F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait antara variabel ang satu dengan variabel ang lain ditunjukkan oleh suatu fungsi. Penjelasan mengenai fungsi serta kegunaanna dalam ekonomi akan Anda jumpai di dalam modul ini. Modul ini dimulai dengan penjelasan mengenai sumbu koordinat dan cara-cara menggambar grafik dari suatu fungsi, meskipun Anda mungkin pernah mempelajari bagaimana mencari persamaan suatu garis lurus dari beberapa titik ang diketahui, dalam modul ini hal tersebut akan dibicarakan lagi sehingga Anda akan lebih memahami konsep ini. Karena seperti disebutkan di atas bahwa kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi ang saling pengaruh-mempengaruhi, dan proses saling pengaruhmempengaruhi ini dapat diselidiki dengan menggunakan fungsi, maka pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan ang sia-sia. Fungsi ang akan dibicarakan dalam modul ini dilandasi oleh teori himpunan ang terdapat dalam modul sebelumna. Penjabaran-penjabaran dari fungsi selanjutna akan dibahas dalam modul-modul berikutna. Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan mampu untuk memahami fungsi linear beserta penggunaanna dalam ekonomi. Setelah selesai mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: a. mendiskripsikan dan mengidentifikasikan konstan, dan variabel. b. menggambar grafik suatu garis. c. mencari gradien suatu fungsi. d. mencari persamaan garis lurus.

2 3.2 Matematika Ekonomi 1 e. menentukan dua buah garis lurus apakah berimpit, sejajar, berpotongan atau saling tegak lurus. f. mencari koordinat titik potong dua garis lurus.

3 ESPA4112/MODUL Kegiatan Belajar 1 F u n g s i A. LETAK SUATU TITIK Suatu titik ang terletak di sebuah bidang datar dapat ditentukan letakna dengan menggunakan garis penolong ang disebut Sumbu Koordinat. Sumbu koordinat adalah garis lurus ang saling berpotongan tegak lurus. Garis ang horisontal biasana disebut sumbu x dan ang vertikal disebut sumbu. Dikatakan biasana, karena sumbu tersebut tidak harus dinamakan dengan x dan. Suatu Contoh misalna, dalam literatur ekonomi sumbu x sering dinamakan sumbu Q dan sumbu P untuk sumbu. Perpotonngan antara sumbu x dengan sumbu disebut titik origin atau titik asal atau titik nol. Disebut demikian karena jarak pada sumbu selalu dihitung mulai dari titik asal ini. Simbol untuk origin adalah O. + Kuadran II Kuadran I 0 x + Kuadran III Kuadran IV Diagram 3.1 Sumbu x ang ada di sebelah kanan 0 dan sumbu ang berada di atas 0 digunakan untuk nilai ang positif dari himpunan nilai x di sumbu x dan nilai di sumbu, sedangkan untuk himpunan nilai ang negatif digunakan sumbu x ang berada di sebelah kiri 0 dan sumbu ang berada di sebelah bawah 0. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat bagian. Setiap bagian dinamakan kuadran. Masing-masing kuadran diberi nomor secara berurutan

4 3.4 Matematika Ekonomi 1 dimulai dari bidang sebelah atas kanan sebagai kuadran I, kemudian dengan arah menurut kebalikan arah putaran jarum jam ditentukan kuadran II, kuadran III dan IV (lihat gambar di atas). Jadi, suatu bidang datar dibagi oleh sumbu koordinat menjadi empat kuadran. Suatu titik, ang sebidang dengan sumbu koordinat, letakna ditentukan oleh suatu pasangan urut (x, ). Anggota pertamana dinamakan koordinat x atau absis dan anggota keduana dinamakan koordinat atau ordinat. Suatu titik (a,b) ang mana a > 0 dan b > 0 menunjukkan bahwa x = a dan = b. Titik ini dapat dilukiskan dengan bergeser dari origin a unit ke kanan dan b unit ke atas. Titikna ditentukan oleh perpotongan dua garis ang ditarik dari kedudukan ang baru karena pergeseran tadi dan sejajar dengan sumbu koordinat. Contoh 3.1: Titik (3,2) menunjukkan bahwa x = +3 dan = +2. Titik ini didapat dengan bergeser ke kanan 3 unit dari origin dan dibuat garis ang sejajar sumbu, kemudian dari origin bergeser 2 unit ke atas dan dibuat garis ang sejajar sumbu x. Maka diperoleh letak titik (3,2) pada kuadran I dan selanjutna titik ini dapat diberi nama, misalna titik A. Kuadran I 2 A(3,2) x O Diagram 3.2 Contoh 3.2: Titik (-2,4) menunjukkan bahwa x = -2, = +4, dan dapat diperoleh dengan bergeser dari origin 2 unit ke kiri (ke arah negatif) dan kemudian 4 unit ke atas. Maka diperoleh letak titik (-2,4) pada kuadran II dan misalna titik ini dinamakan titik B.

5 ESPA4112/MODUL B(-2,4) 4 Kuadran II x Diagram 3.3 Contoh 3.3: Titik (-4,-4) menunjukkan bahwa x = -4, = -4 dan gambarna seperti berikut ini: x Kuadran III 2 3 C(-4,-4) 4 Diagram 3.4 B. FUNGSI Fungsi didefinisikan sebagai himpunan pasangan urut dengan anggota-anggota pertama pasangan urut ang dinamakan wilaah (domain) dan anggota-anggota kedua pasangan urut ang dinamakan jangkau (range),

6 3.6 Matematika Ekonomi 1 dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut ang anggota pertamana sama. Ada 3 cara untuk menunjukkan suatu fungsi aitu: a. Cara daftar lajur b. Cara penulisan dengan lambang c. Cara grafik Contoh-Contoh untuk menunjukkan suatu fungsi dengan cara-cara tersebut di atas adalah sebagai berikut: Contoh 3.4: Fungsi ditunjukkan dengan cara daftar lajur. X Y Lajur pertama mengandung elemen-elemen pertama pasangan urut dan lajur kedua mengandung elemen kedua pasangan urut. Perhatikan di sini, pada daftar lajur tersebut tidak terdapat pasangan urut ang anggota pertamana sama. Anggota kedua pada himpunan pasangan urut bisa terjadi sama. Contoh 3.5: Fungsi ditunjukkan dengan cara lambang: a. = x 2-2x atau b. f(x) = x 2-2x atau c. f(x, ) ialah fungsi ang pasangan urutna (x, x 2-2x) atau d. {(x, ) = x 2-2x } Cara penulisan dengan lambang ang sering dipakai adalah cara a atau b, karena lebih singkat bila dibandingkan dengan cara ang lain.

7 ESPA4112/MODUL Contoh 3.6: Fungsi ditunjukkan dengan cara grafik. Misalkan fungsi ang akan dilihat grafikna adalah = x 2-2x. Agar supaa grafikna dapat dilukis, maka harus dibuat dahulu daftar lajurna kemudian menentukan letak titik-titikna menurut pasangan urutna. Grafik dari fungsi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut. X Y 0 X (1, -1) Diagram 3.5 C. KONSTANTA DAN VARIABEL Suatu fungsi biasana terdiri dari konstanta dan variabel. Konstanta adalah jumlah ang nilaina tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstanta dapat dibedakan menjadi konstanta absolut dan konstanta parametrik atau parameter. Konstanta absolut, adalah jumlah ang nilaina tetap untuk segala macam masalah, misalna jumlah penduduk pada tahun tertentu untuk setiap

8 3.8 Matematika Ekonomi 1 masalah biasana dianggap sama. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1997 misalna sebanak 200 juta. Apabila kemudian ada ang membahas pendapatan perkapita negara Indonesia, atau kesehatan penduduk Indonesia pada tahun 1997, maka jumlah penduduk pada saat itu dianggap sebanak 200 juta orang. Konstanta parametrik atau parameter adalah jumlah ang mempunai nilai tetap pada suatu masalah akan tetapi dapat berubah pada masalah ang lain. Variabel adalah jumlah ang nilaina berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel ang nilaina menentukan nilai fungsi, atau himpunan ang anggotana adalah anggota pertama pasangan urut. Variabel tak bebas adalah variabel ang nilaina sama dengan nilai fungsi setelah variabel bebas ditentukan nilaina, atau himpunan ang anggotana adalah anggota kedua pasangan urut. Contoh 3.7: Pada persamaan garis lurus = a + bx, maka a dan b adalah konstanta, x adalah variabel bebas dan adalah variabel tak bebas. Contoh 3.8: Pada persamaan garis lurus x + = 1, angka 1 adalah konstanta absolut, a a b dan b adalah parameter, x dan adalah variabel. Dalam matematika murni, biasana huruf-huruf permulaan susunan alphabet seperti a, b, c, d, digunakan untuk lambang parameter, dan huruf-huruf akhir susunan alphabet seperti x,, z digunakan untuk lambang variabel. Akan tetapi pada matematika terapan banak pengecualian dari konvensi ini. Variabel seringkali diberi lambang huruf pertama dari namana. Contohna, p untuk harga (price), q untuk kuantitas (quantit), c untuk ongkos (cost), s untuk tabungan (saving) dan lain-lainna. Contoh 3.9: Fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan D = 10-3P ; D dan P adalah variabel. D menunjukkan demand (permintaan) dan P menunjukkan price (harga).

9 ESPA4112/MODUL Agar lebih mudah memahami apa ang telah dibahas di atas, maka berikut ini diberikan contoh-contoh penggunaanna. Contoh 3.10: Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(1,6), B(-3,4), C(-4,-5), D(3,-6) B A x C D Diagram 3.6 Contoh 3.11: Gambarkan titik-titik (0,0); (1,1); (2,2) dan (3,3). Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus.

10 3.10 Matematika Ekonomi x Diagram 3.7 Bila titik-titik tersebut di hubungkan satu sama lain, ternata titik-titik terletak pada sebuah garis lurus. Contoh 3.12: Hitung jarak antara titik-titik A(0,2) dan B(-3,-2) A O x B C AC = 4, BC = 3 Diagram 3.8 ABC adalah segitiga siku-siku. Kemudian dengan dalil Phtagoras dapat dihitung:

11 ESPA4112/MODUL AB = AC + BC AB = AB = 25 AB = 5 Jadi AB = 5 Contoh 3.13: Hitung jarak antara titik-titik (1,1) dan (3,4) 4 B A C 0 x 1 2 Diagram 3.9 AC = 2, BC = 3 ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan dalil Phtagoras dapat dihitung: 2 2 AB = AC + BC AB = AB = 13 Contoh 3.14: Apabila diketahui = f(x) = 4 + x - x 2 berapakah f(0), f(-2), f(3), f(-1)? f(0) = 4 + (0) - (0) 2 = 4

12 3.12 Matematika Ekonomi 1 f(-2) = 4 + (-2) - (-2) 2 = = -2 f(3) = (3) 2 = = - 2 f(-1) = 4 + (-1) - (-1) 2 = = 2 Contoh 3.15: Apabila = f(x) = 3x /(x 2-1) a. Berapakah f(0), f(-3), f(4)? b. Apakah nilai x = 1 dan x = -1 boleh dimasukkan ke dalam fungsi? 1) f(0) = 3.0 /(0 2-1) = 0 f(-3) = 3.(-3)/(-3) 2-1) = -9/8 f(4) = 3.4 /(4 2-1) = 12/15 2) Nilai x = 1 dan x = -1 tidak boleh dimasukkan ke dalam fungsi karena f(x) nilaina menjadi tak tentu. Contoh 3.16: Apabila = ax 2 + bx + c, di mana a, b dan c adalah konstanta. Berapakah f(0), f(1), f(a), f(a+b)? f(0) = a.0 + b.0 + c = c f(1) = a b.1 + c = a + b + c f(a) = a.a 2 + b.a + c = a 3 + ab + c f(a + b) = a(a + b) 2 + b (a + b) + c = a (a 2 + 2ab + b 2 ) + ab + b 2 + c = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ab + b 2 + c

13 ESPA4112/MODUL Contoh 3.17: Gambarkan fungsi = 3-2x untuk jangkau x = -3 sampai x = 4. X

14 3.14 Matematika Ekonomi 1 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Gambarkan titik-titik berikut ini pada sistem sumbu koordinat: A(4,3), B(3,-4), C(-3,-2), D(-4,2) 2) Gambarkan titik-titik (0,8), (2,4), (4,0) dan (6,-4)! Tunjukkan bahwa titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus. 3) Hitung jarak antara titik A(4,0) dan B(0,3)! 4) Hitung jarak antara titik A(-4,-3) dan B(-2,1)! 5) Apabila f(x) = 9 - x 2, berapakah f(0), f(2), f(-2), f(3). Petunjuk Jawaban Latihan 1) 3 A(4,3) D(-4,2) O 3 4 x C(-3,-2) -4 B(3,-4)

15 ESPA4112/MODUL ) x ) AB = ) AC = 2 BC = 4 = 25 = AB = AC + BC = = = 20 = 2 5 5) f (x) = 9 - x 2 f (0) = 9 f (2) = 5 f (-2) = 5 f (3) = 0 RANGKUMAN Sumbu koordinat adalah dua garis lurus ang saling berpotongan tegak lurus. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut dinamakan titik origin atau titik asal atau titik nol. Sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 kuadran.

16 3.16 Matematika Ekonomi 1 Suatu titik letakna ditentukan oleh koordinat X atau absis dan koordinat Y atau ordinat. Fungsi adalah himpunan pasangan urut dan dihubungkan sedemikian rupa sehingga tidak ada dua pasangan urut ang anggota pertamana sama. Fungsi dapat ditunjukkan dengan 3 cara aitu: cara daftar lajur, cara penulisan dengan lambang dan cara grafik. Konstan adalah jumlah ang nilaina tetap dalam suatu masalah tertentu. Konstan dapat dibedakan menjadi konstan absolut dan parameter. Variabel adalah jumlah ang nilaina berubah-ubah pada suatu masalah. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tak bebas. 1) Jarak antara titik A(2, 0) dan B(-1, 4) adalah. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2) Jarak antara titik P(0, 1) dan Q(5, 6) adalah. A. 2 5 B. 5 2 C. 5 D. 10 TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 3) Jika diketahui f(x) = x 2 3x, maka besarna f(2) adalah. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 4) Jika diketahui = f(x) = x x 2 + 5, maka besarna f(3) adalah. A. -1 B. -2 C. 1 D. 2

17 ESPA4112/MODUL ) Jika diketahui = f(x) = x 3 3x, maka besarna f(-2) adalah. A. -1 B. -2 C. 2 D. 14 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian ang belum dikuasai.

18 3.18 Matematika Ekonomi 1 Kegiatan Belajar 2 Fungsi Linear A. FUNGSI LINEAR Bentuk umum dari fungsi linear adalah: ax + b + c = 0 Di mana a, b dan c adalah konstan dengan ketentuan bahwa a dan b bersama-sama tidak bernilai nol. Persamaan ini disebut linear dalam x dan sedangkan grafik persamaan ini merupakan sebuah garis lurus. Koordinat x dan dari setiap titik (x, ) ang terletak pada garis lurus, harus memenuhi persamaan garis tersebut. Garis lurus ang ditarik melalui titik-titik ang koordinat - koordinatna memenuhi persamaan disebut grafik persamaan atau lokus persamaan. Cara ang termudah untuk menggambar suatu grafik garis lurus ang diketahui persamaanna adalah dengan mencari penggal - penggal garis sumbu ang dipotong oleh garis lurus tersebut. Panjang penggal garis sumbu di ukur dari titik origin sampai titik potong antara garis lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan suatu titik ang ditentukan oleh pasangan = 0 pada persamaan garis lurus tersebut. Begitu pula perpotongan garis lurus dengan sumbu merupakan suatu titik ang ditentukan oleh pasangan x = 0 pada persamaan garis tersebut. Bila kedua titik potong tersebut digambar, maka garis lurus ang dicari adalah garis ang melalui kedua titik tersebut. Contoh 3.18: Gambarkan garis dengan persamaan 3x + 4 = 12 Langkah pertama adalah mencari titik potong garis dengan sumbu x dan sumbu. Titik potong dengan sumbu x diperoleh bila = 0. Untuk = 0, maka 3x = 12 atau x = 4. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0). Titik potong dengan sumbu diperoleh bila x = 0 Untuk x = 0, maka 4 = 12 atau = 3. Jadi titik potong dengan sumbu adalah (0, 3). Kemudian kedua titik potong tersebut digambar dan dihubungkan dengan garis lurus.

19 ESPA4112/MODUL Garis lurus itu adalah garis ang persamaanna adalah 3x = 0 dan merupakan garis ang melalui titik (4, 0) dan (0, 3). 3 3x + 4 = x Diagram 3.11 B. CURAM Setiap garis lurus mempunai arah. Arah suatu garis lurus ditunjukkan oleh curam (gradien) ang didefinisikan sebagai tangens dari sudut ang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Sudut ang dibentuk oleh garis di titik A dengan sumbu x misalna dinamakan sudut. Jika pada garis tersebut ditentukan sebuah titik sembarang B dan kemudian melalui B dibuat garis tegak lurus ke sumbu x dan memotong sumbu x di titik C, maka curam garis dapat didefinisikan sebagai: BC m = tg α = AC B A α C x Diagram 3.12

20 3.20 Matematika Ekonomi 1 Untuk sudut ang besarna lebih dari 90 0, maka m bernilai negatif, sehingga: m = tg α = BC - AC Untuk garis ang sejajar dengan sumbu x, curamna sama dengan nol atau: m = tg 0 = 0 C. BENTUK DUA TITIK Persamaan suatu garis lurus dapat ditentukan bila diketahui koordinat dua titik ang terletak pada garis tersebut atau apabila diketahui curam garisna dan sebuah titik ang terletak di garis tersebut. Ada beberapa rumus ang dapat digunakan untuk mencari persamaan suatu garis lurus. Rumus mana ang harus digunakan, tentuna tergantung pada masalah ang sedang dihadapi. Garis lurus mempunai sifat bahwa curam garisna adalah konstan. Curam dapat ditentukan dengan menggunakan dua titik ang terletak pada sebuah garis lurus. Misalna ada dua buah titik sembarang A (x 1, 1 ) dan B (x 2, 2 ) ang terletak di garis lurus. (lihat gambar berikut ini). 2 B 1 A D α C E 0 x 1 x 2 x Diagram 3.13

21 ESPA4112/MODUL Curam garis tersebut adalah : m = tg α akan tetapi dengan menggunakan ilmu ukur, dapat dibuktikan bahwa BC BD = EC AD Padahal BD = 2-1 dan AD = x 2 - x 1, sehingga: 2-1 m = tg α = x2- x1 Selanjutna bila diambil sebuah titik sembarang (x,) dan bersama titik (x 1, 1 ), digunakan lagi untuk mencari curam garis, maka besarna curam garis adalah - 1 m = tg α = x - x1 Karena sifat suatu garis lurus mempunai curam ang konstan, maka itu berarti dua curam ang dicari tadi besarna pasti sama. Jadi x - x = x2- x1 atau dapat ditulis : = (x - x1) x - x 2 1 Persamaan di atas, merupakan persamaan garis lurus ang melalui titik A(x 1, 1 ) dan titik B(x 2, 2 ). Contoh 3.19: Cari persamaan garis ang melalui titik (3,2) dan titik (4,5). Misalkan (x 1, 1 ) = (3,2) dan (x 2, 2 ) = (4,5)

22 3.22 Matematika Ekonomi = (x - x1) x2- x = (x - 3) = 3(x -3) = 3x atau = 3x -7 (persamaan ang dicari) Untuk membuktikan bahwa garis tersebut melalui titik (3, 2) dan (4, 5), maka masukkan (3,2) ke dalam = 3x -7 2 = 3(3)-7 2 = 2 (terbukti) Masukkan (4,5) ke dalam = 3x -7 5 = 3 (4) -7 5 = = 5 (terbukti). Karena terbukti melalui (3,2) dan (4,5), maka persamaan = 3x-7 adalah persamaan ang dicari. D. BENTUK PENGGAL GARIS Untuk kasus tertentu di mana titik (x 1, 1 ) merupakan penggal x ang ditunjukkan oleh (a,0) dan titik (x 2, 2 ) merupakan penggal ang ditunjukkan oleh (0,b), maka persamaan garisna diperoleh dengan memasukkan x 1 = a, 1 = 0 dan x 2 = 0, 2 = b ke dalam persamaan : = (x - x1) x2- x1 b = (x - a) 0 - a b = (x - a) -a bx ab = + -a a bx = + b -a

23 ESPA4112/MODUL Jika ke dua ruas dibagi dengan b, maka : -x = + 1 b a atau x + = 1 a b dan grafikna adalah sebagai berikut : b x a + = 1 b 0 a x Diagram 3.14 Contoh 3.20: Cari persamaan garis ang mempunai penggal (0,5) dan (-4,0). Untuk a = -4 dan b = 5, nilaina dimasukkan ke x + = 1 a b x + = Ruas kiri dan kanan persamaan dikalikan 20-5x + 4 = 20 atau 5x = 0 Jadi persamaan 5x = 0 adalah persamaan ang dicari.

24 3.24 Matematika Ekonomi 1 E. BENTUK CURAM - TITIK Bentuk ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis lurus ang diketahui curam garisna dan titik (x 1, 1 ) ang terletak di garis tersebut. Telah dibicarakan bahwa curam garis ditunjukkan oleh persamaan: 2-1 m = x2- x1 maka persamaan: = (x - x1) x - x 2 1 dapat ditulis sebagai : - 1 = m(x - x 1 ) Contoh 3.21: Cari persamaan garis ang melalui titik (2,5) dan mempunai curam 3. Nilai m = 3 dan (x 1, 1 ) = (2,5) dimasukkan ke dalam persamaan: - 1 = m (x - x 1 ) - 5 = 3 (x - 2) = 3x = 3x - 1 Jadi persamaan = 3x -1 adalah persamaan ang dicari. Rumus-rumus di atas tidak dapat digunakan untuk mencari persamaan garis ang vertikal, karena curam garis vertikal besarna tak terhingga. Garis vertikal ang melalui titik (x 1, 1 ) mempunai persamaan: x = x 1 Berbeda dengan garis vertikal, untuk garis horisontal rumus-rumus ang dituliskan tadi masih dapat digunakan. Garis horisontal ang melalui titik (x 1, 1 )mempunai persamaan: = 1

25 ESPA4112/MODUL x = x 1 (x 1, 1 ) = 1 (x 1, 1 ) 0 x 0 x Diagram 3.15a Diagram 3.15b F. GARIS SEJAJAR, TEGAK LURUS DAN BERPOTONGAN Dua garis lurus ang terletak di satu bidang kemungkinanna dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan satu sama lain. Sifat 1: Dua garis lurus akan saling berimpit kalau persamaan garis ang satu merupakan kelipatan persamaan garis ang lain. Sifat 2: Dua garis akan sejajar bila curamna sama. Sifat 3: Dua garis lurus akan saling berpotongan tegak lurus apabila curam garis ang satu merupakan kebalikan negatif dari curam garis ang lain, atau perkalian kedua curamna sama dengan - 1. Jadi garis = m 1 x + b 1 dan garis = m 2 x + b 2 akan berpotongan tegak lurus bila dipenuhi sarat 1 m1 = - m atau m 1.m 2 = -1. Dua garis ang berpotongan, koordinat titik 2 potongna harus memenuhi kedua persamaan garis lurus. Koordinat titik potong ini diperoleh dengan mengerjakan kedua persamaan secara serempak.

26 3.26 Matematika Ekonomi 1 Contoh 3.22: Perpotongan antara garis 3x-4+6=0 dan garis x-2-3=0 diperoleh dengan mengeliminir x aitu mengalikan persamaan ke dua dengan -3 dan menambahkan dengan persamaan pertama. 3x = 0 x 1 3x = 0 x = 0 x-3-3x = = 0 2 = - 15 = - 7,5 Substitusi = -7,5 ke dalam persamaan pertama 3x -4 (-7,5) + 6 = 0 3x = 0 x = - 36 x = - 12 Jadi titik potongna adalah (-12, -7,5). Untuk menguji kebenaranna, koordinat titik potong ini dimasukkan ke dalam persamaan-persamaan tersebut. Bila memenuhi persamaan, maka artina titik potong tersebut merupakan titik ang dicari. Persamaan 1: 3 ( -12) -4 (-7,5) + 6 = = 0 0 = 0 Persamaan 2: (-7,5) -3 = = 0 0 = 0 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dari titik-titik berikut ini, tentukan mana ang terletak di garis 2x+-9=0

27 ESPA4112/MODUL A. ((0,5),8) B. ( 4,1) C. (5,2) D. (3,3) E. (9,-9) 2) Gambarkan garis-garis berikut ini : A. 4x -3 = 12 B. = 25-2x 3) Tentukan persamaan garis ang melalui titik-titik A. (2, 1) dan (4, 5) B. (0, 0) dan (3, 4) C. (-2, 3) dan (2, -3) D. (-5, 2) dan (4, 1) E. (0, 8) dan (5, 0) 4) Tentukan persamaan garis ang melalui titik (4, 3) dan mempunai curam : A. m = -2 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 6 5) Tunjukkan hubungan (apakah berpotongan, berimpit atau sejajar) antara garis 3x = 0 dengan garis A. = 3 4 x - 2 B. 2x = 0 C. = 5-3x D. 6 = 8x ) Tentukan koordinat titik potong garis = 50-2x dengan: A. = 3x B. = 1 3 x + 15 C. x = 0 D. 2 + x = 160

28 3.28 Matematika Ekonomi 1 Petunjuk Jawaban Latihan 1) Garis 2x = 0 atau = 9-2x A. untuk x = 0,5 maka = 8. Jadi ((0,5),8) terletak pada garis B. untuk x = 4 maka = 1. Jadi (4,1) terletak pada garis C. untuk x = 5 maka = -1. Jadi (5,2) tidak terletak pada garis D. untuk x = 3 maka = 3. Jadi (3,3) terletak pada garis E. untuk x = 9 maka = -9. Jadi (9,-9) terletak pada garis 2) A. Garis 4x - 3 = 12 Untuk = 0, maka x = 3 x = 0, maka = x -4 B. Garis = 25-2x Untuk = 0, maka x = 12,5 x = 0, maka = ,5 x

29 ESPA4112/MODUL ) A. Y = 2x x = 0 atau = x 3 3 = x 2 x + 9 = 13 x + = 1 atau 8x + 5 = ) Jika diketahui = f(x) = x x 2 + 5, maka besarna f(3) adalah. A. = 11-2x B. = 3 C. = x - 1 D. = 6x ) Jika diketahui = f(x) = x 3 3x, maka besarna f(-2) adalah. A. -1 B. -2 C. 2 D. 14 RANGKUMAN Fungsi Linier mempunai bentuk umum: ax + b + c = 0 di mana a dan b secara bersama-sama tidak bernilai nol. Grafik dari fungsi linier merupakan garis lurus. Setiap garis lurus mempunai arah ang ditunjukkan oleh curam garis dan didefinisikan sebagai tangens dari sudut ang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x. Persamaan suatu garis lurus dapat dicari apabila diketahui koordinat dua titik ang berada di garis tersebut atau bila diketahui curam garisna dan sebuah titik. Persamaan garis ang melalui titik A(x 1, 1 ) dan titik B(x 2, 2 ) adalah: = (x- x1). Persamaan garis ang melalui A(a,0) dan B(0,b) x2- x1 adalah persamaan: x + =1. Persamaan garis lurus ang curamna m dan a b melalui titik (x 1, 1 ) adalah persamaan: - 1 = m (x - x 1 ).

30 3.30 Matematika Ekonomi 1 Dua buah garis lurus aitu = m 1 x + a dan = m 2 x + b akan: berimpit bila m 1 = m 2 dan a = b sejajar bila m 1 = m 2 berpotongan tegak lurus bila m 1. m 2 = -1 berpotongan bila m 1 m 2 TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 1) Garis di samping ini persamaanna adalah. A x = 20 B. 5x + 4 = 20 5 C. 5x 4 = 20 D. 5x 4 = -20 O 4 x 2) Persamaan garis ang melalui titik (-4, 6) dan mempunai curam = adalah. A. x = 0 B. 3x 6 = 0 C. 3x + 14 = 0 D. x = ) Garis 2 5 = 1 x A. = 2x + 4 B. 2x = 0 C. 5 4x = 20 2 D. 5 = 2x + 3 akan berpotongan tegak lurus dengan garis. 4) Persamaan garis ang melalui titik (2, -5) dan sejajar dengan garis x + = 0 adalah A. 5 = 12x 49 B. 3 10x + 4 = 0

31 ESPA4112/MODUL C. x = 3 12 D. 12 5x + 1 = 0 5) Koordinat titik potong antara garis 5x = 0 dengan garis x= 1 adalah. 3 2 A. (3, -2) B. (-3, 2) C. (-2, 3) D. (2, 3) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian ang belum dikuasai.

32 3.32 Matematika Ekonomi 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) B 3) B 4) A 5) B Tes Formatif 2 1) B 2) D 3) C 4) A 5) D

33 ESPA4112/MODUL Daftar Pustaka Baldani, Jeffre, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical Economics, The Drden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductor Mathematical Analsis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Ho, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ra Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesle Publisher Limited. Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesle Publishing Compan. Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analsis, Irwin McGraw-Hill Weber, Jean E., (1982). Mathematical Analsis: Business and Economic Applications, New York: Harper & Row. Kembali ke Daftar Isi