matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s
|
|
- Ratna Lesmana
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami cara menentukan grafik fungsi dan bukan fungsi.. Memahami operasi aljabar pada fungsi. 4. Memahami definisi fungsi komposisi dan sifat-sifatna. (f o g) o h = f o (g o h) f o I = I o f = f Misalkan G diketahui Subtitusi F diketahui ( f o g) () = f(g()) D D D 5. DEFINISI KOMPOSISI f g f g + = I() = f() + g() 6. f o g DIKETAHUI (f+g) () 7. SIFAT KOMPOSISI 4. OPERASI 1. DEFINISI FUNGSI. GRAFIK FUNGSI D D D = f g f g D = D D fg f g f g ( ) f ( ) g( ) D D g o f g. SIFAT FUNGSI setiap tepat satu Diagram Semua setiap 1 = f() = f() Benar Salah Garis horizontal Selalu 1 titik sah Garis vertikal Selalu 1 titik sah > 1 titik tidak sah f() - g() f() - g() (f-g) () (fg) () Bijektif Injektif / 1-1 > 1 titik tidak sah f(a) = f(b) maka a=b Surjektif / pada Ada maka f() = 1-1 pada 1
2 A. DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah aturan ang merelasikan setiap elemen himpunan domain X tepat dengan satu elemen kodomain Y. Perhatikan diagram berikut. X Y X Y X Y Domain Fungsi Kodomain Domain Fungsi Kodomain Domain Bukan Fungsi Kodomain Gambar 1 Gambar Gambar Gambar bukan fungsi, karena tidak setiap elemen himpunan X berelasi. Selain itu, ada pula elemen himpunan X ang mempunai relasi lebih dari satu dengan elemen himpunan Y. Contoh Soal 1 Manakah dari relasi-relasi diagram berikut ang merupakan fungsi? X Y X Y X Y (1) () ()
3 Bukan fungsi karena ada anggota domain ang dipasangkan dengan lebih dari 1 anggota kodomain X Y X Y Bukan fungsi karena tidak semua anggota domain memiliki relasi Fungsi karena setiap anggota domain direlasikan dengan tepat satu anggota kodomain X Y Oleh karena setiap relasi dapat dinatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan, maka fungsi juga dapat dinatakan dalam bentuk ang sama. Perhatikan contoh berikut.
4 Contoh Soal Relasi-relasi dari X ke Y dinatakan dalam himpunan pasangan berurutan, dengan X = {1,,,5,6} dan Y = {,,5,7,8}. Manakah dari relasi-relasi berikut ang merupakan suatu fungsi? a. P = {(1,), (,), (,5), (5,7), (6,7) } b. Q = {(1,), (,), (,), (5,), (6,7), (6,8) } c. R = {(1,), (1,), (1,5), (1,7), (1,8) } d. S = {(1,), (,8), (5,), (6,8) } a. P = {(1,), (,), (,5), (5,7), (6,7) }: Fungsi, karena setiap unsur domain direlasikan tepat satu dengan unsur kodomain. b. Q = {(1,), (,), (,), (5,), (6,7), (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang direlasikan berulang. c. R = {(1,), (1,), (1,5), (1,7), (1,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang direlasikan berulang. d. S = {(1,), (,8), (5,), (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain ang tidak direlasikan, aitu. B. GRAFIK FUNGSI DAN BUKAN GRAFIK FUNGSI Untuk menentukan apakah suatu grafik merupakan fungsi atau tidak, dapat digunakan cara berikut. 1. Menguji grafik apakah termasuk fungsi = f() dapat dilakukan dengan menggunakan garis vertikal. Jika garis vertikal memotong grafik konsisten di satu titik, maka grafik tersebut termasuk fungsi = f() (baca: sebagai fungsi dari ).. Menguji grafik apakah termasuk fungsi = f() dapat dilakukan dengan menggunakan garis horizontal. Jika garis horizontal memotong grafik konsisten di satu titik, maka grafik tersebut termasuk fungsi = f() (baca: sebagai fungsi dari ). Contoh Soal Selidikilah gambar-gambar grafik di bawah ini, apakah termasuk fungsi dari, fungsi dari, atau bukan fungsi! 4
5 A B C D Pilihan A Fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di satu titik. Bukan fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik. 5
6 Pilihan B Bukan fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik. Fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di satu titik. Pilihan C Fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di satu titik. Fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di satu titik. 6
7 Pilihan D Bukan fungsi dari karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik. Bukan fungsi dari karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik. C. SIFAT-SIFAT FUNGSI a. Fungsi Injektif (Satu-Satu) Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi injektif atau satu-satu, jika setiap elemen himpunan X direlasikan dengan elemen himpunan Y ang berbeda. Dengan notasi matematika, dapat dinatakan bahwa untuk setiap f( 1 ) = f( ) maka 1 =. Bentuk diagram dari fungsi injektif dapat diperlihatkan pada gambar di bawah ini. X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Injektif Gambar 4 Bukan Fungsi Injektif Gambar 5 7
8 Gambar 5 bukan fungsi injektif karena ada elemen himpunan X ang direlasikan dengan elemen ang sama pada himpunan Y. Contoh Soal 4 Buktikanlah bahwa fungsi f: R R, f() = 4 adalah fungsi injektif atau satu-satu! Misal f(a), f(b) R maka: f( a) = f( b) 4a = 4b 4a= 4b { ruas kiri dan kanan ditambah } a = b { ruas kiri dan kanan dibagi 4} Jadi, f() = 4 - adalah fungsi injektif. Contoh Soal 5 Selidikilah apakah fungsi f: R R, f() = adalah fungsi injektif! Misal f(a), f(b) R maka: f( a) = f( b) a a = b = b { ruas kiri dankanan diakar pangkat dua} a = b Jadi, a belum tentu sama dengan b, sehingga f() bukan fungsi injektif. b. Fungsi Surjektif (Fungsi Pada) Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi surjektif atau pada, jika setiap elemen himpunan Y berelasi dengan elemen himpunan X. Dengan notasi matematika, dapat dinatakan bahwa untuk setiap Y, maka terdapat X sehingga f() =. Bentuk diagram dari fungsi surjektif dapat diperlihatkan pada gambar berikut. 8
9 X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Surjektif Gambar 6 Bukan Fungsi Surjektif Gambar 7 Contoh Soal 6 Buktikanlah bahwa fungsi g: R R dengan g() = adalah fungsi surjektif. Misal R, dan ( )= ( ) g g ( )= g ( )= 1 R maka: Oleh karena ada = ang membuat g() =, maka fungsi g() = adalah fungsi surjektif. Contoh Soal 7 Apakah fungsi g( )= + 1 merupakan fungsi surjektif? 1 Fungsi g() bukan fungsi surjektif karena untuk g() = 1 tidak ada nilai ang memenuhi. Perhatikan penjabaran berikut! 9
10 c. Fungsi Bijektif = 1 + 1= pernataan angsalah = { } Fungsi ang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi injektif (satu-satu) sekaligus fungsi surjektif (pada). Perhatikan diagram berikut ini! X Y X Y X Y Domain Kodomain Domain Kodomain Domain Kodomain Fungsi Bijektif Bukan Fungsi Bijektif Bukan Fungsi Bijektif Gambar 8 Gambar 9 Gambar 10 Gambar 9 bukan fungsi bijektif karena ada elemen himpunan Y ang mempunai dua pasangan (bukan fungsi injektif), sedangkan gambar 10 bukan fungsi bijektif karena ada elemen himpunan Y ang tidak berpasangan (bukan fungsi surjektif). Contoh Soal 8 Buktikanlah bahwa fungsi f() = 1 adalah fungsi bijektif! Langkah 1: Pembuktian f() adalah fungsi satu-satu Misal f( a) = f( b) a 1= b 1 a = b a= b Dengan demikian, f() merupakan fungsi satu-satu. 10
11 Langkah : Pembuktian f() adalah fungsi surjektif Misal R, maka +1 R. Misal = +1, maka: f ( + 1 )=( + 1) 1 f ( + 1)= f ( + 1)= Dengan demikian f() fungsi pada karena terdapat = +1 sehingga f() = Oleh karena f() adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada, maka f() adalah fungsi bijektif. D. OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI Fungsi-fungsi ang terdefinisi dapat dioperasikan satu sama lain, baik dengan operasi penjumlahan atau perkalian. Contoh Soal 9 Taksi A memasang tarif awal Rp6.000,00 dengan biaa tambahan Rp600,00 setiap kilometerna, sedangkan taksi B memasang tarif awal Rp7.000,00 dengan biaa tambahan Rp400,00 setiap kilometerna. Jika Andi dan keluarga menggunakan taksi A, sedangkan Budi dan keluarga menggunakan taksi B untuk bersama-sama menempuh jarak km, maka total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi dapat dinatakan dengan fungsi... Pembahasan Tarif taksi A untuk km dinatakan dengan f() = Tarif taksi B untuk km dapat dinatakan dengan g() = Dengan demikian total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah menggunakan jasa taksi A dan taksi B untuk km dapat dinatakan sebagai berikut. ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = = Jadi, total biaa ang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah menggunakan jasa taksi A dan taksi B untuk km adalah
12 E. DEFINISI OPERASI FUNGSI Jika f suatu fungsi dengan domain D f, dan g suatu fungsi dengan domain D g, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinatakan sebagai berikut. 1. Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)() = f() + g() dengan domain D f + g = D f D g.. Selisih f dan g ditulis f g didefinisikan sebagai (f g)() = f() g() dengan domain D f g = D f D g.. Perkalian f dan g ditulis f g didefinisikan sebagai (f g)() = f() g() dengan domain D f g = D f D g. f 4. Pembagian f dan g ditulis g didefinisikan sebagai f g f () ( ) = dengan domain g() D = D D g( ) = 0. f g f g { } Contoh Soal 10 Jika f() = 1, g() = 1, dan h ( )= berikut beserta domainna! a. (f + g)() b. (f h)() c. (g h)() + 1. Tentukan operasi-operasi fungsi + 1 a. ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = 1+ 1 Df = R D = { R, 1 0}= R, 1 g { } D = D D = R, 1 f+ g f g { } { } b. (f h)() = f() h() = 1 { } D = R f Dh = { R, + 1> 0 } = R, > 1 Df h = Df Dh = R, > 1
13 + 1 c. ( g h)( ) = g( ) h( ) = D = { R 1 0}= { R 1} g ( ) 1 Dh = R > D = D D = R, 1 g h g h { } F. FUNGSI KOMPOSISI Salah satu operasi antarfungsi adalah fungsi komposisi. Contoh Soal 11 Suatu penelitian lingkungan dalam kasus tumpahan minak ke sungai menunjukkan bahwa jari-jari tumpahan minak per satuan waktu dinatakan dengan r(t) = 10 t 0, t dan luas dari tumpahan minak dinatakan dengan L(r) = πr. Jika seseorang ingin mengetahui luas tumpahan minak per satuan waktu, maka fungsi ang tepat adalah Pembahasan rt () = 10t 0, t r = 10t 0, t Substitusikan r ke L(r), sehingga diperoleh: Lr ( ) = π r L( 10t 0, t ) = π ( 10t 0, t ) Lt () = π ( 10t 0, t ) Masalah di atas menunjukkan proses subtitusi fungsi kedalam fungsi. Secara umum, jika f dan g adalah dua fungsi sehingga g() adalah domain dari f, maka komposisi fungsi g dilanjutkan fungsi f dapat dinotasikan dengan f g (f komposisi g atau f bulatan g) dan dapat didefinisikan sebagai berikut. (f g)() = f(g()) Domain dari (f g)() adalah hasil irisan dari domain fungsi hasil komposisi dengan domain g(). 1
14 Contoh Soal 1 4 Jika f( )= 1 dan g( )=, tentukanlah hasil komposisi berikut beserta domainna! a. (f g)() b. (g f)() 4 a. ( f g)( ) = f( g( ) )= f( )= ( ) 1 Domainna adalah { R > 0} atau { R > }, sedangkan domain dari g() adalah { R }. Dengan demikian domain dari (f g)() adalah: Df g = { R } { R > } D = R> f g { } b. (g f)() = g(f()) 4 g( f() )= g 1 = = ( 1) 1 = Domainna adalah R atau R <, sedangkan 1 1 domain dari f() adalah R. Dengan demikian domain dari g f adalah 1 R < R R 1 = 1 <. 14
15 Contoh Soal 1 Fungsi F( )= mengubah satuan inci ke satuan kaki. Y() mengubah satuan 1 kaki ke dalam ard. Jelaskan pengertian dari (Y F)()! (Y F)() = Y(F()) inci dimasukkan ke F untuk mendapatkan satuan kaki, kaki dimasukkan ke Y untuk mendapatkan satuan ard. Dengan demikian Y(F()) berarti mengubah satuan inci ke satuan ard. Contoh Soal 14 Hukum permintaan dan penawaran menatakan bahwa jika banak barang ang akan dijual meningkat, maka harga pasar akan turun. Asumsikan harga pasar p dan banak barang ang akan dijual. Harga pasar dapat dinatakan dalam fungsi: p= Asumsikan bahwa biaa produksi membuat barang dinatakan dengan fungsi C() = dan besar pendapatan dari penjualan unit dinatakan dengan R() = 100. a. Natakan biaa sebagai fungsi dari harga p b. Natakan pendapatan sebagai fungsi dari harga p c. Natakan keuntungan sebagai fungsi dari harga p a. Untuk menatakan biaa produksi (C()) sebagai fungsi dari p, maka langkah pertama adalah kita natakan dalam p = p = 6000 p Dengan demikian diperoleh: C( ) = C( 6000 p) = ( 6000 p) = p 15
16 Dengan demikian biaa produksi dalam p dapat dinatakan C(p) = p. b. R() = 100 R(6000 p) = 100(6000 p) = p Jadi, jika R dinatakan dalam p maka diperoleh R(p) = p. c. Keuntungan (U) dapat dinatakan sebagai berikut. U(p) = R(p) C(p) = p (6000 0p) = p Soal fungsi komposisi terkadang menanakan fungsi pembentuk komposisina. Perhatikan contoh berikut! Contoh Soal 15 Jika diketahui f( )= dan ( f g)( )= 1, maka g() adalah. ( f g) () = 1 f( g() )= 1 g() = 1 g() = ( 1) g() = + ( 1) g() = + Jadi, g() = +. Contoh Soal 16 Jika diketahui (g f)() = + dan f() = 1, maka g() adalah. ( ) = + g f ( ) g( f( ) )= + g( 1) = + 16
17 u 1 Misal 1= u = +, maka: u+ 1 u gu ( )= Tinggal kita ubah u menjadi + 1 g( )= Jadi, g( )= Contoh Soal 17 ( )( )= + + Jika diketahui g f 6 9 dan f( )= 4 + 8, maka g() adalah. ( g f) ( ) = g( f( ) )= g( 4 + 8) = Misal = m, maka: 4( + ) = m m + = 4 Dengan memanipulasi sedikit fungsi komposisina, diperoleh: g( 4 + 8) = ( + ) + 9 m gm ( ) = Dengan demikian diperoleh: g( )= Jadi, g( )=
18 G. SIFAT-SIFAT KOMPOSISI a. Sifat 1 Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh Dg ; Rg Df ; maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, aitu sebagai berikut. f (g h) = (f g) h Contoh Soal 18 Jika f() = 1, g() = a. f (g h)() b. (f g) h() +1, dan h() = 1, maka tentukanlah: a. g( h( ) )= g 1 = = Dengan demikian diperoleh: + 1 f ( g h)( ) = f b. f( g() )= f + 1 = + = + 1 = 1 = = ( ) ( )
19 Dengan demikian diperoleh: (( f g) h) () = ( f g)h() ( ) 1 = ( f g) 1 = Jadi, kesimpulanna (f g) h = f (g h). b. Sifat Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan identitas. Jika RI Df, maka terdapat sebuah fungsi identitas aitu: I() =, sehingga berlaku sifat identitas, aitu sebagai berikut. f I = I f = f Contoh Soal 19 Diketahui fungsi f: R R dengan f() = 5 7 dan fungsi I: R R dengan I() =. a. Rumus fungsi komposisi f I dan I f. b. Selidikilah apakah f I = I f = f. a. ( f I)( ) = f( I( ) )= f( ) ( I f)( ) I f( ) = ( ) = I( 5 7) = 5 7 = f( ) b. Berdasarkan hasil ang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa f I = I f = f c. Sifat Jika f dan g adalah fungsi ang ang berjenis sama (fungsi satu-satu, fungsi pada, atau fungsi bijektif), maka f g dan g f pun memiliki sifat ang sama dengan pembentukna. 19
20 Contoh Soal Diketahui f() = 4 dan g() = 1. Tunjukkan bahwa f g fungsi bijektif! Fungsi f() dan g() sudah terbukti bijektif pada contoh-contoh soal sebelumna. Menentukan (f g)() ( f g)( ) f g( ) = 4g( ) = 4( 1) = 4 7 = ( ) Akan dibuktikan (f g)() = 4 7 adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif. Pembuktian (f g)() adalah fungsi injektif: ( f g)( ) = ( f g)( ) = = 4 = 1 Terbukti (f g)() adalah fungsi satu-satu. Pembuktian (f g)() adalah fungsi pada: Terdapat, R dengan = ( f g)( ) = = = Terbukti (f g)() adalah fungsi pada. Jadi, dapat disimpulkan bahwa (f g)() merupakan fungsi bijektif, sama dengan sifat fungsi pembentukna. 0
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN
KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan
Lebih terperinci3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,
Lebih terperinciFungsi. Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si. October 26, Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko. Rollback Malaria :)
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 26, 2014 Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut
Lebih terperinciFUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi
Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinciLogika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat
Lebih terperinciFUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1
FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu
Lebih terperinciBAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:
A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah
Lebih terperinciMATERI : RELASI DAN FUNGSI KELAS : X. 1. Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan
MTERI : RELSI DN FUNGSI KELS : X Pemahaman Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi 4 3 Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi
Lebih terperinciTeori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan
Lebih terperinciOleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta
Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB II ALJABAR Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciOleh : Winda Aprianti
Oleh : Winda Aprianti Relasi Definisi Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara
Lebih terperinciBAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
. Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciMatematika
dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah
Lebih terperinciRchmd: rls&fngs-smk2004 1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:
BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperincimatematika wajib K-13 FUNGSI INVERS K e l a s f -1 Fungsi invers
K- matematika wajib K e l a s X FUNGSI INVERS tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian invers dan ungsi invers.. Memahami cara
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciHAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA
HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis
Lebih terperinciWahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.
Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd. FUNGSI Definisi Fungsi Diketahui 2 buah himpunan A dan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke, ditulis f : A didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota
Lebih terperinciFUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: Contoh: 1. y = f(x) g(x) 2. y = f(x) Syarat: f(x) 0
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
-- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciFUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.
FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciUnit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
Lebih terperinciBAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN
K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear
Lebih terperinciRelasi dan Fungsi. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Relasi Fungsi Daerah asal (domain) Daerah kawan (kodomain) Daerah hasil (range)
Bab Relasi dan Fungsi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciFungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
Lebih terperinciMateri Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI
Materi Kuliah Matematika Komputasi FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. FUNGSI Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam
Lebih terperinciLAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I
177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciNAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com
1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Bab 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mendeskripsikan konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian,
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciProduk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciBAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya
Lebih terperinciMODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN
Lebih terperincimatematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear
Lebih terperinciSOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
Lebih terperinciKALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciOPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciFUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
FUNGSI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 PENGERTIAN FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. A Fungsi
Lebih terperinciKOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN
Lebih terperinci2.4 Relasi dan Fungsi
2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu
Lebih terperinciLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciMODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
MODUL BAB KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi:. Menentukan komposisi dua ungsi dan invers suatu ungsi Kompetensi Dasar. Menentukan komposisi ungsi dari dua ungsi. Menentukan invers suatu
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N Pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubuungan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Jika a A dan pasangannya b B, maka ditulis
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciSilabus. Sekolah : : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi. Kegiatan Pembelajaran. Kompetensi Dasar.
Silabus Sekolah : Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI/ Ilmu Sosial Semester : II (Genap) Standar Kompetensi : 2. Menentukan Komposisi Dua Fungsi Dan Invers Suatu Fungsi : 35 x 45 Menit Kompetensi
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER
MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel
Lebih terperinciFUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI. Soleh Munawir dan Y.D. Sumanto
FUNGTOR KOVARIAN PADA KATEGORI Soleh Munawir YD Sumanto Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof H Soedarto, SH Tembalang Semarang 50275 e-mail
Lebih terperinciPENGERTIAN FUNGSI. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. 1. Pengertian Fungsi. dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari A ke B, ditulis f : A
BAB 3 FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua.
Lebih terperinciBAB 3. FUNGSI. Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 1st November 2016
BAB 3. FUNGSI Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 1st November 2016 Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 1 / 23 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Bentuk
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinci