A Y A T M AT E M DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 RELASI DAN FUNGSI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "A Y A T M AT E M DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 RELASI DAN FUNGSI"

Transkripsi

1 I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 009 RELASI DAN FUNGSI GY A Y O M AT E M A T AK A R DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 009 TM Quality System TK KA TI PP PP Oleh: Drs. MARKABAN, M.Si. Quality Endorsed Company ISO 900: 000 Lic no:qec 396 SAI Global

2 KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-nya, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini digunakan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang Lanjut Tahun 009, pola 0 jam yang diselenggarakan oleh PPPPTK Matematika Yogyakarta. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti. Kami mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah berpartisipasi dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini. Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk penyempurnaan bahan ajar ini di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 3 YK-BS Yogyakarta 558. Telepon (074) 8877, 88575, Fa. (074) Kepala, Kasman Sulyono NIP

3 Daftar Isi Halaman Kata Pengantar... i Daftar Isi... ii Bab I Pendahuluan A Latar Belakang... B. Tujuan... C.. Ruang Lingkup... Bab II Aljabar Fungsi, Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers A. Aljabar Fungsi.... Jumlah dan Selisih Dua Fungsi.... Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi... B. Komposisi Fungsi Menentukan Fungsi Komposisi Sifat Sifat Komposisi Fungsi... 5 C. Fungsi Invers Invers suatu Fungsi Fungsi Invers Menentukan Rumus Fungsi Invers Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi... 8 Latihan... 9 Bab III Fungsi Pecah dan Grafiknya A. Pengertian Fungsi Pecah... 0 B. Nilai Nol Fungsi Pecah... 0 C. Grafik Fungsi Pecah... Latihan... 0 Bab IV Penerapan Fungsi A. Penerapan Fungsi dalam Ekonomi.... Fungsi Permintaan.... Fungsi Penawaran... ii

4 3. Keseimbangan Pasar Analisis Pulang Pokok... 4 B. Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari... 6 Latihan Daftar Pustaka iii

5 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita perhatikan bahwa gejala-gejala di alam semesta ini pada dasarnya akibat dari gejala lainnya yang saling pengaruh mempengaruhi, misalnya jarak yang ditempuh oleh suatu kendaraan dipengaruhi oleh waktu tempuhnya, demand konsumen dipengaruhi oleh quantity barang dan price (harga) yang ada dipasaran, volum suatu benda yang berbentuk balok besarnya tergantung panjang, lebar dan tinggi benda tersebut dan sebagainya. Gejala-gejala dimana variabel dari gejala-gejala satu sama lainnya yang saling pengaruh mempengaruhi itu dapat diukur dan dipelajari dalam matematika yaitu pada relasi dan fungsi, seperti jarak dan waktu dapat diiukur, sehinnga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu. Fungsi banyak diterapkan dalam berbagai bidang misalnya: untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi dan bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel. Ruang lingkup fungsi telah dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk memecahkan permasalahan pada kehidupan nyata sehari-hari. Oleh karena itu guru Matematika harus menguasai materi ini dan hendaknya mampu mengembangkan pembelajaran matematika di kelas dan memberi kesempatan pada siswa untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari B. Tujuan Setelah mengikuti diklat peserta diharapkan dapat semakin memantapkan penguasaan materi sehingga mampu mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari, dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi. C. Ruang Lingkup Bahan ajar ini membahas lanjutan dari bahan relasi fungsi sebelumnya yang meliputi: operasi aljabar fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, fungsi pecah dan grafiknya serta penerapan fungsi dalam bidang ekonomi maupun kehidupan sehari-hari.

6 BAB II ALJABAR FUNGSI, KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS A. Aljabar Fungsi. Jumlah dan Selisih Dua Fungsi Apabila f dan g masing-masing adalah fungsi dengan domain D f dan D g dan petapeta f() dan g() ada pada kedua domain tersebut maka : ). Jumlah fungsi f dan g ditulis dengan simbol f + g adalah suatu fungsi : f + g : f() + g() ). Selisih fungsi f dan g ditulis dengan simbol f - g adalah suatu fungsi : f - g : f() - g() Adapun domain dari f + g dan f g adalah irisan dari D f dan D g (D f D g ) Contoh : Diketahui fungsi f dan g masing-masing pada R yang didefinisikan dengan f() = dan g() = +3. Tentukan : a). f + g b). f g c). prapeta dari untuk fungsi f g Jawab: a). f + g : f() + g() = + ( + 3 ) = Jadi ( f + g )() = b). f - g : f() - g() = - ( + 3 ) = Jadi ( f - g )() = c). ( f - g )() = - 3 = - 5 = 0 ( + 3 )( 3 ) = 0 = - 3 atau = 5 Jadi prapeta dari untuk fungsi f g adalah = - 3 atau = 5. Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi Apabila f dan g masing-masing adalah fungsi dengan domain D f dan D g dan petapeta f() dan g() ada pada kedua domain tersebut maka : ). Hasil kali fungsi f dan g ditulis dengan f g didefinisikan dengan : f g : f() g()

7 ). Hasil bagi fungsi f dan g ditulis dengan g f didefinisikan dengan : f g f() : dengan g() 0 g() Adapun domain dari f g dan g f adalah irisan dari D f dan D g (D f D g ) Contoh : Diketahui fungsi f dan g masing-masing pada R yang ditentukan oleh f()=+3 dan g() = -. Tentukan: a). rumus fungsi f g dan ( f g )() b). rumus fungsi g f dan domain g f Jawab : a). f g : f() g() = ( + 3 )( ) = + 3 Jadi rumus fungsi ( f g )() = + 3 dan ( f g )() = 7 b). g f f() + 3 : = g() - f + 3 Jadi rumus fungsi () = g - dan domain dari fungsi g f adalah D f D g = R { = 0 } = { R, } B. Fungsi Komposisi. Menentukan Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke dalam himpunan B, dan fungsi g memetakan himpunan B ke dalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini :.. y=f(). g(y)=g(f()) A f B g C g ο f Untuk A maka petanya f() berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi g, oleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f () di bawah pemetaan g yaitu g(f()). Dengan 3

8 demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen A dengan tepat satu elemen g(f()) C. Fungsi baru inilah disebut fungsi komposisi dari f dan g, yang dinyatakan dengan notasi g ο f (dibaca g bundaran f ). Secara singkat, jika f : A B, dan g : B C maka kita definisikan suatu fungsi komposisi g ο f : A C sedemikian hingga ( g ο f ) ( ) = g ( f ( ) ). Perhatikan bahwa fungsi komposisi g ο f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu, baru kemudian mengerjakan g... R f. A f g B Dengan memperhatikan definisi dari fungsi komposisi di atas, dua fungsi yaitu f : A B, dan g : C D dapat diperoleh fungsi komposisi gοf apabila daerah hasil dari fungsi f atau R f merupakan himpunan C bagian dari C( domain g atau D g ). Demikian agar diperoleh fungsi komposisi f ο g maka syaratnya daerah hasil dari fungsi g yakni R g haruslah menjadi himpunan bagian dari domain f, yaitu R g A Contoh : Misalkan f : A B dan g : B C yang didefinisikan sebagai berikut : D a b c y z r s t f g A B C (gοf) : A C ditentukan oleh : (gοf) (a) = g (f(a)) = g () = s (gοf) (b) = g (f(b)) = g (y) = r (gοf) (c) = g (f(c)) = g (z) = s Contoh Fungsi f : R R, g : R R dan h: R R yang didefinisikan oleh rumus f () = +, g () = 3 dan h() = - 3 4

9 Tentukan : a) (gοf) () dan (fοgοh) () b) rumus untuk (gοf), (fοg) dan (fοgοh) Penyelesaian : a. (gοf) () = g (f()) = g ( + ) = g (3) = 3 (3 ) = 7 (fοgοh) () = f (g(h())) = f (g(-)) = f (3) = 3 + = 5 b. (gοf) : (gοf) () = g (f()) = g ( + ) = 3 ( + ) = Sehingga (gοf) : (fοg) : (fοg) () = f (g()) = f (3 ) = 3 + Sehingga (fοg) : 3 + (fοgοh) : (fοgοh)() = f (g(h())) Sehingga (fοgοh) : Contoh 3: = f (g( - 3)) = f ( 3( 3) = f ( ) = Fungsi f : R R dan g : {, R) R didefinisikan oleh rumus f() =+ dan g() =. Selidiki apakah gοf ada, jika tidak ada tentukan domain dari f dan g agar diperoleh gοf Penyelesaian : Karena daerah hasil dari fungsi f atau R f tidak merupakan himpunan bagian dari domain g, yaitu R f D g sehingga gοf tidak dapat didefinisikan, misalnya : f() = 4 dan 4 D g, tetapi f(-) = 0 dan 0 D g..agar diperoleh gοf maka R f D g Dari fungsi g() = dengan domain D g ={, R ) sedangkan kita peroleh (gοf) () = g (f()) = g( + ) = ( + ) = +. Dengan demikian domain dari f, yaitu D f diperoleh dari Jadi, D f = { -, R ). Sifat-sifat Komposisi Fungsi Dua buah fungsi f dan g dikatakan sama ( f = g ) apabila kedua fungsi tersebut mempunyai domain yang sama. Dan setiap elemen di domain a D diperoleh peta yang sama dari kedua fungsi, yaitu f(a) = g(a). Dari definisi kesamaan fungsi didapat sifatsifat komposisi fungsi sebagai berikut : 5

10 ). Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif (contoh b di atas bahwa gοf fοg ) ). Komposisi fungsi bersifat asosiatif fο(gοh) = (fοg)οh 3). Fungsi I yang memetakan I : disebut fungsi identitas atau fungsi netral sehingga Iοf = fοi = f 4). Jika untuk fungsi f : f() dan fungsi g : g() yang terdefinisi pada suatu domain sedemikian sehingga diperoleh fοg = gοf = I dengan I fungsi identitas maka g dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari f ditulis dengan notasi f -. Jadi fο f - = f - οf = I C. Fungsi Invers. Invers Suatu Fungsi Misalkan f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dan misalkan untuk suatu A petanya adalah f() = y B, maka invers dari y ( dinyatakan dengan notasi f - (y)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki y B sebagai petanya. Secara singkat, jika f : A B sedemikian hingga f : f () maka yang dimaksud dengan invers fungsi f adalah : f - (y) = { εa,f () = y} Contoh : Misalkan f : A B didefinisikan sebagaimana diagram panah berikut : maka : a b y f - () = b f - (y) = a f - (z) = c c z A f B. Fungsi Invers Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B. Pada umumnya f - (y) untuk suatu y B dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada. Jika f : A B adalah suatu fungsi yang bijektif, maka untuk setiap y B, invers f - (y) akan terdiri dari sebuah elemen tunggal dalam A. Oleh sebab itu f - adalah suatu fungsi dari B ke dalam A, dan kita tulis fungsi f - : B A. Disini fungsi f - disebut fungsi invers dari f. Dengan demikian suatu fungsi f : A B akan diperoleh fungsi invers f - 6

11 : B A hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif dan f menentukan setiap A ke y B, dan f - menentukan setiap y B ke A, sehingga : f() = y f - (y) = 3. Menentukan rumus fungsi invers Telah diuraikan sebelumnya bahwa jika f dan f - adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka f() = y f - (y) = Perhatikan gambar sebagai berikut : A =f - (y) f B y=f() f - Invers fungsi akan merupakan fungsi jika dipenuhi syarat-syarat sebagai fungsi. Untuk menentukan rumus fungsi invers dari fungsi f dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : - Memisalkan f() = y - Menyatakan dalam y - Menentukan rumus dari f - () dengan mengingat f - (y) = dan mengganti variable y dengan Contoh : ). Diketahui suatu fungsi f() = a + b, tentukan fungsi inversnya! Penyelesaian : Misal : f() = y y = a + b a = y b = y b a f - (y) = y b a Jadi, jika f() = a + b, maka f - () = b a ). Jika f() = a + b c + d ; d c maka f - () = d + b c a ; c a ( buktikan! ) 7

12 4. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g ditulis h = gοf maka invers dari fungsi h adalah fungsi invers dari fungsi komposisi h dapat ditulis dengan notasi h - = (gοf) -. Untuk menentukan fungsi (gοf) - jika masing-masing fungsi f dan g diketahui, salah satu jalan yang dapat ditempuh dengan menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi gοf kemudian menetukan fungsi inversnya. Dapat juga karena dari sifat komposisi fungsi bahwa (gοf) - adalah fungsi yang jika dikomposisikan dengan gοf akan diperoleh fungsi identitas I() =, yaitu (gοf) - ο (gοf) = I sehinga akan kita dapatkan suatu sifat bahwa: (gοf) - = f - ο g - ( Buktikan! ) Contoh : Jika f dan g adalah fungsi pada R yang didefinisikan f()= + 3 dan g() =. Tentukan : a). f - dan g - Penyelesaian : b). g - ο f - dan f - ο g - c). (gοf) - dan (fοg) - a). f - () = 3 dan g - () = + b). ( g - ο f - )() = g - (f - ()) = g - ( 3) = ( - 3) + - = (f - ο g - )() = f - (g - ()) = f ( ) = - 3 = 5 c). ( gο f)() = g(f()) = g( + 3) = ( + 3 ) = + 5 Misalkan : ( gο f)() = y + 5 = y = y 5 = y - 5 ( gο f) - () = - 5 Jadi ( gο f) () = (f ο g)() = f(g()) = f( - ) = ( - ) + 3 = + 8

13 Misalkan (f ο g)() = y + = y = y Jadi ( fο g) - () = - = y - ( fο g) - () = - Latihan. Jika fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real, yang didefinisikan f()=-, dan g() = + 3 maka tentukan : f a. Rumus fungsi f + g, f g, f g dan g b. Derah hasil dari f g f c. Daerah asal dari g. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = 3 dan g() = + a. Tentukan ( gοf )() dan ( fοg )() b. Tentukan rumus fungsi ( gοf )() dan ( fοg )() c. Jika ( gοf )() =, tentukan! d. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari gοf dan fοg 3. Fungsi f, g, h adalah terdefinisi pada bilangan real, yang didefinisikan f()=+, g() = 3 dan h() = a. Tentukan rumus fungsi ( gοf )() dan ( fοg )() b. Tentukan rumus fungsi ( gοf ) - () dan ( fοg ) - (). c. Tentukan rumus fungsi komposisi ( fοgοh )() dan ( hοgοf )() d. Carilah sebagai peta dari ( fοgοh )() = 7 dan ( hοgοf )() = 9 4. Tentukan fungsi invers dari : a ). f() = 3 +5 c). f() = b). f() = d). f() = + 5. Diketahui f() =, Tentukan nilai a, jika f (a) = -4 9

14 BAB III FUNGSI PECAH DAN GRAFIKNYA A. Pengertian Fungsi Pecah Selain dikenal fungsi linear dan fungsi kuadrat yang telah dibicarakan, dikenal pula jenis fungsi yang disebut fungsi pecah. Fungsi pecah kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi rasional (rational functions). Fungsi pecah dapat didefinisikan sebagai berikut. P() Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh f () = dengan P() dan Q () Q() yang merupakan suku banyak dalam dan Q() 0 pada domainnya Misalnya, f() =, f() = dan f() = B. Nilai Nol Fungsi Pecah P() Jika diketahui fungsi f() =, maka nilai -nilai yang menyebabkan f()= 0 Q() disebut nilai nol dari fungsi f(). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika f() = 0, maka juga P()= 0. Jadi, untuk mencari nilai nol P() fungsi f()=, cukup dicari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P()= 0. Q() Namun perlu diingat bahwa nilai yang menyebabkan P() = 0 belum tentu merupakan nilai nol fungsi f(). Ini terjadi jika nilai tersebut ternyata juga membuat Q()= 0. Untuk yang bersama-sama membuat P() dan Q() bernilai nol menyebabkan f() + mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada f(), nilai = bukan nilai nol + 3 dari fungsi f() sekalipun untuk P() = + - berlaku P()= 0. Ini karena juga berlaku Q()= 0, sehingga f() bernilai tak tentu. Tentu saja tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol. Ini terjadi kalau P() tidak mungkin berharga nol. Seperti diketahui, nilai nol suatu fungsi berkaitan dengan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Jadi, jika = a adalah nilai nol dari fungsi f(), maka (a,0) adalah koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. 0

15 Contoh : Diketahui fungsi f() =. Nilai nol dari fungsi tersebut dapat dicari sebagai 3 5 berikut = 0 ( +) ( + 3) = 0 = - atau = -3 Jadi, nilai nol dari fungsi tersebut adalah = - dan = -3 dan grafik fungsi f() memotong sumbu X di titik (-,0) dan (-3,0). P() Jika pada fungsi f() =, dan P() dalam bentuk a + b + c = 0. Ini berarti ada Q() atau tidaknya nilai nol fungsi f() tergantung kepada diskriminan dari persamaan kuadrat. Contoh : Diketahui fungsi f() =. Pada fungsi itu, nilai diskriminan dari persamaan = 0 adalah D = 4 (4)()(8) = 6 3 = -6 < Karena D < 0, maka f() = tidak mempunyai nilai nol. Ini berarti juga 3 5 grafik f() tidak memotong sumbu X. C. Grafik Fungsi Pecah Di sini akan dibahas grafik fungsi pecah yang berbentuk :. a + b f() = p + q dengan p 0. a + b f() = p + q + r dengan p 0 3. a + b + c f() = p + q dengan a 0 dan p 0 4. a + b + c f() = p + q + r dengan a 0 dan p 0 Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi pecah : Menentukan titik-titik potong dengan sumbu dan sumbu y Menentukan asimptot datar, tegak dan miring

16 Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak di atas sumbu ) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu ) Menentukan nilai ekstrim fungsi (hanya untuk fungsi pecah bentuk no., 3 dan 4) Menentukan titik-titik bantu (kalau perlu) Mensketsa kurvanya Jenis-jenis asimptot fungsi pecah : Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nol Asimptot datar, diperoleh bila ~ Asimptot miring, hanya untuk jenis fumgsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya (khusus fungsi rasional bentuk 3). Fungsi f () = a p + + b q Contoh Sketsalah grafik f () = Langkah-langkah mensketsa :. Titik potong sumbu dan sumbu y tidak ada. Asimptot-asimptot : tegak : garis = 0 datar : untuk ~ diperoleh y = f() = 0 Jadi garis y = 0 sebagai asimptot datar 3. Titik-titik bantu : y Sketsa grafik

17 Contoh 3 + Sketsalah grafik f () = + Langkah-langkah:. titik-titik potong dengan sumbu, syarat f() = y = = 0 = titik potong (, 0) 3 sumbu y, syarat = 0 f() = y = titik potong (0,). asimptot tegak : + = 0 garis = - sebagai asimptot tegak 3 + (3 + ) 3 + datar : f () = = = untuk ~ maka 0 dan Jadi asimptot datar: garis y = = titik-titik bantu y 4 3, Sketsa grafik Y ( - 3,o) (0,) X y = 3 = - 3

18 Catatan : asimptot datar grafik a + b y = adalah p + q y = a p grafik y = a dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik satuan ke kanan grafik y = a + dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik satuan ke atas a + b. Fungsi f() = p + q + r Contoh : Sketsalah grafik f () = Langkah-langkah :. titik-titik potong dengan sumbu adalah (0,0) sumbu y adalah (0,0). asimptot-asimptot : tegak, syarat penyebut sama dengan nol = 0 ( ) ( + ) = 0 = atau = - Jadi garis = - dan = sebagai asimptot tegak * datar f () ( ) = = y = sebanyak a y = sebanyak a Jika ~ maka 0. Jadi asimptot datar adalah garis y = 0 atau sumbu 3. asimtot tegak dan titik potong dengan sumbu membagi sumbu menjadi 4 interval yaitu : < -, - < < 0, 0 < < dan > tanda-tanda f () = pada tiap interval adalah sebagai berikut : Tanda + menyatakan grafik terletak di atas sumbu pada interval itu Tanda - menyatakan grafik terletak di bawah sumbu pada interval itu 4

19 4. Nilai ekstrim fungsi Misalkan y = () mempunyai nilai ekstrim, maka : p = p p p = 0 p + (-p ) p = 0 syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar D 0 sehingga : (-p ) 4p(-p) 0 p + p + 8p 0 9p + p + 0 Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua p R ( karena bentuk 9p + p + adalah definit positif). Dengan demikian titik ekstrim tidak ada. Catatan : Nilai ektrim dapat juga ditentukan dengan menggunakan f () = 0 5. Titik titik Bantu y Sketsa grafik y = Contoh : Sketsa grafik f () = Langkah langkah : = - = Titik potong dengan sumbu dan sumbu y adalah (0,0). Asimptot asimptot : tegak, diperoleh bila = 0 ( + 4) ( + ) = 0 = -4 atau = - asimptot tegak adalah garis = -4 dan = - 5

20 3 3 3 ( ) datar, f () = y = = = ( ) untuk ~ maka 0 Sehingga y = = = Jadi asimptot datar garis y = 0 3. Sumbu dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu dan asimptot tegak. Tentukan tanda f () untuk masing-masing interval Nilai ekstrim 3 Misal f () mempunyai nilai ekstrim p. Dengan demikian p = p + 5p + 4p 3 = 0 p + (5p 3) + 4p = 0 Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar D 0 sehingga : (5p 3) 4p (4p) 0 5p 30p + 9 6p p = y 3 atau p = y 3 9p 30p p 0p (3p ) (p 3) 0 Ini menujukkan nilai ekstrim minimum y = 3 dan nilai ekstrim maksimum y = 3 Untuk menentukan titik maksimum dan minimum, subtitusi nilai ekstrim maksimum dan minimum ke dalam f (), diperoleh: titik ekstrim minimum ( -, 3 ) dan titik ekstrim maksimum (, 3 ) 5. Titik-titik bantu y

21 6. Sketsa grafik (-, 3) = -4 = - Grafik y = a + b selalu mempunyai asimptot datar sumbu p + q + r 3. Fungsi f () = a + b + c p + q 4 Contoh : Sketsalah grafik f () = Langkah langkah :. titik potong sumbu adalah (-, 0) dan (, 0) titik potong sumbu y adalah (0,4). asimptot asimtot : asimptot datar tidak ada * tegak : = 0 =, Garis = sebagai asimptot tegak * miring : diperoleh dari hasil bagi pembilang terhadap penyebut Dengan demikian f () = y = 4 = Bila menjadi sangat besar maka akan mendekati 0. Ini berarti y mendekati y = + yang merupakan asimptot miring 7

22 3. Sumbu dibagi menjadi 4 interval oleh titik titik potong dengan sumbu dan asimptot tegak. Tanda nilai f () untuk interval interval tersebut : Nilai ekstrim Misal y = p diperoleh p = 4 p p = 4 p + p 4 = 0 Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar akar D 0, sehingga : p 4 (4p 4) 0 p 4p Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah setiap p R (karena bentuk di atas adalah definit positif) Jadi tidak ada nilai ekstrim 5. Titik titik bantu : y Sketsa grafik Y y = + (0,4) (-,0) (,0) X = 4. Fungsi f () = a + b + c p + q + r Contoh :Sketsalah grafik f () =

23 Langkah langkah :. Titik potong sumbu dan sumbu y adalah (0,0). Asimptot asimptot tegak : tidak ada datar : f () = y = untuk ~ maka 0 Jadi garis y = = merupakan asimptot datar f () selalu bertanda positif untuk < 0 maupun > 0 4. Nilai ekstrim Misal f () = y mempunyai nilai ekstrim p. Jadi p = 3p + p 6 = 0 (3p 6) + p = Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar akar D 0 Jadi -4(3p 6)p 0 -p + 4p 0 p (-p + ) Jadi 0 p atau 0 y Ini menyatakan nilai y terletak dalam interval 0 sampai. Nilai y minimum adalah 0. titik minimum (0,0). Grafik tidak memiliki nilai maksimum 5. Titik titik bantu y Sketsa grafik : 9

24 Latihan. Diketahui f() = + 5 a. Carilah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y, asimtot mendatar, dan asimtot tegaknya. b. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai titik balik. c. Sketsalah grafiknya.. Tentukan asimtot-asimtot grafik fungsi f() = (0,), (3,), dan (4,3). a + b, jika grafiknya melalui titik-titik c + d a + b 3. Grafik y = melalui titik (-,4) dan mempunyai asimtot-asimtot = - dan c + d y =. Tentukan rumus fungsinya. 4. Diketahui fungsi f() =. Tentukan : a. titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat b. asimtot-asimtotnya c. titik balik dan jenisnya d. sketsalah grafiknya 5. Seperti soal no 4 untuk fungsi f() =. 3 a + b + c 6. Grafik y = memotong sumbu X di titik-titik (-3,0) dan (,0) dan p + q + r mempunyai asimtot garis-garis =, = - 4 dan y =. Tentukan rumus fungsinya. a 7. Grafik y = + b + c memotong sumbu-sumbu koordinat di titik-titik (3,0), (-5,0) p + q dan (0,5). Grafik fungsinya mempunyai asimtot garis = -3. Tentukan rumus fungsinya. + p + q 8. Fungsi f() = mempunyai nilai balik 3 dan 7. Hitung p dan q. a + b + c 9. Grafik f() = p + q + r hanya mempunyai asimtot tegak = -, melalui titik (-3,-) dan mempunyai titik balik (,). Tentukan rumus fungsi itu. 0

25 BAB IV PENERAPAN FUNGSI A. Penerapan Fungsi dalam Ekonomi Dalam bidang ekonomi banyak pembicaraan tentang penerapan fungsi antara lain fungsi permintaan dan penawaran, keseimbangan pasar, analisis pulang pokok dan sebagainya.. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan adalah fungsi yang menyatakan hubungan antara harga (price) dengan jumlah barang/jasa (quantity) yang diminta/dibeli dengan asumsi variabel bebas lainnya konstan ( ceteris paribus). Hubungan fungsional antara harga dan kwantitas ini oleh Antoine Augustine Cournot ( ) seorang ahli matematika ekonomi dinyatakan dalam bentuk = g(p) dimana menunjukkan kwantita yang ditempatkan pada sumbu mendatar dan p menunjukkan harga yang ditempatkan pada sumbu vertikal. Kemudian hubungan ini oleh A. Marshall ( ) ahli ekonomi sering dinyatakan dalam bentuk p=f() yang merupakan fungsi kebalikan dari = g(p). Fungsi permintaan berasal dari hukum permintaan yang menyatakan bahwa: - Jika harga suatu barang naik maka permintaan akan turun - Jika harga suatu barang turun maka permintaan akan naik. Perhatikan gambar grafik fungsi permintaan berikut : P (0,b) P = a X + b, a > 0 b (, 0) a X Dari gambar tersebut, maka ciri-ciri fungsi permintaan adalah : ). Variabel dan p harus positif dan paling kecil sama dengan nol ). Fungsi berkorespodensi satu-satu 3). Fungsi monoton turun dari kiri ke kanan Contoh : Diketahui fungsi permintaan terhadap suatu barang komoditi p = Tentukan batas-batas nilai dan p sehingga memenuhi syarat fungsi permintaan.

26 Penyelesaian : Variabel dan p harus positif dan paling kecil sama dengan nol, sehingga: Untuk = 0 p = = 0 Untuk p = 0 0 = = 0 = Jadi batas-batas nilai dan p adalah : 0 dan 0 p 0. Fungsi penawaran Fungsi penawaran adalah fungsi yang menyatakan hubungan antara harga dari suatu barang dengan jumlah barang tersebut yang ditawarkan. Fungsi penawaran berasal dari hukum penawaran yang menyatakan bahwa: - Jika harga suatu barang naik maka jumlah barang yang ditawarkan akan meningkat - Jika harga suatu barang turun maka jumlah barang yang ditawarkan akan menurun P P= a X + b, a > 0 (0,b) X Contoh : Gambarlah kurva fungsi penawaran yang dirumuskan p = Penyelesaian : Dengan membuat tabel dan menghubungkan titik-titik diperoleh grafik sebagai berikut : P p = (3,8) p (,) (0,3) 0 3 X

27 3. Keseimbangan pasar Yang dimaksud pasar disini adalah pertemuan ( baik langsung maupun tidak langsung melalui komunikasi ) antara pembeli dan penjual. Keseimbangan pasar terjadi jika harga yang diminta sama dengan harga yang ditawarkan, atau jumlah barang yang diminta pasar sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. P E P E D S D: fungsi permintaan (demand ) P = f() S: fungsi penawaran (supply ) P = g() X E X Titik keseimbangan pasar (E) merupakan titik perpotongan antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran. P E adalah harga pada keseimbangan pasar P E adalah harga pada keseimbangan pasar Contoh : Diketahui suatu fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing-masing adalah P + = 09, dan P = + 7dimana P adalah harga dan adalah kuantitas barang. Tentukan harga dan kuantitas barang dalam keseimbangan pasar? Penyelesaian: Keseimbangan pasar adalah nilai positip P dan yang memenuhi persamaan permintaan dan penawaran. P + = 09...(i) P = (ii) Substitusikan nilai P dari persamaan (ii) ke dalam persamaan (i) diperoleh : ( + 7) + = = = 0 ( + ) ( 5) = 0 = - ( tidak mungkin )atau = 5 Dengan mensubstitusikan = 5 ke dalam persamaan (ii) kita peroleh P =. Jadi keseimbangan harga ialah dan kuantitas ialah 5. 3

28 4. Analisis Pulang Pokok Fungsi dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara biaya, pendapatan dan keuntungan didalam suatu perusahaan. Setiap pengusaha harus dapat membuat keputusan yang dapat menguntungkan usahanya, sehingga ia dapat membuat suatu model yang menggambarkan hubungan antara biaya, pendapatan dan keuntungan tersebut. Oleh karena itu pengusaha selalu menganalisis hubungan jumlah biaya produksi yang dikeluarkan, pendapatan hasil penjualan barang produksi dan keuntungan yang diperolehnya. Analisis hubungan antara biaya produksi, pendapatan dan keuntungan dikenal dengan analisis pulang pokok, yaitu mempelajari berapa barang yang harus dijual perusahaan tersebut tidak untung dan tidak rugi, dikatakan pulang pokok ( breakeven ). Jika fungsi biaya adalah C(), fungsi pendapatan adalah R(), maka keuntungannya π() dirumuskan : π() = R() C() dimana hasil penjualan ( R ) = harga per unit kali jumlah unit yang terjual atau R = p. dan biaya total (C) pada umumnya dipisahkan menjadi dua kelompok yaitu biaya tetap ( F ) dan biaya variabel, yaitu: Biaya total = Biaya Tetap + Biaya Variabel Untuk lebih jelasnya hubungan antara biaya, pendapatan dan keuntungan dapat kita gambarkan sebagai berikut : Hasil penjualan dan biaya Titik pulang pokok Pendapatan Keuntungan Biaya total Biaya variabel Kerugian Biaya tetap Jumlah penjualan Contoh : Sebuah pabrik menjual produknya dengan harga Rp..000,00 per unit. Biaya pembuatan unit barang tersebut menurut persamaan C = Berapa banyak unit barang harus dijual agar memperoleh keuntungan sebesar Rp ,00? 4

29 Penyelesaian: Pendapatan dari hasil penjualan unit barang : R = p. =.000. Biaya pembuatan unit barang : C = Keuntungan dari penjualan unit barang : π () = R() C() =.000 ( ) Karena keuntungan yang diketahui sebesar Rp ,00 maka diperoleh persamaan:.000 ( ) = = = 0 ( 450) = 0 = = 450 Jadi untuk memperoleh keuntungan Rp , perlu dibuat 450 unit. Contoh : Suatu perusahaan menjual barang produknya dengan harga Rp. 900,00 per unit. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan tiap bulan Rp ,00 dan biaya variable per unitnya adalah Rp. 400,00. Berapa jumlah barang yang dijual tiap bulan pada titik pulang pokok dan gambarlah sket grafiknya? Penyelesaian : Misalkan jumlah barang yang diproduksi tiap bulan adalah unit, maka biaya totalnya adalah C = Barang yang terjual tiap bulan sebanyak unit, berarti hasil penjualannya R = 900,sehingga titik pulang pokok diperoleh dari : C() = R() = = = = Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam R = 900, didapat R = Grafiknya : R= C=

30 Jadi titik pulang pokok pabrik itu terjadi pada produksi 400 unit yang menghasilkan Rp ,00 B. Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya pada permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang dengan pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menuju jaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuran lipatan talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya. Bagaimana memecahkan masalah, misalnya perhatikan contoh berikut ini: Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluasluasnya. Penyelesaian: 400 Misalkan lebar kandang meter, maka panjangnya (400 ) meter. Luas kandang dalam m adalah : L L = (400 ) = 400 Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut : L = 400 = = - ( - 00 ) Agar luas kandang maksimum maka 00 = 0 atau = 00. Sehingga untuk =00 terdapat luas kandang maksimum L =0.000 Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah m yang terjadi jika lebarnya 00 m dan panjangnya 00 m. Latihan 3. Seorang siswa akan membuat kotak tanpa tutup dengan sehelai karton yang berukuran 30 cm 0 cm dengan cara menggunting keempat sudutnya. Tentukan panjang sisi yang digunting pada sudut karton tersebut agar volumenya maksimum. 6

31 . Diketahui fungsi permintaan dan penawaran suatu barang komoditi masing-masing adalah D: p + = 5 dan S: p = +. Tentukan jumlah dan harga barang dalam keadaan keseimbangan pasar. 3. Sebuah pabrik memproduksi mainan anak-anak dengan biaya variabel sebesar Rp ,00 per buah sedangkan biaya tetap setiap bulannya sebesar Rp ,00. Jika mainan itu dijual seharga Rp ,00 per buah, tentukan titik pulang pokok! 4. Keuntungan harian suatu pabrik dalam jutaan rupiah diperoleh dengan produksi satuan barang perhari dinyatakan dengan π() = Tentukan banyaknya produksi setiap harinya agar pabrik itu memperoleh keuntungan maksimum dan berapa keuntungan maksimumnya. 5. Tentukan ukuran talang terbuka seperti bentuk U agar dapat mengalirkan air sebanyak mungkin dari segulung bahan talang yang lebarnya 60 cm 7

32 DAFTAR PUSTAKA Alders, C.J ( 96 ). Ilmu Aljabar( disadur oleh H. Soemantri ) Jakarta : Noer Komala Abrahamson, B. and Gray, M.C. (97). The Art of Algebra. Sydney: Rigby Limited Krismanto, Al. (00). Aljabar.(Bahan Penataran Standar). Yogyakarta: PPPG Matematika Klimartha Eka Putri M, Herry Sukarman. 00. Bahan Ajar Matematika SMK Kelompok Bidang Keahlian Non Teknik. Yogyakarta: PPPG Matematika Legowo, 984 ; Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam Ekonomi, Jakarta, Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. M. Nababan, 993 ; Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis, Jakarta, Penerbit Erlangga Maman Abdurrahman Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Tingkat I. Bandung: Armico Purcell, E.J dan D.Varberg (989).Kalkulus dan Geometri Analitis (disadur oleh I Nyoman Susila, Bana Karta Sasmita, dan Rawuh). Jakarta : Erlangga Tim PPPG Matematika ( 003 ). Aljabar Fungsi.(Bahan Penataran ) Yogyakarta : PPPG Matematika Zuckerman, M.M. (976). Intermediate Algebra. A Straightforward Approach. New York: John Wiley & Sons. 8

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

FUNGSI PECAHAN DAN FUNGSI/PERSAMAAN/ PERSAMAAN MODULUS

FUNGSI PECAHAN DAN FUNGSI/PERSAMAAN/ PERSAMAAN MODULUS PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 003 FUNGSI PECAHAN DAN FUNGSI/PERSAMAAN/ PERSAMAAN MODULUS Oleh: Al. Krismanto, M. Sc. Widyaiswara PPPG Matematika DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan dan Pertidaksamaan I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Persamaan dan Pertidaksamaan GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Pemanfaatan Kalkulator dalam Pembelajaran Matematika

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Pemanfaatan Kalkulator dalam Pembelajaran Matematika I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Pemanfaatan Kalkulator dalam Pembelajaran Matematika Matriks GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN

Lebih terperinci

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Dinamika Kelompok GY A Y O M AT E M A T AK A R Sukeksi, S.H. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

A Y A T M AT E M DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 BILANGAN REAL

A Y A T M AT E M DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 BILANGAN REAL I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 009 BILANGAN REAL GY A Y O M AT E M A T AK A R DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

KOMBINATORIK DAN PELUANG

KOMBINATORIK DAN PELUANG I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 KOMBINATORIK DAN PELUANG GY A Y O M AT E M A T AK A R DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

Kebijakan Teknis PPPPTK Matematika

Kebijakan Teknis PPPPTK Matematika I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Kebijakan Teknis PPPPTK Matematika GY A Y O M AT E M A T AK A R DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Kalkulus Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Menggambar Grafik Fungsi : Gambarlah grafik dari fungsi berikut! 4 f ( ) Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah sebagai

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi

Lebih terperinci

Pengenalan Web PPPPTK Matematika

Pengenalan Web PPPPTK Matematika I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Pengenalan Web PPPPTK Matematika GY A Y O M AT E M A T AK A R Ekawati, S.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua

Lebih terperinci

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009 Aproksimasi GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas

Lebih terperinci

LEMBAR KEGIATAN SISWA 1 PERSAMAAN KUADRAT

LEMBAR KEGIATAN SISWA 1 PERSAMAAN KUADRAT 1 LEMBAR KEGIATAN SISWA 1 PERSAMAAN KUADRAT Masalah 1 : Pak Amat dan pak Aman masing-masing merahasiakan suatu bilangan real. Bilangan pak Aman lebih 11 daripada bilangan pak Amat. Dua kali bilangan pak

Lebih terperinci

2.6 FUNGSI DAN RELASI

2.6 FUNGSI DAN RELASI 177 Bab 3 FUNGSI P ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke atas oleh seseorang. Secara tidak langsung ternyata anda telah memperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah fungsi yang

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN

MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN 1 Pendahuluan Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan seharihari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian aljabar tersebut. Dalam

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar: BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Semester : SMA IT Izzuddin : Matematika : X (Sepuluh) / Ganjil Standar Kompetensi : 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a)

BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a) BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Sebagai contoh, harga barang tergantung pada banyaknya

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

Untuk Sekolah Menengah Atas. þ Program Tahunan (Prota) þ Program Semester (Promes) þ Silabus. þ Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) CV.

Untuk Sekolah Menengah Atas. þ Program Tahunan (Prota) þ Program Semester (Promes) þ Silabus. þ Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) CV. PEMBELAJARAN STANDAR ISI 2006 þ Program Tahunan (Prota) þ Program Semester (Promes) þ Silabus þ Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) MATEMATIKA Untuk Menengah Atas 10 CV. SINDHUNATA Matematika 10 A (Standar

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2002/2003

Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2002/2003 DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 00/00 SMK Kelompok Teknologi Industri Paket Utama (P) MATEMATIKA (E-) TEKNIK SELASA, MEI 00 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

Lebih terperinci

MANAJEMEN PENGELOLAAN MGMP

MANAJEMEN PENGELOLAAN MGMP I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG LANJUT TAHUN 2009 MANAJEMEN PENGELOLAAN MGMP GY A Y O M AT E M A T AK A R DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR. February 3, 2006

MODUL ALJABAR. February 3, 2006 MODUL ALJABAR February 3, 2006 1 Pendahuluan Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan seharihari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian aljabar tersebut. Dalam

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran TAHUN PELAJARAN 9/ MATEMATIKA PEMBAHAS: UJIAN NASIONAL

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU

SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008 UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK

UJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK UJIAN NASIONAL TAHUN 009/00 MATEMATIKA (E-.) SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran (P UTAMA). Konveksi milik Bu Nina mengerjakan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASIONAL SAL-SAL LATIHAN FUNGSI KUADRAT UJIAN NASINAL Peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep pada topik fungsi kuadrat. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat

Lebih terperinci

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS)

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS) LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL SEKOLAH KELAS MATA PELAJARAN SEMESTER BILANGAN Standar Kompetensi KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat. : SMP : VII : MATEMATIKA

Lebih terperinci

DESKRIPSI PEMELAJARAN

DESKRIPSI PEMELAJARAN DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD:

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi, Pecahan dan Skala 4. Perpangkatan dan Akar 5. Waktu, Kecepatan, dan Debit

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Limit Fungsi. Bab. Limit fungsi Pendekatan (kiri dan kanan) Bentuk tentu dan tak tentu Perkalian sekawan A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Bab Limit Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran it fungsi, siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci