SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI"

Transkripsi

1 SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

2 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

3 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

4 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

5 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

6 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

7 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

8 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

9 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

10 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

11 Sistem Bilangan Riil Kalkulus merupakan studi berdasarkan sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,... } bilangan ini digunakan salah satunya untuk menghitung, misalnya menghitung banyaknya buku, uang atau barang yang kita miliki. Apabila kita sertakan bilangan negatif dan nol maka kita dapatkan Himpunan bilangan bulat (integer) I = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

12 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

13 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

14 Sistem Bilangan Riil Namun untuk mengukur misalnya panjang atau berat sesuatu, bilangan bulat tidaklah cukup. Selanjutnya kita tinjau himpunan bilangan yang merupakan rasio atau perbandingan dari dua bilangan seperti berikut : 3 4, 7 8, 21 5, 19 2, 16 2 dan 17 1 Perhatikan bahwa = 8 dan 1 = 17 hal ini menunjukkan bahwa ada himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan ini dinamakan Himpunan bilangan rasional yaitu : Q = { p p, q I} q Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

15 Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

16 Sistem Bilangan Riil Apakah himpunan bilangan rasional Q sudah mencakup semua bilangan? Perhatikan gambar berikut : 2, 3, 7 bukan bilangan rasional sama halnya dengan π. Himpunan bilangan ini dinamakan himpunan bilangan Irrasional Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

17 Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

18 Sistem Bilangan Riil Himpuan bilangan yang memuat semua bilangan Rasional dan Irasional dinamakan Himpunan bilangan Riil R Salah satu ciri yang membedakan bilangan riil dan bilangan rasional adalah pada bilangan riil angka di belakang koma tidak membentuk pola, contohnya π = 3, Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

19 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

20 Ketaksamaan Bilangan riil dapat dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut : Bilangan riil memiliki sifat urutan. Misalkan a, b R. Jika b a > 0 maka a kurang dari b ditulis a < b. Secara geometris bilangan a terletak di kiri bilangan b. a b(atau b a) artinya a kurang dari atau sama dengan b. Berikut ini adalah pernyataan ketaksamaan bernilai benar : 7 < 7, 4 < 7, 5 3 > π 2 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

21 Ketaksamaan Suatu himpunan bilangan dapat dinyatakan dalam 3 cara : 1 Dengan kata kata Contoh A = { Himpunan bilangan asli dari 1 sampai 6} 2 Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Dengan notasi himpunan Contoh : A = {x 0 < x < 7, x N} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

22 Interval Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

23 Ketaksamaan Contoh: Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 4 3x 2 < 13 2 x 2 5x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

24 Latihan Tentukan semua riil x yang memenuhi ketaksamaan berikut : 1 x 7 < 2x < 3x + 2 < 5 3 x 2 + 2x 12 < 0 4 x+4 x x < 5 6 x 3 x 2 x + 1 > 0 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

25 Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

26 Nilai Mutlak Definisi Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dinotasikan x adalah { x jika x 0 x = x jika x < 0 Contoh : 6 = 6 0 = 0 5 = 5 3 ( 2) = 2 3 = 5 x a = a x Catatan : x dapat diartikan sebagai jarak dari x ke titik asal 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

27 Nilai Mutlak Sifat-sifat Nilai Mutlak : 1 ab = a b 2 a b = a b 3 a + b a + b (Ketaksamaan Segitiga) 4 a b a b Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

28 Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

29 Ketaksamaan Nilai Mutlak x < 3 menyatakan jarak dari x ke 0 kurang dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 3. x > 3 menyatakan jarak dari x ke 0 lebih dari 3, artinya nilai x yang memenuhi adalah x < 3 atau x > 3 Ketaksamaan Nilai Mutlak Jika a > 0 maka berlaku x < a a < x < a x > a x < a atau x > a Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

30 Latihan 1 Tentukan semua nilai x yang memnuhi 3x Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan bahwa x 2 < ε 5 5x 10 < ε 3 Misalkan ε bilangan positif. Tentukan bilangan positir δ (delta) sedemikan sehingga x 3 < δ 6x 18 < ε 4 Sebuah gelas berbentuk tabung berukuran 1 2 liter (500 cm3 ) mempunyai diameter 5 cm. Tentukan seberapa akuratkah kita harus mengukur tinggi air h dalam gelas untuk meyakinkan bahwa kita mempunyai 1 2 liter air dengan error( kesalahan) pengukuran kurang dari 1% (error kurang dari 5 cm 3 ). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

31 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

32 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

33 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

34 Sistem Koordinat Segi Empat Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

35 Sistem Koordinat Segi Empat Garis horizontal dinamakan sumbu -x dan garis vertikal dinamakan sumbu-y. Titik P (a, b) menyatakan a pada sumbu x dan b pada sumbu y. Sistem Dosen : Dadang koordinat Amir Hamzah ini dinamakanmatematika sistem koordinat Kartesius. Juni / 67 Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan riil (a, b) Figure: Sistem koordinat kartesius

36 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

37 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

38 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

39 Rumus Jarak Misal diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) pada bidang Kartesius. Bagaimana menentukan jarak P 1 ke P 2 (atau sebaliknya)? Perhatikan gambar berikut : Misal P 1 P 2 menyatakan jarak titik P 1 ke P 2. Dari gambar didapat P 1 P 2 = P 1 P P 2 P 3 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

40 Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

41 Persamaan garis Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

42 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

43 Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik P (x, y) yang mempunyai jarak yang sama r terhadap satu titik C(h, k). Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah : r 2 = (x h) 2 + (y k) 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

44 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

45 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

46 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

47 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

48 Fungsi Fungsi berperan ketika suatu kuantitas bergantung pada kuantitas yang lain. Perhatikan kasus-kasus berikut : 1 Misal A dan r menyatakan luas dan jari-jari lingkaran. Nilai A bergantung pada nilai r yakni A = πr 2. Setiap satu bilangan positif r terdapat satu bilangan positif A. Dalam hal ini A adalah fungsi dari r. 2 Misal C dan w menyatakan ongkos dan berat untuk mengirim sebuah surat. Ongkos mengirim surat C bergantung pada berat surat w. Suatu perusahaan pengiriman mempunyai aturan untuk menentukan C berdasarkan berat w. Kedua contoh diatas menjelaskan bahwa terdapat aturan yang memasangkan r dan w ke A dan C. Dalam hal ini A dan C merupakan fungsi dalam r dan w. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

49 Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap x anggota D ke tepat satu f(x) anggota E. D dan E adalah himpunan bilangan riil. D dinamakan domain/ asal dari f. f(x) adalah nilai f di x. Range / hasil dari f adalah himpunan semua nilai dari f(x) di setiap x D. x D dinamakan variabel bebas dan f(x) E dinamakan variabel terikat. Dalam contoh sebelumnya r dan w adalah variabel bebas, sedangkan A dan C adalah variabel terikat. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

50 Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

51 Fungsi Cara untuk memvisualisasikan fungsi adalah dengan grafik. Jika f adalah fungsi dengan domain D maka grafik dari f adalah himpunan {(x, f(x)) x D} Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

52 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

53 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

54 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

55 Fungsi Contoh: Sketsa grafik serta tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut : a. f(x) = 2x 1 b. g(x) = x 2 Solusi : a. Domain D = (, ), Range R f = (, ) b. Domain D = (, ), Range R f = [0, ) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

56 Latihan 1 Misal f(x) = 2x 2 5x + 1 dan h 0, Tentukan f(a+h) f(a) h. 2 Sebuah kotak tanpa tutup mempunyai volume 10cm 3. ukuran panjangnya dua kali ukuran lebarnya. Harga material untuk mambuat alasnya $10 per meter persegi, harga material untuk membuat sisi nya $6 per meter persegi. Nyatakan harga material sebagai fungsi dari lebar kotak. 3 Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut a. f(x) = x + 2 b. g(x) = 1 x 2 x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

57 Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Misal diberikan fungsi sebagai berikut : { 1 x jika x 1 f(x) = x 2 jika x > 1 Tentukan f( 2), f( 1), dan f(0). Kemudian sketsa grafiknya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

58 Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Misal diberikan fungsi sebagai berikut : { 1 x jika x 1 f(x) = x 2 jika x > 1 Tentukan f( 2), f( 1), dan f(0). Kemudian sketsa grafiknya. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

59 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Fungsi ganjil dan genap Fungsi f disebut fungsi ganjil apabila memenuhi f( x) = f(x). Fungsi f disebut fungsi genap apabila memenuhi Contoh:.f(x) = x 3 adalah fungsi ganjil. f(x) = x 2 adalah fungsi genap. f( x) = f(x). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

60 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

61 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

62 Fungsi Polynomial Definisi Fungsi P dengan bentuk P (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dinamakan fungsi polynomial, dimana n adalah bilangan bulat tak negatif dan a 0, a 1,..., a n adalah konstanta riil dinamakan koefisien. Domain dari polynomialp (x) adalah R = (, ). Jika leading koefisien a n 0 maka n menyatakan derajat polynomial tersebut. Contoh : P (x) = 2x 6 x x3 + 2 adalah polynomial berderajat 6. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

63 Fungsi Polynomial Jika n = 1 maka P (x) = a 1 x + a 0 = mx + b dinamakan fungsi linear, grafiknya berupa garis. Jika n = 2 maka P (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat, grafiknya berupa parabola. Jika n = 3 maka P (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 3 + bx 2 + cx + d dinamakan fungsi kubik. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

64 Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kuadrat Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

65 Fungsi Polynomial Figure: Contoh fungsi kubik Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

66 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

67 Fungsi Pangkat Definisi Fungsi f(x) = x a dengan a konstanta riil dinamakan fungsi pangkat (power function) Jika n = bilangan bulat positif maka f(x) menjadi polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

68 Fungsi Pangkat (Power function) Jika n = 1 n dengan n bilangan asli, makaf(x) = xn dinamakan fungsi akar. Figure: grafik fungsi akar Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

69 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

70 Fungsi Rasional Definisi Fungsi f dengan bentuk f(x) = P (x) Q(x) dimana P (x) dan Q(x) 0 fungsi-fungsi polynomial, dinamakan fungsi rasional. Contoh : f(x) = 1 x, Domain D f = R {0}, Range R f = R {0} f(x) = 2x4 x 2 +1 x 2 4, Domain D f = R { 2, 2}, Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

71 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

72 Fungsi Aljabar Definisi Suatu fugsi f disebut fungsi aljabar apabila fungsi tersebut dibangun oleh operasi-operasi aljabar seperti tambah, kurang, kali, bagi dan akar dari suatu polynomial. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

73 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

74 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

75 Fungsi Exponensial Bentuk umum fungsi exponensial adalah f(x) = b x dimana b adalah konstanta positif. Perhatikan apabilax = n, bilangan bulat positif, maka b n = b b b... b }{{} n faktor Kemudian apabila x = 0, maka b 0 = 1, dan apabila x = n,dimana n bilangan bulat positif, maka b n = 1 b n Apabila x bilangan rasional, x = p q, dimana p dan q bilangan bulat dengan q > 0 maka b x = b p q = q b p = ( q b ) p Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

76 Fungsi Exponensial Apa arti dari b x untuk x bilangan irasional? Misalnya apa arti dari 2 3 atau 5 π Perhatikan grafik fungsi y = 2 x untuk x bilangan rasional sebagai berikut : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

77 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

78 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

79 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

80 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah < 2 3 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

81 Fungsi Exponensial Kita perluas domain y = 2 x untuk x bilangan rasional dan irasional. Definisikan fungsi f(x) = 2 x untuk x R. Fungsi f adalah fungsi naik (grafiknya naik seiring x bertambah) Karena 3 memenuhi 1.7 < 3 < 1.8 maka haruslah < 2 3 < Kita dapat hampiri 2 3 lebih akurat dengan cara berikut : 1.73 < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < < 3 < < 2 3 < Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

82 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

83 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

84 Fungsi Exponensial ini artinya ada bilagan yang lebih besar dari dan lebih kecil dari Kita definisikan 2 3 adalah bilangan tersebut. Dengan cara approksimasi hampiran dari 2 3 adalah Dengan cara yang sama kita bisa definisikan 2 x (atau b x, untuk b > 0) dimana x bilangan irasonal. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

85 Fungsi Exponensial Berikut ini adalah grafik f(x) = 2 x untuk x R : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

86 Fungsi Exonensial Berikut ini adalah grafik fungsi f(x) = b x dengan x R dan b > 0 untuk berbagai nilai b : Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

87 Fungsi Exponensial Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

88 Bilangan e Pemilihan basis b dari fungsi y = b x didasarkan pada bagaimana grafiknya memotong sumbu y. Gambar berikut memperlihatkan garis singgung grafik y = 2 x dan y = 3 x di titik (0, 1) dengan m menyatakan gradien grais singung tersebut. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

89 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

90 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

91 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

92 Bilangan e Pada bab Fungsi transenden kita akan melihat bahwa banyak hal dalam masalah nyata dapat dideskripsikan secara sederhana apabila kita memilih b sehingga gradien garis singgung grafik fungsi y = b x di titik (0, 1) adalah 1 (m = 1). Bilangan yang memenuhi adalah bilangan yang dinotasikan e. Notasi ini diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1927, yang merupakan singkatan dari kata exponensial. e Fungsi f(x) = e x dinamakan fungsi eksponensial natural Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

93 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

94 Fungsi Satu-satu Perhatikan, g(2) = g(3) = 4 namun f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2. Fungsi yang memiliki sifat seperti f dinamakan fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

95 Fungsi Satu-satu Definisi Suatu fungsi f disebut fungsi satu-satu apabila f tidak pernah memiliki nilai yang sama lebih dari satu kali, yakni f(x 1 ) f(x 2 ) untuk x 1 x 2 Figure: Grafik fungsi yang tidak satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

96 Fungsi Satu-satu Uji garis horizontal Suatu fungsi dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika grafik fungsinya tidak dipotong lebih dari satu kali oleh garis horizontal. Figure: Kiri : Fungsi satu-satu, Kanan : Bukan fungsi satu-satu Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

97 Invers Fungsi Invers Fungsi Misal diberikan fungsi satu-satu f dengan domain A dan range B. Invers fungsi f,dinotasikan f 1, adalah fungsi yang domainnya B dan range nya A f 1 (y) = x f(x) = y untuk setiap y B Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

98 Prosedur mencari invers fungsi Tentukan invers fungsi : 1 f(x) = x g(x) = x 2 + 2x + 5 pada x 1 3 h(x) = x+1 x+2 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

99 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

100 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

101 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

102 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

103 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

104 Fungsi Logaritma Misal diberikan bilangan b > 0. Grafik fungsi f(x) = b x akan berupa grafik naik atau turun. Menurut uji garis horizontal f(x) adalah fungsi satu-satu. Akibatnya ada invers fungsi f 1 yang dinamakan fungsi logaritma dengan basis b yakni b log Dengan menggunakan notasi sebelumnya f 1 (x) = y f(y) = x maka dalam hal ini b log x = y b y = x Jika x > 0 maka b harus dipangkatkan suatu bilangan sedemikian sehingga menghasilkan x. Contoh : 2 log 8 = 3 karena 2 3 = 8, 10 log = 3 karena 10 3 = Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

105 Fungsi Logaritma Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

106 Outline 1 Sistem Bilangan Riil 2 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Segi Empat 4 Fungsi dan Grafiknya 5 Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Polynomial Fungsi Pangkat (Power function) Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Trigonometri Fungsi Exponensial Fungsi Logaritma 6 Translasi dan Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

107 Translasi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

108 Dilatasi Fungsi Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

109 Latihan Gambar berikut adalah grafik dari fungsi f(x) dengan domain [0, 2] dan range [0, 1]. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut kemudian sketsa grafiknya. a. f(x) + 2 b. 2f(x) c. f(x + 2) d. f( 1 2 x) f. f(x 1) g. f(x) h. f(x + 1) + 1 i. f(1 2x) e. f(x) 1 j. 1 2f(1 2x) Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni / 67

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015

FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif,

Lebih terperinci

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

y

y Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya BAB I A. SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan real dan berbagai sifatnya merupakan basis dari kalkulus. Sistem bilangan real terdiri dari himpunan unsur yang dinamakan Bilangan Real yang sering dinyatakan

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)

KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) 0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA SEKOLAH

MODUL MATEMATIKA SEKOLAH 1 MODUL MATEMATIKA SEKOLAH 1 Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I PENDAHULUAN I. PENGERTIAN Matematika sekolah adalah bagian matematika yang diberikan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat *Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS DASAR

DIKTAT KALKULUS DASAR DIKTAT KALKULUS DASAR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc Rosita Kusumawati, M.Sc Nikenasih Binatari, M.Si email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan

Lebih terperinci

F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I

F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa

Lebih terperinci

BAB II MACAM-MACAM FUNGSI

BAB II MACAM-MACAM FUNGSI BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear

Matematik Ekonom Fungsi nonlinear 1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya

Lebih terperinci

Matematika SMA/MA IPA. : Ximple Education. No. Peserta : Nilai dari. A. x 4 B. x 3 C. 3 4 D. 3 3 E Bentuk sederhana 5 2 3

Matematika SMA/MA IPA. : Ximple Education. No. Peserta : Nilai dari. A. x 4 B. x 3 C. 3 4 D. 3 3 E Bentuk sederhana 5 2 3 Nama : Ximple Education No. Peserta : 08-6600-77. Nilai dari A. B. C. D. E. 6 0 0 7. Bentuk sederhana 6 =. A. 9 B. 9 + C. 9 D. 9 E. + 9. Nilai dari ( A. B. 7 8 C. 9 6 log log log 6 6 log 0 log 6 + log

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

III. FUNGSI POLINOMIAL

III. FUNGSI POLINOMIAL III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan

Lebih terperinci

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi

Lebih terperinci

KALKULUS UNTUK STATISTIKA

KALKULUS UNTUK STATISTIKA Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi

Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Kalkulus Dasar - Kimia Mohammad Mahfuzh Shiddiq Universitas Lambung Mangkurat September 13, 2016 M.Mahfuzh S. () kalkulus dasar September 13, 2016 1 / 20 Sistem Bilangan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013 Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis

Lebih terperinci

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30 Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci