DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN

Transkripsi

1 I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Relasi dan Fungsi Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 009 TM Qualit Sstem TK KA TI PP PP Oleh: Drs. Qualit Endorsed Compan ISO 900: 000 Lic no:qec 396 SAI Global

2 KATA PENGANTAR Puji sukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-na, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini digunakan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang Dasar Tahun 009, pola 0 jam ang diselenggarakan oleh PPPPTK Matematika Yogakarta. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat ang sedang/telah diikuti. Kami mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak ang telah berpartisipasi dalam proses penusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini. Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adana saran untuk penempurnaan bahan ajar ini di masa ang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 3 YK-BS Yogakarta 558. Telepon (074) 8877, 88575, Fax. (074) p4tkmatematika@ahoo.com Sleman, Mei 009 Kepala, Kasman Sulono NIP

3 Daftar Isi Halaman Kata Pengantar... i Daftar Isi... ii Peta Kompetensi dan Bahan Ajar... iii Skenario Pembelajaran... iii Bab I Pendahuluan A Latar Belakang... B. Tujuan... C.. Ruang Lingkup... Bab II Fungsi A. Pengertian dan Jenis Fungsi.... Pengertian Fungsi.... Jenis Fungsi... 6 B. Fungsi Linier dan Fungsi Kuadrat Fungsi Linier Fungsi Kuadrat... 3 C. Fungsi Eksponen... 5 D. Fungsi Logaritma... 6 E. Fungsi Trigonometri... 8 Latihan... 9 Bab III Penerapan Fungsi Contoh Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari... Latihan... Bab I V Penutup Daftar Pustaka ii

4 PETA KOMPETENSI DAN BAHAN AJAR Kompetensi / No Sub kompetensi. Kompetensi : Mampu memfasilitasi siswa dalam memecahkan masalah berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat. Subkompetensi:- Mengembangkan keterampilan siswa dalam: Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linier. Menerapkan konsep fungsi kuadrat. Menggambarkan grafik fungsi linear Menggambarkan grafik fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi eksponen Menerapkan konsep fungsi logaritma Menerapkan konsep fungsi trigonometri Indikator Mampu mengembangkan dari kehidupan nata sehari-hari, menjelaskan dan memberikan contoh mengenai konsep fungsi linear dan grafikna. Mampu mengembangkan dari kehidupan nata sehari-hari, menjelaskan dan memberikan contoh mengenai konsep fungsi kuadrat dan grafikna. Mampu mengembangkan dari kehidupan nata sehari-hari, menjelaskan dan memberikan contoh mengenai konsep fungsi eksponen dan grafikna. Mampu mengembangkan dari kehidupan nata sehari-hari, menjelaskan dan memberikan contoh mengenai konsep fungsi logaritma dan grafikna. Mampu mengembangkan dari kehidupan nata sehari-hari, menjelaskan dan memberikan contoh mengenai konsep fungsi trigonometri dan grafikna Materi Pembelajaran Fungsi linear Persamaan garis lurus Hubungan gradien dua garis Fungsi kuadrat Fungsi eksponen Fungsi Logaritma Fungsi Trigonometri Penerapan fungsi SKENARIO PEMBELAJARAN. Pada awal pertemuan di lakukan kegiatan identifikasi permasalahan pembelajaran pada materi relasi fungsi ang dihadapi oleh guru selama di kelas.. Dari identifikasi permasalahan pembelajaran tersebut dijelaskan dengan ceramah, tana jawab dan curah pendapat sehingga permasalahan relasi fungsi dapat dipecahkan 3. Peserta bekerja dalam kelompok program keahlian ang terdiri dari 5-6 orang dan mendiskusikan dan menganalisis materi dan latihan pada modul serta memberikan contoh penerapan sesuai program keahlianna. iii

5 Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang Konsep fungsi merupakan hal ang penting dalam berbagai cabang matematika. Dalam banak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi dan bidang lain ang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel satu sama lainna saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu. Ruang lingkup fungsi ang berkaitan dengan penerapanna telah dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk memecahkan permasalahan pada kehidupan nata sehari-hari, misalna: dalam kegiatan produksi, para pengelola melakukan proses produksina tentu melakukan perhitungan ang cukup cermat agar dapat mendatangkan keuntungan, hal ini akan dipelajari dalam materi relasi dan fungsi. Oleh karena itu materi relasi dan fungsi perlu diajarkan kepada siswa dan guru matematika harus menguasai materi tersebut. Disamping itu guru hendakna mampu mengembangkan pembelajaran konsep relasi dan fungsi di kelas dengan contoh-contoh penerapan pada bidang keahlianna dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari ang berkaitan dengan konsep relasi dan fungsi. B. Tujuan Modul ini disusun sebagai bahan ajar ang berisi konsep-konsep tentang relasi dan fungsi serta contoh penerapanna ang masih dapat dikembangkan sesuai bidang keahlian. Diharapkan dapat semakin memantapkan penguasaan materi sehingga guru mampu mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari, dan memecahkan masalah ang berkaitan dengan relasi dan fungsi. C. Ruang Lingkup Bahan ajar relasi dan fungsi ini dimaksudkan untuk meningkatkan kompetensi guru matematika SMK dalam menelenggarakan proses belajar mengajar matematika. Hal-hal ang akan dibahas dalam bahan ajar ini meliputi : fungsi linier, persamaan garis lurus, hubungan gradien dua garis, fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan penerapan fungsi dalam bidang kejuruan

6 Bab II Fungsi A. Pengertian dan Jenis Fungsi. Pengertian Fungsi Konsep fungsi merupakan hal ang penting dalam berbagai cabang matematika. Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, fungsi adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (646-76) digunakan untuk menatakan suatu hubungan atau kaitan ang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal ang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan. Perhatikan berikut ini : Lima buah gelas ang sama ukuranna, tinggina masing-masing cm disusun seperti pada gambar di samping. Gelas kedua dan seterusna hana separo ang dapat masuk ke gelas di bawahna. Jika diukur tinggi keseluruhanna diperoleh: Banak gelas Tinggi tumpukan cm 8 cm 4 cm 30 cm 36 cm Jika ada 8 gelas, berapa tinggi tumpukanna? Jika tinggi sebuah gelas adalah t dan ada 0 gelas, berapa tinggi tumpukanna? Tinggi tumpukan merupakan fungsi banak gelas. Perubahan banakna gelas terkait atau berelasi langsung dengan perubahan tinggi tumpukan. Jika tinggi setiap gelas t cm dan banak gelas g, natakan sebuah fungsi ang menatakan hubungan antara tinggi tumpukan dan banak gelas ang ditumpuk. Suatu fungsi dapat kita baangkan sebagai suatu mesin ang dapat kita gambarkan : x Masukan Funggsi f f(x) Keluaran Ia memproses bilangan (masukan) sehingga diperoleh suatu hasil (keluaran). Setiap bilangan ang dimasukkan hasilna satu bilangan tunggal sebagai keluaran, tetapi dapat terjadi bahwa beberapa masukan ang berlainan dapat menghasilkan keluaran ang sama.

7 Untuk mendefinisikan suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B diperlukan : ) suatu himpunan A ) suatu himpunan B 3) aturan ang memasangkan setiap elemen x A dengan satu elemen tunggal B Perhatikan diagram dibawah ini:... x..... Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping) didefinisikan sebagai berikut: A f B Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi ang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. Ditulis f : A B dibaca fungsi f memetakan A ke B Apabila f memetakan suatu elemen x A ke suatu B dikatakan bahwa adalah peta dari x oleh f dinotasikan dengan f(x), dan biasa ditulis dengan f:x f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x) Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f, sedangkan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut. Ada beberapa cara penajian fungsi, di antarana: ) Dalam diagram panah. ) f: D K. Ini menatakan bahwa fungsi f mempunai domain D dan kodomain K. Untuk selanjutna jika domain dan kodomain fungsi tidak dinatakan ang dimaksud adalah himpunan bilangan real ang mungkin memenuhi terjadina fungsi, misalna : f(x) = x, hana terdefinisi bila x 0 dan x R. Lambang fungsi tidak harus f. Misalna: U n = n + n atau U(n) = n + n 3) Penajian pasangan berurutan Cara ini efektif hana jika himpunanna terbatas dan anggotana diskrit 4) Grafik Kartesius 5) Dalam bentuk aturan-aturan atau dengan kata-kata, misalna: a) tambah dan (kemudian) kuadratkan. b) kuadratkan dan (kemudian) tambah 6) Aturan seperti pada 5. a) dan b) dapat dinatakan dalam bentuk aljabar: 3

8 a) (x + ) atau f(x) = (x + ) ang terakhir ini disebut persamaan fungsi b) x + atau f(x) = x + ang terakhir ini disebut persamaan fungsi 7) Dalam bentuk persamaan : Bentuk eksplisit, aitu : = f(x), misalna = x + 3, dalam hal ini x disebut peubah bebas dan peubah terikat. Bentuk implisit, aitu : f ( x, ) = 0, misalna x + 3 = 0 8) Penajian parametrik: Jika sebuah fungsi f: x = f(x) atau bentuk relasi tertentu disajikan dalam dua fungsi secara terpisah dalam bentuk x = f (t) dan = f (t), t dinamakan sebuah parameter. x = t Contoh: = merupakan bentuk parameter dari = x, ang diperoleh t 4 dengan mengeliminasi t dari kedua persamaan. 9) Fungsi kuadrat ang persamaanna f(x) = x dengan domain himpunan semua bilangan cacah kurang dari mungkin lebih mudah dipahami dengan menajikanna dalam bentuk tabel: x x Contoh : Diagram di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi (ang melibatkan dua himpunan akni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal. Contoh : a. b. c. d.. x.. z. u Diagram di samping bukan merupakan fungsi karena ada elemen A ang dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B A f B 4

9 Contoh 3 : (,4) (,) Y (,4) (,) O (0,0) X Grafik di samping menajikan sebuah fungsi, namakanlah fungsina adalah f. Misalna domainna D f dan rangena R f maka fungsi itu dapat didefinisikan f: x f(x) = x. D f = {,, 0,, }, R f = {0,, 4}. 4 disebut baangan (peta) dari dan dari. Karena f() = 4 dan juga f( ) = 4. dan disebut prapeta dari f, dan dilambangkan f (4) = atau. Nilai f bernilai 0 untuk x = 0. Nilai ang menebabkan f bernilai 0 disebut pembuat nol atau harga nol fungsi. Misalna : f(x) = x x, maka ada dua pembuat nol aitu 0 dan. Contoh 4 : Diketahui A = {x -3 x < 3, x R} dan suatu fungsi f: A R Ditentukan oleh rumus f(x) = x + a. Carilah f(-), f(0) dan prapeta dari 5 b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f. c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi. Jawab: a. f(x) = x + f(-) = (-) + = f(0) = 0 + = Prapeta dari 5 x + = 5 x = 4 x = + Sehingga prapeta dari 5 adalah atau b. Dibuat grafik = x + = x + daerah hasil f(-3) = (-3) + =0 f(3) = (3) + = 0 titik balik (0,) Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { < < 0, R }, karena nilai ο x f(x) = terletak pada interval tersebut daerah asal sebagaimana terlihat pada sumbu. c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A ( sumbu x) dipasangkan secara tunggal maka f merupakan fungsi. 5

10 . Jenis Fungsi a). Beberapa Fungsi Khusus Jika daerah asal dari fungsi tidak dinatakan maka ang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain sebagai berikut. ). Fungsi Konstan Fungsi f : x C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C. Grafik fungsi konstan = f(x) dengan f(x) = c adalah garis lurus ang sejajar sumbu X untuk c 0 dan berimpit dengan sumbu X jika c = 0 Contoh : Fungsi f : x 3 3 f(-) = 3 f(5) = 3-5 x =f(x) = 3 f (-) = 3 f ( 0) = 3 f (5) = 3 ). Fungsi Identitas Fungsi R R ang didefinisikan sebagai: I : x x disebut fungsi identitas Grafik fungsi identitas = x adalah garis lurus ang melalui O(0,0). 3 = x f() = f() = f(3) = x 3). Fungsi Modulus Nilai mutlak ( modulus) suatu bilangan real x didefinisikan sebagai : x jika x 0 x = - x jika x < 0 Misalna : 3 = 3 ; 3 = 3 6

11 Contoh : Grafik fungsi f ang didefinisikan oleh f(x) = x 3 adalah : Y f(x) = x 3 3 O 3 X f(x) = x 3 f(x) = f (x) x - 3 jika x (x - 3) jika x - 3 < 0 x - 3 jika x 3 = - x + 3 jika x < 3 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f : x f(x) disebut fungsi genap jika f( x) = f(x), dan Fungsi f : x f(x) disebut fungsi ganjil jika f( x) = f(x), sedang fungsi ang tidak memenuhi salah satu dari pernataan di atas dikatakan fungsi ang tidak genap maupun tidak ganjil. Contoh :. Fungsi f : x x adalah fungsi genap, sebab f( x) = ( x) = x = f (x). Fungsi f : x x 3 x adalah fungsi ganjil sebab f(-x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = (x 3 x) = f (x) 3. Fungsi f : x x x adalah bukan fungsi genap maupun ganjil sebab f( x) = dengan f(x) maupun f(x). ( x) ( x) = x + x di mana bentuk terakhir ini tidak sama 5). Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar Lambang [[ x ]] menatakan bilangan bulat terbesar ang kurang dari atau sama dengan x, sehingga : [[ x ]] = b, jika b x < b +, b bilangan bulat, x R Contoh : Jika x < maka [[x]] = x < 0 maka [[x]] =.. Fungsi f : x [[x]] disebut fungsi nilai bulat terbesar. 7

12 Grafik fungsi f(x) = [[x]], untuk x R, sebagai berikut : Y Oleh karena grafikna menerupai 3 tangga, maka f(x) = [[x]], sering disebut fungsi tangga. O 3 4 X 6). Fungsi Linier Fungsi f : R R ang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a 0 disebut fungsi linier. 7). Fungsi Kuadrat Fungsi f : R R ang didefinisikan : f(x) = ax + bx + c dengan a,b,c R dan a 0 disebut fungsi kuadrat. 8). Fungsi Turunan Fungsi f : R R adalah suatu fungsi ang diketahui dan f ditentukan oleh : f f ( x + h) f ( x) (x) = lim h 0 h maka f disebut fungsi turunan b). Jenis Fungsi Dengan memperhatikan elemen-elemen pada domain dan kodomain ang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal jenis fungsi sebagai berikut : ). Injektif ( Satu-satu) Misalkan fungsi f menatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen ang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen ang berbeda di B. Dapat dikatakan bahwa f:a B adalah fungsi injektif apabila a a berakibat f(a) f(a ) atau ekuivalen jika f(a) = f(a ) berakibat a = a. Contoh: ).. Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} ang... 3 didefinisikan dengan f(x) = x adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan ang berlainan adalah berlainan pula. A f B ). Fungsi f pada R ang didefinisikan dengan f(x) = x bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-) = f(). 8

13 ). Surjektif (Onto) Misalkan f suatu fungsi ang memetakan A ke B maka daerah hasil f(a) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(a) B, fungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into ( ke dalam). Jika f(a) = B, ang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangna satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau f memetakan A onto B Contoh: ). Fungsi f: R R ang didefinisikan dengan rumus f(x) = x bukan fungsi ang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut. ). Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x,, z} dan fungsi a x f: A B disamping adalah suatu fungsi ang b surjektif karena daerah hasil f adalah sama dengan c z kodomain dari f (himpunan B). d A f B 3). Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi ang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan f adalah fungsi ang bijektif atau A dan B berada dalam korespondensi satu-satu. Contoh: ) Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke a p himpunan B = {p, q, r} ang didefinisikan b r sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi c q ang bijektif. ). Fungsi f ang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun ang menjadi ibu kota dua negara ang berlainan. 9

14 B. Fungsi Linier dan Fungsi Kuadrat. Fungsi Linier Bentuk umum fungsi linier adalah f : x ax + b, a, b R dan a 0. Grafik fungsi linier berupa garis lurus dengan persamaan = ax + b. Untuk menggambar grafik fungsi linier dapat dengan cara membuat tabel aitu mencari pasangan berurutan ang memenuhi persamaan atau dengan menentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-. Contoh : Gambarlah grafik fungsi = x + Penelesaian : - Dengan tabel x 0 = x Dari tabel diperoleh titik titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik tersebut dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus. - Dengan titik potong sumbu x dan sumbu Y 4 3 = x X Titik potong grafik dengan sumbu x : sarat = 0 0 = x + x = sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah (,0 ) Titik potong grafik dengan sumbu : sarat x = 0 =. 0 + = sehingga titik potong grafik dengan sumbu adalah ( 0, ) Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus seperti pada gambar. Y 4 3 = x X 0

15 a) Gradien Garis Lurus Gradien atau koefisien arah (m) adalah konstanta ang menunjukkan tingkat kemiringan suatu garis. Perhatikan gambar berikut ini : Apabila titik P(x, ) dan Q(x, ) pada garis = mx + c, dengan m, c R maka kemiringan grafik diperoleh sebagai berikut : α P x Q m = x = x x = tg α x x x Persamaan garis = mx + c dengan koefisien arah garis adalah m, maka : a. Jika m = 0 maka grafik sejajar dengan sumbu-x dan ini sering disebut sebagai fungsi konstan. b. Jika m > 0 maka grafik miring ke kanan (0 <α<90 ) c. Jika m < 0 maka grafik miring ke kiri (90 <α<80 ) b). Persamaan garis melalui satu titik dengan gradien m. Misalkan garis = mx + c melalui titik P(x, ), maka setelah nilai koordinat titik Pdisubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh: = mx + c = mx + c = m (x x ) Jadi rumus persamaan garis melalui titik P (x, ), dengan gradien m adalah: = m (x x ) c). Persamaan garis ang melalui dua titik. Persamaan garis melalui dua titik P (x, ) dan Q (x, ) dapat dicari sebagai berikut: persamaan garis ang melalui titik P (x, ) dengan gradien m adalah : = m (x x )... (i) karena garis ini juga melalui titik Q (x, ), maka = m (x x ) sehingga diperoleh gradien : m = x x... (ii)

16 persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh : x x =. x x Jadi persamaan garis melalui dua titik P (x, ) dan Q (x, ) adalah : x x = x x d). Menentukan titik potong antara dua garis. Misalkan dua garis g dan g saling berpotongan di titik P (x,) maka nilai x dan harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari dengan metode substitusi, eliminasi, atau membuat sketsa grafikna. e). Hubungan gradien dari dua garis. a. Garis g ang bergradien m dikatakan sejajar dengan garis g ang bergradien m jika memenuhi m = m b. Garis g ang bergradien m dikatakan tegak lurus dengan garis g ang bergradien m jika memenuhi m. m = Contoh : ). Tentukan persamaan garis ang melalui P(3,9) dan bergradien 6. Penelesaian : Titik P(3,9) dan gradien m = 6 disubstitusikan ke persamaan diatas = m(x x ) 9 = 6(x 3) = 6x 8 +9 = 6x 9 Jadi persamaan garisna adalah = 6x 9. ). Tentukan persamaan garis ang melalui titik (,6) dan (3,8). Penelesaian: Kedua titik (,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik. x x 6 x = = x x x = 6 = x = x + 5 Jadi persamaan garisna adalah = x + 5

17 3). Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp ,00 diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan Rp ,00 per tahun dalam kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah setelah 5 tahun! Penelesaian : Misalkan : x sebagai kurun waktu dalam tahun dan sebagai nilai harga dalam rupiah. Dari data diketahui bahwa : = Rp ,00 jika x = 0 gradien = m = Rp ,00 ( karena tiap tahun bertambah Rp ,00), Dengan demikian diperoleh persamaan garis harga; = m x + c = x Untuk x = 5 = = = Jadi harga tanah setelah 5 tahun adalah Rp Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f : x ax + bx + c dengan a,b, c R dan a 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan bentuk persamaan = ax + bx + c. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunai titik balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunai titik balik maksimum. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat = ax + bx + c. Tentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu- Titik potong dengan sumbu x atau pembuat nol fungsi aitu = 0 atau f(x) = 0 atau jika ax + bx + c = 0. Sehingga diperoleh nilai x ang memenuhi ax + bx + c = 0 Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu-x, sedangkan untuk menentukan titik potong dengan sumbu- dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai x = 0 pada persamaan kuadrat semula. b. Tentukan sumbu simetri x = a b 3. Tentukan titik puncak P ( x, ) dengan x = dan a dengan nilai diskriminan D = b 4ac 4. Gambarlah sketsa grafikna D = ; 4a 3

18 Dapat juga dijabarkan sebagai berikut : = ax + bx + c b = a( x + x) + c a b b + + b + a a 4a = a x x ( ) c + b = a( x b ) 4 a 4a ac Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut: a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 x x x = x Definit negatif a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 x x x = x Definit positif Contoh : Gambarlah sketsa grafik fungsi = x 6x + 5 Penelesaian : a. Menentukan pembuat nol fungsi, dengan pemfaktoran diperoleh : x 6x + 5 = 0 (x ) (x 5) = 0 x = atau x = 5 b ( 6) 6 b. Menentukan sumbu simetri x = = = = 3 a. c. Menentukan titik puncak P (x,),substitusi x = 3 = 3 6(3) + 5 = 4 Jadi puncak parabola adalah titik (3, 4) Sketsa grafikna seperti pada x gambar di samping

19 C. Fungsi Eksponen Perhatikan tabel perkembangan amuba berikut: Periode Banak Amuba Bentuk Pangkat 0 (awal) M M M n... n Jika diperhatikan urutan dari kolom ke- dengan kolom 3, diperoleh: Urutan Bentuk Pangkat Pada bentuk di atas mereprestasikan suatu fungsi satu-satu dengan domain bilangan asli. Bentuk fungsi f: x f(x) = x merupakan salah satu fungsi eksponen, aitu sebuah fungsi, ang domainna tertentu dengan rumus fungsi f(x) = a x. Untuk a =, f(x) = a, merupakan sebuah fungsi konstan, sehingga tidak termasuk fungsi eksponen. Jika a < 0 dan x bukan bilangan bulat, misal a = dan x =, maka f( ) =, bukan bilangan real. Juga ada tak berhingga nilai tidak real akan diperoleh bila a < 0 dan a bukan bulat. Bentuk umum fungsi eksponen: f x : x a atau x ( x) a dengan a > 0 dan a f = Telah diketahui bahwa perkembangan amuba merupakan fungsi eksponen, dan domainna adalah himpunan bilangan cacah. Perubahan panas, perubahan sifat logam karena pendinginan dari waktu ke waktu ternata juga terkait dengan fungsi eksponen, sedangkan waktu berjalan secara kontinu, bukan diskrit. Ini mengindikasikan bahwa domain fungsi eksponensial dapat merupakan himpunan bilangan real. Peluruhan zat radioaktif juga merupakan contoh peristiwa alam ang mengikuti sifat fungsi eksponen. Pada fungsi eksponen aitu f = x ( x) a, berlaku:. x disebut peubah dan daerah asal (domain) dari fungsi eksponen adalah himpunan bilangan real aitu { x < x < +, x R} D f :.. a disebut bilangan pokok fungsi dengan sarat a > 0 dan a dengan demikian berlaku 0 < a < dan a >. Apabila 0 < a < maka grafikna turun, sedangkan apabila a > maka grafikna naik. Untuk menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dengan cara menentukan beberapa titik ang mudah, kemudian beberapa titik digambar pada koordinat kartesius dan melalui titik-titik tersebut dibuat kurva ang mulus, misalna grafik fungsi f(x)= x dan g(x) = ( ) x dapat digambarkan sebagai berikut: 5

20 g(x) = ( ) x Y 8 f(x)= x O 3 X Pada gambar tersebut terlihat bahwa: ) Kedua grafik melalui titik (0, ) ) Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y 3) Grafik f: x x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x ( ) x merupakan grafik ang menurun, dan keduana berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif) Contoh: Sepotong logam mendingin menurut rumus T = T o e,t dengan T selisih suhu logam dengan udara sekitarna setelah t menit, dan T o selisih permulaan. Bila suhu logam semula 400 o C dan suhu udara 30 o C, tentukanlah suhu logam itu sesudah menit. Jawab: T o = = 370 T = T o e,t = 370 (,7888), = 370 (,7888),4 = 370 0, = 33, Jadi suhu logam setelah menit ( ,57) o C = 63,57 o C D. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Fugsi logaritma dapat dicari nilai fungsina untuk domain 0 < x <. 6

21 Bentuk umum fungsi logaritma: f : x a log x atau f ( x) = a log x dengan a > 0, a, x > 0 dan x R Dari bentuk umum di atas dapat diambil pengertian sebaga berikut:. Daerah asal (domain) dari fungsi logaritma adalah Df { x x > 0, x R} :.. a disebut bilangan pokok (basis ) logaritma dengan sarat a > 0 dan a dengan demikian berlaku 0 < a < dan a >. 3. Daerah hasil (range) dari fungsi logaritma adalah Rf : { < < +, R} Grafik fungsi logaritma f ( x) = a log x selalu memotong sumbu X di titik (,0) dan tidak pernah memotong sumbu Y. Apabila 0 < a < maka grafikna turun, sedangkan apabila a > maka grafikna naik. Berdasar kenatan bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma ang pokok eksponen dan pokok logaritmana sama adalah fungsi ang saling invers, maka grafik kedua fungsi tersebut saling simetris terhadap grafik fungsi identitas, aitu f(x) = x ang persamaanna = x. Karena itu maka setiap titik (q, p) pada grafik = a log x merupakan peta titik (p, q) pada grafik = a x. Hal ini dapat ditunjukkan seperti pada gambar berikut. Y = a x a > = a x 0<a< Y (0, ) (p, )= = (q, ) = a log x a > (p, ) (0, ) O (,0) X O (, 0) X = a log x 0<a< (q, ) Perlu diketahui bahwa dalam logaritma juga dikenal bilangan pokok e, Logaritma dengan bilangan pokok e dari bilangan a ditulis dengan e log a ang sering ditulis dengan ln a. (logaritma dengan bilangan pokok bilangan natural e), misalna: ln 0 =, ,306 7

22 0 log e = ,4343 Berdasar sifat-sifat logaritma: log a = 0 log e e log a 0,4343 ln a ln a = e log a = e log 0 0 log a,306 log a Contoh: Kerja suatu motor (ω) dirumuskan dengan ω = ln V ln V. Diketahui V =0,0 ; V =0,5 dan log 5 = 0,6989. Tentukan besarna kerja motor tersebut. Jawab: V ω = ln V ln V = ln = ln 50 =,303 log 50 V =,303 (log 5 + log 0) =,303.,6989= 3,96 Jadi besarna kerja motor adalah 3,96 joule E. Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri didefinisikan pada pengertian-pengertian berikut. Untuk setiap x ang dipasangkan tepat satu dengan nilai sin x atau fungsi ang memetakan himpunan sudut x ke himpunan bilangan real sin x disebut fungsi sinus ang ditulis: f : x sin x atau f ( x) = sin x Untuk f ang memetakan x ke nilai cos x disebut fungsi cosinus ang ditulis: f : x cos x atau f ( x) = cos x Untuk f ang memetakan x ke nilai tan x disebut fungsi tangen ang ditulis: f : x tan x atau f ( x) = tan x Fungsi trigonometri merupakan sebuah funsi periodik (berulang). Jika fungsi f(x) berlaku f(x) = f(x+p) untuk setiap x maka nilai positif terkecil dari p disebut periode fungsi f(x) tersebut.. Periode fungsi sin 0 0 Jika f ( x) = sinx = sin( x + k.360 ) dan dinatakan sebagai f(x+p) dengan p= k maka nilai positif terkecil dari p adalah utuk k =. Jadi periode f (x)= sin x adalah artina nilai f(x) akan berulang dan mempunai nilai ang sama setiap bertambah atau π (dalam satuan radian). Periode fungsi cos 0 0 Jika f ( x) = cosx = cos( x + k.360 ) dan dinatakan sebagai f(x+p) dengan p=k maka nilai positif terkecil dari p adalah utuk k =. Jadi periode f (x)= cos x 8

23 adalah artina nilai f(x) akan berulang dan mempunai nilai ang sama setiap bertambah atau π (dalam satuan radian). 3. Periode fungsi tan 0 0 Jika f ( x) = tanx = tan( x + k.80 ) dan dinatakan sebagai f(x+p) dengan p=k maka nilai positif terkecil dari p adalah 80 0 utuk k =. Jadi periode f (x)= sin x adalah artina nilai f(x) akan berulang dan mempunai nilai ang sama setiap bertambah 80 0 atau π (dalam satuan radian). Contoh: Gaa gerak listrik (ggl) ang dibangkitkan oleh arus bolak balik ditentukan dengan rumus e = E mak sin (ωt) dengan e= ggl dalam volt; E mak = nilai tertinggi dari ggl; ω= π f; f= frekwensi dalam Hz ; dan t= waktu. Jika f= 60 Hz dan E mak = 65 volt, tentukan besarna ggl dengan waktu t= 3 µs= detik Jawab: e = E mak sin (ωt) = E mak sin (π f t) = 65 sin ( 3, ) = 65 sin (,304 rad )= 65 sin (,304 57,3 0 ) = 65 sin 64,8 0 = 65. (0,905)= 49,3 Jadi gaa gerak listrik pada saat t= 3 µs adalah 49,3 volt Latihan :. Suatu fungsi f: R R ditentukan oleh f(x) = x + a). Tentukan f(-), f(a), dan f(). b). Tentukan a jika f(a) = 7 c). Anggota manakah dari daerah asal ang mempunai peta 8? d). Tentukan daerah hasil fungsi f.. Seorang siswa SMK praktik membuat kusen pintu ang terbentuk dari sebuah persegi panjang dan setengah lingkaran seperti pada gambar. Natakan keliling pintu (K) sebagai fungsi x! x x 9

24 3. Manakah ang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan domain {,, 3, 4}, ang didefinisikan sebagai berikut? a. R = {(, ), (, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainna {,, 3, 4, 5, 6, 7} b. R = {(, ), (, ), (3, 3), (4, ); jika kodomainna {,, 3} c. R = {(, 4), (, 3), (3, ), (4, ); jika kodomainna {,, 3, 4} d. R = {(, ), (, ), (3, ), (4, 4); jika kodomainna {,, 3, 4, 5, 6} 4. Jika A dalam interval [, ] atau A={ x - x, x R }, tentukan daerah kawan fungsi f: A R ang didefinisikan berikut ini agar fungsi ini surjektif! a. f(x) = x b. f(x) = x + c. f(x) = x Suatu garis memotong sumbu dititik = dan memotong sumbu x dititik x = 7. Tentukan persamaan garis tersebut. 6. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (,3) dan tegak lurus dengan garis x+3+3 = 0 7. Diketahui fungsi dengan persamaan = 3x + x 4. Tentukan titik potong grafikna dengan sumbu-sumbu koordinat, titik ekstremna, sumbu simetrina, dan kemudian gambarlah grafikna. 8. Sekelompok pekerja borongan menerima pekerjaan dengan upah sebesar Rp Jika salah seorang anggota kelompok mengundurkan diri, maka setiap anggota kelompok sisana masing-masing menjadi menerima upah Rp..000 lebih banak. Tentukan banakna anggota kelompok tersebut? 9. Sejumlah bakteri ditempatkan pada suatu tempat ang diberi kondisi khusus sedemikian sehingga setiap 000 bakteri dalam selang waktu t jam berkembang menjadi t. a. Berapa banak bakteri (ang semula 000) itu dalam waktu: (i) 30 menit pertama (ii) jam pertama b. Dalam berapa jam 000 bakteri itu menjadi 64000? 0. Dalam suatu eksperimen diperoleh data bahwa sejumlah bakteri menjadi berlipat dua kali setiap 0 menit, sehingga dalam t menit bakteri ang semula sebanak b o menjadi t b = b o 0. Jika setelah jam tercatat sebanak 4000 bakteri, berapa banakna bakteri semula? 0

25 Bab III Penerapan Fungsi Contoh Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari banak contoh-contoh penerapan fungsi, misalna pada permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang dengan pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringna menuju jaringna dengan lintasan bolana berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuran lipatan talang seng agar talangna dapat mengalirkan air sebanak mungkin, dan sebagaina. Bagaimana memecahkan masalah, misalna perhatikan contoh berikut ini : Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang aam. Pagar kawat ang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah ukuranna agar terdapat kandang ang seluas-luasna. Penelesaian: 400 x Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangna (400 x) meter. Luas kandang dalam m adalah : L x L x = x (400 x) = 400x x Dari persaman luas tersebut ang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremna sebagai berikut : L = 400x x = x + 400x = - ( x - 00 ) Agar luas kandang maksimum maka x 00 = 0 atau x = 00. Sehingga untuk x =00 terdapat luas kandang maksimum L =0.000 Jadi luas maksimum ang ditanakan adalah m ang terjadi jika lebarna 00 m dan panjangna 00 m. Latihan. Suatu fungsi keuntungan dari perusahaan suatu barang dinatakan dalam bentuk fungsi kuadrat. Pimpinan Bagian Pembukuan memperkirakan bahwa jika jumlah ang dijual nol unit perusahaan rugi Rp ,00, jika ang dijual unit perusahaan mendapat untung Rp ,00, dan jika ang dijual unit perusahaan

26 mendapat untung Rp ,00. Tentukan fungsi kuadrat tersebut dan gambarkan sebagai fungsi dari unit ang dijual dalam suatu diagram. Sebuah pabrik detergen dapat menjual sachet per minggu, jika hargana Rp..00,00 per sachet. Akan tetapi penjualan bertambah menjadi.000 sachet, jika hargana diturunkan menjadi Rp..00,00 per sachet. Tentukan hubungan permintaan apabila dianggap hubungan itu linier. 3. Sebuah minimarker milik koperasi siswa menawarkan satu jenis barang dengan harga Rp. 300,00. Pada tingkat harga tersebut jumlah ang ditawarkan 450 buah. Sedangkan pada tingkat harga Rp. 450,00 jumlah barang ang ditawarkan 835 buah. Tentukan fungsi penawaran barang tersebut apabila fungsi linier dan gambarkan grafikna. 4. Sebuah perusahaan memproduksi suatu barang komoditi. Biaa produksi meliputi biaa tetap Rp ,00 dan biaa variabel sebesar Rp ,00 per unit. Perusahaan itu merencanakan menjual Rp ,00per unit. Berapakah banak unit barang harus dijual agar dapat diperoleh keuntungan Rp ,00 5. Sebuah pabrik memproduksi mainan anak-anak dengan biaa variabel sebesar Rp ,00 per buah sedangkan biaa tetap setiap bulanna sebesar Rp ,00. Jika mainan itu dijual seharga Rp ,00 per buah, tentukan titik pulang pokok! 6. Pak Budi mempunai sebidang tanah ang berbentuk persegi panjang dengan kelilingna 0 meter. Tentukan : a). Luas tanah tersebut apabila panjangna 6 meter. b). Ukuran persegi panjang agar luasna m c). Luas maksimum persegi panjang tersebut beserta ukuranna 7. Kepada setiap kelompok siswa ang ada diberikan masing-masing satu lembar karton ang berukuran 30 cm x 0 cm. Karton itu akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting keempat sudutna. Tentukan ukuran panjang sisi ang digunting agar luas alasna maksimum 8. Peluruhan (deca) salah satu jenis zat radioaktif dari deret Neptunium mengikuti rumus m = m o 0,t dengan m adalah massa zat radioaktif itu (dalam gram) setelah t hari, dari semula sebanak m o gram. Jika semula terdapat,8 kg materi, a. Berapakah massa zat radioaktif itu setelah 40 hari?

27 b. Berapakah waktu paro (half-life; waktu setengah hidup) zat radioaktif itu? (Waktu paro adalah selang waktu ang diperlukan oleh sejumlah materi zat radioaktif untuk menjadi separo massa semula). 9. Sebuah perusahaan memiliki mesin ang nilai bukuna sebesar Rp ,00 ang setiap tahun mengalami penusutan sebesar 0%. Berapakah nilai buku mesin itu pada akhir tahun keempat? 3

28 Bab IV Penutup Pada bahan ajar relasi dan fungsi ini contoh-contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari belum semua diberikan pada semua jurusan di SMK tetapi hana diberikan sebagian saja dan diharapkan peserta diklat dapat memberikan contoh sesuai jurusan ang diajarkan. Untuk memperdalam penguasaan materi, peserta diklat dapat mengerjakan soal latihan ang ada pada akhir setiap pembahasan. Apabila ada kesulitan dalam mengerjakan latihan disarankan peserta mendiskusikan dengan peserta lain agar dapat memahami materi relasi dan fungsi ini. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK. Penulis menadari adana keterbatasan dan kekurangan dalam penusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan dari pembaca. 4

29 Daftar Pustaka Fadjar Shadiq, M.App.Sc. & Rachmadi Widdiharto, M.A. (00). Bahan Standarisasi Penataran Guru Matematika SMU Fungsi. Yogakarta: PPPG Matematika. M. Nababan, (993). Pengantar Matematika untuk ilmu ekonomi dan Bisnis, Jakarta, Erlangga Markaban dkk, 007, Matematika SMK/MAK Kelas XI, Klaten, Saka Mitra Kompetensi P.T Macanan Jaa cemerlang Richard G. Brown (994). Advanced Mathematics. California: Houghton Mifflin Compan Tumisah P. Jono & Mukimin (00). Bahan Ajar Matematika SMK Kelas. Yogakarta: PPPG Matematika Tim PPPG Matematika, (004). Aljabar, Yogjakarta : PPPG Matematika , (005) Bahan Ajar Diklat Guru Matematika, Jakarta, Direktorat Pendidikan Menengah Kejuruan. 5