matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s"

Transkripsi

1 K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami cara menentukan grafik fungsi dan bukan fungsi.. Memahami operasi aljabar pada fungsi. 4. Memahami definisi fungsi komposisi dan sifat-sifatna. (f o g) o h = f o (g o h) f o I = I o f = f Misalkan G diketahui Subtitusi F diketahui ( f o g) () = f(g()) D D D 5. DEFINISI KOMPOSISI f g f g + = I() = f() + g() 6. f o g DIKETAHUI (f+g) () 7. SIFAT KOMPOSISI 4. OPERASI 1. DEFINISI FUNGSI. GRAFIK FUNGSI D D D = f g f g D = D D fg f g f g ( ) f ( ) g( ) D D g o f g. SIFAT FUNGSI setiap tepat satu Diagram Semua setiap 1 = f() = f() Benar Salah Garis horizontal Selalu 1 titik sah Garis vertikal Selalu 1 titik sah > 1 titik tidak sah f() - g() f() - g() (f-g) () (fg) () Bijektif Injektif / 1-1 > 1 titik tidak sah f(a) = f(b) maka a=b Surjektif / pada Ada maka f() = 1-1 pada 1

2 A. DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah aturan ang merelasikan setiap elemen himpunan domain X tepat dengan satu elemen kodomain Y. Perhatikan diagram berikut. X Y X Y X Y Domain Fungsi Kodomain Domain Fungsi Kodomain Domain Bukan Fungsi Kodomain Gambar 1 Gambar Gambar Gambar bukan fungsi, karena tidak setiap elemen himpunan X berelasi. Selain itu, ada pula elemen himpunan X ang mempunai relasi lebih dari satu dengan elemen himpunan Y. Contoh Soal 1 Manakah dari relasi-relasi diagram berikut ang merupakan fungsi? X Y X Y X Y (1) () ()

3 Bukan fungsi karena ada anggota domain ang dipasangkan dengan lebih dari 1 anggota kodomain X Y X Y Bukan fungsi karena tidak semua anggota domain memiliki relasi Fungsi karena setiap anggota domain direlasikan dengan tepat satu anggota kodomain X Y Oleh karena setiap relasi dapat dinatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan, maka fungsi juga dapat dinatakan dalam bentuk ang sama. Perhatikan contoh berikut.

4 Contoh Soal Relasi-relasi dari X ke Y dinatakan dalam himpunan pasangan berurutan, dengan X = {1,,,5,6} dan Y = {,,5,7,8}. Manakah dari relasi-relasi berikut ang merupakan suatu fungsi? a. P = {(1,), (,), (,5), (5,7), (6,7) } b. Q = {(1,), (,), (,), (5,), (6,7), (6,8) } c. R = {(1,), (1,), (1,5), (1,7), (1,8) } d. S = {(1,), (,8), (5,), (6,8) } a. P = {(1,), (,), (,5), (5,7), (6,7) }: Fungsi, karena setiap unsur domain direlasikan tepat satu dengan unsur kodomain. b. Q = {(1,), (,), (,), (5,), (6,7), (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang direlasikan berulang. c. R = {(1,), (1,), (1,5), (1,7), (1,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang direlasikan berulang. d. S = {(1,), (,8), (5,), (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang tidak direlasikan, aitu. B. GRAFIK FUNGSI DAN BUKAN GRAFIK FUNGSI Untuk menentukan apakah suatu grafik merupakan fungsi atau tidak, dapat digunakan cara berikut. 1. Menguji grafik apakah termasuk fungsi = f() dapat dilakukan dengan menggunakan garis vertikal. Jika garis vertikal memotong grafik konsisten di satu titik, maka grafik tersebut termasuk fungsi = f() (baca: sebagai fungsi dari ).. Menguji grafik apakah termasuk fungsi = f() dapat dilakukan dengan menggunakan garis horizontal. Jika garis horizontal memotong grafik konsisten di satu titik, maka grafik tersebut termasuk fungsi = f() (baca: sebagai fungsi dari ). Contoh Soal Selidikilah gambar-gambar grafik di bawah ini, apakah termasuk fungsi dari, fungsi dari, atau bukan fungsi! 4

5 A B C D Pilihan A Fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di satu titik. Bukan fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik. 5

6 Pilihan B Bukan fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik. Fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di satu titik. Pilihan C Fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di satu titik. Fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di satu titik. 6

7 Pilihan D Bukan fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik. Bukan fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik. C. SIFAT-SIFAT FUNGSI a. Fungsi Injektif (Satu-Satu) Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi injektif atau satu-satu, jika setiap elemen himpunan X direlasikan dengan elemen himpunan Y ang berbeda. Dengan notasi matematika, dapat dinatakan bahwa untuk setiap f( 1 ) = f( ) maka 1 =. Bentuk diagram dari fungsi injektif dapat diperlihatkan pada gambar di bawah ini. X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Injektif Gambar 4 Bukan Fungsi Injektif Gambar 5 7

8 Gambar 5 bukan fungsi injektif karena ada elemen himpunan X ang direlasikan dengan elemen ang sama pada himpunan Y. Contoh Soal 4 Buktikanlah bahwa fungsi f: R R, f() = 4 adalah fungsi injektif atau satu-satu! Misal f(a), f(b) R maka: f( a) = f( b) 4a = 4b 4a= 4b { ruas kiri dan kanan ditambah } a = b { ruas kiri dan kanan dibagi 4} Jadi, f() = 4 - adalah fungsi injektif. Contoh Soal 5 Selidikilah apakah fungsi f: R R, f() = adalah fungsi injektif! Misal f(a), f(b) R maka: f( a) = f( b) a a = b = b { ruas kiri dankanan diakar pangkat dua} a = b Jadi, a belum tentu sama dengan b, sehingga f() bukan fungsi injektif. b. Fungsi Surjektif (Fungsi Pada) Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi surjektif atau pada, jika setiap elemen himpunan Y berelasi dengan elemen himpunan X. Dengan notasi matematika, dapat dinatakan bahwa untuk setiap Y, maka terdapat X sehingga f() =. Bentuk diagram dari fungsi surjektif dapat diperlihatkan pada gambar berikut. 8

9 X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Surjektif Gambar 6 Bukan Fungsi Surjektif Gambar 7 Contoh Soal 6 Buktikanlah bahwa fungsi g: R R dengan g() = adalah fungsi surjektif. Misal R, dan ( )= ( ) g g ( )= g ( )= 1 R maka: Oleh karena ada = ang membuat g() =, maka fungsi g() = adalah fungsi surjektif. Contoh Soal 7 Apakah fungsi g( )= + 1 merupakan fungsi surjektif? 1 Fungsi g() bukan fungsi surjektif karena untuk g() = 1 tidak ada nilai ang memenuhi. Perhatikan penjabaran berikut! 9

10 c. Fungsi Bijektif = 1 + 1= pernataan angsalah = { } Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi injektif (satu-satu) sekaligus fungsi surjektif (pada). Perhatikan diagram berikut ini! X Y X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Bijektif Bukan Fungsi Bijektif Bukan Fungsi Bijektif Gambar 8 Gambar 9 Gambar 10 Gambar 9 bukan fungsi bijektif karena ada elemen himpunan Y ang mempunai dua pasangan (bukan fungsi injektif), sedangkan gambar 10 bukan fungsi bijektif karena ada elemen himpunan Y ang tidak berpasangan (bukan fungsi surjektif). Contoh Soal 8 Buktikanlah bahwa fungsi f() = 1 adalah fungsi bijektif! Langkah 1: Pembuktian f() adalah fungsi satu-satu Misal f( a) = f( b) a 1= b 1 a = b a= b Dengan demikian, f() merupakan fungsi satu-satu. 10

11 Langkah : Pembuktian f() adalah fungsi surjektif Misal R, maka +1 R. Misal = +1, maka: f ( + 1 )=( + 1) 1 f ( + 1)= f ( + 1)= Dengan demikian f() fungsi pada karena terdapat = +1 sehingga f() = Oleh karena f() adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada, maka f() adalah fungsi bijektif. D. OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI Fungsi-fungsi ang terdefinisi dapat dioperasikan satu sama lain, baik dengan operasi penjumlahan atau perkalian. Contoh Soal 9 Taksi A memasang tarif awal Rp6.000,00 dengan biaa tambahan Rp600,00 setiap kilometerna, sedangkan taksi B memasang tarif awal Rp7.000,00 dengan biaa tambahan Rp400,00 setiap kilometerna. Jika Andi dan keluarga menggunakan taksi A, sedangkan Budi dan keluarga menggunakan taksi B untuk bersama-sama menempuh jarak km, maka total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi dapat dinatakan dengan fungsi... Pembahasan Tarif taksi A untuk km dinatakan dengan f() = Tarif taksi B untuk km dapat dinatakan dengan g() = Dengan demikian total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah menggunakan jasa taksi A dan taksi B untuk km dapat dinatakan sebagai berikut. ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = = Jadi, total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah menggunakan jasa taksi A dan taksi B untuk km adalah

12 E. DEFINISI OPERASI FUNGSI Jika f suatu fungsi dengan domain D f, dan g suatu fungsi dengan domain D g, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinatakan sebagai berikut. 1. Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)() = f() + g() dengan domain D f + g = D f D g.. Selisih f dan g ditulis f g didefinisikan sebagai (f g)() = f() g() dengan domain D f g = D f D g.. Perkalian f dan g ditulis f g didefinisikan sebagai (f g)() = f() g() dengan domain D f g = D f D g. f 4. Pembagian f dan g ditulis g didefinisikan sebagai f g f () ( ) = dengan domain g() D = D D g( ) = 0. f g f g { } Contoh Soal 10 Jika f() = 1, g() = 1, dan h ( )= berikut beserta domainna! a. (f + g)() b. (f h)() c. (g h)() + 1. Tentukan operasi-operasi fungsi + 1 a. ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = 1+ 1 Df = R D = { R, 1 0}= R, 1 g { } D = D D = R, 1 f+ g f g { } { } b. (f h)() = f() h() = 1 { } D = R f Dh = { R, + 1> 0 } = R, > 1 Df h = Df Dh = R, > 1

13 + 1 c. ( g h)( ) = g( ) h( ) = D = { R 1 0}= { R 1} g ( ) 1 Dh = R > D = D D = R, 1 g h g h { } F. FUNGSI KOMPOSISI Salah satu operasi antarfungsi adalah fungsi komposisi. Contoh Soal 11 Suatu penelitian lingkungan dalam kasus tumpahan minak ke sungai menunjukkan bahwa jari-jari tumpahan minak per satuan waktu dinatakan dengan r(t) = 10 t 0, t dan luas dari tumpahan minak dinatakan dengan L(r) = πr. Jika seseorang ingin mengetahui luas tumpahan minak per satuan waktu, maka fungsi ang tepat adalah Pembahasan rt () = 10t 0, t r = 10t 0, t Substitusikan r ke L(r), sehingga diperoleh: Lr ( ) = π r L( 10t 0, t ) = π ( 10t 0, t ) Lt () = π ( 10t 0, t ) Masalah di atas menunjukkan proses subtitusi fungsi kedalam fungsi. Secara umum, jika f dan g adalah dua fungsi sehingga g() adalah domain dari f, maka komposisi fungsi g dilanjutkan fungsi f dapat dinotasikan dengan f g (f komposisi g atau f bulatan g) dan dapat didefinisikan sebagai berikut. (f g)() = f(g()) Domain dari (f g)() adalah hasil irisan dari domain fungsi hasil komposisi dengan domain g(). 1

14 Contoh Soal 1 4 Jika f( )= 1 dan g( )=, tentukanlah hasil komposisi berikut beserta domainna! a. (f g)() b. (g f)() 4 a. ( f g)( ) = f( g( ) )= f( )= ( ) 1 Domainna adalah { R > 0} atau { R > }, sedangkan domain dari g() adalah { R }. Dengan demikian domain dari (f g)() adalah: Df g = { R } { R > } D = R> f g { } b. (g f)() = g(f()) 4 g( f() )= g 1 = = ( 1) 1 = Domainna adalah R atau R <, sedangkan 1 1 domain dari f() adalah R. Dengan demikian domain dari g f adalah 1 R < R R 1 = 1 <. 14

15 Contoh Soal 1 Fungsi F( )= mengubah satuan inci ke satuan kaki. Y() mengubah satuan 1 kaki ke dalam ard. Jelaskan pengertian dari (Y F)()! (Y F)() = Y(F()) inci dimasukkan ke F untuk mendapatkan satuan kaki, kaki dimasukkan ke Y untuk mendapatkan satuan ard. Dengan demikian Y(F()) berarti mengubah satuan inci ke satuan ard. Contoh Soal 14 Hukum permintaan dan penawaran menatakan bahwa jika banak barang ang akan dijual meningkat, maka harga pasar akan turun. Asumsikan harga pasar p dan banak barang ang akan dijual. Harga pasar dapat dinatakan dalam fungsi: p= Asumsikan bahwa biaa produksi membuat barang dinatakan dengan fungsi C() = dan besar pendapatan dari penjualan unit dinatakan dengan R() = 100. a. Natakan biaa sebagai fungsi dari harga p b. Natakan pendapatan sebagai fungsi dari harga p c. Natakan keuntungan sebagai fungsi dari harga p a. Untuk menatakan biaa produksi (C()) sebagai fungsi dari p, maka langkah pertama adalah kita natakan dalam p = p = 6000 p Dengan demikian diperoleh: C( ) = C( 6000 p) = ( 6000 p) = p 15

16 Dengan demikian biaa produksi dalam p dapat dinatakan C(p) = p. b. R() = 100 R(6000 p) = 100(6000 p) = p Jadi, jika R dinatakan dalam p maka diperoleh R(p) = p. c. Keuntungan (U) dapat dinatakan sebagai berikut. U(p) = R(p) C(p) = p (6000 0p) = p Soal fungsi komposisi terkadang menanakan fungsi pembentuk komposisina. Perhatikan contoh berikut! Contoh Soal 15 Jika diketahui f( )= dan ( f g)( )= 1, maka g() adalah. ( f g) () = 1 f( g() )= 1 g() = 1 g() = ( 1) g() = + ( 1) g() = + Jadi, g() = +. Contoh Soal 16 Jika diketahui (g f)() = + dan f() = 1, maka g() adalah. ( ) = + g f ( ) g( f( ) )= + g( 1) = + 16

17 u 1 Misal 1= u = +, maka: u+ 1 u gu ( )= Tinggal kita ubah u menjadi + 1 g( )= Jadi, g( )= Contoh Soal 17 ( )( )= + + Jika diketahui g f 6 9 dan f( )= 4 + 8, maka g() adalah. ( g f) ( ) = g( f( ) )= g( 4 + 8) = Misal = m, maka: 4( + ) = m m + = 4 Dengan memanipulasi sedikit fungsi komposisina, diperoleh: g( 4 + 8) = ( + ) + 9 m gm ( ) = Dengan demikian diperoleh: g( )= Jadi, g( )=

18 G. SIFAT-SIFAT KOMPOSISI a. Sifat 1 Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh Dg ; Rg Df ; maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, aitu sebagai berikut. f (g h) = (f g) h Contoh Soal 18 Jika f() = 1, g() = a. f (g h)() b. (f g) h() +1, dan h() = 1, maka tentukanlah: a. g( h( ) )= g 1 = = Dengan demikian diperoleh: + 1 f ( g h)( ) = f b. f( g() )= f + 1 = + = + 1 = 1 = = ( ) ( )

19 Dengan demikian diperoleh: (( f g) h) () = ( f g)h() ( ) 1 = ( f g) 1 = Jadi, kesimpulanna (f g) h = f (g h). b. Sifat Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan identitas. Jika RI Df, maka terdapat sebuah fungsi identitas aitu: I() =, sehingga berlaku sifat identitas, aitu sebagai berikut. f I = I f = f Contoh Soal 19 Diketahui fungsi f: R R dengan f() = 5 7 dan fungsi I: R R dengan I() =. a. Rumus fungsi komposisi f I dan I f. b. Selidikilah apakah f I = I f = f. a. ( f I)( ) = f( I( ) )= f( ) ( I f)( ) I f( ) = ( ) = I( 5 7) = 5 7 = f( ) b. Berdasarkan hasil ang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa f I = I f = f c. Sifat Jika f dan g adalah fungsi ang ang berjenis sama (fungsi satu-satu, fungsi pada, atau fungsi bijektif), maka f g dan g f pun memiliki sifat ang sama dengan pembentukna. 19

20 Contoh Soal Diketahui f() = 4 dan g() = 1. Tunjukkan bahwa f g fungsi bijektif! Fungsi f() dan g() sudah terbukti bijektif pada contoh-contoh soal sebelumna. Menentukan (f g)() ( f g)( ) f g( ) = 4g( ) = 4( 1) = 4 7 = ( ) Akan dibuktikan (f g)() = 4 7 adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif. Pembuktian (f g)() adalah fungsi injektif: ( f g)( ) = ( f g)( ) = = 4 = 1 Terbukti (f g)() adalah fungsi satu-satu. Pembuktian (f g)() adalah fungsi pada: Terdapat, R dengan = ( f g)( ) = = = Terbukti (f g)() adalah fungsi pada. Jadi, dapat disimpulkan bahwa (f g)() merupakan fungsi bijektif, sama dengan sifat fungsi pembentukna. 0

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)

Fungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :) Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut

Lebih terperinci

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi

FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Logika, Himpunan, dan Fungsi

Logika, Himpunan, dan Fungsi Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan

MATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

Lebih terperinci

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

Oleh : Winda Aprianti

Oleh : Winda Aprianti Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar: BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field. STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan

Lebih terperinci

matematika wajib K-13 FUNGSI INVERS K e l a s f -1 Fungsi invers

matematika wajib K-13 FUNGSI INVERS K e l a s f -1 Fungsi invers K- matematika wajib K e l a s X FUNGSI INVERS tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian invers dan ungsi invers.. Memahami cara

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.

Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. FUNGSI Definisi Fungsi Diketahui 2 buah himpunan A dan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke, ditulis f : A didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: Contoh: 1. y = f(x) g(x) 2. y = f(x) Syarat: f(x) 0

LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: Contoh: 1. y = f(x) g(x) 2. y = f(x) Syarat: f(x) 0 Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS -- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. 1. Himpunan

PENDAHULUAN. 1. Himpunan PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya

Lebih terperinci

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

Relasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range)

Relasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range) Bab Relasi dan Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

Mendeskripsikan Himpunan

Mendeskripsikan Himpunan BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan

Lebih terperinci

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI

Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam

Lebih terperinci

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I 177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Bab 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mendeskripsikan konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah

Lebih terperinci

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + 5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,

Lebih terperinci

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya

Lebih terperinci

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN

Lebih terperinci

matematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

matematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear

Lebih terperinci

SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

OPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner

Lebih terperinci

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1

FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi

Lebih terperinci

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

BAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI

BAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN

Lebih terperinci

2.4 Relasi dan Fungsi

2.4 Relasi dan Fungsi 2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu

Lebih terperinci

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi MODUL BAB KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi:. Menentukan komposisi dua ungsi dan invers suatu ungsi Kompetensi Dasar. Menentukan komposisi ungsi dari dua ungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N Pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubuungan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Jika a A dan pasangannya b B, maka ditulis

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

Silabus. Sekolah : : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi. Kegiatan Pembelajaran. Kompetensi Dasar.

Silabus. Sekolah : : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi. Kegiatan Pembelajaran. Kompetensi Dasar. Silabus Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI/ Ilmu Sosial Semester : II (Genap) Standar Kompetensi : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi : 35 x 45 Menit Kompetensi

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel

Lebih terperinci

FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI. Soleh Munawir dan Y.D. Sumanto

FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI. Soleh Munawir dan Y.D. Sumanto FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI Soleh Munawir YD Sumanto Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof H Soedarto, SH Tembalang Semarang 50275 e-mail

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

PENGERTIAN FUNGSI. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A

BAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.

Lebih terperinci

BAB 3. FUNGSI. Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 1st November 2016

BAB 3. FUNGSI. Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 1st November 2016 BAB 3. FUNGSI Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 1st November 2016 Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 1 / 23 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Bentuk

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci