FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

Transkripsi

1 KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

2 Materi Fungsi Notasi Fungsi Operasi Fungsi Macam-Macam Fungsi Fungsi Genap / Ganjil Fungsi Komposisi Sifat-Sifat Fungsi Fungsi Invers Domain dan Kodomain suatu fungsi invers

3 RELASI Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota- anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari, kurang dari, setengah dari, faktor dari, dan sebagainya. Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 }. Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi kurang dari, maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

4 A Kurang dari B Diagram disamping dinamakan diagram panah. Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah kurang dari

5 Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan pasangan berurutan. a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola, Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola. Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga.

6 A Suka akan B Anto.. Voli Andi. Budi. Badri.. Basket. Bulutangkis. Sepakbola

7 Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 }. Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : Setengah dari Jawab : P Setengah dari Q

8 b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3,, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : Akar kuadrat dari 8

9 Jawab : Akar kuadrat dari Himpunan B Himpunan A 9

10 C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3,, 25} dan B = { 1, 2, 3,, 10 }. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari

11 Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) } b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } c. { (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) }

12 Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan yang pertama disebut dengan daerah asal (domain) Himpunan yang kedua disebut dengan daerah hasil (range). Notasi Fungsi : y = f(x)

13 Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : A Daerah asal/ Domain B Daerah kawan/ kodomain Daerah hasil/ Range

14 Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

15 Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f,g,h, dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y, maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x.

16 Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1, i 2, u 1, e 4, o 2. b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c. Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan. 9/26/

17 Jawab : a. Diagram panah A a. i. u. e. o. B /26/

18 b. Diagram cartesius a i u e o 9/26/

19 c. Himpunan pasangan berurutan { (a, 1), (i, 2), (u, 1), (e, 4), (o, 2) }

20 Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(a) = a, dan n(b) = b, maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah b a dan himpunan B ke A adalah a b Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a, b } 20

21 Jawab: Jawab : a. n(a) = 1, n(b) = 1 Banyak pemetaan 1 1 = 1 b. n(c) = 1, n(d) = 2 Banyak pemetaan 2 1 = 2 9/26/

22 Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x). Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y. Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi! b. Tentukan daerah asal fungsi! c. Tentukan daerah hasil fungsi! d. Jika f(x) = 15, maka tentukan nilai x! 9/26/

23 Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = = 4 x = 3 f(x) = = 5 x = 4 f(x) = = 6 x = 5 f(x) = = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 9/26/

24 Uji Kompetensi 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah dua lebihnya dari, maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3, ), (,2), (, ) } b. Diagram Panah A B 9/26/

25 Pembahasan Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah dua lebihnya dari, maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah Dua lebihnya dari A B /26/2014

26 2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } 9/26/

27 Pembahasan a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y. x y Bukan fungsi 9/26/

28 b. { (1,1), (2,2), (3,3) } A B Fungsi 9/26/

29 3. Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 }. a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah. b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan. c. Tulis range dari f. 9/26/

30 Pembahasan a. Fungsi f : x x + 3, jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = = 1 x = -1 maka f(-1) = = 2 x = 0 maka f(0) = = 3 x = 1 maka f(1) = = 4 x = 2 maka f(2) = = 5 x x /26/

31 b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 9/26/

32 Operasi Fungsi Diberikan dua fungsi f dan g : Penjumlahan : (f+g) (x) = f(x) + g(x) Pengurangan : (f-g) (x) = f(x) g(x) Perkalian : (f.g) (x) = f(x). g(x) Pembagian: (f/g) (x) = f(x) / g(x)

33 Soal 2 Diketahui : f(x) = 4+x dan g(x) = 16-x Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x) F(x) = {(1,2), (2,-3),(3,4),(4,3)} G(x) = {(1,0),(2,6),(3,-1),(5,2)} Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x)

34 F(x) = x² - 4 G(x) = x+4 Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x)

35 Macam-Macam Fungsi Fungsi Konstan f(x) = c c=konstanta contoh : f(x) = 3 Fungsi Identitas f(x) = x contoh : f(1) = 1

36 Fungsi Linier f(x) = ax + b, a 0 Contoh: f(x) = 3x-1 Fungsi Modulus (mutlak) f(x) = x = x jika x 0 f(x) = x = -x jika x < 0 contoh : f(x) = x

37 Soal 3 Buat grafik dari fungsi : f(x) = x-2 f(x) = -2x f(x) = -2

38 Fungsi Genap dan Ganjil Fungsi, y = f(x) dikatakan: Genap, jika f(-x)=f(x) Ganjil, jika f(-x) = - f(x) Contoh: Fungsi Genap Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y

39 Fungsi Ganjil Grafik fungsi ganjil y = f(x) simetris terhadap titik asal.

40 Soal 4 Selidikilah apakah Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya? F(x) = x² + x³, Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya?

41 Fungsi Komposisi (f o g) (x) = f(g(x)) Diberikan dua fungsi f dan g, yang dinyatakan dengan f x g Daerah asal adalah himpunan semua bilangan x didaerah asal g sehingga g(x) di daerah asal x g(x) f(x) f o g

42 (g o f) (x) = g(f(x)) ( f o g o h) (x) = f(g(h(x))) Contoh: F(x) = 2x² - 3, G(x) = 3x+1, hitung: (f o g) (x) Jawab: f(g(x)) =f (3x+1) = 18x² + 12x -1

43 Soal 5 1. F(x) = x² - 4x + 3, hitung: (a) F(4) (b) F(4+h) (c) F(4+h)-f(4) 2. F(x) = 3x² - 4x + 3, hitunglah (f(x+h) f(x))/h! 3. Tentukan f(x) jika g(x) = 3-2x dan (f o g)(x) = 11-16x!

44 4. F(x) = 2x² - 3, G(x) = 3x+1, hitung: (g o f) (2) 5. f(x) = 3x², g(x)= x-2, h(x) = 2x-5, tentukan: a. (f o h o g) (x) = f(h(g(x))) b. (h o g o h)(-1)

45 Sifat-Sifat Fungsi Fungsi injektif (satu-satu) F: A B dikatakan f injektif apabila anggota himpunan B yang mempunyai pasangan dihimpunan A maka tepat satu. Contoh : A B C A B

46 Fungsi Surjektif (onto) F:A B dikatakan f surjektif apabila setiap anggota himpunan B mempunyai pasangan pada himpunan A Contoh : A B C D 1 2 3

47 Fungsi Bijektif (koreponden satu-satu) Adalah fungsi injektif dan surjektif. Contoh : A B C

48 Soal 6 Selidiki apakah fungsi injektif, surjektif dan bijektif: Y = 3x 2 Y = x² + 4 Y = x³

49 Fungsi Invers Langkah-langkah menentukan invers y = f(x) Nyatakan fungsi menjadi fungsi x dalam y : x = f(y) Ganti menjadi f-1(x) dan y menjadi x Contoh : Tentukan invers f(x) = 3x -6 jawab: y = 3x-6.: f-1(x) = (x + 6)/3 3x = y+ 6 = 1/3x + 2 x = (y+6)/3

50 Soal 7 1. Tentukan invers dari : F(x) = (3x +2) / (x-5) F(x) = x² + 6x 2 F(x) = 10x, f-1(100)! 2. g(x) = 2x-1, f(x) = x/(x-+1), (f o g )-1 (x)!

51 Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Invers Menentukan Domain Linier / Persamaan Kuadrat F(x) = ax + b F(x) = ax² + bx + c :. Df = { x x R} Rasional F(x) = a/x :. Df = { x x 0, x R } Akar F(x) = x :. Df = { x 0, x R }

52 Menentukan Kodomain Kf = Df -1 Contoh: F(x) = (3x+1) / (x-1) Df = x-1 0 x 1 = { x x 1, x R} Kf = Df-1 = x 3 0 x 3 = { x x 3, x R}

53 Soal 8 Tentukan domain dari : F(x) = x / (x-2) F(x) = 3 / (2x²-8)

54 Terima Kasih