SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
|
|
|
- Hengki Lie
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
2 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
3 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
4 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
5 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
6 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
7 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
8 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
9 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
10 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
11 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Apabila kita sertakan bilangan negatif dan nol maka kita dapatkan Himpunan bilangan bulat (integer) I = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
12 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
13 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
14 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan ini dinamakan Himpunan bilangan rasional yaitu : Q = { p p, q I} q Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
15 Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
16 Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Perhatikan gambar berikut : 2, 3, 7 bukan bilangan rasional sama halnya dengan π. Himpunan bilangan ini dinamakan himpunan bilangan Irrasional Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
17 Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
18 Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Salah satu ciri yang membedakan bilangan riil dan bilangan rasional adalah pada bilangan riil angka di belakang koma tidak membentuk pola, contohnya π = 3, Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
19 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
20 Ketaksamaan Bilangan riil dapat dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut : Bilangan riil memiliki sifat urutan. Misalkan a, b R. Jika b a > 0 maka a kurang dari b ditulis a < b. Secara geometris bilangan a terletak di kiri bilangan b. a b(atau b a) artinya a kurang dari atau sama dengan b. Berikut ini adalah pernyataan ketaksamaan bernilai benar : 7 < 7, 4 < 7, 5 3 > π 2 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
21 Ketaksamaan Suatu himpunan bilangan dapat dinyatakan dalam 3 cara : 1 Dengan kata kata Contoh A = { Himpunan bilangan asli dari 1 sampai 6} 2 Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Dengan notasi himpunan Contoh : A = {x 0 < x < 7, x N} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
22 Interval Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
23 Ketaksamaan Contoh: Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 4 3x 2 < 13 2 x 2 5x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
24 Latihan Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 x 7 < 2x < 3x + 2 < 5 3 x 2 + 2x 12 < 0 4 x+4 x x < 5 6 x 3 x 2 x + 1 > 0 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
25 Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
26 Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Catatan : x dapat diartikan sebagai jarak dari x ke titik asal 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
27 Nilai Mutlak Sifat-sifat Nilai Mutlak : 1 ab = a b 2 a b = a b 3 a + b a + b (Ketaksamaan Segitiga) 4 a b a b Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
28 Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
29 Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Ketaksamaan Nilai Mutlak Jika a > 0 maka berlaku x < a a < x < a x > a x < a atau x > a Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
30 Latihan 1 Tentukan semua nilai x yang memnuhi 3x Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa x 2 < ε 5 5x 10 < ε 3 Misalkan ε bilangan positif. Tentukan bilangan positir δ (delta) sedemikan sehingga x 3 < δ 6x 18 < ε 4 Sebuah gelas berbentuk tabung berukuran 1 2 liter (500 cm3 ) mempunyai diameter 5 cm. Tentukan seberapa akuratkah kita harus mengukur tinggi air h dalam gelas untuk meyakinkan bahwa kita mempunyai 1 2 liter air dengan error( kesalahan) pengukuran kurang dari 1% (error kurang dari 5 cm 3 ). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
31 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
32 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
33 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
34 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
35 Sistem Koordinat Segi Empat Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Sistem Dosen : Dadang koordinat Amir Hamzah ini dinamakanmatematika sistem koordinat Kartesius. Juni / 67 Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius
36 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
37 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
38 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
39 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Misal P 1 P 2 menyatakan jarak titik P 1 ke P 2. Dari gambar didapat P 1 P 2 = P 1 P P 2 P 3 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
40 Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
41 Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
42 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
43 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah : r 2 = (x h) 2 + (y k) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
44 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
45 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
46 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
47 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
48 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Kedua contoh diatas menjelaskan bahwa terdapat aturan yang memasangkan r dan w ke A dan C. Dalam hal ini A dan C merupakan fungsi dalam r dan w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
49 Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap x anggota D ke tepat satu f(x) anggota E. D dan E adalah himpunan bilangan riil. D dinamakan domain/ asal dari f. f(x) adalah nilai f di x. Range / hasil dari f adalah himpunan semua nilai dari f(x) di setiap x D. x D dinamakan variabel bebas dan f(x) E dinamakan variabel terikat. Dalam contoh sebelumnya r dan w adalah variabel bebas, sedangkan A dan C adalah variabel terikat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
50 Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
51 Fungsi Cara untuk memvisualisasikan fungsi adalah dengan grafik. Jika f adalah fungsi dengan domain D maka grafik dari f adalah himpunan {(x, f(x)) x D} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
52 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
53 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
54 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
55 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) b. Domain D = (, ), Range R f = [0, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
56 Latihan 1 Misal f(x) = 2x 2 5x + 1 dan h 0, Tentukan f(a+h) f(a) h. 2 Sebuah kotak tanpa tutup mempunyai volume 10cm 3. ukuran panjangnya dua kali ukuran lebarnya. Harga material untuk mambuat alasnya $10 per meter persegi, harga material untuk membuat sisi nya $6 per meter persegi. Nyatakan harga material sebagai fungsi dari lebar kotak. 3 Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut a. f(x) = x + 2 b. g(x) = 1 x 2 x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
57 Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Misal diberikan fungsi sebagai berikut : { 1 x jika x 1 f(x) = x 2 jika x > 1 Tentukan f( 2), f( 1), dan f(0). Kemudian sketsa grafiknya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
58 Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Misal diberikan fungsi sebagai berikut : { 1 x jika x 1 f(x) = x 2 jika x > 1 Tentukan f( 2), f( 1), dan f(0). Kemudian sketsa grafiknya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
59 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Fungsi ganjil dan genap Fungsi f disebut fungsi ganjil apabila memenuhi f( x) = f(x). Fungsi f disebut fungsi genap apabila memenuhi Contoh:.f(x) = x 3 adalah fungsi ganjil. f(x) = x 2 adalah fungsi genap. f( x) = f(x). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
60 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
61 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
62 Fungsi Polynomial Definisi Fungsi P dengan bentuk P (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dinamakan fungsi polynomial, dimana n adalah bilangan bulat tak negatif dan a 0, a 1,..., a n adalah konstanta riil dinamakan koefisien. Domain dari polynomialp (x) adalah R = (, ). Jika leading koefisien a n 0 maka n menyatakan derajat polynomial tersebut. Contoh : P (x) = 2x 6 x x3 + 2 adalah polynomial berderajat 6. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
63 Fungsi Polynomial Jika n = 1 maka P (x) = a 1 x + a 0 = mx + b dinamakan fungsi linear, grafiknya berupa garis. Jika n = 2 maka P (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat, grafiknya berupa parabola. Jika n = 3 maka P (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 3 + bx 2 + cx + d dinamakan fungsi kubik. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
64 Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kuadrat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
65 Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kubik Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
66 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
67 Fungsi Pangkat Definisi Fungsi f(x) = x a dengan a konstanta riil dinamakan fungsi pangkat (power function) Jika n = bilangan bulat positif maka f(x) menjadi polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
68 Fungsi Pangkat (Power function) Jika n = 1 n dengan n bilangan asli, makaf(x) = xn dinamakan fungsi akar. Figure: grafik fungsi akar Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
69 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
70 Fungsi Rasional Definisi Fungsi f dengan bentuk f(x) = P (x) Q(x) dimana P (x) dan Q(x) 0 fungsi-fungsi polynomial, dinamakan fungsi rasional. Contoh : f(x) = 1 x, Domain D f = R {0}, Range R f = R {0} f(x) = 2x4 x 2 +1 x 2 4, Domain D f = R { 2, 2}, Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
71 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
72 Fungsi Aljabar Definisi Suatu fugsi f disebut fungsi aljabar apabila fungsi tersebut dibangun oleh operasi-operasi aljabar seperti tambah, kurang, kali, bagi dan akar dari suatu polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
73 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
74 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
75 Fungsi Exponensial Bentuk umum fungsi exponensial adalah f(x) = b x dimana b adalah konstanta positif. Perhatikan apabilax = n, bilangan bulat positif, maka b n = b b b... b }{{} n faktor Kemudian apabila x = 0, maka b 0 = 1, dan apabila x = n,dimana n bilangan bulat positif, maka b n = 1 b n Apabila x bilangan rasional, x = p q, dimana p dan q bilangan bulat dengan q > 0 maka b x = b p q = q b p = ( q b ) p Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
76 Fungsi Exponensial Apa arti dari b x untuk x bilangan irasional? Misalnya apa arti dari 2 3 atau 5 π Perhatikan grafik fungsi y = 2 x untuk x bilangan rasional sebagai berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
77 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
78 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
79 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
80 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah < 2 3 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
81 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah < 2 3 < Kita dapat hampiri 2 3 lebih akurat dengan cara berikut : 1.73 < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
82 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
83 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
84 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah Dengan cara yang sama kita bisa definisikan 2 x (atau b x, untuk b > 0) dimana x bilangan irasonal. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
85 Fungsi Exponensial Berikut ini adalah grafik f(x) = 2 x untuk x R : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
86 Fungsi Exonensial Berikut ini adalah grafik fungsi f(x) = b x dengan x R dan b > 0 untuk berbagai nilai b : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
87 Fungsi Exponensial Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
88 Bilangan e Pemilihan basis b dari fungsi y = b x didasarkan pada bagaimana grafiknya memotong sumbu y. Gambar berikut memperlihatkan garis singgung grafik y = 2 x dan y = 3 x di titik (0, 1) dengan m menyatakan gradien grais singung tersebut. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
89 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
90 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
91 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
92 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Fungsi f(x) = e x dinamakan fungsi eksponensial natural Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
93 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
94 Fungsi Satu-satu Perhatikan, g(2) = g(3) = 4 namun f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2. Fungsi yang memiliki sifat seperti f dinamakan fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
95 Fungsi Satu-satu Definisi Suatu fungsi f disebut fungsi satu-satu apabila f tidak pernah memiliki nilai yang sama lebih dari satu kali, yakni f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2 Figure: Grafik fungsi yang tidak satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
96 Fungsi Satu-satu Uji garis horizontal Suatu fungsi dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika grafik fungsinya tidak dipotong lebih dari satu kali oleh garis horizontal. Figure: Kiri : Fungsi satu-satu, Kanan : Bukan fungsi satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
97 Invers Fungsi Invers Fungsi Misal diberikan fungsi satu-satu f dengan domain A dan range B. Invers fungsi f,dinotasikan f 1, adalah fungsi yang domainnya B dan range nya A f 1 (y) = x f(x) = y untuk setiap y B Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
98 Prosedur mencari invers fungsi Tentukan invers fungsi : 1 f(x) = x g(x) = x 2 + 2x + 5 pada x 1 3 h(x) = x+1 x+2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
99 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
100 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
101 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
102 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
103 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
104 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Jika x > 0 maka b harus dipangkatkan suatu bilangan sedemikian sehingga menghasilkan x. Contoh : 2 log 8 = 3 karena 2 3 = 8, 10 log = 3 karena 10 3 = Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
105 Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
106 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
107 Translasi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
108 Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
109 Latihan Gambar berikut adalah grafik dari fungsi f(x) dengan domain [0, 2] dan range [0, 1]. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut kemudian sketsa grafiknya. a. f(x) + 2 b. 2f(x) c. f(x + 2) d. f( 1 2 x) f. f(x 1) g. f(x) h. f(x + 1) + 1 i. f(1 2x) e. f(x) 1 j. 1 2f(1 2x) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67
Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,
5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Fungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Matematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif,
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang
PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat
fungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
. Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
SRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Matematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Sistem Bilangan Ri l
Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat
BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
y
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya
BAB I A. SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan real dan berbagai sifatnya merupakan basis dari kalkulus. Sistem bilangan real terdiri dari himpunan unsur yang dinamakan Bilangan Real yang sering dinyatakan
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
PERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
MODUL MATEMATIKA SEKOLAH
1 MODUL MATEMATIKA SEKOLAH 1 Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I PENDAHULUAN I. PENGERTIAN Matematika sekolah adalah bagian matematika yang diberikan
KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :
A B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat
*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)
Hendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier
MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran
Sistem Bilangan Real. Pendahuluan
Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
DIKTAT KALKULUS DASAR
DIKTAT KALKULUS DASAR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc Rosita Kusumawati, M.Sc Nikenasih Binatari, M.Si email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Bagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27
1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2
matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi
Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :
RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Matematika SMA/MA IPA. : Ximple Education. No. Peserta : Nilai dari. A. x 4 B. x 3 C. 3 4 D. 3 3 E Bentuk sederhana 5 2 3
Nama : Ximple Education No. Peserta : 08-6600-77. Nilai dari A. B. C. D. E. 6 0 0 7. Bentuk sederhana 6 =. A. 9 B. 9 + C. 9 D. 9 E. + 9. Nilai dari ( A. B. 7 8 C. 9 6 log log log 6 6 log 0 log 6 + log
Matematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL
Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi
III. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya