Kesalahan Akibat Deferensiasi Numerik pada Sinyal Pengukuran Getaran dengan Metode Beda Maju, Mundur dan Tengah

Transkripsi

1 Kealahan Akibat Defereniai Numerik pada Sinyal Pengukuran Getaran dengan Metode Beda Maju, Mundur Tengah Zainal Abidin Fandi Purnama Lab. Dinamika Puat Rekayaa Indutri, ITB, Bandung ; ABSTRAK Dalam pengukuran getaran, proe defereniai ering dilakukan terhadap inyal impangan maupun kecepatan getaran. Proe defereniai ini biaanya dilakukan ecara numerik dalam DSA (Dynamic Signal Analyzer) ehingga hail defereniai memiliki penyimpangan terhadap nilai ebenarnya (teoritik). Mengingat eringnya proe ini dilakukan dalam praktek, pada makalah ini diajikan analii mengenai kealahan akibat defereniai numerik. Analii ini menghailkan uatu peramaan teoritik yang dapat digunakan untuk menentukan bear kealahan akibat defereniai numerik. Untuk mengindikaikan keabahan peramaan yang diperoleh, nilai dari peramaan terebut dicek kebenarannya dengan hail imulai numerik. Berdaarkan hail imulai ini, dapat diindikaikan bahwa peramaan yang telah diperoleh udah benar. Kata kunci: Metode numerik, defereniai numerik, beda maju, beda mundur, beda tengah. ABSTRACT In vibration meaurement, differentiation proce i often performed to diplacement a well a velocity ignal. Thi differentiation proce i uually done numerically in DSA (Dynamic Signal Analyzer) o that the reult of differentiation ha error with repect to the true (theoretical) value. Therefore, analye of error due to numerical differentiation proce i preented in thi paper. The error analye produce an equation which can determine the error value due to differentiation proce. Furthermore, the equation are validated with the imulation reult. Baed on the validation reult, it can be concluded that the equation which have been derived are correct. Keyword: Numerical method, numerical differentiation, forward difference, backward difference, centered difference. PENDAHULUAN Dalam pengukuran getaran, terdapat tiga bearan yang dapat diukur yaitu impangan, kecepatan, percepatan getaran. Secara matematik, ketiga bearan terebut memiliki hubungan yang ederhana antara atu bearan dengan yang lainnya. Kecepatan adalah defereniai terhadap waktu dari impangan percepatan adalah defereniai terhadap waktu dari kecepatan. Dalam pengukuran getaran, ering dilakukan proe defereniai dari inyal pengukuran getaran. Proe defereniai ini dilakukan ecara numerik dalam DSA (Dynamic Signal Analyzer) ehingga hail defereniai yang diperoleh memiliki penyimpangan (kealahan) terhadap nilai ebenarnya (teoritik) karena metode numerik merupakan metode pendekatan. Kajian mengenai pengaruh maing-maing umber kealahan terhadap hail defereniai inyal pengukuran udah pernah dilakukan oleh beberapa peneliti ebelumnya [1,2,3]. Kajian terebut maih berupa penelitian dari hail pengujian imulai pada kau-kau tertentu ehingga hailnya dikuatirkan berifat kauiti. Sampai aat ini belum ada penelitian teoritik yang mempelajari pengaruh parameter dalam defereniai terhadap bear kealahan hail defereniai. Bertolak dari permaalahan terebut, pada makalah ini diajikan analii ecara teoritik terhadap kealahan akibat proe defereniai numerik pada hail yang diperoleh. Dalam makalah ini, analii mengenai kealahan akibat defereniai numerik dibatai hanya pada defereniai pertama. Defereniai numerik dilakukan dengan menggunakan metode beda maju 73

2 JURNAL TEKNIK MESIN Vol. 11, No. 2, Oktober 2009: (forward difference), beda mundur (backward difference), beda tengah (centered difference). Selain itu, analii yang dilakukan dibatai hanya untuk inyal inuoidal karena berdaarkan deret Fourier fungi yang lain merupakan kombinai dari beberapa fungi inuoidal. METODE PENELITIAN Penelitian ini diawali dengan identifikai maalah yang terjadi yaitu kealahan hail defereniai inyal akibat proe defereniai numerik. Langkah elanjutnya adalah tudi literatur mengenai defereniai inyal erta literatur lain yang mendukung penulian analii penelitian. Tahap elanjutnya adalah analii mengenai kealahan hail defereniai numerik. Analii ini menghailkan uatu peramaan matematik yang dapat digunakan untuk menentukan kealahan hail defereniai numerik. Untuk meyakinkan bahwa peramaan matematik yang diturunkan udah benar, maka nilai dari peramaan terebut divalidai dengan hail imulai. Di ini, imulai dilakukan dengan bantuan program komputer yang dibuat pada program M-file yang teredia pada perangkat lunak MATLAB. Gambar 1. Hubungan antara Dteo(jω) ω HASIL DAN PEMBAHASAN FRF Fungi Defereniai Teoritik Numerik Analii kealahan akibat defereniai numerik dimulai dari penurunan peramaan FRF yang diperoleh dari fungi defereniai teoritik numerik. Berdaarkan kedua peramaan yang diturunkan, elanjutnya dapat diketahui hubungan antara keluaran maukan baik pada fungi defereniai teoritik maupun numerik. Dari hubungan ini, kemudian dapat diturunkan peramaan kealahan akibat defereniai numerik. Bear (magnitude) faa FRF dari defereniai teoritik dinyatakan dalam peramaan: Dteo(jω) = ω (1) π Dteo(jω) = rad. (2) 2 di mana Dteo(jω) menyatakan bear Dteo(jω) menyatakan faa FRF dari defereniai teoritik. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1, Dteo(jω) yang dinyatakan dalam db memiliki hubungan linear terhadap ω bila digambarkan dalam kala emilog. Sementara itu, pada Gambar 2 ditunjukkan bahwa faa Dteo(jω)bearnya adalah kontan untuk emua nilai ω. Gambar 2. Hubungan antara Dteo(jω) ω Bear faa FRF dari defereniai numerik ditentukan berdaarkan tiga metode yaitu metode beda maju, metode beda mundur metode beda tengah. Bear faa FRF dari defereniai numerik yang dilakukan dengan metode beda maju dinyatakan dalam peramaan: Df(jη) = ω ω in ( π ) (3) Df(jη) = + ( π ) (4) 2 ω di mana Df(jη) menyatakan bear Df(jη) menyatakan faa FRF dari defereniai numerik yang dilakukan dengan metode beda maju erta ω menyatakan frekueni cuplik. Bear faa FRF dari defereniai numerik yang dilakukan dengan metode beda mundur dinyatakan dalam peramaan Db(jη) = ω ω in ( π ) (5) Db(jη) = + ( π ) (6) 2 ω di mana Db(jη) menyatakan bear Db(jη) menyatakan faa FRF dari defereniai numerik 74

3 Abidin, Kealahan Akibat Defereniai Numerik pada Sinyal Pengukuran Getaran dengan Metode Beda Maju, Mundur Tengah yang dilakukan dengan metode beda mundur. Bear faa FRF dari defereniai numerik yang dilakukan dengan metode beda tengah dinyatakan dalam peramaan Dc(jη) = ω ω in (2π ) 2π ω (7) π Dc(jη) = (8) 2 di mana Dc(jη) menyatakan bear Dc(jη) menyatakan faa FRF dari defereniai numerik yang dilakukan dengan metode beda tengah. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 3, FRF beda maju memiliki bear yang ama dengan bear FRF dari fungi defereniai numerik dengan metode beda mundur egkan FRF dari fungi defereniai numerik dengan metode beda tengah memiliki bear yang lebih rendah dibanding dengan bear FRF dari fungi defereniai numerik dengan metode beda maju beda mundur. Sementara itu, pada Gambar 4 ditunjukkan bahwa faa FRF beda maju beda mundur memiliki hubungan yang linear terhadap ω/ω egkan faa FRF dari fungi defereniai numerik dengan metode beda tengah bearnya adalah kontan untuk emua nilai ω/ω. Kealahan Makimum dari Fungi Defereniai Numerik Pada penelitian ini, kealahan makimum yang terjadi pada defereniai numerik didefiniikan ebagai nilai makimum dari perbedaan (eliih) antara keluaran defereniai teoritik dalam bentuk dikrit (vteo(kt)) keluaran defereniai numerik (vnum(kt)), dibagi dengan amplitudo keluaran defereniai teoritik (Vteo). Secara matematik, kealahan makimum ini dinyatakan dalam peramaan Gambar 3. Hubungan antara Dnum(jη) ω/ω Gambar 4. Hubungan antara Dnum(jη) ω/ω v teo( kt) vnum( kt) E = num max (9),max Vteo Berdaarkan Peramaan (9) kealahan makimum dari fungi defereniai numerik dengan metode beda maju, beda mundur beda tengah dinyatakan dalam bentuk peramaan: (10) (11) (12) di mana Ef,max(r) menyatakan kealahan makimum beda maju, Eb,max(r) menyatakan kealahan makimum dari fungi defereniai numerik dengan metode beda mundur, Ec,max(r) menyatakan kealahan makimum dari fungi defereniai numerik dengan metode beda tengah, ω r = (13) ω Pada Gambar 5 ditunjukkan bahwa defereniai numerik dengan metode beda mundur beda maju memiliki nilai kealahan makimum yang ama egkan kealahan makimum pada defereniai numerik dengan metode beda tengah memiliki nilai yang lebih kecil dibanding dengan kealahan makimum pada defereniai numerik dengan metode beda maju beda mundur. Selain itu, dapat diungkapkan bahwa ketiga metode yaitu metode beda maju, beda mundur, beda tengah menghailkan kealahan makimum yang emakin bear nilainya dengan bertambahnya nilai r. 75

4 JURNAL TEKNIK MESIN Vol. 11, No. 2, Oktober 2009: Gambar 5 Hubungan antara kealahan makimum defereniai numerik r Kealahan Amplitudo dari Fungi Defereniai Numerik Selain dinyatakan dalam bentuk kealahan makimum, kealahan defereniai numerik juga dapat dinyatakan dalam bentuk kealahan amplitudo yang terjadi pada defereniai numerik. Kealahan amplitudo yang dimakud didefiniikan ebagai perbedaan (eliih) antara amplitudo keluaran dari defereniai teoritik (Vteo) amplitudo keluaran dari defereniai numerik (Vnum), dibagi dengan amplitudo keluaran dari defereniai teoritik. Secara matematik, kealahan amplitudo ini dinyatakan dalam peramaan Vteo Vnum Enum.A = (14) Vteo Berdaarkan Peramaan 14 kealahan amplitudo dari fungi defereniai numerik dengan metode beda maju, beda mundur, beda tengah dinyatakan dalam bentuk peramaan in ( πr) Ef.A(r) = 1 - (15) πr in( πr) Eb.A(r) = 1 - (16) πr in(2πr) Ec.A(r) = 1 - (17) πr di mana Ef.A(r) menyatakan kealahan amplitudo beda maju, Eb.A(r) menyatakan kealahan amplitudo beda mundur, Ec.A(r) menyatakan kealahan amplitudo dari fungi defereniai numerik dengan metode beda tengah. Pada Gambar 6 ditunjukkan bahwa defereniai numerik dengan metode beda mundur beda maju memiliki nilai kealahan amplitudo yang ama egkan kealahan amplitudo pada defereniai numerik dengan metode beda tengah memiliki nilai Gambar 6. Hubungan antara kealahan amplitudo defereniai numerik r yang lebih bear dibanding dengan kealahan amplitudo pada defereniai numerik dengan metode beda maju beda mundur. Selain itu, dapat diungkapkan bahwa ketiga metode yaitu metode beda maju, beda mundur, beda tengah menghailkan kealahan amplitudo yang emakin bear nilainya dengan bertambahnya nilai r. Validai Peramaan Kealahan Makimum Kealahan Amplitudo dari Fungi Defereniai Numerik Setelah dikembangkan peramaan kealahan makimum kealahan amplitudo dari fungi defereniai numerik untuk etiap metode, maka peramaan ini perlu divalidai. Validai yang dilakukan diperlukan untuk meyakinkan bahwa peramaan yang diturunkan udah benar. Validai ini dilakukan dengan cara membandingkan nilai kealahan yang didapat dari peramaan dengan nilai kealahan yang didapat dari hail imulai. Simulai dilakukan dengan cara memilih uatu inyal dikrit dengan perbandingan frekueni inyal frekueni cuplik yang berbeda-beda. Sinyal dikrit terebut didefereniaikan baik ecara teoritik maupun ecara numerik. Selanjutnya ditentukan eliih antara inyal yang diperoleh dari hail defereniai numerik inyal yang diperoleh dari hail defereniai teoritik. Untuk mendapatkan kealahan makimum, eliih yang diperoleh perlu terlebih dahulu dibagi dengan amplitudo inyal yang diperoleh dari hail defereniai teoritik. Kemudian, dari hail pembagian ini ditentukan nilai makimum dari kealahan pada defereniai numerik. Sementara itu, untuk mendapatkan kealahan amplitudo yang terjadi pada defereniai numerik perlu terlebih dahulu ditentukan pektrum linier dari inyal yang diperoleh baik dengan metode defereniai numerik maupun defereniai teoritik. Kemudian, berdaarkan pektrum yang diperoleh 76

5 Abidin, Kealahan Akibat Defereniai Numerik pada Sinyal Pengukuran Getaran dengan Metode Beda Maju, Mundur Tengah ditentukan amplitudo pektrum yang menyatakan amplitudo inyal inuoidal yang diperoleh dari kedua metode defereniai. Setelah diperoleh amplitudonya maka dapat ditentukan eliih antara amplitudo inyal hail defereniai numerik amplitudo inyal hail defereniai teoritik. Untuk mendapatkan kealahan amplitudo, eliih yang diperoleh perlu terlebih dahulu dibagi dengan amplitudo inyal hail defereniai teoritik. Dalam imulai ini terdapat tiga kau yang dibedakan berdaarkan variai nilai variabel r, yaitu 0,10, 0,29, 0,44, ebagaimana ditunjukkan pada Tabel 1. Sinyal yang didefereniaikan berupa inyal inu dengan amplitudo (A) yang divariaikan pada beberapa nilai yaitu 1, 2 3. Pada aat yang ama frekueni inyal (f) divariaikan untuk etiap nilai amplitudo yang dimakud yaitu 1, 2 7 Hz. Sebelum didefereniaikan inyal inu dicuplik dengan frekueni pencuplikan (f) ebagai berikut 10, 7 16 Hz. Berikut ini diajikan hail imulai dari ketiga kau di ata. Gambar 7, menunjukkan inyal ebelum didefereniaikan yaitu inyal kontinu a(t) inyal dikrit a(kt). Sinyal a(kt) diperoleh dari pencuplikan inyal kontinu dari maing-maing kau. Gambar 8, menunjukkan inyal hail defereniai yang diperoleh baik ecara numerik maupun ecara teoritik. Selanjutnya, pada Tabel 2 ditunjukkan kealahan yang terjadi pada tiap kau baik yang diperoleh dari kealahan makimum maupun kealahan amplitudo. Kealahan makimum diperoleh dengan cara menentukan nilai makimum dari kealahan yang ditunjukkan pada Gambar 9, Kealahan amplitudo diperoleh berdaarkan amplitudo pektrum inyal hail defereniai teoritik amplitudo pektrum inyal hail defereniai numerik, yang maing-maing ditunjukkan pada Gambar 10, Gambar 8. Sinyal vteo(kt) vnum(kt) pada kau 1 Gambar 9. Grafik kealahan defereniai numerik pada kau 1 Gambar 10. Spektrum linear vteo(kt) vnum(kt) pada kau 1 Tabel 1. Nilai r, A, f, Untuk Setiap Kau Kau A f (Hz) (Hz) 1 0, , , Gambar 11. Sinyal x(t) x(kt) pada kau 2 Gambar 7. Sinyal x(t) x(kt) pada kau 1 Gambar 12. Sinyal vteo(kt) vnum(kt) pada kau 2 77

6 JURNAL TEKNIK MESIN Vol. 11, No. 2, Oktober 2009: Gambar 13. Grafik kealahan defereniai numerik pada kau 2 Gambar 18. Spektrum linear vteo(kt) vnum(kt) pada kau 3 Tabel 2. Nilai Kealahan Makimum Kealahan Amplitudo Defereniai Numerik dari Hail Simulai Gambar 14. Spektrum linear vteo(kt) vnum(kt) pada kau 2 Kau r Metode Emax(%) EA (%) Vteo Vnum Simulai Simulai Beda maju 30,90 6,28 6,17 1,64 1 0,10 Beda mundur 30,90 6,28 6,17 1,64 Beda tengah 6,45 6,28 5,87 6,45 Beda maju 81,73 25,10 21,86 12,90 2 0,29 Beda mundur 81,73 25,10 21,86 12,90 Beda tengah 45,69 25,10 13,63 45,69 Beda maju 110,36 131,76 94,02 28,64 3 0,44 Beda mundur 110,36 131,76 94,02 28,64 Beda tengah 86,08 131,76 18,34 86,08 Tabel 3. Perbandingan Antara Nilai Kealahan Makimum Kealahan Amplitudo Defereniai Numerik dari Peramaan Hail Simulai Gambar 15. Sinyal x(t) x(kt) pada kau 3 Gambar 16. Sinyal vteo(kt) vnum(kt) pada kau 3 Kau r Metode Emax (%) EA (%) Sim Per Sim Per Beda maju 30,90 31,07 1,64 1,64 1 0,10 Beda mundur 30,90 31,07 1,64 1,64 Beda tengah 6,45 6,45 6,45 6,45 Beda maju 81,73 82,01 12,90 12,90 2 0,29 Beda mundur 81,73 82,01 12,90 12,90 Beda tengah 45,69 45,69 45,69 45,69 Beda maju 110,36 110,94 28,64 28,64 3 0,44 Beda mundur 110,36 110,94 28,64 28,64 Beda tengah 86,08 86,08 86,08 86,08 Pada Tabel 3 ditunjukkan perbandingan antara kealahan defereniai numerik yang didapat dari peramaan kealahan defereniai numerik yang didapat dari imulai. Kealahan yang dibandingkan mencakup kealahan makimum kealahan amplitudo. Hail pembandingan menunjukkan bahwa kealahan yang dihitung berdaarkan peramaan memiliki keeuaian dengan kealahan yang diperoleh dari hail imulai. KESIMPULAN Gambar 17. Grafik kealahan defereniai numerik pada kau 3 Berdaarkan peramaan matematik yang dikembangkan dapat diimpulkan bahwa ketiga metode yaitu metode beda maju, beda mundur, beda tengah menghailkan kealahan makimum kealahan amplitudo yang emakin bear nilainya dengan bertambahnya nilai r. 78

7 Abidin, Kealahan Akibat Defereniai Numerik pada Sinyal Pengukuran Getaran dengan Metode Beda Maju, Mundur Tengah Selain itu, juga dapat diimpulkan bahwa defereniai numerik dengan metode beda mundur beda maju memiliki nilai kealahan makimum kealahan amplitudo yang ama. Sementara itu, defereniai numerik dengan metode beda tengah memiliki kealahan makimum yang lebih kecil dibanding dengan kealahan makimum pada difereniai numerik dengan metode beda maju beda mundur. Sebaliknya kealahan amplitudo pada defereniai numerik dengan metode beda tengah memiliki nilai yang lebih bear dibanding dengan kealahan amplitudo pada difereniai numerik dengan metode beda maju beda mundur. DAFTAR PUSTAKA 1. Avitabile, P. Hodgkin, J., Numerical Evaluation of Diplacement and Acceleration for A Ma, Spring, Dahpot Sytem. Proceeding of the 2004 American Society for Engineering Annual Conference & Expoition, Avitabile, P. Zandt, T. V., Developing A Virtual Model of a Second Order Sytem to Simulation Real Laboratory Meaurement Problem. Proceeding of 2004 IMECE, Anaheim, CA, Zandt, T. V., Numerical Integration and Differentiation Tutorial. Univerity of Maachuett Lowell,