APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
|
|
- Djaja Johan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan gradien garis singgung kurva dan persamaannya.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk mengetahui fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva. 3. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrem pada kurva. 4. Dapat menggunakan aturan turunan aljabar untuk menggambar grafik fungsi aljabar. 5. Dapat membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrem dan dapat menyelesaikannya dengan menggunakan aturan turunan aljabar. A. Persamaan Garis Singgung Kurva Berbagai kejadian di alam dapat dijelaskan kembali dalam bentuk grafik dan konsepkonsep Matematika. Sebagai contoh, perhatikan peristiwa berikut yang dapat digambarkan dalam bentuk grafik. Peristiwa ini akan mengantarkanmu pada konsep persamaan garis singgung kurva. Sebuah peluru ditembakkan ke arah dua bukit dan tepat menyentuh puncak kedua bukit tersebut pada dua buah titik. Misalkan peluru menyentuh bukit pertama pada titik A(x, y ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x, y ). Sementara itu, perbukitan tersebut dimisalkan sebagai kurva y = f(x). Melalui titik A dan B dibuat garis k sebagai garis
2 lintas peluru, sedangkan melalui titik A saja dibuat garis l. Titik A, B, kurva y = f(x), garis k, dan garis l dapat digambarkan dalam diagram Cartesius berikut. Y garis normal garis sekan y y k l A (x, y ) B (x, y ) h y = f(x) X x x Garis k disebut dengan garis sekan (garis tali busur), yaitu garis yang memotong kurva di dua titik. Sementara garis l disebut sebagai garis singgung (garis tangen), yaitu garis yang melalui satu titik pada kurva. Gradien garis singgung dapat diperoleh dari garis sekan dengan langkah-langkah berikut ini. Mula-mula, tentukan gradien garis sekan dengan rumus gradien garis yang melalui dua titik, yaitu sebagai berikut. m = y y k x x... (i) Berdasarkan gambar, diperoleh: x = x+ h... (ii) Substitusikan y = f (x) dan persamaan (ii) ke persamaan (i). m = y y k x x ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x+ h f x f = = = x x ( x + h) x ( x + h) f( x) h Jika titik A mendekati B (A B), nilai h akan semakin kecil (h ). Jika nilai h mendekati nol, garis k akan menjadi garis singgung l yang bergradien m di titik A(x, y ). Dengan demikian, diperoleh: m l ( ) ( ) = = ( ) f x+ h f x = lim mk = lim y f x (jika limitnya ada) h h h Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
3 Gradien garis singgung (garis tangen) kurva y = f(x) di titik (x, y ) adalah sebagai berikut. m = dy y = f ( x )= dx x = x Jika nilai m telah diketahui, persamaan garis singgungnya dapat ditentukan dengan rumus berikut. y y = m x x ( ) Ada 3 kasus persamaan garis singgung kurva, yaitu persamaan garis singgung kurva di titik (x, y ), persamaan garis singgung kurva dengan gradien m, dan persamaan garis singgung melalui titik (x, y ) di luar kurva. Untuk memahami perbedaannya, perhatikan tabel berikut. Tabel Jenis Persamaan Garis Singgung dan Rumusnya No Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus. Persamaan garis singgung kurva di titik (x, y ) Y (x, y ) X. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien m. Terdapat dua kondisi, yaitu sebagai berikut. a. Suatu garis dengan gradien m, tegak lurus garis singgung kurva. Garis yang tegak lurus garis singgung kurva dan melalui titik singgung disebut juga dengan garis normal. b. Suatu garis dengan gradien m, sejajar dengan garis singgung kurva. Titik singgung: (x, y ) Gradien garis singgung (m): m = dy y = f ( x )= dx x = x Persamaan garis singgung: y y = m x x ( ) Titik singgung: (x, y ) Persamaan garis singgung (m): y y = m x x ( ) Gradien garis singgung (m): m m = m = m Gradien garis singgung (m): m = m 3
4 No Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus 3. Persamaan garis singgung melalui titik (x, y ) di luar kurva. Y O (x, y ) (x, f(x )) X Tentukan koordinat titik singgung (x, f(x )) dengan rumus: m y f x ( ) = = f ( x) x x Persamaan garis singgung (m): y y = m x x ( ) Contoh Soal 3 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x 4x 3x 5 pada titik dengan absis adalah... (UN 6) A. y = 8x + 5 B. y = 8x + C. y = 8x D. y = 8x + E. y = 8x + 5 Jawaban: D Pembahasan: Diketahui: 3 y = x 4x 3x 5 absis titik singgung = x = Mula-mula, tentukan ordinat (y) titik singgung kurva dengan mensubstitusikan absis x = ke y = f (x). 3 y = f( )= ( ) 4( ) 3( ) 5= 7 Ini berarti, (x, y ) = (, 7). 4
5 Selanjutnya, tentukan gradien garis singgung kurva (m). m= f ( x)= 3x 8x 3 f ( )= 3( ) 8( ) 3= 8 Ini berarti, gradien m = 8. Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x, y ) = (, 7) dengan m = 8 adalah sebagai berikut. ( ) ( ( )) y y= m x x y ( 7)= 8 x y+ 7= 8x+ 8 y = 8x+ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 8x +. Contoh Soal Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x + 4x 5 dan tegak lurus dengan garis x y =! Pembahasan: Misalkan garis k = x y =. Tentukan dahulu gradien garis k. x y = y = x y = x Ini berarti, m k =. Oleh karena garis singgung kurva tegak lurus garis k, maka gradiennya (m) adalah sebagai berikut. m mk = m = = = m k Tentukan absis titik singgung kurva (x) dengan menggunakan m = f' (x). 5
6 m f x = 4x + 4 4x = 6 3 x = = ( ) 3 Oleh karena x =, maka ordinat titik singgung kurva (y) adalah sebagai berikut. y 3 f = 5 = + = 3 7 Ini berarti, ( x, y)=,. 3 7 Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x, y)=, dengan m = adalah sebagai berikut. y y= m( x x) 7 3 y+ = x 7 y+ = x+ 3 y = x Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x. Contoh Soal 3 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan menyinggung kurva y = x 7! Pembahasan: Diketahui kurva y = x 7 dan titik (x, y ) = (, ). Mula-mula, tentukan kedudukan titik (, ) terhadap kurva y = x 7. Dengan mensubstitusikan x = ke y = x 7, diperoleh: y = () 7 = 5 Ini berarti, titik (, ) berada di luar kurva. Oleh karena y = x 7, maka y' = f' (x) = 4x. Dengan demikian, diperoleh: f' (x ) = 4x 6
7 Selanjutnya, tentukan koordinat titik singgung kurva (x, f(x )). m = y f x x x x f ( x )= 7 x 8 x x = + 4 x 8x ( ) ( ) + 4x = 8+ x x 8x 8= x 4x 4= x = ± b b 4ac a 4± x = 4 3 x = ± 4 4 x = ± x = ± ( ) () () ( ) Misal x = +. Ini berarti, ordinat titik singgungnya adalah sebagai berikut. y ( ) = f + ( ) = + 7 = ( ) 7 = = 3 6 ( ). Ini berarti, ( x, y)= +, 3 6 Dengan demikian, gradien garis singgungnya (m) adalah sebagai berikut. m= f ( x)= 4x= 4( + )= 8 8 ( ) dengan Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x, y)= +, 3 6 m = 8 8 adalah sebagai berikut. 7
8 ( ) y y= m x x y ( 3 6 )= ( 8 8 ) x + y = 8 8 ) x ( ( ( )) ( ) y = 8x x y = 8x 8 x ( ) + + y = 8 8 x 7 6 ( ) + + Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 8 8 x 7 6. B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Pernahkah kamu bepergian ke pedesaaan? Jalan yang dilalui menuju pedesaan biasanya bervariasi. Kadang jalannya menanjak (naik), menurun, berbelok, dan lurus. Kondisi jalan tersebut mirip dengan kurva fungsi. Hal ini karena kurva fungsi juga naik, turun, lurus, dan berbelok. Aplikasi turunan pertama, yaitu gradien garis singgung dapat digunakan untuk mengetahui sifat-sifat kurva/grafik fungsi, di antaranya adalah fungsi naik dan fungsi turun. Interval saat fungsi naik dan fungsi turun berperan dalam menentukan posisi nilai ekstrem (maksimum dan minimum) fungsi. Perhatikan gambar berikut. Y g 3 g g 4 y = f(x) g g 5 g 7 g 6 X O a b Misalkan g, g, g 3, g 4, g 5, g 6, dan g 7 adalah garis singgung kurva y = f (x). Turunan pertama y = f (x) yaitu y' = f' (x) menunjukkan gradien atau kemiringan garis singgung kurva di titik (x, f (x)). Perhatikan emoticon berikut 8
9 SUPER, Solusi Quipper Nilai gradien garis singgung secara umum dapat dikenali dengan menggunakan emoticon berikut. Emoticon tersebut berarti: garis / memiliki gradien positif atau m > ; + garis \ memiliki gradien negatif atau m < ; garis (tegak lurus sumbu-x) memiliki gradien tak terdefinisi; dan + garis (sejajar atau berimpit dengan sumbu-x) memiliki gradien nol atau m =. Jika garis singgung naik dari kiri ke kanan, gradiennya positif atau m = f' (x) >. Contohnya g, g, dan g 7 Jika garis singgung sejajar sumbu-x, gradiennya atau m = f' (x) >. Ini berarti, garis singgung tidak naik dan tidak turun. Contohnya g 3 dan g 6 Jika garis singgung turun dari kiri ke kanan, gradiennya negatif atau m = f' (x) <. Contohnya g 4 dan g 5 Dengan demikian, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Misalkan fungsi y = f (x) kontinu dan memiliki turunan (diferensiabel) di setiap titik pada interval (a, b).. Fungsi f (x) naik pada interval (a, b) jika f' (x) > untuk setiap x є (a, b). Fungsi naik berarti, untuk x < x nilai f (x ) < f (x ).. Fungsi f (x) tidak turun pada interval (a, b) jika f' (x) untuk setiap x є (a, b). 3. Fungsi f (x) turun pada interval (a, b) jika f' (x) < untuk setiap x є (a, b). Fungsi turun berarti, untuk x < x nilai f (x ) > f (x ). 4. Fungsi f (x) tidak naik pada interval (a, b) jika f' (x) untuk setiap x є (a, b). Fungsi yang selalu naik atau fungsi yang selalu turun disebut dengan fungsi monoton. Catatan: Pemahaman tentang pertidaksamaan akan sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva. 9
10 Contoh Soal Tentukan interval saat fungsi f( x)= x 6x + 7x + tidak naik! Pembahasan: Syarat fungsi tidak naik adalah f '(x), sehingga: f ( x) 3 4x 8x + 4x 3 x 9x + 7x x( x 7) ( x ) 7 Pembuat nolnya adalah x =, x =, x =. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: ( ) (+) ( ) (+) X 7 Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda negatif dan pembuat nol. 7 Jadi, fungsi f (x) tidak naik pada interval x atau x. Contoh Soal 5 ( ) Tentukan interval saat fungsi f( x)= ( x+ ) x + 8x + 6 naik! Pembahasan: Tentukan dahulu turunan pertama fungsi tersebut. Fungsi f (x) memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. f( x)= u( x) v( x) f ( x)= u ( x) v( x)+ u( x) v ( x) Misalkan: ( )= + ( )= ( )= + + ( )= + u x x u x v x x 8x 6 v x x 8
11 Dengan demikian, diperoleh: ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) f x u x v x u x v x = ( x + 8x+ 6)+ ( x+ ) x+ 8 = x + 8 x+ 6 + x + 8x+ x + 8 = 3x + 8x+ 4 Syarat fungsi naik adalah f '(x) >, sehingga: f ( x)> 3x + 8x+ 4> x + 6x+ 8> ( x+ ) ( x+ 4)> Pembuat nolnya adalah x = dan x = 4. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: (+) ( ) (+) X 4 Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda positif saja, tanpa pembuat nol. Jadi, fungsi f (x) naik pada interval x < 4 atau x >. C. Kecekungan Kurva Kecekungan kurva dapat ditentukan dengan menggunakan uji turunan kedua. Kecekungan kurva dapat digunakan untuk mengetahui posisi kurva terhadap garis singgung yang melalui titik pada kurva tersebut. Misalkan fungsi y = f (x) kontinu dan memiliki turunan pertama (y' = f' (x)) dan turunan kedua (y" = f" (x)) di setiap titik pada interval (a, b).. Fungsi f (x) cekung ke atas pada interval (a, b) jika f" (x) > untuk setiap x є (a, b).. Fungsi f (x) cekung ke bawah pada interval (a, b) jika f" (x) < untuk setiap x є (a, b). Contoh Soal 6 Diketahui fungsi f (x) = x 4 4x 3 8x + 4x +. Tentukan interval saat grafik fungsi f (x) cekung ke atas dan cekung ke bawah!
12 Pembahasan: Tentukan dahulu turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. 4 3 f( x)= x 4x 8x + 4x+ 3 f ( x)= 4x x 36x + 4 f" ( x)= x 4 x 36 Grafik fungsi f (x) cekung ke atas saat f " (x) >. Ini berarti: f"( x)> x 4 x 36 > x x 3> ( x 3) ( x+ )> Pembuat nolnya adalah x = 3 dan x =. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: 3 Jadi, grafik fungsi f (x) cekung ke atas saat x < atau x > 3, dan cekung ke bawah saat < x < 3. D. Titik-Titik Kritis dan Jenisnya Perhatikan titik-titik kritis pada kurva berikut ini! Titik Balik Maksimum Y Cekung Ke Bawah Titik Belok Cekung Ke Atas Titik Belok Cekung Ke Bawah Titik Belok Cekung Ke Atas X Fungsi Naik Fungsi Turun Titik Balik Minimum Fungsi Naik
13 Jenis titik-titik kritis pada kurva tersebut adalah sebagai berikut.. Titik stasioner (x, y ) adalah titik yang memiliki garis singgung dengan kemiringan nol atau m = gs f ( x ) =. Jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum lokal, titik balik minimum lokal, dan titik belok stasioner. a. Titik balik maksimum lokal (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi naik dan setelah x fungsi turun. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. naik + x turun x Titik balik maksimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik (x, y ) merupakan titik balik maksimum lokal jika f '' (x) <. b. Titik balik minimum lokal (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi turun dan setelah x fungsi naik. Diagram tanda f ' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. turun x naik + x Titik balik minimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik (x, y ) merupakan titik balik minimum lokal jika f" (x) >. c. Titik belok stasioner (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi turun dan setelahnya juga turun, atau sebelum x fungsi naik dan setelahnya juga naik. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. turun turun x X atau x naik naik + + X 3
14 . Titik belok nonstasioner adalah titik belok yang kemiringan garis singgung di titik tersebut tidak nol. Titik ini memenuhi sifat naik-naik atau turun-turun seperti titik belok stasioner. Titik belok selalu terjadi jika di titik tersebut terjadi perbedaan kecekungan pada fungsi, bisa dari cekung ke cembung atau cembung ke cekung. Dengan menggunakan uji turunan kedua untuk mengetahui kecekungan fungsi, langkah-langkah menentukan titik belok nonstasioner adalah sebagai berikut. a. Cari nilai x sehingga f" (x) atau f" (x) = tidak bernilai. b. Uji diagram tanda untuk f" (x). Nilai x akan menjadi absis titik belok nonstasioner jika memenuhi diagram tanda berikut. + x atau x + Jika tidak memenuhi diagram tanda tersebut, nilai x bukanlah absis titik belok. Secara matematis, nilai balik (maksimum dan minimum) sangat berperan penting dalam menggambar grafik fungsi aljabar. Selain itu, nilai balik tersebut juga berperan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang Ekonomi, Teknik, Fisika, dan sebagainya. Contoh Soal 7 4 Tentukan koordinat titik kritis dari fungsi f( x)= x 8x + 5 dan tentukan jenisnya! Pembahasan: Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ( x) = 3 4x 36x = 3 x 9x = x( x+ 3) ( x 3)= 4
15 Pembuat nolnya adalah x =, x = 3, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: + + X 3 3 Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) 4 f( x)= x 8x + 5 Keterangan 3 76 ( 3, 76) titik balik minimum 3 76 (3, 76) titik balik minimum 5 (, 5) titik balik maksimum Selanjutnya tentukan titik belok nonstasioner. Syarat: f"( x) = 3x 9= x 3= ( x+ 3) ( x 3)= Pembuat nolnya adalah x = 3 dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: X Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) 4 f( x)= x 8x + 5 Keterangan 3 4 ( 3, 4 )titik belok nonstasioner 3 4 ( 3, 4 )titik belok nonstasioner 5
16 Dengan menggunakan software grafik, akan didapatkan bentuk gambar sebagai berikut. 5 5 Y X Contoh Soal Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f( x)= 4x + 5x 4x +! Pembahasan Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ( x) = 4 3 x + x x = 4 3 x + 5x 6x = x ( x 3) ( x )= Pembuat nolnya adalah x =, x =, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: + 3 X Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) f( x)= 4x + 5x 4x + Keterangan (, ) titik belok stasioner 47 (, 47) titik balik minimum 3 6 (3, 6) titik balik maksimum 6
17 Menentukan nilai ekstrem kurva y = f (x) pada Interval x x x. Langkah-langkah menentukan nilai ekstrem (maksimum/minimum) kurva y = f (x) pada interval x x x adalah sebagai berikut.. Tentukan titik stasioner fungsi y = f (x) dan jenisnya pada interval x x x (jika ada).. Tentukan nilai y = f (x) dan y = f (x). 3. Bandingkan nilai-nilai tersebut, sehingga diperoleh nilai yang terbesar (maksimum) dan terkecil (minimum). E. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah-langkah menggambar grafik fungsi y = f(x) menggunakan turunan adalah sebagai berikut.. Menentukan titik potong fungsi terhadap sumbu-x dan sumbu-y (jika ada). a. Syarat titik potong sumbu-x, y =. b. Syarat titik potong sumbu-y, x =.. Menentukan nilai ekstrem y = f (x) beserta jenisnya. 3. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. 4. Menentukan interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah. 5. Menentukan koordinat titik belok. 6. Menentukan beberapa titik bantu. 7. Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Contoh Soal 9 3 Gambarlah kurva y = x 3x + 4! Pembahasan: Langkah : Menentukan titik potong y = f (x) terhadap sumbu-x dan sumbu-y. Untuk titik potong sumbu-x, y =. y = 3 x 3x + 4= ( x+ ) ( x ) ( x )= x = atau x = atau x = Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (, ) dan (, ). 7
18 Untuk titik potong sumbu-y, x =. 3 y = ( ) 3( ) + 4= 4 Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah (, 4). Langkah : Menentukan nilai ekstrem y = f (x) beserta jenisnya. 3 f( x)= x 3x + 4 f ( x)= 3x 6x f" ( x)= 6x 6 Syarat titik stasioner adalah f '(x) =, sehingga: f ( x)= 3x 6x = ( Kedua ruas dibagi 3) x x = x( x )= x = atau x = Ini berarti, y = f (x) stasioner di titik yang berabsis x = dan x =. Tentukan jenis-jenis nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = dan x = ke f (x). f" () = 6() 6 = 6 < (titiik balik maksimum) f" () = 6() 6 = 6 > (titiik balik minimum) Tentukan nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = dan x = ke y = f (x). f" () = () 3 3 () + 4 = 4 f" () = () 3 3 () + 4 = Ini berarti, (, 4) adalah titik balik maksimum dan (, ) titik balik minimum. Langkah 3: Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. Syarat fungsi naik adalah f' (x) >, sehingga dapat ditentukan interval yang bernilai positif menggunakan garis bilangan dengan pembuat nol x = dan x =. (+) ( ) (+) X Ini berarti, fungsi f (x) naik pada interval x < atau x >. Oleh karena syarat fungsi turun adalah f' (x) <, maka f (x) turun pada interval < x <. 8
19 Langkah 4: Menentukan interval cekung ke atas dan cekung ke bawah. Syarat fungsi f (x) cekung ke bawah adalah f" (x) <, sehingga: f"( x)< 6x 6< 6x < 6 x < Ini berarti, f (x) cekung ke bawah pada x <. Syarat fungsi f (x) cekung ke atas adalah f" (x) >, sehingga f(x) cekung ke atas pada x >. Langkah 5: Menentukan titik belok. Berdasarkan uji kecekungan kurva yang menggunakan turunan kedua pada langkah 4, diperoleh: ( ) ( + ) X Dari gambar tersebut, diketahui absis titik belok x =. 3 f 3 4 ()= () + = Ini berarti, koordinat titik beloknya adalah (, ). Langkah 6: Menentukan beberapa titik bantu. x 3 y = x 3 3x (x, y) (, 6) (3, 4) Langkah 7: Menggambarkan semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Jadi, kurva y = x 3 3x + 4 adalah sebagai berikut. 9
20 Y 4 3 X y = x 3 3x F. Masalah Nilai Ekstrem dalam Kehidupan Sehari-Hari Persoalan nilai ekstrem dalam kehidupan sehari-hari biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Langkah-langkah menyelesaikannya adalah sebagai berikut.. Memisalkan unsur-unsur yang terlibat ke dalam variabel-variabel tertentu.. Menyusun pernyataan-pernyataan pada soal yang terkait dengan nilai ekstrem dalam bentuk model matematika. 3. Menuliskan model matematika dalam bentuk fungsi polinomial dengan macam variabel, misalnya y = f (x). 4. Menentukan nilai stasioner dengan syarat f '(x) =. 5. Menggunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstremnya. 6. Mensubstitusikan nilai stasioner ke y = f (x) untuk menentukan nilai ekstrem fungsi (maksimum atau minimum). Contoh Soal Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 8 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia? (UN 6)
21 Tembok Area Tanah Pagar Bentuk pagar Kawat berduri A. 8. m² B. 4. m² C.. m² D. 5. m² E..5 m² Jawaban: D Pembahasan: Diketahui panjang kawat = 8 meter. Misalkan: lebar tanah = l panjang tanah = p luas tanah = L Oleh karena tanah yang dipagari adalah yang tidak bertembok dan setiap sisi pagar menggunakan 4 lapis kawat berduri, maka: Panjang kawat = 8 4l+ 4p+ 4l = 8 8l+ 4p= 8 ( Kedua ruas dibagi 4) l+ p= p = l... (i) Oleh karena area tanah berbentuk persegi panjang, maka: L= p l = ( l) l = l l... (ii) Syarat luas tanah maksimum adalah L' =, sehingga: L = 4l = 4l = l = 5
22 Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dari L", diperoleh: L" = 4< ( titik balik maksimum) Ini berarti, nilai ekstrem yang dimiliki fungsi L hanya nilai maksimum, sehingga diperoleh luas tanah maksimum saat l = 5. Dengan mensubstitusikan l = 5 ke persamaan (ii), diperoleh: L = ( ) ( ) = Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5. m². Contoh Soal Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 4 cm³/detik. Jika laju pertambahan jarijari bola cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah... (UN 5) A. π cm B. C. D. π cm cm π cm 3 π E. π cm Jawaban: B Pembahasan: Misalkan: jari-jari bola = r volume bola (balon) = V Diketahui: laju pertambahan volume udara = dv = 4 cm³/detik dt laju pertambahan jari-jari bola = dr = cm/detik dt
23 Oleh karena balon karet berbentuk bola, maka: 4 3 V = πr 3 dv = 3 4 πr = 4πr dr 3 Tentukan jari-jari bola setelah ditiup dengan menggunakan aturan rantai. dv dv dr = dt dr dt dv 4 dr dv = dr 4πr = r = π r = π = ( ) Jadi, jari-jari bola setelah ditiup adalah Contoh Soal π cm. Suatu perusahaan memproduksi x barang dengan biaya (5x x + 3) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp5., tiap unit, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah... (UN ) A. Rp., B. Rp., C. Rp3., D. Rp4., E. Rp5., Jawaban: D Pembahasan: Diketahui: banyak barang = x unit biaya produksi per unit = 5x x + 3 (dalam ribuan) harga jual per unit = 5 (dalam ribuan) 3
24 Misalkan keuntungan perusahaan = U(x). Oleh karena U(x) = untung = harga jual biaya produksi, maka: ( ) U( x)= 5x 5x x+ 3 x 3 = 5x 5x + x 3 x 3 = 5x + x + x Syarat keuntungan maksimum adalah U' (x) =, sehingga: U ( x)= 5x + x+ = ( Kedua ruas dibagi 5) 3x 4x 4= ( 3x + ) ( x )= x = atau x = 3 Oleh karena x menunjukkan banyak barang dan tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai yang memenuhinya adalah x =. Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dengan mensubstitusikan x = ke U" (x), diperoleh: U" ( x)= 3x + U" ( )= 3( )+ = 4 < ( titik balik maksimum) Ini berarti, keuntungan maksimum saat x =. Dengan mensubstitusikan x = ke U(x), diperoleh: 3 U( )= 5( ) + ( ) + ( )= 4 Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp4., per unit. 4
BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Lebih terperinciSOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI
SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI Peserta didik memilki kemampuan memahami konsep pada topik turunan fungsi aljabar. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual pada topik
Lebih terperinci1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.
1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Lebih terperinciLAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)
160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinciKurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Lebih terperinciKing s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciJAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. 1. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva. 2. Tentukan pers garis normal (PGN) pada kurva
JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva y 4x % 7x + 5 di titik (, ) x y 4( ) % 7( ) + 5 oke y 5 8x 7 m 8( ) 7 5 y 5(x + ) y 5x 5 y 5x +. Tentukan pers garis
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciMATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x)
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Kalkulus Oleh : ardi meridian herdiansyah MATERI KALKULUS KALKULUS 1 MODUL 6 V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI ) 5.1. Pengertian Diketahui y = F(x) suatu
Lebih terperinciSOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASIONAL
SAL-SAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASINAL Peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep pada topik fungsi kuadrat. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciPREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I
186 LAMPIRAN V LKS 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Persamaan Garis Singgung Kurva : Menggunakan konsep limit fungsi dan
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 015-016 XI IPS Semester Tahun Pelajaran 015 016 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear
K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan
Lebih terperinciLATIHAN TURUNAN. Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai. 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f (0) =.
LATIHAN TURUNAN http://www.banksoalmatematikcom Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f() = ² ( + π/6 ), maka nilai f (0) =. b. c. ½ ½ Soal Ujian Nasional tahun 007. Turunan pertama dari
Lebih terperinciPenyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya
. Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinci15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari
Lebih terperincimatematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah
Lebih terperinciAplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi
Lebih terperinciTurunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka
A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciI. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.
I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Lebih terperinciPengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciKinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:
Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian
Lebih terperinciTERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat
Lebih terperinci2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON
2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Selasa/04 April 2015 Program Studi : IPA Waktu : 07.30 09.30 Petunjuk: Pilihlah satu
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciUJIAN SARINGAN MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI MATEMATIKA DASAR FUNGSI KUADRAT. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7 Solusi: [D]
UJIAN SARINGAN MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI MATEMATIKA DASAR FUNGSI KUADRAT. SBMPTN MADAS 4 Jika fungsi f x a x x c menyinggung sumbu x di x, maka a A. B. C. D. 5 E. 7 Solusi: [D] 6 f x a x x c f ' x
Lebih terperinciI. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.
Lebih terperinciHand out_x_fungsi kuadrat
STANDAR KOMPETENSI: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. KOMPETENSI DASAR: Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 2008
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 008. Negasi dari pernyataan Matematika tidak mengasyikan atau membosankan adalah A. Matematika mengasyikan atau membosankan. B. Matematika mengasyikan
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciMATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c
1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinci5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciNotasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya misalkan fungsi f menjadi f' TURUNAN Notasi turunan y' atau f'(x) atau dy/dx fungsi naik Penggunaan turunan fungsi turun persamaan garis singgung
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciIRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1
K- matematika K e l a s I IRISAN DUA LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan persamaan dan panjang tali busur dua lingkaran
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinci1. Fungsi Objektif z = ax + by
Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi
Lebih terperinci2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac
. FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah,
Lebih terperinciMATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6
MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperincisama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B
Soal nomor 1, dengan soal sebagai berikut: Jawab : D Pernyataan majemuk pada soal ini adalah suatu disjungsi. Misalkan p: Petani panen beras. q: Harga beras murah., pernyataan di atas dapat dinotasikan
Lebih terperinciMatematika IPA UN, Tahun 2015 Retype : Neonjogja.com
Matematika IPA UN, Tahun 0. Diketahui premis-premis berikut:. Saya bermain atau saya tidak gagal dalam ujian.. Saya gagal dalam ujian. Kesimpulan yang sah dari permis-permis tersebut Saya tidak bermain
Lebih terperinciKINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK
KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR. sudir15mks
PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: x a x b a1 1 2 2 Persamaan semacam ini dinamakan persamaan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinci