APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2"

Transkripsi

1 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan gradien garis singgung kurva dan persamaannya.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk mengetahui fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva. 3. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrem pada kurva. 4. Dapat menggunakan aturan turunan aljabar untuk menggambar grafik fungsi aljabar. 5. Dapat membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrem dan dapat menyelesaikannya dengan menggunakan aturan turunan aljabar. A. Persamaan Garis Singgung Kurva Berbagai kejadian di alam dapat dijelaskan kembali dalam bentuk grafik dan konsepkonsep Matematika. Sebagai contoh, perhatikan peristiwa berikut yang dapat digambarkan dalam bentuk grafik. Peristiwa ini akan mengantarkanmu pada konsep persamaan garis singgung kurva. Sebuah peluru ditembakkan ke arah dua bukit dan tepat menyentuh puncak kedua bukit tersebut pada dua buah titik. Misalkan peluru menyentuh bukit pertama pada titik A(x, y ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x, y ). Sementara itu, perbukitan tersebut dimisalkan sebagai kurva y = f(x). Melalui titik A dan B dibuat garis k sebagai garis

2 lintas peluru, sedangkan melalui titik A saja dibuat garis l. Titik A, B, kurva y = f(x), garis k, dan garis l dapat digambarkan dalam diagram Cartesius berikut. Y garis normal garis sekan y y k l A (x, y ) B (x, y ) h y = f(x) X x x Garis k disebut dengan garis sekan (garis tali busur), yaitu garis yang memotong kurva di dua titik. Sementara garis l disebut sebagai garis singgung (garis tangen), yaitu garis yang melalui satu titik pada kurva. Gradien garis singgung dapat diperoleh dari garis sekan dengan langkah-langkah berikut ini. Mula-mula, tentukan gradien garis sekan dengan rumus gradien garis yang melalui dua titik, yaitu sebagai berikut. m = y y k x x... (i) Berdasarkan gambar, diperoleh: x = x+ h... (ii) Substitusikan y = f (x) dan persamaan (ii) ke persamaan (i). m = y y k x x ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x+ h f x f = = = x x ( x + h) x ( x + h) f( x) h Jika titik A mendekati B (A B), nilai h akan semakin kecil (h ). Jika nilai h mendekati nol, garis k akan menjadi garis singgung l yang bergradien m di titik A(x, y ). Dengan demikian, diperoleh: m l ( ) ( ) = = ( ) f x+ h f x = lim mk = lim y f x (jika limitnya ada) h h h Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

3 Gradien garis singgung (garis tangen) kurva y = f(x) di titik (x, y ) adalah sebagai berikut. m = dy y = f ( x )= dx x = x Jika nilai m telah diketahui, persamaan garis singgungnya dapat ditentukan dengan rumus berikut. y y = m x x ( ) Ada 3 kasus persamaan garis singgung kurva, yaitu persamaan garis singgung kurva di titik (x, y ), persamaan garis singgung kurva dengan gradien m, dan persamaan garis singgung melalui titik (x, y ) di luar kurva. Untuk memahami perbedaannya, perhatikan tabel berikut. Tabel Jenis Persamaan Garis Singgung dan Rumusnya No Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus. Persamaan garis singgung kurva di titik (x, y ) Y (x, y ) X. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien m. Terdapat dua kondisi, yaitu sebagai berikut. a. Suatu garis dengan gradien m, tegak lurus garis singgung kurva. Garis yang tegak lurus garis singgung kurva dan melalui titik singgung disebut juga dengan garis normal. b. Suatu garis dengan gradien m, sejajar dengan garis singgung kurva. Titik singgung: (x, y ) Gradien garis singgung (m): m = dy y = f ( x )= dx x = x Persamaan garis singgung: y y = m x x ( ) Titik singgung: (x, y ) Persamaan garis singgung (m): y y = m x x ( ) Gradien garis singgung (m): m m = m = m Gradien garis singgung (m): m = m 3

4 No Jenis Persamaan Garis Singgung Rumus 3. Persamaan garis singgung melalui titik (x, y ) di luar kurva. Y O (x, y ) (x, f(x )) X Tentukan koordinat titik singgung (x, f(x )) dengan rumus: m y f x ( ) = = f ( x) x x Persamaan garis singgung (m): y y = m x x ( ) Contoh Soal 3 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x 4x 3x 5 pada titik dengan absis adalah... (UN 6) A. y = 8x + 5 B. y = 8x + C. y = 8x D. y = 8x + E. y = 8x + 5 Jawaban: D Pembahasan: Diketahui: 3 y = x 4x 3x 5 absis titik singgung = x = Mula-mula, tentukan ordinat (y) titik singgung kurva dengan mensubstitusikan absis x = ke y = f (x). 3 y = f( )= ( ) 4( ) 3( ) 5= 7 Ini berarti, (x, y ) = (, 7). 4

5 Selanjutnya, tentukan gradien garis singgung kurva (m). m= f ( x)= 3x 8x 3 f ( )= 3( ) 8( ) 3= 8 Ini berarti, gradien m = 8. Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x, y ) = (, 7) dengan m = 8 adalah sebagai berikut. ( ) ( ( )) y y= m x x y ( 7)= 8 x y+ 7= 8x+ 8 y = 8x+ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 8x +. Contoh Soal Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x + 4x 5 dan tegak lurus dengan garis x y =! Pembahasan: Misalkan garis k = x y =. Tentukan dahulu gradien garis k. x y = y = x y = x Ini berarti, m k =. Oleh karena garis singgung kurva tegak lurus garis k, maka gradiennya (m) adalah sebagai berikut. m mk = m = = = m k Tentukan absis titik singgung kurva (x) dengan menggunakan m = f' (x). 5

6 m f x = 4x + 4 4x = 6 3 x = = ( ) 3 Oleh karena x =, maka ordinat titik singgung kurva (y) adalah sebagai berikut. y 3 f = 5 = + = 3 7 Ini berarti, ( x, y)=,. 3 7 Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x, y)=, dengan m = adalah sebagai berikut. y y= m( x x) 7 3 y+ = x 7 y+ = x+ 3 y = x Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x. Contoh Soal 3 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan menyinggung kurva y = x 7! Pembahasan: Diketahui kurva y = x 7 dan titik (x, y ) = (, ). Mula-mula, tentukan kedudukan titik (, ) terhadap kurva y = x 7. Dengan mensubstitusikan x = ke y = x 7, diperoleh: y = () 7 = 5 Ini berarti, titik (, ) berada di luar kurva. Oleh karena y = x 7, maka y' = f' (x) = 4x. Dengan demikian, diperoleh: f' (x ) = 4x 6

7 Selanjutnya, tentukan koordinat titik singgung kurva (x, f(x )). m = y f x x x x f ( x )= 7 x 8 x x = + 4 x 8x ( ) ( ) + 4x = 8+ x x 8x 8= x 4x 4= x = ± b b 4ac a 4± x = 4 3 x = ± 4 4 x = ± x = ± ( ) () () ( ) Misal x = +. Ini berarti, ordinat titik singgungnya adalah sebagai berikut. y ( ) = f + ( ) = + 7 = ( ) 7 = = 3 6 ( ). Ini berarti, ( x, y)= +, 3 6 Dengan demikian, gradien garis singgungnya (m) adalah sebagai berikut. m= f ( x)= 4x= 4( + )= 8 8 ( ) dengan Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ( x, y)= +, 3 6 m = 8 8 adalah sebagai berikut. 7

8 ( ) y y= m x x y ( 3 6 )= ( 8 8 ) x + y = 8 8 ) x ( ( ( )) ( ) y = 8x x y = 8x 8 x ( ) + + y = 8 8 x 7 6 ( ) + + Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 8 8 x 7 6. B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Pernahkah kamu bepergian ke pedesaaan? Jalan yang dilalui menuju pedesaan biasanya bervariasi. Kadang jalannya menanjak (naik), menurun, berbelok, dan lurus. Kondisi jalan tersebut mirip dengan kurva fungsi. Hal ini karena kurva fungsi juga naik, turun, lurus, dan berbelok. Aplikasi turunan pertama, yaitu gradien garis singgung dapat digunakan untuk mengetahui sifat-sifat kurva/grafik fungsi, di antaranya adalah fungsi naik dan fungsi turun. Interval saat fungsi naik dan fungsi turun berperan dalam menentukan posisi nilai ekstrem (maksimum dan minimum) fungsi. Perhatikan gambar berikut. Y g 3 g g 4 y = f(x) g g 5 g 7 g 6 X O a b Misalkan g, g, g 3, g 4, g 5, g 6, dan g 7 adalah garis singgung kurva y = f (x). Turunan pertama y = f (x) yaitu y' = f' (x) menunjukkan gradien atau kemiringan garis singgung kurva di titik (x, f (x)). Perhatikan emoticon berikut 8

9 SUPER, Solusi Quipper Nilai gradien garis singgung secara umum dapat dikenali dengan menggunakan emoticon berikut. Emoticon tersebut berarti: garis / memiliki gradien positif atau m > ; + garis \ memiliki gradien negatif atau m < ; garis (tegak lurus sumbu-x) memiliki gradien tak terdefinisi; dan + garis (sejajar atau berimpit dengan sumbu-x) memiliki gradien nol atau m =. Jika garis singgung naik dari kiri ke kanan, gradiennya positif atau m = f' (x) >. Contohnya g, g, dan g 7 Jika garis singgung sejajar sumbu-x, gradiennya atau m = f' (x) >. Ini berarti, garis singgung tidak naik dan tidak turun. Contohnya g 3 dan g 6 Jika garis singgung turun dari kiri ke kanan, gradiennya negatif atau m = f' (x) <. Contohnya g 4 dan g 5 Dengan demikian, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Misalkan fungsi y = f (x) kontinu dan memiliki turunan (diferensiabel) di setiap titik pada interval (a, b).. Fungsi f (x) naik pada interval (a, b) jika f' (x) > untuk setiap x є (a, b). Fungsi naik berarti, untuk x < x nilai f (x ) < f (x ).. Fungsi f (x) tidak turun pada interval (a, b) jika f' (x) untuk setiap x є (a, b). 3. Fungsi f (x) turun pada interval (a, b) jika f' (x) < untuk setiap x є (a, b). Fungsi turun berarti, untuk x < x nilai f (x ) > f (x ). 4. Fungsi f (x) tidak naik pada interval (a, b) jika f' (x) untuk setiap x є (a, b). Fungsi yang selalu naik atau fungsi yang selalu turun disebut dengan fungsi monoton. Catatan: Pemahaman tentang pertidaksamaan akan sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan fungsi naik, fungsi turun, dan kecekungan kurva. 9

10 Contoh Soal Tentukan interval saat fungsi f( x)= x 6x + 7x + tidak naik! Pembahasan: Syarat fungsi tidak naik adalah f '(x), sehingga: f ( x) 3 4x 8x + 4x 3 x 9x + 7x x( x 7) ( x ) 7 Pembuat nolnya adalah x =, x =, x =. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: ( ) (+) ( ) (+) X 7 Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda negatif dan pembuat nol. 7 Jadi, fungsi f (x) tidak naik pada interval x atau x. Contoh Soal 5 ( ) Tentukan interval saat fungsi f( x)= ( x+ ) x + 8x + 6 naik! Pembahasan: Tentukan dahulu turunan pertama fungsi tersebut. Fungsi f (x) memuat perkalian fungsi, sehingga sifat yang digunakan adalah sebagai berikut. f( x)= u( x) v( x) f ( x)= u ( x) v( x)+ u( x) v ( x) Misalkan: ( )= + ( )= ( )= + + ( )= + u x x u x v x x 8x 6 v x x 8

11 Dengan demikian, diperoleh: ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) f x u x v x u x v x = ( x + 8x+ 6)+ ( x+ ) x+ 8 = x + 8 x+ 6 + x + 8x+ x + 8 = 3x + 8x+ 4 Syarat fungsi naik adalah f '(x) >, sehingga: f ( x)> 3x + 8x+ 4> x + 6x+ 8> ( x+ ) ( x+ 4)> Pembuat nolnya adalah x = dan x = 4. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: (+) ( ) (+) X 4 Penyelesaiannya adalah interval yang bertanda positif saja, tanpa pembuat nol. Jadi, fungsi f (x) naik pada interval x < 4 atau x >. C. Kecekungan Kurva Kecekungan kurva dapat ditentukan dengan menggunakan uji turunan kedua. Kecekungan kurva dapat digunakan untuk mengetahui posisi kurva terhadap garis singgung yang melalui titik pada kurva tersebut. Misalkan fungsi y = f (x) kontinu dan memiliki turunan pertama (y' = f' (x)) dan turunan kedua (y" = f" (x)) di setiap titik pada interval (a, b).. Fungsi f (x) cekung ke atas pada interval (a, b) jika f" (x) > untuk setiap x є (a, b).. Fungsi f (x) cekung ke bawah pada interval (a, b) jika f" (x) < untuk setiap x є (a, b). Contoh Soal 6 Diketahui fungsi f (x) = x 4 4x 3 8x + 4x +. Tentukan interval saat grafik fungsi f (x) cekung ke atas dan cekung ke bawah!

12 Pembahasan: Tentukan dahulu turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. 4 3 f( x)= x 4x 8x + 4x+ 3 f ( x)= 4x x 36x + 4 f" ( x)= x 4 x 36 Grafik fungsi f (x) cekung ke atas saat f " (x) >. Ini berarti: f"( x)> x 4 x 36 > x x 3> ( x 3) ( x+ )> Pembuat nolnya adalah x = 3 dan x =. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh: 3 Jadi, grafik fungsi f (x) cekung ke atas saat x < atau x > 3, dan cekung ke bawah saat < x < 3. D. Titik-Titik Kritis dan Jenisnya Perhatikan titik-titik kritis pada kurva berikut ini! Titik Balik Maksimum Y Cekung Ke Bawah Titik Belok Cekung Ke Atas Titik Belok Cekung Ke Bawah Titik Belok Cekung Ke Atas X Fungsi Naik Fungsi Turun Titik Balik Minimum Fungsi Naik

13 Jenis titik-titik kritis pada kurva tersebut adalah sebagai berikut.. Titik stasioner (x, y ) adalah titik yang memiliki garis singgung dengan kemiringan nol atau m = gs f ( x ) =. Jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum lokal, titik balik minimum lokal, dan titik belok stasioner. a. Titik balik maksimum lokal (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi naik dan setelah x fungsi turun. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. naik + x turun x Titik balik maksimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik (x, y ) merupakan titik balik maksimum lokal jika f '' (x) <. b. Titik balik minimum lokal (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi turun dan setelah x fungsi naik. Diagram tanda f ' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. turun x naik + x Titik balik minimum lokal juga dapat ditentukan dengan uji turunan kedua. Titik (x, y ) merupakan titik balik minimum lokal jika f" (x) >. c. Titik belok stasioner (x, y ) terjadi jika sebelum x fungsi turun dan setelahnya juga turun, atau sebelum x fungsi naik dan setelahnya juga naik. Diagram tanda f' (x) untuk titik ini adalah sebagai berikut. turun turun x X atau x naik naik + + X 3

14 . Titik belok nonstasioner adalah titik belok yang kemiringan garis singgung di titik tersebut tidak nol. Titik ini memenuhi sifat naik-naik atau turun-turun seperti titik belok stasioner. Titik belok selalu terjadi jika di titik tersebut terjadi perbedaan kecekungan pada fungsi, bisa dari cekung ke cembung atau cembung ke cekung. Dengan menggunakan uji turunan kedua untuk mengetahui kecekungan fungsi, langkah-langkah menentukan titik belok nonstasioner adalah sebagai berikut. a. Cari nilai x sehingga f" (x) atau f" (x) = tidak bernilai. b. Uji diagram tanda untuk f" (x). Nilai x akan menjadi absis titik belok nonstasioner jika memenuhi diagram tanda berikut. + x atau x + Jika tidak memenuhi diagram tanda tersebut, nilai x bukanlah absis titik belok. Secara matematis, nilai balik (maksimum dan minimum) sangat berperan penting dalam menggambar grafik fungsi aljabar. Selain itu, nilai balik tersebut juga berperan dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang Ekonomi, Teknik, Fisika, dan sebagainya. Contoh Soal 7 4 Tentukan koordinat titik kritis dari fungsi f( x)= x 8x + 5 dan tentukan jenisnya! Pembahasan: Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ( x) = 3 4x 36x = 3 x 9x = x( x+ 3) ( x 3)= 4

15 Pembuat nolnya adalah x =, x = 3, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: + + X 3 3 Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) 4 f( x)= x 8x + 5 Keterangan 3 76 ( 3, 76) titik balik minimum 3 76 (3, 76) titik balik minimum 5 (, 5) titik balik maksimum Selanjutnya tentukan titik belok nonstasioner. Syarat: f"( x) = 3x 9= x 3= ( x+ 3) ( x 3)= Pembuat nolnya adalah x = 3 dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: X Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) 4 f( x)= x 8x + 5 Keterangan 3 4 ( 3, 4 )titik belok nonstasioner 3 4 ( 3, 4 )titik belok nonstasioner 5

16 Dengan menggunakan software grafik, akan didapatkan bentuk gambar sebagai berikut. 5 5 Y X Contoh Soal Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f( x)= 4x + 5x 4x +! Pembahasan Mula-mula, tentukan titik stasioner fungsi tersebut. Syarat: f ( x) = 4 3 x + x x = 4 3 x + 5x 6x = x ( x 3) ( x )= Pembuat nolnya adalah x =, x =, dan x = 3. Dengan menggunakan diagram tanda, diperoleh: + 3 X Perhatikan tabel berikut! Absis Ordinat (nilai) f( x)= 4x + 5x 4x + Keterangan (, ) titik belok stasioner 47 (, 47) titik balik minimum 3 6 (3, 6) titik balik maksimum 6

17 Menentukan nilai ekstrem kurva y = f (x) pada Interval x x x. Langkah-langkah menentukan nilai ekstrem (maksimum/minimum) kurva y = f (x) pada interval x x x adalah sebagai berikut.. Tentukan titik stasioner fungsi y = f (x) dan jenisnya pada interval x x x (jika ada).. Tentukan nilai y = f (x) dan y = f (x). 3. Bandingkan nilai-nilai tersebut, sehingga diperoleh nilai yang terbesar (maksimum) dan terkecil (minimum). E. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah-langkah menggambar grafik fungsi y = f(x) menggunakan turunan adalah sebagai berikut.. Menentukan titik potong fungsi terhadap sumbu-x dan sumbu-y (jika ada). a. Syarat titik potong sumbu-x, y =. b. Syarat titik potong sumbu-y, x =.. Menentukan nilai ekstrem y = f (x) beserta jenisnya. 3. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. 4. Menentukan interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah. 5. Menentukan koordinat titik belok. 6. Menentukan beberapa titik bantu. 7. Menggambar semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Contoh Soal 9 3 Gambarlah kurva y = x 3x + 4! Pembahasan: Langkah : Menentukan titik potong y = f (x) terhadap sumbu-x dan sumbu-y. Untuk titik potong sumbu-x, y =. y = 3 x 3x + 4= ( x+ ) ( x ) ( x )= x = atau x = atau x = Jadi, titik potong dengan sumbu-x adalah (, ) dan (, ). 7

18 Untuk titik potong sumbu-y, x =. 3 y = ( ) 3( ) + 4= 4 Jadi, titik potong dengan sumbu-y adalah (, 4). Langkah : Menentukan nilai ekstrem y = f (x) beserta jenisnya. 3 f( x)= x 3x + 4 f ( x)= 3x 6x f" ( x)= 6x 6 Syarat titik stasioner adalah f '(x) =, sehingga: f ( x)= 3x 6x = ( Kedua ruas dibagi 3) x x = x( x )= x = atau x = Ini berarti, y = f (x) stasioner di titik yang berabsis x = dan x =. Tentukan jenis-jenis nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = dan x = ke f (x). f" () = 6() 6 = 6 < (titiik balik maksimum) f" () = 6() 6 = 6 > (titiik balik minimum) Tentukan nilai ekstrem dengan mensubstitusikan x = dan x = ke y = f (x). f" () = () 3 3 () + 4 = 4 f" () = () 3 3 () + 4 = Ini berarti, (, 4) adalah titik balik maksimum dan (, ) titik balik minimum. Langkah 3: Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. Syarat fungsi naik adalah f' (x) >, sehingga dapat ditentukan interval yang bernilai positif menggunakan garis bilangan dengan pembuat nol x = dan x =. (+) ( ) (+) X Ini berarti, fungsi f (x) naik pada interval x < atau x >. Oleh karena syarat fungsi turun adalah f' (x) <, maka f (x) turun pada interval < x <. 8

19 Langkah 4: Menentukan interval cekung ke atas dan cekung ke bawah. Syarat fungsi f (x) cekung ke bawah adalah f" (x) <, sehingga: f"( x)< 6x 6< 6x < 6 x < Ini berarti, f (x) cekung ke bawah pada x <. Syarat fungsi f (x) cekung ke atas adalah f" (x) >, sehingga f(x) cekung ke atas pada x >. Langkah 5: Menentukan titik belok. Berdasarkan uji kecekungan kurva yang menggunakan turunan kedua pada langkah 4, diperoleh: ( ) ( + ) X Dari gambar tersebut, diketahui absis titik belok x =. 3 f 3 4 ()= () + = Ini berarti, koordinat titik beloknya adalah (, ). Langkah 6: Menentukan beberapa titik bantu. x 3 y = x 3 3x (x, y) (, 6) (3, 4) Langkah 7: Menggambarkan semua titik yang diperoleh pada koordinat Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Jadi, kurva y = x 3 3x + 4 adalah sebagai berikut. 9

20 Y 4 3 X y = x 3 3x F. Masalah Nilai Ekstrem dalam Kehidupan Sehari-Hari Persoalan nilai ekstrem dalam kehidupan sehari-hari biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Langkah-langkah menyelesaikannya adalah sebagai berikut.. Memisalkan unsur-unsur yang terlibat ke dalam variabel-variabel tertentu.. Menyusun pernyataan-pernyataan pada soal yang terkait dengan nilai ekstrem dalam bentuk model matematika. 3. Menuliskan model matematika dalam bentuk fungsi polinomial dengan macam variabel, misalnya y = f (x). 4. Menentukan nilai stasioner dengan syarat f '(x) =. 5. Menggunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstremnya. 6. Mensubstitusikan nilai stasioner ke y = f (x) untuk menentukan nilai ekstrem fungsi (maksimum atau minimum). Contoh Soal Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 8 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia? (UN 6)

21 Tembok Area Tanah Pagar Bentuk pagar Kawat berduri A. 8. m² B. 4. m² C.. m² D. 5. m² E..5 m² Jawaban: D Pembahasan: Diketahui panjang kawat = 8 meter. Misalkan: lebar tanah = l panjang tanah = p luas tanah = L Oleh karena tanah yang dipagari adalah yang tidak bertembok dan setiap sisi pagar menggunakan 4 lapis kawat berduri, maka: Panjang kawat = 8 4l+ 4p+ 4l = 8 8l+ 4p= 8 ( Kedua ruas dibagi 4) l+ p= p = l... (i) Oleh karena area tanah berbentuk persegi panjang, maka: L= p l = ( l) l = l l... (ii) Syarat luas tanah maksimum adalah L' =, sehingga: L = 4l = 4l = l = 5

22 Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dari L", diperoleh: L" = 4< ( titik balik maksimum) Ini berarti, nilai ekstrem yang dimiliki fungsi L hanya nilai maksimum, sehingga diperoleh luas tanah maksimum saat l = 5. Dengan mensubstitusikan l = 5 ke persamaan (ii), diperoleh: L = ( ) ( ) = Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5. m². Contoh Soal Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 4 cm³/detik. Jika laju pertambahan jarijari bola cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah... (UN 5) A. π cm B. C. D. π cm cm π cm 3 π E. π cm Jawaban: B Pembahasan: Misalkan: jari-jari bola = r volume bola (balon) = V Diketahui: laju pertambahan volume udara = dv = 4 cm³/detik dt laju pertambahan jari-jari bola = dr = cm/detik dt

23 Oleh karena balon karet berbentuk bola, maka: 4 3 V = πr 3 dv = 3 4 πr = 4πr dr 3 Tentukan jari-jari bola setelah ditiup dengan menggunakan aturan rantai. dv dv dr = dt dr dt dv 4 dr dv = dr 4πr = r = π r = π = ( ) Jadi, jari-jari bola setelah ditiup adalah Contoh Soal π cm. Suatu perusahaan memproduksi x barang dengan biaya (5x x + 3) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp5., tiap unit, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah... (UN ) A. Rp., B. Rp., C. Rp3., D. Rp4., E. Rp5., Jawaban: D Pembahasan: Diketahui: banyak barang = x unit biaya produksi per unit = 5x x + 3 (dalam ribuan) harga jual per unit = 5 (dalam ribuan) 3

24 Misalkan keuntungan perusahaan = U(x). Oleh karena U(x) = untung = harga jual biaya produksi, maka: ( ) U( x)= 5x 5x x+ 3 x 3 = 5x 5x + x 3 x 3 = 5x + x + x Syarat keuntungan maksimum adalah U' (x) =, sehingga: U ( x)= 5x + x+ = ( Kedua ruas dibagi 5) 3x 4x 4= ( 3x + ) ( x )= x = atau x = 3 Oleh karena x menunjukkan banyak barang dan tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai yang memenuhinya adalah x =. Selanjutnya, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis ekstremnya. Dengan mensubstitusikan x = ke U" (x), diperoleh: U" ( x)= 3x + U" ( )= 3( )+ = 4 < ( titik balik maksimum) Ini berarti, keuntungan maksimum saat x =. Dengan mensubstitusikan x = ke U(x), diperoleh: 3 U( )= 5( ) + ( ) + ( )= 4 Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp4., per unit. 4

BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA 142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh

Lebih terperinci

SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI

SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI Peserta didik memilki kemampuan memahami konsep pada topik turunan fungsi aljabar. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual pada topik

Lebih terperinci

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =. 1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2

Lebih terperinci

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78. PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)

LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0) 160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)

Lebih terperinci

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks

Lebih terperinci

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:

King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat: Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. 1. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva. 2. Tentukan pers garis normal (PGN) pada kurva

JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. 1. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva. 2. Tentukan pers garis normal (PGN) pada kurva JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva y 4x % 7x + 5 di titik (, ) x y 4( ) % 7( ) + 5 oke y 5 8x 7 m 8( ) 7 5 y 5(x + ) y 5x 5 y 5x +. Tentukan pers garis

Lebih terperinci

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan

Lebih terperinci

MATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x)

MATERI KALKULUS. y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y'''=f'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y1= f(x) y2 = g(x) y3 = h(x) Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Kalkulus Oleh : ardi meridian herdiansyah MATERI KALKULUS KALKULUS 1 MODUL 6 V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI ) 5.1. Pengertian Diketahui y = F(x) suatu

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASIONAL SAL-SAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASINAL Peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep pada topik fungsi kuadrat. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I 186 LAMPIRAN V LKS 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Persamaan Garis Singgung Kurva : Menggunakan konsep limit fungsi dan

Lebih terperinci

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 015-016 XI IPS Semester Tahun Pelajaran 015 016 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS

BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan

Lebih terperinci

LATIHAN TURUNAN. Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai. 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f (0) =.

LATIHAN TURUNAN. Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai. 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f (0) =. LATIHAN TURUNAN http://www.banksoalmatematikcom Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f() = ² ( + π/6 ), maka nilai f (0) =. b. c. ½ ½ Soal Ujian Nasional tahun 007. Turunan pertama dari

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

III. FUNGSI POLINOMIAL

III. FUNGSI POLINOMIAL III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari

Lebih terperinci

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..

Lebih terperinci

matematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan. I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan

Lebih terperinci

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah

Lebih terperinci

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber: Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba

Lebih terperinci

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON

2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON 2015 ACADEMY QU IDMATHCIREBON NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Selasa/04 April 2015 Program Studi : IPA Waktu : 07.30 09.30 Petunjuk: Pilihlah satu

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

UJIAN SARINGAN MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI MATEMATIKA DASAR FUNGSI KUADRAT. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7 Solusi: [D]

UJIAN SARINGAN MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI MATEMATIKA DASAR FUNGSI KUADRAT. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7 Solusi: [D] UJIAN SARINGAN MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI MATEMATIKA DASAR FUNGSI KUADRAT. SBMPTN MADAS 4 Jika fungsi f x a x x c menyinggung sumbu x di x, maka a A. B. C. D. 5 E. 7 Solusi: [D] 6 f x a x x c f ' x

Lebih terperinci

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

I. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat! I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.

Lebih terperinci

Hand out_x_fungsi kuadrat

Hand out_x_fungsi kuadrat STANDAR KOMPETENSI: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat. KOMPETENSI DASAR: Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPS tahun 008. Negasi dari pernyataan Matematika tidak mengasyikan atau membosankan adalah A. Matematika mengasyikan atau membosankan. B. Matematika mengasyikan

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c 1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Notasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Notasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya misalkan fungsi f menjadi f' TURUNAN Notasi turunan y' atau f'(x) atau dy/dx fungsi naik Penggunaan turunan fungsi turun persamaan garis singgung

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

IRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1

IRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1 K- matematika K e l a s I IRISAN DUA LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan persamaan dan panjang tali busur dua lingkaran

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018 Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)

Lebih terperinci

1. Fungsi Objektif z = ax + by

1. Fungsi Objektif z = ax + by Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi

Lebih terperinci

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac . FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah,

Lebih terperinci

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6 MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.

Lebih terperinci

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

sama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B

sama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B Soal nomor 1, dengan soal sebagai berikut: Jawab : D Pernyataan majemuk pada soal ini adalah suatu disjungsi. Misalkan p: Petani panen beras. q: Harga beras murah., pernyataan di atas dapat dinotasikan

Lebih terperinci

Matematika IPA UN, Tahun 2015 Retype : Neonjogja.com

Matematika IPA UN, Tahun 2015 Retype : Neonjogja.com Matematika IPA UN, Tahun 0. Diketahui premis-premis berikut:. Saya bermain atau saya tidak gagal dalam ujian.. Saya gagal dalam ujian. Kesimpulan yang sah dari permis-permis tersebut Saya tidak bermain

Lebih terperinci

KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK

KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. sudir15mks

PROGRAM LINEAR. sudir15mks PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: x a x b a1 1 2 2 Persamaan semacam ini dinamakan persamaan

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci