MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari"

Transkripsi

1 MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari

2 SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi kuadrat. KOMPETENSI DASAR Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi. Menerapkan konsep fungsi linier. Menggambarkan fungsi kuadrat. Menerapkan konsep fungsi kuadrat MATERI BELAJAR PRASYARAT Siswa harus sudah menguasai kompetensi Himpunan dan Sistem Bilangan Real.

3 daerah hasil. RELASI DAN FUNGSI A. Pengertian Relasi dan Fungsi Pada gambar disamping menunjukkan diagram panah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan A = {a, b, c} dan B = {p, q, r, s}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan A dihubungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. Relasi yang berciri demikian disebut dengan fungsi atau pemetaan. Apabila fungsi f memetakan setiap x A dengan tepat ke satu anggota y B, ditulis dengan lambang f : x y atau f (x) = y (dibaca: fungsi f memetakan x ke y atau y adalah peta dari x oleh f ) a b c A f Gambar p q r s B Perhatikan kembali gambar. (i) Daerah asal /domain pada fungsi f tersebut adalah himpunan A = {a, b, c) (ii) Daerah kawan / kodomain pada fungsi f tersebut adalah himpunan B = {p, q, r, s} (iii) Daerah hasil / range pada fungsi f tersebut adalah = {p, q, r} CONTOH Diketahui fungsi f : x x + dengan daerah asal D = {x x, x R} a) carilah nilai fungsi f untuk x =, x =, dan x =! b) gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius! c) tentukanlah daerah hasil fungsi f! f : x x +, rumus untuk fungsi f adalah f(x) = x +. a) Nilai fungsi f : untuk x = adalah f() = () + = untuk x = adalah f() = () + = 5 untuk x = adalah f() = () + = 7 Y y = f (x) = x + b) Grafik fungsi f dinyatakan dengan y = x + yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (,), (,5), dan (,7). Titik-titik itu digambar pada bidang Cartesius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus seperti pada gambar. c) Berdasarkan grafik fungsi f pada gambar, jelas bahwa daerah hasilnya adalah {y y 7, x R}. daerah asal Gambar X B. Jenis-jenis Fungsi Jenis-jenis fungsi diantaranya adalah sebagai berikut:. Fungsi konstan Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan sama dengan konstanta. f(x) = k, dengan x R dan k adalah sebuah konstanta.

4 . Fungsi identitas Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x, untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi identitas f(x) = x, sering ditulis dengan I(x) = x.. Fungsi linier Fungsi linier adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b, (dengan a dan b R, a 0). Fungsi linier juga dikenal dengan fungsi suku banyak (polinom) berderajat satu.. Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + bx + c, dengan a, b dan c R, a 0. Fungsi kuadrat juga dikenal dengan fungsi suku banyak (polinom) berderajat dua. Grafik fungsi kuadrat y = f (x) = ax + bx + c, dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola. 5. Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak yaitu fungsi y = f(x) dengan f(x) = x (dibaca: nilai mutlak x ) yang didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan real x, maka: x = CONTOH a) 5 = 5 c) - 5 = -9 = 9 b) -7 = 7 d) = 6 = 6 x jika x 0 x jika x < 0 Jadi nilai mutlak suatu bilangan real tidak pernah negatif. 6. Fungsi surjektif/fungsi kepada/fungsi onto Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi surjektif (onto) jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B. Contoh fungsi surjektif terlihat pada gambar. 7. Fungsi injektif/fungsi satu-satu Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a dan a A dengan a a berlaku f(a ) f(a ). Contoh fungsi injektif terlihat pada gambar. 8. Fungsi bijektif Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif. Contoh fungsi injektif terlihat pada gambar. A f Gambar x y z B A f Gambar x y z B

5 LATIHAN. Sebutkan relasi-relasi pada gambar di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi? a. b. c. a a b p b p c q c q r r d d a b c d p q r d. e. f. a a b p b p c q c q r r d d a b c d p q r. Daerah asal fungsi f : x x adalah D = {x 0 x, x R}. a. tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x =, x =, x = dan x =. b. gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius. c. tentukan daerah hasil fungsi f.. Diketahui fungsi f : x (ax + b) dengan a dan b B. Jika f () = dan f () = -, a. carilah nilia a dan b. b. hitunglah nilai-nilai f (-), f (-), f (0), f () dan f (). c. gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius.. Diketahui fungsi f : x (x x + ) dengan daerah asal D = {-, -, 0,, }. Tentukan daerah hasilnya!. FUNGSI LINIER A. Menggambar Grafik Fungsi Linier Bentuk umum fungsi linier adalah sebagai berikut: f (x) = ax + b dengan a dan b R, a 0. Grafik fungsi linier y = ax + b dalam bidang Cartesius berupa garis lurus. Grafik fungsi linier memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut gradien atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan a = tan dengan adalah sudut yang dibentuk garis lurus dengan sumbu X positif. CONTOH Diketahui fungsi linier dengan rumus f(x) = ax + b dengan nilai f (0) = dan nilai f () = -. a. Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f (x). b. Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun sumbu Y. c. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal D = {x x R}

6 a. f (x) = ax + b, untuk f (0) = diperoleh a(0) + b = (x pada ax + b diganti dengan 0) b = untuk f () = - diperoleh a() + = - (x diganti, dan b diganti ) a + = - a = -8 a = - Jadi rumus untuk fungsi f (x) dengan a = - dan b = adalah f (x) = -x + b. Untuk rumus fungsi f (x) = -x + maka persamaan grafik fungsinya adalah y = -x + Y Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y = 0, sehingga -x + = 0 -x = - x = Jadi titik potong grafik dengan sumbu X di titik (,0). 6 5 (0,) y = -x + Titik potong grafik dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0, sehingga y = -(0) + y = Jadi titik potong grafik dengan sumbu Y di titik (0, ) (,0) 5 6 X c. Grafik fungsi y = -x + untuk x R pada bidang Cartesius diperlihatkan pada gambar 5 Gambar 5 LATIHAN. Diketahui fungsi linier f : x f (x) = ax + b dengan nilai f (-) = dan nilai f () = - a. Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f (x). b. Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun sumbu Y. c. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal D = {x x R}. Diketahui fungsi linier f : x f (x) = ax + b dengan nilai f () = - dan nilai f () = a. Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f (x). b. Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun sumbu Y. c. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal D = {x x R}. Diketahui fungsi linier dengan rumus fungsi f (x) = x. a. Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun sumbu Y. b. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal D = {x x R}. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal D = {x x R} jika diketahui fungsi f (x) = x

7 B. Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Linier B.. Persamaan Garis Lurus Jika Melalui Sebuah Titik Dengan Gradien Tertentu Seperti disebutkan pada awal bab ini, pada persamaan fungsi linier y = ax + b, a merupakan gradien dari grafik fungsi tersebut. Untuk selanjutnya istilah gradien garis lurus dilambangkan dengan m, sehingga persamaannya menjadi y = mx + b. Sebagai contoh, jika persamaan garis y = x + 5 mempunyai gradien, sedangkan persamaan garis y x 5mempunyai gradien. Untuk menyusun persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik (x, y ) dengan gradien m dapat menggunakan rumus sebagai berikut: y y = m(x x )... ( ) CONTOH Sebuah grafik fungsi linier mempunyai gradien dan melalui sebuah titik dengan koordinat (,). Tentukan persamaan grafik fungsi tersebut! Diketahui: - titik koordinat yang dilalui grafik adalah (,) maka x = dan y = - gradien garis m = sehingga y y = m(x x ) y = (x ) ( y diganti, m diganti, dan x diganti ) y = x 6 y = x 6 + y = x Jadi, persamaan garis yang melalui titik (,) dengan gradien adalah y = x B.. Persamaan Garis Lurus Jika Melalui Dua Titik Untuk menentukan gradien (m) dari sebuah garis yang melalui titik A(x, y ) dan titik B(x, y ), dapat menggunakan rumus berikut ini. y y m... ( ) x x Sedangkan untuk menyusun sebuah persamaan garis yang melalui titik A(x, y ) dan titik B(x, y ), dapat menggunakan rumus berikut ini. y y y y x x x x... ( ) atau dapat juga menggunakan rumus y y = m(x x ), setelah gradien m dicari terlebih dahulu menggunakan rumus () diatas.

8 CONTOH 5 Sebuah grafik garis lurus melalui titik A(-,) dan titik B(,-). Susunlah persamaan grafik fungsi tersebut! >> titik A(-,) sehingga x = -, dan y = >> titik B(,-) sehingga x =, dan y = - y y y y x x x x y x ( ) ( ) y x ( y ) ( x ) y 8 x y x 8 (dengan perkalian silang diperoleh...) y x (kedua ruas dikali dengan ¼ sehingga menjadi ) y x B.. Persamaan Garis Lurus Jika Diketahui Grafiknya - Y 0-5 X CONTOH 6 Sebuah grafik fungsi linier tampak seperti pada gambar 6. Tentukan persamaan dari grafik fungsi disamping! Cara menyelesaikan permasalahan di atas, sama dengan mencari persamaan grafik yang melalui dua titik. - - Pada gambar 6 terlihat bahwa titik yang dilalui grafik adalah (,0) dan (0,-) BISAKAH ANDA MELANJUTKAN? PASTI... BISA...!!! Gambar 6 x y atau dapat juga menggunakan rumus : ' y ' x dengan ' x = nilai x yang dipotong grafik pada sumbu X, dan ' y = nilai y yang dipotong grafik pada sumbu Y... ( )

9 C. Dua Garis Lurus Yang Saling Sejajar Perhatikan gambar 7 di samping. Garis f dan g dikatakan saling sejajar jika gradien f sama dengan gradien g. Y 6 Jika f sebagai grafik fungsi ke- dan g sebagai grafik fungsi ke-, maka dapat dituliskan syarat dua buah garis dikatakan saling sejajar jika: m = m... ( 5 ) 5 Persamaan garis f adalah y x maka gradien f adalah m f = f g X Persamaan garis g adalah y x 6 maka gradien g adalah m g = Gambar 7 Dari penjelasan di atas dapat dibuat sebuah kesimpulan, bahwa karena m f = m g = garis f dan g saling sejajar. maka D. Dua Garis Lurus Yang Saling Tegak Lurus Perhatikan gambar 8 di samping. Garis f dan g dikatakan saling tegak lurus jika hasil kali antara gradien f dengan gradien g sama dengan. Jika f sebagai grafik fungsi ke- dan g sebagai grafik fungsi ke-, maka dapat dituliskan syarat dua buah garis dikatakan saling tegak lurus jika: m m... ( 6 ) Y 6 5 g Persamaan garis f adalah y x maka gradien f adalah m f = f X Persamaan garis g adalah y x maka gradien g adalah m g = - Gambar 8 Dari penjelasan di atas dapat dibuat sebuah kesimpulan, bahwa karena m f. m g = maka garis f dan g saling tegak lurus.

10 CONTOH 6 Diketahui garis k dengan persamaan y x. a. tentukan persamaan garis f yang sejajar dengan garis k dan melalui titik (,) b. tentukan persamaan garis g yang tegak lurus dengan garis k dan melalui titik (.) a. - Langkah (i) mencari m ( gradien garis k), garis k mempunyai persamaan y x sehingga m = - Langkah (ii) mencari m (gradien garis f ) karena garis f sejajar dengan k ( f // k ), maka m = m = - Langkah (iii) mencari persamaan garis f dengan m = dan melalui titik (,) dari titik (,) dapat ditentukan x = dan y =, sehingga... y y m( x ) x y ( x ) ( ingat..., yang dimasukkan adalah m ) y x y x 8 Jadi persamaan garis f yang sejajar garis k dan melalui titik (,) adalah y x 8. b. - Langkah (i) mencari m ( gradien garis k), garis k mempunyai persamaan y x sehingga m = - Langkah (ii) mencari m (gradien garis g) karena garis g tegak lurus dengan k ( g k), maka m m m m - Langkah (iii) mencari persamaan garis g dengan m = dan melalui titik (,) dari titik (,) dapat ditentukan x = dan y =, sehingga... y y m( x ) x y ( x ) ( ingat..., yang dimasukkan adalah m ) y x y x ( atau jika kedua ruas dikali dengan ) y x atau dapat ditulis menjadi y x Jadi persamaan garis g yang tegak lurus denga garis k dan melalui titik (,) adalah y x.

11 LATIHAN. Tentukanlah gradien dari masing-masing persamaan grafik fungsi di bawah ini: a. y 5x 0 d. y x 5 b. y x 6 e. y 6x 0 c. y 8 x f. x y. Tentukan gradien dari masing-masing persamaan grafik fungsi linier di bawah ini jika melalui titik-titik koordinat yang dimaksud: a. titik (, ) dan (, 0) d. titik A(, ) dan B(, 6) b. titik (, 0) dan (0, 6) e. titik P(, ) dan Q( 5,6) c. titik (, ) dan (, ) f. titik K(, 5) dan O(0, 0). Susunlah persamaan grafik fungsi linier yang melalui sebuah titik dan gradien berikut ini: a. melalui (, ) dengan m = c. melalui (, ) dengan m = b. melalui (, ) dengan m = ½ d. melalui (, ) dengan m = /. Susunlah persamaan grafik fungsi yang melalui titik pusat dan titik: a. (, ) b. (, 5) 5. Susunlah persamaan grafik fungsi yang melalui titik-titik berikut ini: a. (, ) dan (, ) b. (, 5) dan (, 0) 6. Tentukan persamaan garis dari grafik fungsi di bawah ini: a. b. Y Y X X Diketahui garis g dengan persamaan y x 5. Tentukan persamaan garis p yang melalui (,-) jika garis p // g. 8. Tentukan persamaan grafik fungsi h yang tegak lurus dengan garis k : y x dan melalui titik (-, 5).

12 E. Invers Fungsi Linier Jika hasil pemetaan fungsi y = f(x) dipetakan lagi oleh pemetaan g hasilnya kembali ke titik semula yaitu x, g(f(x)) = x maka g dikatakan invers dari f. Salah satu ide menentukan invers y = f(x) adalah mengubah x sebagai fungsi dari y, yaitu x = g(y). Kadang-kadang proses seperti itu merupakan proses yang mudah atau ada kalanya cukup rumit. Namun untuk fungsi linear, proses mengubah y = f(x) menjadi x = g(y) cukuplah sederhana. Sebagai contoh perhatikanlah contoh berikut ini: CONTOH 7 Tentukanlah invers dari fungsi linier y 5x y 5x dapat ditulis sebagai y f (x) ( y dalam bentuk fungsi x ) Sekarang tinggal mengubah x ke dalam fungsi y. 5x y y x 5 y 5 5 x atau 5 x ( y ) dapat ditulis sebagai x g(y) ( x dalam bentuk fungsi y ) Dari persamaan di atas, jika x diganti dengan y dan y diganti dengan x maka diperoleh fungsi y = g(x) dengan persamaan: 5 y ( x ) ini adalah invers dari fungsi y 5x Proses yang demikian ini merupakan proses menentukan fungsi invers. Jadi y = g(x) invers dari y = f(x) dan y = f(x) invers dari y = g(x). LATIHAN. Tentukanlah invers dari fungsi linier dengan persamaan sebagai berikut: a. y 5x 0 b. y x 6 c. y 8 x. Jika g(x) adalah invers dari f(x), tentukanlah fungsi g(x) jika: a. f ( x) x 0 b. f ( x) x 6 c. f ( x) x 8

13 . FUNGSI KUADRAT A. Pengertian Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + bx + c, ( a, b dan c R, a 0). Fungsi kuadrat juga dikenal dengan fungsi suku banyak (polinom) berderajat dua. Persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = ax + bx + c, (a 0) dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola. B. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c adalah:. Berdasarkan nilai a a) Jika a > 0 (a positif), maka grafik terbuka ke atas. b) Jika a < 0 (a negatif), maka grafik terbuka ke bawah.. Berdasarkan nilai diskriminan Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat dinyatakan dengan D = b ac. Sifat-sifat dari persamaan fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya adalah sebagai berikut: a) Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda (x x ) b) Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu X di satu titik (x = x ) c) Jika D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu X. C. Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c pada bidang Cartesius adalah sebagai berikut:. Menentukan titik potong dengan sumbu X (sama artinya dengan jika y = 0). Menentukan titik potong dengan sumbu Y (sama artinya dengan jika x = 0). Menentukan persamaan sumbu simetri b Persamaan sumbu simetri dapat dicari dengan rumus : x... ( 7 ) a. Menentukan koordinat titik balik (titik ekstrem atau titik puncak) Titik balik yang dimaksud adalah koordinat (x, y) dengan nilai x dan y yang dapat dicari dengan rumus: b x dan a D y dengan D b ac... ( 8 ) a CONTOH 8 Diketahui fungsi kuadrat f ( x) x x. Buatlah grafik parabolanya! f ( x) x x maka persamaan fungsinya adalah y x x () Menentukan titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 0 x x atau dapat ditulis x x 0 ( x )( x ) 0 x 0 atau x 0 x = x = Jadi, titik potong dengan sumbu X pada titik (, 0) dan (, 0).

14 () Menentukan titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0 y x x y 0 (0) y Jadi, titik potong dengan sumbu Y pada titik (0, ). () Menentukan persamaan sumbu simetri Dari persamaan y x x diketahui a =, b =, dan c =, sehingga b x a () Jadi, persamaan sumbu simetrinya x () Menentukan koordinat titik balik fungsi. Untuk nilai x sama dengan nilai x pada persamaan sumbu simetri, yaitu x Sedangkan untuk mencari nilai y menggunakan D b ac rumus: y a a ( )..( ) y 6.() Jadi, koordinat titik baliknya (, ). Sehingga gambar grafik fungsi kuadrat 6 f ( x) x x dapat dilihat pada gambar 9. CONTOH 9 Tentukan nilai k supaya grafik fungsi kuadrat f ( x) ( k ) x 0kx 6 menyinggung sumbu X! Dari rumus fungsi diketahui a = ( + k ), b = 0k, dan c = 6 Grafik fungsi kuadrat dikatakan menyinggung sumbu X, jika D = 0, sehingga... D = 0 b ac = 0 (0k).( + k ).6 = 0 00k 6.( + k ) = 0 00k 6 6k = 0 6k 6 = 0 (6k 8) (6k + 8) = 0 6k 8 = 0 atau 6k + 8 = 0 6k = 8 6k = 8 k = 8 8 k = 6 6 Jadi, agar grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X, maka nilai k adalah atau. - - Y Garis ini adalah sumbu simetri dengan persamaan x = ½ 5 Gambar 9 X

15 LATIHAN 5. Tentukanlah sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berikut berdasarkan nilai a dan diskriminannya! a. y x x 0 d. y ( x ) b. y x x 0 e. y 6x 9x c. y x x. Buatlah gambar grafik fungsi kuadrat jika : a. f ( x) x x c. y x 6x b. g ( x) x d. y x x. Tentukan nilai k supaya grafik fungsi kuadrat berikut menyinggung sumbu X! a. y = kx + 6x + 9 b. y = x kx + (k + ) D. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, diantara adalah:. Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik (x, y) dengan titik puncak (p, q) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: y a( x p) q... ( 9 ). Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (x, 0) dan (x, 0) serta melalui titik sembarang (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: y a x x )( x )... ( 0 ) ( x CONTOH 0 Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (, ) serta melalui titik (, )! ( i ) Langkah pertama adalah mencari nilai a. Karena titik balik grafik adalah (, ) maka p = dan q =, dan titik yang dilalui (, ) sehingga persamaannya adalah: y a( x p) q = a( ) + ( ) = a. a = ( ii ) Langkah kedua mencari persamaan grafik fungsi kuadrat yang dimaksud. Dengan a = dengan titik balik (, ) maka persamaannya adalah: y = (x ) + ( ) y = (x x + ) y = x 8x + y = x 8x +

16 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (, ) serta melalui titik (, ) adalah y = x 8x +. CONTOH Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (, 0) dan (, 0) serta melalui titik (, 6)! Grafik memotong sumbu x di titik (, 0) dan (, 0) sehingga persamaannya menjadi y a( x )( x ) dengan melalui titik (, 6) maka... 6 a( )( ) 6 a.().( ) 6 6a a Dengan mensubstitusikan a = ke persamaan y a( x )( x ) didapat y ( x )( x ) = ( x x 6) y x x 6 Jadi, persamaan grafik fungsinya adalah y x x 6. LATIHAN 6. Tentukanlah persamaan grafik fungsi kuadrat berikut jika: a. Grafik melalui titik (0, 8) dengan titik puncak (, ) b. Grafik mempunyai titik puncak di P(, ) serta melalui titik (, ). Tentukanlah persamaan grafik fungsi kuadrat berikut jika: a. Grafik memotong sumbu X di titik (-, 0) dan (, 0) serta melalui titik (, ) b. Grafik memotong sumbu X di titik (-, 0) dan (, 0) serta melalui titik (0, 9). Tentukan fungsi kuadrat jika grafiknya mempunyai titik balik ( P(, -) serta f() = 7. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai pembuat nol fungsi dan 6 sedangkan nilai maksimumnya adalah 9.

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 3 FUNGSI & GRAFIKNYA BAB 3 FUNGSI & GRAFIKNYA . DEFINISI RELASI Dua himpunan A dan B dikatakan mempunyai relasi apabila ada cara atau aturan tertentu untuk mengkaitkan antara anggota A dengan anggota B. Relasi antara himpunan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

MATEMATIKA 1. Achmad Basuki Departemen Teknologi Multimedia Kreatif Politeknik Elektronika Negeri 1

MATEMATIKA 1. Achmad Basuki Departemen Teknologi Multimedia Kreatif Politeknik Elektronika Negeri 1 MATEMATIKA 1 Achmad Basuki Departemen Teknologi Multimedia Kreatif Politeknik Elektronika Negeri 1 Materi Fungsi Grafik Fungsi Sifat Simetri Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Operasi Pada Beberapa Fungsi

Lebih terperinci

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan MODUL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain Pesan soal-soal matematika untuk SD, SMP dan SMA? Soal ulangan harian, ulangan mid, ulangan semester, soal-soal UAN dll. Tulis

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c 1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu. Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar

Lebih terperinci

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan

Lebih terperinci

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah

Lebih terperinci

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah

Lebih terperinci

III. FUNGSI POLINOMIAL

III. FUNGSI POLINOMIAL III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Hand out_x_fungsi kuadrat

Hand out_x_fungsi kuadrat STANDAR KOMPETENSI: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. KOMPETENSI DASAR: Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan

A. Kajian ulang tentang fungsi Pada gambar di bawah ini diberikan diagram panah suatu relasi dari himpunan MODUL FUNGSI KUADRAT Materi: Fungsi Kuadrat A Kajian ulang tentang fungsi B Fungsi kuadrat dan grafiknya C Menentukan fungsi kuadrat D Menentukan sumu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +

Lebih terperinci

MODUL UN-MATEMATIKA Jl. Abdullah Lubis No. 18 H Medan Telp (061)

MODUL UN-MATEMATIKA Jl. Abdullah Lubis No. 18 H Medan Telp (061) A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 4ac 3) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan

Lebih terperinci

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini

Lebih terperinci

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B.

1). Definisi Relasi Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B. Bayangkan suatu fungsi seagai seuah mesin, misalnya mesin hitung. Ia mengamil suatu ilangan (masukan), maka fungsi memproses ilangan yang masuk dan hasil produksinya diseut keluaran. x Masukan Fungsi f

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

2.6 FUNGSI DAN RELASI

2.6 FUNGSI DAN RELASI 177 Bab 3 FUNGSI P ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke atas oleh seseorang. Secara tidak langsung ternyata anda telah memperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah fungsi yang

Lebih terperinci

A. PERSAMAAN GARIS LURUS

A. PERSAMAAN GARIS LURUS A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

y

y Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

b. Dua atau lebih himpunan saling lepas

b. Dua atau lebih himpunan saling lepas BAB II ALJABAR A. Aljabar Himpunan Himpunan dapat diartikan sebagai kumpulan dari objek objek yang dibatasi dengan definisi atau kerakteristik yang jelas dan tertentu. Melalui definisi atau karakteristik

Lebih terperinci

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV A. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel dengan setidaknya

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

Kalkulus 1 MA1104. Fungsi. Dr. I W. Sudarsana. Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako

Kalkulus 1 MA1104. Fungsi. Dr. I W. Sudarsana. Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Kalkulus 1 MA1104 Fungsi Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Pengertian Fungsi Jika adalah ungsi dari A ke B kita menuliskan :

Lebih terperinci

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1 i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah 1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I 177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat

Lebih terperinci

LATIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS XI IPS. adalah. A. 6 C. 2 E. 1 B. 3 D. 0.. Maka rumus fungsi invers f adalah.d

LATIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS XI IPS. adalah. A. 6 C. 2 E. 1 B. 3 D. 0.. Maka rumus fungsi invers f adalah.d LATIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS XI IPS. Diketahui fungsi f x px qx c dan f dan f, maka p c adalah. 6 E. 0. Jika g x x dan h x x, maka g h0... E. 0. Diketahui f x x, g x x, dan h x x. Maka nilai f g h...

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017

BAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017 BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 15th March 2017 Ilham Saifudin (TM) BAB 2. FUNGSI 15th March 2017 1 / 24 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Fungsi

Lebih terperinci

Matematika Dasar SBMPTN 2019 Saistem Persamaan, Pertidaksamaan, Fungsi Kuadrat & Transformasi MATEMATIKA DASAR

Matematika Dasar SBMPTN 2019 Saistem Persamaan, Pertidaksamaan, Fungsi Kuadrat & Transformasi MATEMATIKA DASAR Salam Belajar! Matematika Dasar SBMPTN 2019 Saistem Persamaan, Pertidaksamaan, Fungsi Kuadrat & Transformasi MATEMATIKA DASAR 1. Jumlah kuadrat kedua akar persamaan x 2 4x 8 = 0 sama dengan jumlah pangkat

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A

Lebih terperinci

Institut Manajemen Telkom

Institut Manajemen Telkom Institut Manajemen Telkom Osa Omar Sharif JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat

*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat *Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)

Lebih terperinci

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat! I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan

Lebih terperinci

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :) Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I

DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I Sistem Persamaan Linear By : Dwi Andi Nurmantris Capaian Pembelajaran Mampu menyelesaikan sistem persamaan linier dengan beberapa metode pencarian. Mampu menyelesaikan

Lebih terperinci

Bab 0 Pendahuluan. MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak

Bab 0 Pendahuluan. MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak Bab 0 Pendahuluan MA1101 Matematika 1A Semester I Tahun 2018/2019 FMIPA (K-03) Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak 0.1 Bilangan Real Bilangan Real Desimal Berulang dan Tak Berulang Setiap bilangan rasional

Lebih terperinci

Persiapan Ulangan Tengah Semester II

Persiapan Ulangan Tengah Semester II Soal Latihan, Solusi dan Penyelesaian Persiapan Ulangan Tengah Semester II Petunjuk Pengerjaan :. Soal Latihan ini disusun secara urut sesuai sub materi pada modul atau catatan yang diberikan. Jadi sebelum

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar: BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Sumber: Mesin Frais CNC

Sumber:  Mesin Frais CNC Sumber: www.abltechnology.com Mesin Frais CNC Di dalam memroduksi bentuk suatu benda dikenal adanya beberapa jenis mesin produksi, antara lain mesin milling CNC, mesin frais, dan mesin bubut. Mesin bubut

Lebih terperinci

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci