terhadap garis, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang. Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan sumbu- dapat diperoleh dengan memberi nilai, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- diperoleh dengan memberi nilai. Contoh:. Titik potong dengan sumbu- adalah P[,] dan Q[,]. Titik potong dengan sumbu- adalah R[,] dan S[, ]. Contoh:. Dengan memberi nilai kita tidak akan mendapatkan solusi untuk. Demikian pula memberi tidak akan memberi solusi untuk. Kurva persamaan ini tidak memotong sumbu- maupun sumbu-. Asimptot. Suatu titik P[,] pada kurva ang bergerak sepanjang kurva menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis tertentu, namun tidak akan menentuhna. Garis tersebut merupakan asimptot dari kurva. Contoh: ( ). Persamaan ini memberikan ± ( ) Apa ang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini berarti jika harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu agar ( ) positif; jika negatif maka ( ) akan tetap positif. Jadi haruslah < atau >. Tidak ada bagian kurva ang berada antara dan. Garis vertikal dan adalah asimptot dari kurva. Lihat Gb Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

64 4-4 4 Soal-Soal: Gb.5.. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah). Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai -4 / / Jika ± maka, dan ±. Garis mendatar dan juga merupakan asimptot dari kurva. Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut: ; ; ; ;. 5.. Jarak Antara Dua Titik Jika koordinat dua titik diketahui, misalna P[ p, p ) dan Q[ q, q ], maka jarak antara keduana adalah PQ ( p q ) ( p q) (5.) Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat kedudukan titik ang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan melihatna pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini. 57

65 Soal-Soal: ). Diketahui dua titik P(-,) dan Q(,-). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.) tentukan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap P dan Q. ). Diketahui dua titik P(-,) dan Q(,). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.) tentukan tempat kedudukan R ang sedemikian rupa sehingga RP RQ. 5.. Parabola Kita telah melihat bentuk kurva k (5.) ang simetris terhadap sumbu-. Bentuk kurva ini disebut parabola. Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak antara satu titik P ang terletak pada kurva dengan titik Q ang terletak di sumbu- sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, seperti diperlihatkan pada Gb.5.. Titik Q disebut titik fokus parabola, dan garis tertentu p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktrikna. k Q[,p] P[,] [,] R[, p] Gb.5.. Titik fokus dan garis direktriks. Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut. PQ (PR p) ( p) p p PR ( p) 58 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

66 Karena PQ PR, maka p p p p p p p ang berarti 4 p 4 p atau k 4 p atau p 4k Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan dengan direktiks p dan titik fokus Q[,p]. (5.4) 4 p Contoh: Persamaan parabola,5 dapat kita tuliskan Soal-Soal: 4,5 dan parabola ini memiliki direktrik p, 5 dan titik fokus di Q[,(,5)]. Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut: 5.4. Lingkaran 4 8 ; 8 4 ; 4 ; Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [,] maka jarak suatu titik X[,] ke titik-asal adalah XO 59

67 Jika jarak ini tertentu, r misalna, maka r Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [,] adalah dengan r adalah jari-jari lingkaran. r (5.5) Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat melihatna sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di P[a,b] mempunai persamaan ( a) ( b) r (5.6) Gb.5.. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari ang disebut lingkaran-satuan, berpusat di [,] dengan persamaan.,5 - [,],5 - Gb.5.. Lingkaran Pada Gb.5. ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r,4 berpusat di [(,5),(,5)] ang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu- sebesar,5 skala dan sejajar sumbu- sebesar,5 skala, dengan persamaan (,5) (,5),4 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

68 Soal-Soal: Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat lingkaran berikut 5.5. Elips ) Titik pusat di P(,), jari-jari 4. ) Titik pusat di Q(-,), jari-jari 5. ) Titik pusat R(,) jari-jari. 4) Titik pusat S(,) jari-jari. Elips adalah tempat kedudukan titik ang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan. Kedua titik tertentu tersebut merupakan X[,] dua titik fokus dari elips. Perhatikan Gb.5.4. Misalkan diketahui posisi dua titik P[ a,] dan Q(a,]. Jarak antara titik sembarang X[,] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah XP ( c) dan P[-c, ] Q[c, ] Gb.5.4. Elips XQ ( c) Jika jumlah antara keduana adalah konstan, misalkan a, maka ( c) ( c) a Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, akan kita peroleh ( c) 4a 4a ( c) ( c) ang dapat disederhanakan menjadi c a ( c) a 6

69 Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan c a c c c a ang dapat disederhanakan menjadi a a c Kita perhatikan penebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi ang ketiga, (XP XQ) > PQ atau a > c, sehingga penebut suku ke- di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar nata; misalkan persamaan elips a c b. Dengan demikian kita mendapatkan b a (5.7) Titik-titik potong dengan sumbu- adalah [±a,] dan titik-titik potong dengan sumbu- adalah [,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi panjang a b; a adalah sumbu panjang elips dan b adalah sumbu pendekna. (Perhatikan bahwa jika a b ang berarti c, kita mendapatkan persamaan lingkaran). Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-, kita bisa melihatna sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah ( p) ( q) a b (5.8) dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu- dan q adalah pergeseran sejajar sumbu-. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan (,5) (,5),5 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

70 - Soal-Soal: Gb.5.5. Elips tergeser. Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut: 5.6. Hiperbola - ) ; ) ; ) 4 ; 4) 6( ) 9( ) 44 Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik ang selisih jarakna antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola dapat dilakukan seperti halna dengan penurunan persamaan elips di atas. Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[ c,] dan Q(c,]. Jarak antara titik sembarang X[,] dengan kedua titik tersebut masingmasing adalah XP ( c) dan XQ ( c) 6

71 X(,) P[-c,] Q[c,] Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,] dan Q[c,]. Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalna a, maka ( c) ( c) a Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, kemudian dilakukan penederhanaan ( c / a) a ( c) Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh a c a Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP XQ) a selalu lebih kecil dari PQ c. Jadi a < c sehingga penebut pada suku kedua ruas kiri selalu positif, misalkan c a b. Dengan demikian kita dapatkan persamaan a b Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7. (5.9) 64 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

72 X(,) -c -a a c Gb.5.7. Kurva hiperbola Dengan memberi nilai, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan sumbu- aitu [±a,]. Dengan memberikan nilai, kita tidak memperoleh solusi untuk. Kurva tidak memotong sumbu-; tidak ada bagian kurva ang terletak antara a dan a. Soal-Soal: Gambarkan (skets) hiperbola berikut: ) 9 6 ; ) 9 6 ; ) 6 9 ; 4) Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah A B C D E F (5.) Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.) dengan B C D F ; A ; E 4 p 65

73 sehingga diperoleh persamaan (5.4). 4 p Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.) dengan B D E ; A ; C ; F Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari (5.), di mana A B C ; D a; E ; F b ang memberikan persamaan garis lurus a b. Namun dalam kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.) berubah status menjadi persamaan berderajat satu. Bentuk A dan C adalah bentuk-bentuk berderajat dua ang telah sering kita temui pada persamaan kurva ang telah kita bahas. Namun bentuk B, ang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat Perputaran Sumbu Koordinat Dalam bangun geometris ang sudah kita lihat, mulai dari parabola sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk B. Hal Ini sesungguhna merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam bangun hiperbola misalna, kita telah memilih titik-titik fokus P[ c,] dan Q[c,] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu- dan memotong sumbu- di ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di P[ a, a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8. P[-a,-a] Q[a,a] Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a] Selisih jarak XP dan XQ ang tetap kita misalkan a ( a) ( a) ( a) ( a) a 66 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

74 Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dilakukan penederhanaan, akan kita peroleh a ( a) ( a) Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan a (5.) Mempetukarkan dengan tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis, aitu garis bagi kuadran II dan III seperti terlihat pada Gb Gb.5.9. Kurva a. Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola sebelumna pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki sumbu simetri ang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 aitu sumbu-. Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.. P[,] P[, ] O β α Q Q Gb.5.. Perputaran sumbu. 67

75 Sumbu - diputar sebesar α menjadi sumbu -. Titik P dapat dinatakan dengan dua koordinat P[,] dengan referensi sumbu -, atau P[, ] dengan referensi sumbu -. Dari Gb.5.. kita dapatkan Sementara itu OQ OP cos( αβ) PQ OP sin( αβ) ' OQ' OPcosβ ' PQ' OPsinβ Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6) cos( αβ) cosαcosβ sinαsinβ sin( αβ) sinαcosβ cosαsinβ Dengan (5.) dan (5.4), maka (5.) menjadi 'cosα 'sinα 'sinα 'cosα Persamaan (5.5) inilah persamaan rotasi sumbu. (5.) (5.) (5.4) (5.5) Kita coba aplikasikan (5.5) pada (5.) ang memiliki kurva pada Gb.5., di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehingga cos α sinα /. Oleh karena itu kita peroleh ' ' ' ' dan Nilai dan ini kita masukkan ke (5.) dan kita mendapatkan ' ' ' ' ( ') ( ') a Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9) sumbu simetri adalah sumbu-, sedangkan di sini sumbu simetri adalah sumbu- aitu sumbu- ang diputar 45 o. Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi lengkaplah pergeseran kurva ang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar sumbu- dan sumbu- ang telah kita bahas sebelumna dapat pula kita pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [,]. 68 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

76 Bab 6 Fungsi Trigonometri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. sinθ; 5 cosθ sinθ tanθ ; cosθ secθ ; cosθ 4 6 cosθ cotθ sinθ cscθ. sinθ (6.) Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, aitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artina sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. O θ - [,] -θ Q r P - P Gb.6.. Lingkaran berjari-jari. 69

77 Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r OP, maka PQ sin θ PQ (6.) r PQ pada waktu θ o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ pada waktu θ 9 o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ pada waktu θ 8 o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ pada waktu θ 7 o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ pada waktu θ 6 o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ 7 o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh o o o sin ; sin 9 ; sin8 ; o o sin 7 ; sin 6 Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r, maka OQ cos θ OQ r 7 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral (6.) OQ pada waktu θ, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ pada waktu θ π/. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ pada waktu θ π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ pada waktu θ,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ pada waktu θ π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Secara singkat o cos ; o cos 7 ; o cos9 ; o cos 6 o cos8 ; Pada Gb.6., jika sin(θ) PQ dan cos(θ) OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ OQ OP, maka Dari Gb.6.. dapat kita peroleh juga sin ( θ ) cos ( θ) (6.4.a)

78 P Q PQ sin( θ) sinθ r r OQ cos( θ) cosθ r (6.4.b) (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara dan. Fungsi Tangent. PQ tan θ (6.4.d) OQ P Q PQ tan( θ) tanθ (6.4.e) OQ OQ Nilai tanθ akan menjadi jika θ o, dan akan menuju jika θ menuju 9 o karena pada waktu itu PQ juga dan tan( θ) akan menuju pada waktu θ menuju 9 o. Jadi tanθ bernilai antara sampai. Nilai tanθ bila θ 45 o karena pada waktu itu PQ OQ; tan( θ) jika θ 45 o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Cotangent. OQ cot θ (6.4.f) PQ OQ OQ cot( θ) cotθ (6.4.g) P Q PQ Nilai cotθ akan menuju jika θ menuju o karena PQ akan menuju walau OQ menuju ; cotθ jika θ 9 o karena OQ. Sebalikna cotθ akan menuju jika θ menuju karena P Q akan menuju ; cotθ jika θ 9 o karena P Q menuju. Lihat pula kurva Gb

79 Fungsi Secan dan Cosecan r secθ (6.4.h) cosθ OQ r cscθ (6.4.i) sinθ PQ Nilai secθ menuju jika θ menuju 9 o karena OQ menuju dan secθ pada waktu θ o karena pada waktu itu OQ r atau cosθ. Sementara itu cscθ akan menuju jika θ menuju karena sinθ menuju. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi ang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.., aitu cosα sinα cosβ β sinα sinα sinβ α cosα sinβ β - [,] cosα cosβ - Gb.6.. Relasi-relasi sin( αβ) sinαcosβ cosαsinβ cos( αβ) cosαcosβ sinαsinβ (6.5) Karena sin( β) sinβ dan cos( β) cosβ maka kita peroleh pula sin( α β) sinαcosβ cosαsinβ cos( α β) cosαcosβ sinαsinβ (6.6) 7 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

80 6.. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - r θ s Bilangan-nata dengan desimal ang tidak terbatas, π, digunakan untuk menatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan θ s, s rθ (6.7) r Jika θ 6 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s πr. Jadi jumlah radian dalam sudut 6 o adalah π. Dengan demikian maka ukuran sudut θ 8 o adalah π rad. θ 9 o adalah,5π rad. θ o adalah ( π /8) rad. dst. Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem koordinat -, ang kita ketahui bahwa sumbu- adalah sumbu bilangan-nata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus sin() (6.8) terlihat pada Gb.6.. ang dibuat untuk nilai dari π sampai π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum pada π/ atau θ 9 o, mencapai nilai nol pada π atau θ 8 o, mencapai minimum (arah negatif) pada,5π atau θ 7 o, kembali nol pada π atau θ 6 o ; inilah satu perioda. π,5,5 π π π -,5 - -,5 Gb.6.. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 7

81 Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus cos() (6.9) terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum pada atau θ o, mencapai nilai nol pada π/ atau θ 9 o, mencapai minimum (arah negatif) pada π atau θ 8 o, kembali nol pada,5π atau θ 7 o, dan ke nilai maksimum lagi setelah satu perioda, π. π,5,5 perioda π π -,5 -,5 Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar π, dengan nilai maksimum dan minimum ang sama aitu dan. Perbedaan antara keduana terlihat, aitu sin( ) sin( ) sedangkan cos( ) cos( ) (6.) Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [,], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu- dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus ang tergeser sejajar sumbu- sebesar π/. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita natakan dalam cosinus sin( ) cos( π / ) (6.) Fungsi Tangent. Selanjutna kita lihat fungsi - sin( ) tan( ) (6.) cos( ) 74 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

82 Karena cos() pada π/ dan π/, maka tan() bernilai tak hingga pada π/ dan π/. -,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.5. Kurva tan() Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. cos( ) cot( ) (6.) sin( ) tan( ) Karena sin() pada, maka cot() bernilai tak hingga pada. Lihat Gb ,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.6. Kurva cot () 75

83 Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. sec( ) (6.4.a) cos( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec() bernilai pada karena pada nilai itu cos() juga bernilai. Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. csc( ) (6.4.b) sin( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc() bernilai pada kara pada nilai ini sin() bernilai. -,5π -π -,5π,5π π,5π - - (a) sec() - -,5π -π -,5π -,5π π,5π - - (b) csc() Gb.6.7. Kurva sec() dan csc() 76 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

84 Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: sin ; sin ; cos ; cos( π / 4) ; tan( / ) 6.. Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan sin(), maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai arcsin atau sin (6.5) Perhatikan bahwa sin bukan berarti /sin, melainkan inversi sinus ang bisa kita baca sebagai: adalah sudut ang sinusna sama dengan. Karena fungsi sinus adalah periodik dari sampai maka fungsi sin tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai ; kita hana meninjau fungsi sinus inversi pada π π. Dengan pembatasan ini maka kita hana terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin. Jadi nilai utama sin terletak pada π π sin. Kurva fungsi sin ang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada, sin karena pada sin(). Pada, sin π/ karena sin() sin(π/). Contoh: sin (),5π ; sin ( ),5π sin π (,5) ; 6 sin π (,5) 6 77

85 π π -,5π,5π π π - -,5,5 -,5π -,5π a) b) Gb.6.8. Kurva sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu- pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu- kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.. pada rentang π π, aitu rentang di mana kita membatasi nilai pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan π cos sin (6.6) Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β π/ α dan sin α cosβ. Oleh karena itu jika sin α maka cos β sehingga cos βπ / απ / sin 78 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

86 Karena dengan pembatasan π π pada fungsi sinus inversi memberikan π π sin maka nilai-nilai utama dari cos akan terletak pada cos π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu- digambar vertikal sedang sumbu- digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang π. π π -,75π,5π π a) b) Gb.6.9. Kurva cos Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah,5π - -,5,5 tan (6.7) π dengan nilai utama π < tan < Untuk fungsi ini, nilai ±(π / ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai tersebut. Gb.6..a. memperlihatkan kurva tan lengkap sedangkan Gb.6..b. dibatasi pada nilai,5π< <. 5π. 79

87 ,5π π,5π ,5π -π,5π,5π ,5π -,5π a) b) Gb.6.. Kurva tan Jika kita mempertukarkan posisi sumbu- dan sumbu- pada Gb.6..b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. aitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π < tan < Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan π cot tan (6.8) dengan nilai utama < cot < π dan π tidak masuk dalam pembatasan karena pada nilai tersebut menjadi tak hingga. Hubungan (6.8) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka βπ/ α dan tan α cotβ. Oleh karena itu jika tan α maka cot β sehingga cot βπ -,5π / απ / tan Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

88 π,5π Gb.6.. Kurva cot Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- Gb.6.. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Inversi. Selanjutna kita memperoleh fungsi secan inversi sec cos (6.9) dengan nilai utama π sec π.,75π,5π,5π Gb.6.. Kurva sec Fungsi Cosecan Inversi. csc sin (6.) dengan nilai utama π π csc 8

89 Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversina.,5π,5π ,5π -,5π Gb.6.. Kurva csc Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. ). Dari fungsi sin, aitu sudut ang sinus-na adalah dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan seperti terlihat di bawah ini. Dari gambar ini selain fungsi dapat peroleh cos, tan sin dan sin, kita, dst. 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

90 ). Dari fungsi cosinus inversi cos dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini. Selain cos dari gambar ini kita dapatkan sin, tan, dst. ). Dari fungsi tan, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. Selain tan sin, kita peroleh, cos, dst 4). Dari fungsi sec kita gambarkan Dari gambar ini kita peroleh 8

91 tan, sin, dst. Soal-Soal: ) Dari fungsi cot tentukan sin dan cos ) Dari fungsi csc tentukan tan dan cos 84 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

92 Bab 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatna dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus ang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f, dengan satuan Hertz ( Hz siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T maka f (7.) T Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumna, kita menggunakan jumlah radian untuk menatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T ), adalah π ω πf (7.) T Suatu fungsi cosinus ang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai πt Acosωt Acos (7.) T Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan ang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menatakan fungsi sinus sin() atau fungsi cosinus cos() dengan sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.) kita menatakan fungsi cosinus cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah ang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 85

93 Gb.7.. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.. π πt Acos ωt Asinωt Asin (7.4) T A T t -A Gb.7.. Fungsi cosinus πt Acosωt Acos T A T t -A Gb.7.. Fungsi sinus πt π Asinωt Asin Acos ωt T Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah Acosω πt ( t T ) Acos s s T T πt 86 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

94 A T T s t -A Gb.7.. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.. pergeseran adalah T s. Pada Gb.7.. pergeseran adalah π/ ang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, aitu dengan menuliskanna dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran ang terjadi aitu ang ditunjukkan oleh posisi puncak ang pertama. Untuk selanjutna, peristiwa-peristiwa ang berubah secara sinusoidal kita natakan dengan menggunakan fungsi cosinus, ang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.) ang dapat pula kita tuliskan Acos ω Acos ( t ) T s ( ωt ω ) Pada penulisan terakhir ini, ωt s mempunai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutna πts ϕ ωts (7.5) T disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan ( ω ϕ) T s cos t (7.6) 87

95 Jika ϕ π/ maka kita mempunai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/ pada fungsi cosinus. 7.. Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutna, jika disebut fungsi sinus, ang dimaksudkan adalah fungsi sinus ang dinatakan dalam bentuk normal, aitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain ang bukan sinus, dapat dinatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, ang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi ang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen ang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f, dan harmonisa ang memiliki frekuensi harmonisa nf. Sebalikna dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus ang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa ang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus ang menusunna. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi ang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah ang menentukan perioda T /f. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (f o ), harmonisa ketiga (f ), dan seterusna, ang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunai frekuensi nf. 7.. Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalna. Bagaimana penebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut. 88 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

96 t -5 5 t -4 cos f t -4 cos f t t - 4 cos πft cos(π( f) t) cos π ft cos(π( f) t π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi ang dinatakan dengan persamaan ( πf t) 5sin( π( f ) t) 7,5 cos( (4 f ) t) cos π Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena (t) A cos(πft) A jika f. Komponen sinus ang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah ang mempunai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke- dan ke-4; harmonisa ke- tidak ada. Fungsi ini dinatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk ang sama aitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 89

97 di depan bahwa bentuk normal pernataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, aitu Acos( πft ϕ). Dengan menggunakan kesamaan sin( πft ) cos(πft π / ) dan cos( πft ) cos(πft π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis cos(πft) 5 cos(π ft π / ) 7,5cos(π4 ft π) Dalam pernataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f f 4 f Amplitudo 5 7,5 Sudut fasa π/ π Fungsi ang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernataan suatu sinal (dalam rangkaian listrik misalna). Tabel ini menunjukkan apa ang disebut sebagai spektrum dari sinal ang diwakilina. Suatu spektrum sinal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinal ang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, aitu :, f, f, dan 4f. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah,, 5, dan 7,5 satuan (volt misalna, jika ia adalah sinal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus ang berfrekuensi f, f dan 4f berturut turut adalah, π/, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik aitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik ang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik ang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 9 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

98 4 Amplitudo 4 5 Frekuensi [ f ] Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo π Sudut Fasa π/ 4 5 π/ π Frekuensi [ f ] Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan sarat tertentu. Fungsi persegi misalna, ang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : A Acos(πf t π / ) cos(π ft π / ) A A cos(π5 ft π / ) cos(π7 ft π / ) Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunai sudut fasa sama besar aitu π/; amplitudona menurun dengan meningkatna frekuensi dengan faktor /n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 9

99 Frekuensi: f f f 4f 5f.. nf Amplitudo: A A/ A/5.. A/n Sudut Fasa: - -π/ - -π/ - -π/.. -π/ Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisana. a) b) c) d) e) Gb.7.. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa- dan sinus dasar harmonisa-. c). harmonisa-5 dan sinus dasar harmonisa- harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar harmonisa- harmonisa-5 harmonisa-7. e) hasil penjumlahan ang dilakukan sampai pada harmonisa ke-. Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarna kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi ang memberikan bentuk fungsi ang kita anggap cukup memuaskan artina cukup dekat dengan bentuk ang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudona. Hal ini tidak hana berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 9 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan

Lebih terperinci

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat

Lebih terperinci

3. Gabungan Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran

Lebih terperinci

4. Mononom dan Polinom

4. Mononom dan Polinom Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno

Lebih terperinci

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 00 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f

Lebih terperinci

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik () BAB 4 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Pertama Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi Suaratno Suirham Diferensiasi Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org Pengertian-Pengertian 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK

Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi (3) (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial).. Turunan

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval Sudaryatno Sudirham Aritmatika Interval Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK

TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK ELEKTRONIKA ANALOG (5TEMA) Dosen: Mujahidin Oleh: Lina (1221011) PRODI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS INTERNASIONAL BATAM DESEMBER

Lebih terperinci

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2 Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR

BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR 1.1 Skalar dan Vektor BAB 1 ANAISA SKAA DANVEKT Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Simbul,, dan z ang digunakan merupakan scalar, dan besarna juga dinatakan dalam

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci