5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

Transkripsi

1 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dinyatakan sebagai hubungan antara dua variabel Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi Fungsi secara sederhana dapat dikatakan sebagai hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubuungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur diantaranya variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat di dalam setiap bentuk fungsi, namun tidak demikian dengan konstanta. Variabel merupakan unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan suatu faktor tertentu. Suatu variabel biasanya dituliskan dalam bentuk huruf-huruf latin, misalnya x, y, z, dan sebagainya. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas (independent variable) dan variabel terikat (dependent variable). Nilai variabel terikat tergantung pada nilai lain misalnya variabel bebas, tetapi tidak sama halnya dengan variabel bebas. Koefisien merupakan bilangan atau angka yang terkait pada suatu variabel dan pada umumnya terletak di depan variabel. Sementara konstanta adalah bilangan atau angka-angka yang terkadang ikut membentuk sebuah fungsi tetapi sifatnya berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait dengan suatu variabel tertentu. Secara umum, notasi suatu fungsi biasanya dituliskan sebagai y = f (x) atau z = f (x, y) (5.1) dengan x, y, dan z adalah suatu variabel. 1 Matematika Ekonomi

2 Contoh 1 a. f (x) = x + 1 Karena y = f (x), maka bentuk tersebut dapat dituliskan juga menjadi y = x + 1. Bentuk f (x) = x + 1 maupun y = x + 1, keduanya merupakan bentuk fungsi dengan fariabel bebas x dan variabel terikat y. Angka disebut sebagai koefisien dalam hal ini koefisien dari x (karena terletak di depan x), sementara angka 1 disebut sebagai konstanta. b. g(z) = -z + 3 atau y = -z + 3. Bentuk g(z) = -z + 3 atau y = -z + 3, juga merupakan fungsi dengan variabel bebas z. Koefisien z-nya adalah -1, sedangkan konstanta-nya adalah 3. Untuk menggambarkan bentuk g(z) = -z + 3 ke dalam bidang cartesian maka g(z) dimisalkan dengan y sedangkan z sama dengan x. Agar pemahaman tentang fungsi tidak terlalu instan, akan diberikan sekilas tentang tinjaun matematis terhadap fungsi itu sendiri. Fungsi biasa juga disebut dengan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Suatu relasi dari himpunan A dan B adalah himpunan pasangan berurut (a, b) dengan a A dan b B. R = {(a, b) a A dan b B} (5.) Misalkan f adalah suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dapat dinotasikan dengan: f : A B (5.3) Jika a A dan b B, dan fungsi f memasangkan a dengan b,maka b disebut peta atau bayangan dari a. Pada fungsi f : A B, himpunan A disebut daerah asal (domain) dari fungsi f dinotasikan dengan D f. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari fungsi f dinotasikan dengan K f. Sedangkan himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi f dinotasikan dengan R f. Matematika Ekonomi

3 Contoh Diketahui A = {1,, 3, 4}, dan B = {0, 1,, 3, 4, 5}. Jika f : A B menyatakan satu kurangnya dari, maka tentukan daerah hasilnya. Penyelesaian: Relasi dari fungsi tersebut adalah = {(1, ), (, 3), (3, 4), (4, 5)} Domain dari f ; D f = A = {1,, 3, 4}. Kodomain dari f ; K f = B = {0, 1,, 3, 4, 5}. Daerah hasil dari f ; R f = {, 3, 4, 5} Contoh 3 Misalnya f adalah fungsi dengan aturan f (x) = x + 1. Daerah asalnya, D f = {-1, 0, 1,, 3}. Maka, x = -1, f (-1) = (-1) + 1 =. x = 0, f (0) = (0) + 1 = 1. x = 1, f (1) = (1) + 1 =. x =, f () = () + 1 = 5. x = 3, f (3) = (3) + 1 = 10. Jadi, daerah hasilnya, R f = {1,, 5, 10}. Gambar 5.1. Diagram Panah f (x) = x Matematika Ekonomi

4 5.. Jenis-Jenis Fungsi Jika dilihat dari hubungan antara variabel-variabel yang terdapat dalam suatu fungsi, maka fungsi dapat dibedakan ke dalam dua jenis. Fungsi tersebut yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang antara variabel bebas dan variabel terikat dapat dengan jelas dibedakan. f (x) = y (5.4) Misalnya f (x) = x + 3, maka y = x + 3. Dalam hal ini, nilai y ditentukan oleh nilai x. Jadi jika x =, maka nilai y = 7. Sedangkan fugsi implisit adalah fungsi yang antara variabel bebas dan variabel terikatnya tidak mudah untuk dibedakan. Misalnya fungsi dengan dua variabel, f (x,y), Di sini, f (x,y) = 0 (5.5) Misalnya f (x,y) = x 5xy + 6y, maka 0 = x 5xy + 6y. Dari sini, jelas tidak mudah untuk menetukan berapa nilai x dan nilai y. Harga x dapat diketahui jika terlebih dahulu ditentukan nilai y, begitu pula sebaliknya. Misalnya lebih dulu ditentukan x = 1, maka diperoleh y = -1. Sedangkan jika misalnya lebih dulu ditentukan y = 1, maka x = atau x = 3. Pembahasan mengenai fungsi matematika tidak terlepas dari pembahasan tentang titik koordinat. Titik koordinat dapat ditentukan dengan dasar suatu ukuran yang digunakan dari titik asal (origin point) sebagai titik tolak pengukuran dan penentuan letak titik dalam gambar grafik dari suatu fungsi. Titik koordinat (x, y) terdiri dari nilai absis (nilai x) dan nilai ordinat (nilai y). Dilihat dari bisa tidaknya suatu fungsi dikonstruksi menggunakan operai aljabar maka fungsi dalam matematika terbagi dua yaitu fungsi aljabar dan fungsi non-aljabar (fungsi transenden) Fungsi Aljabar Fungsi f disebut sebagai fungsi aljabar jika f dapat dikonstruksi menggunakan operasi aljabar yaitu jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Fungsi aljabar terdiri dari fungsi linear, fungsi 4 Matematika Ekonomi

5 kuadrat, fungsi pangkat banyak (pangkat tiga, empat, dan seterusnya), dan fungsi pecah. a. Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah: f (x) = ax + b, dengan a, b R, dan a 0 (5.6) Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus. Grafik fungsi linear dapat diperoleh dengan terlebih dahulu mencari hitungan matematisnya seperti langkah berikut: 1. Menetapkan titik potong fungsi terhadap sumbu-x, dengan memisalkan y = 0.. Menetapkan titik potong fungsi terhadap sumbu-y, dengan memisalkan x = 0. Karena grafik fungsi linear berbentuk garis lurus, maka untuk menggambarkan grafik fungsi linear cukup ditentukan dua titik saja yaitu titik yang memotong sumbu-x dan titik yang memotong sumbu-y. Sehingga pada dasarnya langkah yang ditempuh cukup sampai dengan langkah ke- saja. Namun demikian, jika ingin dilihat arah fungsi linear yang dimaksud atau yang biasa disebut dengan gradien garis (notasi: m), maka dapat dilanjutkan sampai dengan langkah ke Gradien garis ditentukan oleh persamaan y y m x x 1 1 (5.7) Gradien garis ini ternyata sama dengan nilai a pada f (x) = ax + b. Gradien garis biasa juga disebut dengan koefisien arah. Nilai gradien garis dapat berharga positif atau negatif, tergantung dari tanda yang menyertai a dalam persamaan y = ax + b. Jika a positif maka arah garis dari kiri bawah ke kanan atas. Sendagkan jika a negatif maka arah garisnya dari kiri atas ke kanan bawah. 5 Matematika Ekonomi

6 Contoh 4 Gambarkan grafik fungsi f (x) = x + 3. Penyelesaian: Perpotongan terhadap sumbu-x, maka y = 0. f (x) = x + 3 y = x = x + 3 x = -/3. Jadi, kurva berpotongan di titik (-/3, 0). Perpotongan terhadap sumbu-y, maka x = 0. y = x + 3 y = (0) + 3 y = 3. Jadi,kurva berpotongan di titik (0, 3). Nilai gradien m = a =. 4 y 4 y - 4 x - 4 x (a) Gambar 5.. (a). Grafik Fungsi f (x) = x + 3; (b). Grafik Fungsi f (x) = -x + 3. Sebagai perbandingan untuk melihat nilai gradien m, maka diberikan grafik fungsi f (x) = -x + 3. Dengan cara yang sama, diperoleh perpotongan terhadap sumbu-x adalah (3/, 0), dan perpotongan terhadap sumbu-y adalah (0, 3). Nilai gradien m = -. Perhatikan grafik fungsinya pada Gambar 5..(b). - (b) 6 Matematika Ekonomi

7 b. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax + bx + c, dengan a, b, c R, dan a 0 (5.8) Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax + bx + c. Langkah-langkah untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Mencari titik potong kurva terhadap sumbu y. Mencari titik potong kurva terhadap sumbu x 3. Menetapkan koordinat titik puncak b D, a 4a, dengan D = b 4ac. (5.9) 4. Mencari persamaan sumbu simetri, yaitu sumbu yang membagi grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar. b x (5.10) a Contoh 5 Gambarkan grafik fungsi f (x) = x + 5x + 6. Penyelesaian: Titik potong terhadap sumbu-y, maka x = 0. y = x + 5x + 6 y = 0 + 5(0) + 6 y = 6 Jadi titik potong terhadap sumbu-y adalah (0,6). Titik potong terhadap sumbu-y, maka x = 0. y = x + 5x = x + 5x + 6 (x + ) (x + 3)= 0. x + = 0 dan x + 3 = 0 x 1 = - x = -3 Jadi titik potong terhadap sumbu-x adalah (-, 0) dan (-3, 0). 7 Matematika Ekonomi

8 b D Koordinat titik puncak, a 4a. D = b 4ac = (5) 4(1)(6) = 5 4 = 1 Selanjutnya, b 5 5 dan a (1) D 1 1 4a 4(1) 4 Sehingga koordinat titik puncaknya adalah (-5/, -1//4). b 5 Persamaan sumbu simetri, x a 8 y 6 4 x Gambar 5.3. Grafik fungsi f (x) = x + 5x + 6. c. Fungsi Pangkat Banyak Fungsi pangkat merupakan fungsi yang variabel bebasnya memiliki pangkat sebuah bilangan real yang bukan nol. Bentuk umum yang paling sederhana dari fungsi pangkat adalah f (x) = x n, dengan n R (5.11) Fungsi pangkat banyak berangkat dari konsep fungsi polynomial yaitu fungsi yang memiliki banyak suku pada variabel bebasnya. Bentuk umum fungsi polynom adalah: f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n a x + a 1 x 1 + a 0, (5.1) dengan a i R untuk i = n, n-1, n-,...,, 1, 0, dan a n 0. 8 Matematika Ekonomi

9 Persamaan (5.1) disebut fungsi polynom berderajat n. Jika n =, maka disebut fungsi polynom berderajat dalam hal ini sama dengan fungsi kuadrat. Jika n = 3 maka disebut fungsi polynom berderajat 3 atau sama dengan fungsi kubik, dan seterusnya. Fungsi kubik adalah fungsi yang variabel bebasnya pangkat 3. Bentuk umum fungsi kubik adalah: f (x) = ax 3 + bx + cx + d, dengan a, b, c, d R, dan a 0 (5.13) Contoh 6 Gambarkan grafik fungsi f (x) = x 3 x x +. Penyelesaian: Titik potong terhadap sumbu-y, maka x = 0. y = x 3 x x + y = 0 3 (0) 0 + = Jadi, titik potong kurva terhadap sumbu-y adalah (0, ). Titik potong terhadap sumbu-x, maka y = 0. x 3 x x + = 0 x (x ) (x ) = 0 (x 1) (x ) = 0 (x + 1) (x 1) (x ) = 0 Jadi, titik potong kurva terhadap sumbu-x adalah (-1, 0), (1, 0), dan (, 0). 4 y x Gambar 5.4. Grafik fungsi f (x) = x + 5x Matematika Ekonomi

10 d. Fungsi Pecah Fungsi pecah merupakan fungsi nonlinear yang variabel bebasnya merupakan penyebut. Fungsi pecah terbagi menjadi fungsi pecah kuadrat dan fungsi pecah linear. Grafik fungsi pecah berbentuk hiperbola. Untuk menggambarkan garifk fungsi pecah, maka perlu diketahui ciri-ciri matematisnya apakah termasuk ke dalam fungsi pecah kuadrat atau fungsi pecah linear. Langkah-langkah yang digunakan untuk menggambarkan grafik fungsi pecah pada dasarnya sama dengan grafik fungsi lain yaitu mencari perpotongan grafik fungsi terhadapa sumbu-x dan sumbu-y. Namun demikian, pada kasus fungsi pecah, karena grafiknya berbentuk hiperbola maka grafik fungsinya memiliki dua asimtot yaitu asimtot tegak dan asimtot datar (pada kasus f( x) ax bx c px q memiliki asimtot tegak dan asimtot miring). Bentuk umum dari fungsi pecah linear adalah: ax b f( x) (5.14) cx d Misalkan akan digambarkan grafik fungsi pecah linear seperti pada Persamaan (5.14) dengan bentuk umum. Ciri-diri dari fungsi tersebut adalah: 1. Titik potong terhadap sumbu-x diperoleh jika y = 0. b Untuk y = 0, maka x. Sehingga titik potong terhadap sumbu-x adalah a b xy,,0 a.. Titik potong terhadap sumbu-y diperoleh jika x = 0. b Untuk x = 0, maka y. Sehingga titik potong terhadap sumbu-y adalah d xy, 0, b a. 3. Asimtot, terdiri dari asimtot tegak dan asimtot mendatar. Asimtot tegak diperoleh dengan membuat y, sehingga diperoleh, x d. Sedangkan, c 10 Matematika Ekonomi

11 Asimtot mendatar diperoleh dengan membuat x, sehingga diperoleh a y. c Contoh 7 Gambarkan grafik fungsi Penyelesaian: x 3 f( x) x 1 Titik potong terhadap sumbu-y Jika x = 0, maka y = 3. Sehingga titik potong yang dimaksud adalah (0,3) Titik potong terhadap sumbu-x Jika y = 0, maka 3 x. Sehingga titik potong yang dimaksud adalah Asimtot tegak: x = -1. Asimtot mendatar: y =. 3,0 8 y 6 4 x Gambar 5.5. Grafik fungsi x 3 f( x) x Matematika Ekonomi

12 5... Fungsi Non-Aljabar (Fungsi Transenden) Fungsi transenden yang akan dibahas pada pokok bahasan ini adalah fungsi eksponensial dan fungsi logaritma. a. Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan pangkat dari suatu konstanta yang tidak nol. Bentuk umum yang paling sederhana untuuk fungsi eksponensial adalah f (x) = a x, untuk a R, dan a 0 (5.15) Grafik fungsi eksponensial f (x) = a x memperhatikan ciri-ciri berikut: 1. Jika x, maka y f ( x) Jika x, maka y f ( x) 0. Jika x = 0, maka y = 1. Artinya, grafik fungsi eksponensial tersebut hanya memotong sumbu-y di titik (0, 1), tidak memotong sumbu-x. 3. Asimtot dari fungsi ekponensial adalah sumbu-x. dalam hal ini sebagai asimtot mendatar. Contoh 8 Gambarkan grafik fungsi f (x) = x. Penyelesaian: Untuk x, maka y f ( x) x y Untuk x, maka y f ( x) 0 x y 1/ 1/4 1/8 1/ Matematika Ekonomi

13 4 y -4-4 x - Gambar 5.6. Grafik fungsi f (x) = x. b. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi kebalikan (invers) dari fungsi eksponensial dimana variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk umum fungsi logaritma adalah: f (x) = a log x (5.16) Contoh 9 Gambarkan grafik fungsi: f (x) = log x. Penyelesaian: Dengan mensubtitusi nilai x ke dalam fungsi, maka diperoleh nilai y seperti yang terlihat pada tabel berikut: x y 0 1 1,58,3, ,3 13 Matematika Ekonomi

14 y x - Gambar Grafik fungsi f (x) = log x. Soal Latihan 1. Tentukan domain dari masing-masing fungsi berikut: a. f (x) = 9 x b. f ( x) 3 x 1 c. f( x) 1 x 3. Gambarkanlah grafik fungsi berikut: a. f (x) = 7 3x b. f (x) = -x + 8x 15 c. d. x 5 f( x) 4 3x f( x) 3 x e. f (x) = 3 + log x 14 Matematika Ekonomi