Aplikasi Transformasi Laplace Pada Rangkaian Listrik

Transkripsi

1 JURNA FOURIER April 013, Vol., No. 1, ISSN 5-763X Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik Arifin, Muhammad Wakhid Muthofa, dan Sugiyanto Program Studi Matematika Fakulta Sain dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marda Adiucipto No. 1 Yogyakarta, Indoneia Korepondeni; Sugiyanto, ugimath@yahoo.com Abtrak Menyeleaikan peramaan diferenial ering terkendala oleh maalah yarat awal atau yarat bata. Maalah yarat bata ini ering dijumpai pada penerapan peramaan diferenial, alah atunya adalah rangkaian litrik. Metode yang dapat digunakan untuk menyeleaikan maalah yarat bata pada peramaan diferenial alah atu diantaranya adalah metode tranformai aplace. Tranformai aplace yang didefiniikan dengan f(t)} e t f(t) dt 0 dapat digunakan untuk mencari olui dari uatu item peramaan diferenial koefiien kontan. Metode penyeleaian uatu rangkaian itrik dengan menggunakan tranformai aplace adalah dengan mengubah peramaan diferenial dari domain waktu (t) ke dalam domain frekueni (), memetakan maalah nilai awal ke dalam peramaan pembantu, menyeleaikan dengan perhitungan aljabar, dan menggunakan inver tranformai aplace untuk mendapatkan olui khuu ecara langung dari item peramaan diferenial rangkaian litrik terebut. Kata Kunci: Abtract Reolving differential equation i often contrained by problem of initial requirement or boundary condition. The problem of boundary condition i often found in the application of differential equation, one of which i the electrical circuit. The method that can be ued to olve the problem of boundary condition on the differential equation i one of them i the aplace tranform method. aplace tranform defined by f(t)} e t f(t) dt 0 can be ued to find the olution of a ytem of contant coefficient differential equation. The method of completion of an electrical circuit by uing aplace tranform i by changing the differential equation of the time domain (t) into the frequency domain (), mapping the initial value problem into the helper equation, olving it by algebraic calculation, and uing aplace invere tranformation to obtain the olution Specifically directly from the ytem of differential equation of the electrical circuit. Keyword Pendahuluan Metode Tranformai aplace (aplace Tranformation) merupakan uatu metode yang dapat digunakan untuk menyeleaikan peramaan diferenial, yang memetakan maalah nilai awal ke dalam uatu peramaan aljabar atau uatu item peramaan yang dapat dieleaikan dengan metode aljabar dan tabel tranformai aplace. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marqua De aplace ( ) eorang matematikawan Peranci dan eorang guru bear di Pari. Dengan metode tranformai aplace akan dihailkan olui khuu ecara langung euai dengan kondii maalah nilai awal yang diberikan. Rangkaian litrik adalah uatu kumpulan elemen atau komponen litrik yang aling dihubungkan dengan cara-cara tertentu dan paling edikit mempunyai atu lintaan tertutup. Suatu rangkaian litrik dapat dimodelkan ke dalam uatu peramaan diferenial, yaitu peramaan diferenial orde dua koefiien kontan. Oleh ebab itu, olui rangkaian litrik terebut dapat ditentukan dengan menggunakan 013 JURNA FOURIER Veri online via

2 46 Arifin, et al. tranformai aplace. Namun, ada uatu rangkaian yang tidak menimbulkan maalah atau keulitan untuk dianalia dengan matematika biaa, yaitu rangkaian yang hanya memuat atu elemen rangkaian litrik. Elemen rangkaian litrik dapat dikelompokkan ke dalam elemen atau komponen aktif dan paif. Elemen aktif adalah elemen yang menghailkan energi, dalam hal ini adalah umber tegangan dan umber aru. Elemen lain adalah elemen paif dimana elemen ini tidak dapat menghailkan energi, yaitu elemen yang hanya dapat menyerap energi (reitor), elemen yang dapat menyimpan energi (induktor) dan elemen yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet (kapaitor). Suatu rangkaian yang ulit dapat dianalii/dieleaikan dengan menggunakan tranformai aplace. Hal ini diebabkan oleh karakteritik dari tiap-tiap elemen rangkaian litrik yang berbeda mekipun ecara definitive v R, v dan v C adalah bearnya aru yang mengalir pada elemen R,, dan C. Penyeleaian Peramaan Diferenial Dengan Tranformai aplace Penerapan yang cukup penting dari tranformai aplace alah atunya adalah untuk menentukan penyeleaian peramaan diferenial linear dengan koefiien kotan. Dalam kripi ini hanya dibatai pada peramaan diferenial orde dua koefiien kontan. Metode tranformai aplace ecara khuu digunakan untuk menyeleaikan peramaan diferenial dan memenuhi yarat awal. Untuk menyeleaikan peramaan diferenial ini adalah dengan mengambil tranformai aplace dari peramaan diferenial yang diberikan, lalu menggunakan yarat-yarat awalnya. Ini memberikan uatu peramaan aljabar dalam tranformai aplace dari penyeleaian yang diinginkan. Dengan mengambil inver dari tranformai aplace yang telah dibentuk maka diperoleh penyeleaiannya. Berikut ini diberikan proedur/ langkah-langkah mencari penyeleaian uatu peramaan diferenial linear orde dua berkoefiien kontan menggunakan tranformai aplace (John Bird, 007: 637). Diberikan uatu peramaan diferenial linear orde dua, yaitu: Dengan yarat awal y(0) dan y (0). ay + by + cy r(t) (1) 1) angkah pertama. Bentuk Peramaan ke dalam tranformai aplace. y(t)} Y() dan r(t)} R(). Dengan menerapkan tranformai aplace pada kedua rua peramaan (1), maka dihailkan: ay + by + cy} y(t)} ay } + by } + cy} R() a[ Y() y(0) y (0)] + b[y() y(0)] + cy() R() () ) angkah kedua. Maukkan nilai awal y(0) dan y (0) erta uun peramaan () ke dalam Y() (peramaan pembantu) [a + b + c] [a + b] ay (0) R() [a + b + c]y() [a + b]y(0) + ay (0) R() Y() [a+b]y(0)+ay (0)+R() [a +b+c] (3) JURNA FOURIER (013)

3 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 47 3) angkah ketiga. Jika mengandung pecahan parial, maka gunakan metode jumlahan pecahan parial untuk menyeleaikan peramaan (3). Y() [a+b]y(0)+ay (0) a +b+c + R() a +b+c (4) 4) angkah keempat. Ambil inver tranformai aplace peramaan (4) maka diperoleh olui/penyeleaian untuk peramaan (1). 1 Y()} y(t) 1 [a + b]y(0) + ay (0) a + b + c R() } + 1 a + b + c } Contoh 1. Carilah penyeleaian dari y + 4y 3y 0, dengan yarat awal y(0) 4 & y (0) 9. Dengan menggunakan proedur/ langkah-langkah di ata, maka diperoleh: Untuk y(0) 4 dan y (0) 9, maka: y + 4y 3y} 0} y } + 4y } 4y} 0 Y() y(0) y (0) + 5Y() 5y(0) 3Y() 0 Y() Y() 0 3Y() 0 Y() [ + 5 3]Y() Menggunakan metode jumlahan pecahan parial, maka: Diperoleh, ( 1)( + 3) Untuk 3 maka 14 7B atau B. Untuk 1 maka 4 7 A atau A 1. Jadi, Y() Dengan inver tranformai aplace didapat, A ( 1) + B ( + 3) A( + 3) + B( 1) ( 1) ( + 3) 1 Y()} y(t) 1 1 ( 1) } 1 ( + 3) } JURNA FOURIER (013) 45-61

4 48 Arifin, et al. y(t) 1 1 ( 1 } 1 ) ( + 3) } 6 1 ( 1 } 1 1 ) ( + 3) } y(t) 6e 1 t e 3t Jadi, olui dari peramaan diferenial terebut yaitu, y(t) 6e 1 t e 3t. Contoh. Tentukan olui dari y 4y 4y 8t, dengan yarat awal y(0) 0 & y (0) 1. Seperti penyeleaian pada contoh 1 maka diperoleh, y 4y 4y} 8t} y } 4y } 4y} 8t} Y() y(0) y (0) 4Y() + 4y(0) 4Y() 8 Y() 1 4Y() 4Y() 8 Y() ( 4 4)Y() ( 4 4) + 1 ( 4 4) Y() 8 ( ) + 1 ( ) Y() tidak mengandung pecahan parial, maka langung ditentukan y(t) yang merupakan olui yang di inginkan. 1 y(t) ( ) } ( ) } Untuk 1 ( ) } tet, edangkan untuk 1 aplace. Telah diketahui 1 ( ) } tet, dan ( ) } ueu 0 t 1 ( ) }, dieleaikan dengan integral tranformai du 1 ueu 1 t 4 eu 1 0 tet 1 4 et Diperoleh, 1 1 ( ) } (1 ueu 1 4 eu ) du 0 t JURNA FOURIER (013)

5 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 49 t 1 4 ueu 1 4 eu u tet 1 4 et t Jadi, y(t) ( ) } ( ) } y(t) 8 ( 1 4 tet 1 4 et t ) + 1tet y(t) 14te t e t + t + Contoh 3. Diberikan peramaan diferenial, y 4y + 8y 8e t co t + 6e t in t, dengan yarat awal y(0) 4 dan y (0) 10. Jika kedua rua ditranformai ke dalam tranformai aplace, maka: y 4y + 8y} 8e t co t + 6e t in t} Y() y(0) y (0) 4Y() + 4y(0) + 8Y() Untuk yarat awal y(0) 4 dan y (0) 10, maka: ( 4 + 8)Y() (( ) + 4)Y() Y() Y() Y() 8( ) ( ) () ( ) + 4 8( ) ( ) ( ) + 4 8( ) ( ) [( ) + 4] ( ) + 4 8( ) ( ) [( ) + 4] ( ) + 4 8( ) ( ) [( ) + 4] ( ) + 4 8( ) ( ) ( ) [( ) + + 4] ( ) ( ) + 4 alu menggunakan inver tranformai aplace, maka diperoleh, y(t) 8 1 ( ) ( ) + 4 } [( ) + 4] } + ( ) 4 1 ( ) + 4 } + 1 ( ) + 4 } 8et 4 t in t 8et 16 (in t t co t) + 4et co t + e t in t y(t) te t in t 3 tet co t + 4e t co t + 7 et in t JURNA FOURIER (013) 45-61

6 50 Arifin, et al. Elemen Rangkaian itrik Dalam Domain-S Untuk dapat mentranformai uatu rangkaian litrik ke dalam tranformai aplace, maka perlu didefiniikan elemen-elemen di dalam rangkaian terebut ke dalam domain-. Adapun tranformai elemen-elemen rangkaian litrik ke dalam domain- didefiniikan ebagai berikut (John Bird, 007: 640). 1. Reitor (R) Dalam domain waktu (t), reitor didefiniikan oleh hukum Ohm, yaitu: Tranformai aplace dari peramaan ini yaitu, Diperoleh v R di dalam domain-, v R (t) Ri(t) v R (t)} Ri(t)} RI(). Kapaitor (C) Sebuah kapaitor dalam domain waktu (t) didefiniikan ebagai, v R () Ri() (5) i(t) C dv c (t) dt atau v C (t) 1 i(t) dt C Tranformai aplace dari peramaan ini yaitu, Diperoleh impedani kapaitor dalam domain-, v C (t)} 1 C i(t) dt} 1 I() C 3. Induktor () Sebuah induktor dalam domain waktu (t) didefiniikaan ebagai, Tranformai aplace dari peramaan ini yaitu, v c () 1 I(t) (6) C v (t) di(t) dt v (t)} di } I() i(0) dt Impedani Induktor dalam domain- didefiniikan oleh, v () [I() i(0)] (7) JURNA FOURIER (013)

7 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 51 Jika diberikan uatu rangkaian litrik, maka proedur/langkah-langkah untuk mencari penyeleaiannya dengan menggunakan tranformai aplace yaitu, (John Bird, 007:64): 1. Gunakan hukum yang berlaku pada rangkaian terebut untuk menentukan peramaan diferenialnya (Hukum Kirchoff dan hukum Ohm).. Ambil tranformai aplace pada kedua rua peramaan yang terbentuk. 3. Maukkan nilai awal yang diberikan dan uun peramaan pembantu. 4. Gunakan inver tranformai aplace untuk menentukan penyeleaiannya. Contoh 4. Diberikan uatu rangkaian -R-C eperti pada Gambar 1 tentukan bear aru yang mengalir dalam rangkaian terebut jika pada aat t 0 diberi tegangan ebear v dan i(0) 0. Gambar 1 Rangkaian litrik atu. Pada rangkaian litrik (Gambar 1) dapat dibentuk ebuah peramaan diferenial dengan menggunakan hukum II Kirchoff yaitu: v 0 v + v R + v C v(t) 0 atau v(t) v + v R + v C v di(t) dt + Ri(t) + 1 i(t) dt C Ambil tranformai aplace pada kedua rua peramaan dan maka diperoleh, Dengan ubtitui i(0) 0, maka: v} di(t) dt + Ri(t) + 1 i(t) dt} C v v i(0) v i(0) I() + i(0) + RI() + [ + R + 1 C ] + R + 1 C v I() + R + 1 C v [ + ( R ) + 1 C ] + ( R ) + 1 C JURNA FOURIER (013) 45-61

8 5 Arifin, et al. Dengan penggunaan kuadrat empurna, maka: I() I() [ + ( R ) + ( R ) ] + [ 1 C ( R ) ] ( + R ) ( + R ) 1 + ( 1 C ( R ) ) + ( 1 ) ( + R ) ( 1 ) Dengan memialkan b 1 ( R C ), dan a ( R ), maka: I() 1 b ( + a) + b Dengan menggunakan inver tranformai aplace, maka diperoleh 1 I()} i(t) 1 b 1 C ( R ) ( + a) + b } b ( + a) + b } e at in bt Jadi, dengan menubtitui nilai a dan b, maka diperoleh olui untuk rangkaian pada Gambar 1 di ata yaitu: JURNA FOURIER (013)

9 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 53 i(t) 1 e Rt in ( 1 ) t (A) Contoh 5. Tentukan bear aru yang mengalir dalam rangkaian berikut ini jika aklar ditutup pada aat t 0. Gambar Rangkaian litrik dua. Dengan menggunakan hukum II Kirchoff diperoleh v 0 0,1 di(t) dt Jika ditranformai ke domain- maka, 0,1 di(t) dt v + v R + v C v(t) 0 + 5i(t) + + 5i(t) + 0,1I() + 0,1i(0) + 5I() + I() [0, x10 6 i(t) dt 0 1 i(t) dt } 0} 0x10 6 I() 0x x10 6 ] 0,1i(0) Saklar baru dinyalakan ehingga pada aat awal belum ada aru yang mengalir (i(0) 0). Jadi, I() I() [0, x104 ] [0, x10 4 ] 0,1[ x10 4 ] 0 ( x10 4 ) JURNA FOURIER (013) 45-61

10 54 Arifin, et al. 0 ( (5) ) + (5x10 5 (5) ) 0 ( + 5) + (499375) 0 ( + 5) + (499375) 0 ( + 5) + (499375) Diperoleh i(t) 1 I()}, yaitu: 0 ( + 5) + ( (499375)) ( + 5) + ( (499375)) I() 0 706, ( + 5) + (706,7) i(t) 1 I()} 1 0, ,7 ( + 5) + (706,7) } 0, ,7 ( + 5) + (706,7) } 0,083 e 5t in 706,7t (A) Jadi, bear aru litrik yang mengalir pada rangkaian di ata, yaitu: 0,083 e 5t in 706,7t Ampere. Contoh 6. Tentukan bear aru yang mengalir jika aklar ditutup pada aat t 0 dalam rangkaian berikut ini! Gambar 3 Rangkaian litrik tiga. JURNA FOURIER (013)

11 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 55 Dari Gambar 3 diperoleh peramaan dengan menggunakan hukum II Kirchoff: Peramaan pada loop I: Dan peramaan loop II: 10i 1 + 0,0 di 1 dt 0,0 di dt ,0 di dt + 5i 0,0 di 1 dt 0 Jika kedua peramaan ditranformai ke domain-, maka diperoleh: 10i 1 + 0,0 di 1 dt 0,0 di 100} 0} dt 10I 1 + 0,0I 1 () 0,0I () dan (10 + 0,0)I 1 () 0,0I () 100 0,0 di dt + 5i 0,0 di 1 dt } 0} 0,0I () + 5I () 0,0I 1 () 0 (8) Dari peramaan (9), diperoleh (0,0 + 5) 0,0I () 0 (9) Jika peramaan (10) diubtituikan ke dalam peramaan (8), maka (10 + 0,0)I 1 () 0,0 ( + 50 I 1()) 100 I () 0,0I () I (0,0+5) +50 1() (10) I 1 () (10 + 0,0 0, ) 100 I 1 () ( , ,0 ) I 1 ()( ) I 1 () 100( + 50) 100( + 50) 100( + 50) ( ) 15( + 166,667) 6,667(+50) (+166,667) (11) JURNA FOURIER (013) 45-61

12 56 Arifin, et al. Menggunakan metode jumlahan pecahan parial, maka diperoleh I 1 () 6,667(+50) (+166,667) A + B +166,667 atau 6,667( + 50) A( + 166,667) + B Untuk 0, 6,667(50) A(166,667) atau A 10 Untuk 166,667, 6,667(83,334) 166,667B atau B 3,334 Jadi, didapatkan nilai I 1 (), yaitu: I 1 () + 50) (6,667( + 50 ( + 166,667) ) I () 6,667 ( + 166,667) Dengan menggunakan inver tranformai aplace maka diperoleh penyeleaian untuk I 1 () dan I () yaitu: 1 I 1 ()} , ,667 } i 1 (t) 10 3,334e 166,667t (A) dan 1 I 1 ()} 1 6, ,667 } i 1(t) 10 3,334e 166,667t (A). Contoh 7. Tentukan bear aru yang mengalir jika aklar ditutup pada aat t 0 dalam rangkaian berikut ini! Gambar 4 Rangkaian litrik empat. Dari Gambar 4 di ata diperoleh peramaan dengan menggunakan hukum II Kirchoff. Peramaan pada loop I: Dan peramaan loop II: 10i , i 1 dt + 10i 50 10i + 10i 1 50 Jika kedua peramaan terebut ditranformai ke domain- maka diperoleh peramaan: 10I 1 () + 5 I 1 () + 10I () 50 ; dan (1) JURNA FOURIER (013)

13 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 57 50I () + 10I 1 () 50 (13) Dari peramaan (13), diperoleh I () Dengan menubtitui peramaan (14) ke dalam peramaan (1), maka: 10I 1 () + 5 I 1() 50 10I I 50 1() (14) + 10 [ I 1()] 50 I 1 () [8 + 5 ] 40 I 1 () [ ] 40 Dengan menubtitui peramaan (15) ke dalam peramaan (1), maka 50 I () 10I 1 50 I 1 () ,65 (15) [ 5 + 0,65 ] ,65 (16) Dengan menggunakan inver tranformai aplace maka diperoleh penyeleaian untuk I 1 (), dan I () yaitu: 1 I 1 ()} ,65 } Dan i 1 (t) 5e 0,65t (A) 1 I ()} ,65 } i (t) 1 e 0,65t (A) Contoh 8. Diberikan uatu rangkaian di bawah ini. Saklar S 1 ditutup pada aat t 0, tetapi pada aat yang ama aklar S dibuka. Tentukan v out (t) pada aat t > 0. JURNA FOURIER (013) 45-61

14 58 Arifin, et al. Gambar 5 Rangkaian litrik lima. Dari rangkaian, terdapat dua kondii awal yang diberikan yaitu nilai tegangan awal, v C (0 ) untuk kapaitor yaitu eberar 3 Volt, dan nilai aru awal ebear Ampere untuk Induktor 1 atau i 1 (0 ) A. Untuk t > 1, lalu ubah rangkaian gambar 5 ke dalam domain- eperti berikut. Gambar 6 Rangkaian litrik enam. Dari gambar 6 aru dalam induktor 1 digantikan oleh umber tegangan 1V. Ini diperoleh dari 1 i 1 (0 ) 1V. alu dengan menggunakan hokum II Kirchoff, diperoleh: V out () V out () 1 Kemudian peramaan (17) diederhanakan menjadi V out () V out () + 3 V out () 4 4 ( ) ( ) 0 (17) V out() + V out() 0 + V out () + V out() 0 V out () ( + 3) V out() + V out() 0 V out () ( + 3) ( ) ( ) + V out()( ) ( V out()( ) ) ( ) V out () ( + 3) + V out ()( ) + V out ()( ) ( ) 0 JURNA FOURIER (013)

15 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 59 V out () + V out ()( ) + V out ()( ) ( + 3) V out ()( ) + V out ()( ) ( + 3) V out ()( ) ( + 3) V out () (+3) (18) alu difaktorkan menjadi V out () (+3) (+3) (+6,57)( +1,43+0,61) (19) Dengan metode jumalahan pecahan parial didapat V out () ( + 3) ( + 6,57)( + 1,43 + 0,61) A ( + 6,57) + ( + 3) A( + 1,43 + 0,61) + (B + C)( + 6,57) Untuk 6,57 maka B + C + 1,43 + 0,61 ( 6,57)( 6,57 + 3) A(( 6,57) + 1,43( 6,57) + 0,61) A 46, ,3798 1,36 Untuk 0, dan A1,36 maka C 0,83 6,57 0,1. Untuk 1, dan A1,36 maka C 0,1 diperoleh (4) 1,36(1 + 1,43 + 0,61) + (B 0,1)(1 + 1,36) 8 4,1 + 7,57B 0,96 7,57B 4,84 atau B 0,64. Diperoleh peramaan baru dari peramaan (19): V out () 1,36 + 1,36 + 0,64 0,1 + 1,43 + 0,61 1,36 0,64 + (0,46 0,58) + + 1,36 + 1,43 + (0,51 + 0,1) 1,36 + 1,36 + 0,64 + 0,715 0,91 ( + 1,43 + 0,51) + (0,1) 1,36 + 6,57 + 0,64 ( + 0,715 ( + 0,715) + ( + 0,316) 0,91 ( + 0,715) + (0,316) ) JURNA FOURIER (013) 45-61

16 60 Arifin, et al. Dengan menggunakan inver tranformai aplace, maka diperoleh penyeleaian dari peramaan rangkaian litrik di ata, yaitu: 1 V out ()} 1 1,36 + 6,57 } + ( + 0,715) 1 0,64 ( + 0,715) + ( + 0,316) } 0,91 1 1,64 ( ( + 0,715) + (0,316) )} 1 1,36 + 6,57 } + ( + 0,715) 1 0,64 ( + 0,715) + ( + 0,316) } 0, ,84 ( ( + 0,715) + (0,316) )} V out (t) 1,36e 6,57t + 0,64e 0,715t co 0,316t 1,84e 0,715t in 0,316t (V) Dari hail yang diperoleh terebut, untuk t maka V out (t) 0. Keimpulan Berdaarkan hail tudi literatur yang dilakukan tentang aplikai tranformai aplace pada rangkaian litrik, dapat ditarik keimpulan ebagai berikut: 1. Tranformai aplace memiliki manfaat dalam menyeleaikan uatu peramaan diferenial terutama peramaan diferenial linear orde dua dengan koefiien kontan: y + by + cy r(t), yaitu ecara langung didapatkan penyeleaian khuu dari nilai awal atau yarat bata yang diberikan.. angkah-langkah untuk mengaplikaikan tranformai aplace dalam menyeleaikan uatu rangkaian litrik, yaitu: menentukan peramaan diferenial dalam domain-t dari uatu rangkaian litrik dengan menggunakan hukum pada rangkaian terebut (hukum Ohm atau hukum Kirchoff); membentuk peramaan pembantu dengan menggunakan tranformai aplace; menubtituikan nilai awal atau yarat bata yang diberikan ke dalam peramaan pembantu; menyeleaikan peramaan pembantu dengan perhitungan aljabar, termauk dengan metode jumlahan pecahan parial; dan menggunakan inver tranformai aplace untuk menentukan olui yang merupakan penyeleaian khuu dari rangkaian litrik terebut. Refereni [1] Ayre, Frank Theory and Problem Of Differential and Integral Calculu, nd Edition. New York: McGraw-Hill Companie. [] Attenborough, Mary Mathematic for Electrical Engineering and Computing. Oxford: Newne. [3] Bird, John Electrical Circuit Theory and Technology, Third edition. USA: Elevier Inc. [4] Budi, Mimail Rangkaian itrik. Bandung: ITB. [5] Chen, Wai-Kai.004.The Electrical Engineering Handbook.USA: Elevier Inc. [6] Darmawijaya, Soeparna, Dkk..MATEMATIKA DASAR I. Yogyakarta: Univerita Gadjah Mada. [7] Dedy, Endang, dkk KAKUUS I. Bandung: JICA. [8] Fidiyah, Suci Aplikai Tranformai aplace pada Penyeleaian Peramaan Aliran Pana dan Peramaan Gelombang. Malang: UMM. [9] Farlow, Stanley J Partial Differential Equation for Scientit and Engineer. New York: John Wiley Inc. [10] Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo KAKUUS Edii kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu. [11] Harini, Meyrika Aulia Tranformai aplace dari maalah Nilai Bata pada Peramaan Diferenial Parial. Semarang: FMIPA UNNES. [1] Havil, Julian Gamma: Exploring Euler Contant.New Jerey: Princeton Univerity. [13] Holbrook, Jame G aplace Tranform for Electronic Engineer. NewYork: Pregamon Pre. [14] Karri, Steven T Circuit Analyi II with MATAB Computing and Simulink / SimPowerSytem Modeling. California: Orchard publication. [15] ogan, J. David A Firt Coure in Differential Equation. USA: Spinger. [16] Maxfield, Clive, dkk Electrical Engineering, Know It All. USA: Elevier Inc. [17] Nahvi, Mahmood and Joeph A. Edminiter Theory and Problem Of Electric Circuit, fourth Edition. New York: McGraw-Hill Companie. [18] Prayudi Matemamatika Teknik Edii Pertama. Yogyakarta: Graha Ilmu. [19] Powell, Ray Introduction to Electric Circuit. ondon: Arnold. JURNA FOURIER (013)

17 Aplikai Tranformai aplace Pada Rangkaian itrik 61 [0] Power, David Boundary Value Problem and Partial Differential Equation, Fifth Edition. USA: Elevier Inc. [1] Purcell, Edwind J Calculu with Analytic Geometry, 4th Edition. Arizona: Prentice-Hall. [] Ramdhani, Mohammad Rangkaian itrik. (Diktat Kuliah). Bandung: STT Telkom. [3] Rahardi, Rutanto, Herman Hudojo dan Imam Supemo Peramaan Diferenial Biaa. Malang: UNM. [4] Spiegel, Murray, R aplace Tranformation, Schaum Serie. New York: Mc Graw-Hill Companie. [5] Stourd, K.A. dan Dexter J. Both Engineering Mathematic, Fifth Edition. New York: Mc Graw-Hill. [6] Udianari, Riqi Menyeleaikan Getaran Pega dengan Tranformai aplace. Malang: FMIPA-UMM. [7] Varberg, Dale dan Steven E. Rigdon Calculu. New York: Hamline Univerity. JURNA FOURIER (013) 45-61