BAB 3 FUNGSI. f : x y

Transkripsi

1 . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada himpunan Q. P Q y = f() f : y disebut variabel bebas y disebut variabel tak-bebas. Jika P dan y Q sehingga pasangan-terurut (, y) f, maka y disebut peta atau bayangan dari oleh fungsi f. Domain, Kodomain, dan Range ) Domain (daerah asal) fungsi f adalah himpunan P (D f ) ) Kodomain (daerah kawan) fungsi f adalah himpunan Q (K f ) ) Range (daerah hasil) fungsi f adalah himpunan semua peta P di Q (R f ). Diketahui f : R dan f dinyatakan oleh f () = + Jika daerah asal ditetapkan = {I, R}, a) Carilah f(), f(), f(), f() dan f() b) Gambarkan grafik fungsi y = f() = + dalam bidang Cartesius c) Carilah daerah hasil dari fungsi f a) f() = + f() = + = f() = + = f() = + = f() = + = 6 f() = + = 7 Universitas udi Luhur Suwato Komala

2 b) Grafik fungsi y = f() = c) Daerah hasil R f = {y I y 7, y R} Universitas udi Luhur 6 Suwato Komala

3 . Tentukan daerah asal alami (natural domain) dari tiap fungsi berikut ini : a) f() = b) F() = c) G() = 9 6 a) f() = ; supaya f() bernilai real maka atau Jadi, D f = { I R dan } b) F() = ; supaya F() bernilai real maka ( + )( ) Jadi, D F = { I ; R} c) G() = ; supaya G() bernilai real maka > ( )( ) > < atau > Jadi, D G = {I < atau > ; R} Universitas udi Luhur 7 Suwato Komala

4 . Macam-macam Fungsi da beberapa fungsi yang mempunyai ciri spesifik di antaranya : fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi genap, fungsi ganjil, fungsi modulus, dan fungsi tangga. a. Fungsi Konstan Untuk semua unsur dalam himpunan berkaitan hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan. Fungsi konstan ditulis f : k, k = konstanta, R. Grafik fungsi konstan merupakan garis yang sejajar dengan sumbu. uat diagram panah dan grafik pada bidang Cartesius untuk fungsi y =. ( dan bilangan bulat) Diagram panah Grafik pada bidang Cartesius - y = b. Fungsi Identitas Semua unsur dalam himpunan berkaitan dengan dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas y = untuk R uat diagram panah dan grafik pada bidang Cartesius untuk fungsi y =, ( dan bilangan cacah) Diagram panah Grafik pada bidang Cartesius y = Universitas udi Luhur 8 Suwato Komala

5 c. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f : y = f() disebut fungsi genap jika f(- ) = + f() Grafik fungsi genap selalu simetri terhadap sumbu Fungsi f : y = f() disebut fungsi ganjil jika f(- ) = - f() Grafik fungsi ganjil selalu simetri terhadap titik asal O Jika suatu fungsi y = f() tidak memenuhi keduanya maka disebut fungsi tak genap dan tak ganjil Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil? a) f() = b) f() = c) f() = + a) f() = f( ) = ( ) = f( ) = + f() f() = fungsi genap - b) f() = y = f() = f( ) = ( ) = f() = - f( ) = f() - f() = fungsi ganjil c) f() = + f( ) = ( ) + = + f() = ( + ) = f( ) + f() dan f( ) f() maka f() = bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil. Universitas udi Luhur 9 Suwato Komala

6 d. Fungsi Modulus Modulus atau nilai mutlak dari sebuah bilangan real +, jika > =, jika = -, jika < Diketahui fungsi f: I I dengan R Carilah f( ), f( ), f( ), f(), f(), f() dan f() f() = I I f( ) = l l = f( ) = I I = f( ) = I I = f() = I I = f() = I I = f() = I I = f() = l l = y = e. Fungsi Tangga Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai ulat Terbesar dalam perhitungan matematika sering dilakukan pembulatan,;,;,78 dan seterusnya untuk semua R dan < dibulatkan ke bawah menjadi,;,;,7 dan seterusnya yang kurang R dan < dibulatkan ke bawah menjadi. Suatu nilai bulat terbesar yang kurang dari dilambangkan dengan [[ ]]. < [[ ]] = < [[ ]] = < [[ ]] = < [[ ]] = < [[ ]] = Fungsi f: [[ ]] disebut fungsi nilai bulat terbesar Grafik fungsi y = f() = [[ ]] untuk R Universitas udi Luhur Suwato Komala

7 Grafiknya menyerupai tangga maka f() = [[ ]] sering disebut fungsi tangga y = f() = [[]] Sifat-sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif Fungsi f : disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah fungsi f sama dengan himpunan atau R f = Fungsi f : disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan atau R f atau R f. Himpunan = {,,,, } dan = {a, b, c, d} a b c d a b c d Fungsi f adalah fungsi onto R f = {a, b, c, d} R f = Fungsi f adalah fungsi into R f = {a, b, c} R f Universitas udi Luhur Suwato Komala

8 b. Fungsi Injektif Fungsi f : disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk tiap a, a dan a a berlaku f(a ) f(a ) Himpunan P = {,, } dan Q = {p, q, r}. P Q P Q p p q q r r Fungsi f adalah fungsi injektif Fungsi f bukan fungsi injektif Untuk mengetahui fungsi injektif atau bukan, dapat dilihat melalui grafik ) Gambarlah grafik fungsi y = f() pada bidang Cartesius ) mbillah nilai-nilai, anggota daerah asal dan a) Jika f( ) f( ) maka f merupakan fungsi injektif b) Jika f( ) = f( ) maka f bukan fungsi injektif. Manakah yang merupakan fungsi injektif di bawah ini : a) y = f() =, R b) y = f() =, R a y = f() = b y = f() = bukan fungsi injektif fungsi injektif Universitas udi Luhur Suwato Komala

9 c. Fungsi ijektif Fungsi f: disebut sebagai fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Fungsi f : Fungsi f : = {,, } dan = {a, b, c} = {,, } dan = {a, b, c, d} a b c a b c d fungsi f bijektif fungsi f bukan bijektif. Fungsi Komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi) Fungsi baru dapat dibentuk dengan operasi komposisi a. (f o g) (), dibaca: f komposisi g atau f g b. (g o f) (), dibaca, g komposisi f atau g f g f y = g() z = f(y) C h = f o g Fungsi g : Tiap dipetakan ke y Sehingga g : y ditentukan dengan rumus : y = g() Fungsi f : C. Tiap y dipetakan ke z C, sehingga f : y z ditentukan dengan rumus : z = f (y) Fungsi h : C. Tiap dipetakan ke z C, sehingga h : z ditentukan dengan rumus : z = h () Fungsi h disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g. Komposisi fungsi f dan g ditulis dengan notasi h = f o g atau h() = (f o g)() Universitas udi Luhur Suwato Komala

10 . Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan f() = dan g() =. Tentukan : a) (f o g) () b) (g o f) () a) f() = f(g()) =.g() (f o g)() = () = 8 b) g() = g(f()) =.f() (g o f) () = ( ) = 8. Fungsi-fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan-terurut f = {(-, ), (, 6), (, ), (8, )} g = {(, 8), (, ), (, ), (6, )} Tentukan : a) (f o g) d) (f o g) () b) (g o f) e) (g o f) () c) (f o g) () f) (g o f) () g f f g ( f o g ) ( g o f ) (f o g) = {(, ), (, 6), (, ), (6, )} (g o f) = {(, ), (, ), (, 8), (8, )} a) (f o g) () = 6 d) (g o f) () tidak ada b) (f o g) () tidak ada e) (g o f () = c) (g o f) () = f) (g o f) () tidak terdefinisi Universitas udi Luhur Suwato Komala

11 . Fungsi Invers Suatu fungsi f : mempunyai fungsi invers f : jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif atau himpunan dan mempunyai korespondensi satusatu. Jika fungsi f : pasangan terurut f : {(a, b) I a dan b } Maka invers fungsi f adalah f : adalah f = {(b, a) I b dan a } f y = f() f -. = {,,, } dan = {,, }. Fungsi : ditentukan oleh f = {(, ), (, ), (, ), (, )} Carilah invers fungsi f, kemudian selidikilah apakah invers fungsi f itu merupakan fungsi f - : ditentukan oleh f - = {(, ), (, ), (, ), (, )} f f Dari gambar terlihat f adalah relasi biasa (bukan fungsi) sebab terdapat dua pasangan terurut yang mempunyai ordinat sama yaitu (, ) dan (, ) Universitas udi Luhur Suwato Komala

12 . = {,, } dan = {,,, 7}. Fungsi : ditentukan oleh g = {(, ), (, ), (, )} Carilah invers fungsi g, kemudian selidikilah apakah invers fungsi g itu merupakan fungsi g : ditentukan oleh g = {(, ), (, ), (, )} g g Dari gambar terlihat g adalah relasi biasa (bukan fungsi) sebab ada sebuah anggota di yang tidak dipetakan ke, yaitu 7. = {,,, } dan = {,,, }. Fungsi h: ditentukan oleh h = {(, ), (, ), (, ), (, )}. Carilah invers fungsi h, kemudian selidikilah apakah invers fungsi h itu merupakan fungsi. h : ditentukan oleh h = {(, ), (, ), (, ), (, )} h h Dari gambar tampak bahwa h merupakan suatu fungsi. Jadi, h adalah fungsi invers. Universitas udi Luhur 6 Suwato Komala

13 . Carilah fungsi inversnya a) f() = + b) f() = a) y = + = y = f (y) f (y) = y f () = b) y = = y + = y = f (y) f (y) = y f () =. Fungsi f() = Carilah f () y = y( + ) = y + y = (y ) = y = y y = f (y) f (y) = y y f () = Universitas udi Luhur 7 Suwato Komala