BAB III TEORI DASAR 3.1. Teori Gelombang

Transkripsi

1 BAB III TEORI DASAR Bab ketiga ini memberikan penjelaan umum tentang gelombang ultraonik eperti ifat-ifatnya, fenomena piezoelektrik dan pembangkitan ultraonik, dan daar-daar pengolahan inyal ultraonik Teori Gelombang Gelombang adalah uatu gejala yang terjadi ebagai akibat uatu gangguan pada bearan fii tertentu erta perambatan gangguan terebut dalam medium di ekitarnya. Gangguan terebut dapat berupa oilai poii partikel, oilai tekanan atau kerapatan maa dalam medium yang berangkutan. Setelah gelombang eleai melewati uatu medium, maka keadaan medium akan kembali eperti emula. Berdaarkan medium perambatannya, gelombang dapat dibedakan menjadi dua jeni, yaitu: 1. Gelombang mekanik, yaitu gelombang yang dapat merambat di dalam uatu medium elatik. Contoh dari jeni gelombang ini adalah gelombang bunyi, gelombang tali, dan gelombang permukaan air.. Gelombang nonmekanik atau gelombang elektromagnet, yaitu gelombang yang tidak memerlukan medium untuk merambat. Jadi, gelombang jeni ini dapat merambat dalam ruang hampa. Contoh dari gelombang jeni ini adalah gelombang radio (radio frequency, RF), gelombang mikro (microwave), dan gelombang cahaya.

2 θ ct f(x) f(x-ct) Gambar 3.1. Penjalaran gelombang epanjang umbu x Model matematika dari gelombang dapat diturunkan dari permialan eperti Gambar 3.1. di ata. Dimialkan variabel gangguan ini merupakan uatu bearan θ yang merambat di dalam uatu medium dengan kecepatan c epanjang umbu x item koordinat Karteian eperti Gambar 3.1. di ata. Bentuk gelombang ini mirip dengan bentuk gelombang yang terjadi pada tali ketika alah atu ujungnya diberi gangguan dengan hentakan. Selama menjalar, diaumikan baik bear maupun bentuk gelombang tidak berubah. Pada aat t = 0, maka bearan θ akan merupakan uatu fungi dari x yang dapat ditulikan ebagai: θ = f (x) (3.1) Setelah elang waktu t, gangguan akan menjalar ejauh c.t. Oleh karena diaumikan bahwa bear dan bentuknya tidak berubah, maka bearan θ akan tetap dinyatakan oleh peramaan (.5) dengan puat umbu dari item koordinat emula dipindahkan ke poii x = c.t. Jadi, jika dinyatakan dalam item koordinat emula akan didapatkan: θ = f ( x ct) (3.) Dimana: θ = uatu bearan gangguan pada medium c = kecepatan rambat gelombang t = waktu tempuh

3 Bila bearan θ yang dinyatakan oleh peramaan (.6) diturunkan dua kali terhadap x dan t, maka akan diperoleh: θ x θ t = f ''( x ct) = c f ''( x ct) Maka, dari peramaan (3.3) dan (3.4) dapat diperoleh hubungan: θ t = c u x (3.3) (3.4) (3.5) Peramaan diferenial yang ditunjukkan oleh peramaan (3.5) adalah peramaan daar dari uatu gelombang. Jadi, apabila ada uatu peramaan yang memiliki bentuk eperti peramaan (.9), maka peramaan terebut adalah merupakan uatu bentuk gelombang. Jika θ pada peramaan (.9) adalah perpindahan partikel uatu medium, yang diebabkan oleh adanya gaya-gaya mekanik, maka gelombang ini diebut gelombang mekanik. Sifat-ifat gelombang mekanik ini bergantung pada ifat-ifat medium yang dilaluinya ehingga gelombangnya diebut juga gelombang elatik. Apabila uatu medium elatik, maka partikel-partikel medium terebut akan turut bergetar berama gangguan. Gelombang yang terjadi ebagai akibat perpindahan partikel medium diebut ebagai gelombang elatik. Oleh karena itu, gelombang elatik tidak dapat merambat di ruang hampa karena gelombang elatik memerlukan medium untuk merambat. Gerak gelombang elatik dapat terjadi ecara longitudinal. Artinya, getarannya earah dengan arah rambatnya ehingga diebut juga ebagai gelombang longitudinal. Ketika gelombang ini melewati uatu medium, maka kerapatan medium akan beroilai ebagai rapatan dan regangan medium karena adanya tekanan dan gaya vibrai dari

4 gelombang penyebabnya. Gelombang elatik longitudinal ini dapat terjadi pada medium padat juga cair. Gelombang ultraonik merupakan gelombang elatik dengan frekueni di ata 0 khz ehingga dapat menjalar dalam medium padat ecara longitudinal. Namun, karena frekueninya di luar bata kemampuan pendengaran manuia (di ata 0 khz), maka gelombang ultraonik tidak dapat didengar oleh telinga manuia Impedani Akutik Impedani akutik dapat dianalogikan dengan impedani pada litrik. Pada uatu rangkaian litrik, impedani merupakan perbandingan antara tegangan dengan aru litrik. Sedangkan pada gelombang akutik, impedani merupakan perbandingan antara tekanan akutik dengan kecepatan partikel, yaitu: p Z = v (3.6) Dimana: Z = impedani akutik p = tekanan akutik v = kecepatan Bearnya impedani akutik dapat dicari dengan peramaan (3.7) berikut ini: jkx jkx P 1e + P e Z = ρ c (3.7) jkx jkx P1 e + P e Tampak dari peramaan ini bahwa impedani merupakan bilangan komplek. Bila yang ditinjau adalah gelombang akutik dalam arah x poitif aja, maka impedani akutik menjadi bilangan riil biaa, yaitu: Z 0 = ρ.c (3.8) Bearan Z 0 diebut ebagai impedani akutik peifik atau impedani karakteritik medium atau bahan dengan atuan dalam SI adalah Rayl atau ama dengan kg/m.

5 Impedani akutik memiliki peranan dalam: 1. Perhitungan pemantulan dan pembiaan pada bidang bata dua medium yang berbeda.. Perancangan tranduer ultraonik. 3. Perhitungan aborpi akutik dalam ebuah medium. Akibat perbedaan impedani ini, maka akan timbul uatu penurunan energi. Bearnya raio energi yang terpantul dengan yang terbia antara dua medium dapat dinyatakan dalam koefiien refleki, R, yang dapat dihitung dengan: Z = Z Z + Z 1 1 R (3.9) Tampak bahwa perbedaan impedani menentukan bearnya energi yang dibiakan dan dipantulkan di antara bidang bata dua medium berbeda. Dari peramaan (3.9) dapat dilihat bahwa jika gelombang akutik dilewatkan pada uatu bata medium yang berbeda, maka akan terjadi pengurangan energi. Sebagai contoh penerapannya, jika gelombang dilewatkan pada tumit manuia, maka energi gelombang akutik yang telah melewati tumit akan berkurang. Hal ini diebabkan gelombang telah melewati medium yang berbeda, yaitu kulit dan tulang. Bearnya pengurangan intenita ini diharapkan dapat memberikan informai tentang keehatan tulang yang diukur Atenuai Apabila uatu gelombang merambat pada uatu medium, intenita gelombang akan berkurang eiring dengan jarak yang ditempuhnya. Hal ini diebabkan karena aborpi dalam medium dan hamburan akibat refleki di antara bata medium. Pengurangan karena efek aborpi dan hamburan ini diebut atenuai atau redaman. Nilai atenuai akibat medium ini dalam banyak aplikai dapat dimanfaatkan ebagai ukuran untuk pengujian uatu bahan atau medium.

6 Atenuai ultraonik merupakan laju penurunan intenita gelombang ultraonik ketika merambat pada uatu medium. Bear atenuai ultraonik dapat dihitung dengan peramaan berikut: atau A = A. e αd 0 (3.10) 1 A α = ln (3.11) d A Dimana: A 0 = amplituda gelombang ebelum melewati medium (Volt) A = amplituda gelombang etelah melewati medium (Volt) d = jarak tempuh gelombang dalam material (m) α = atenuai (Neper/m) 0 Beberapa penelitian telah memanfaatkan atenuai untuk mengevaluai kualita dari uatu material. Salah atu aplikainya adalah untuk mengevaluai kualita tulang Kecepatan Gelombang Kecepatan gelombang akutik yang merambat pada uatu medium bergantung pada rapat maa dan ifat elatiita medium. Keadaan uatu bahan berkaitan erat dengan elatiitanya ehingga dengan mengukur kecepatan rambat gelombang ultraonik di dalam bahan yang berangkutan, maka keadaan atau kualita bahan terebut dapat diketahui. Kecepatan rambat gelombang longitudinal dapat dihitung dengan hubungan ebagai berikut: v L E (1 v) = (3.1) ρ (1 + v)(1 ) 0 v Sedangkan kecepatan gelombang arah tranveral dapat dihitung dengan:

7 v E = T ρ 0 (1 + v) (3.13) Dimana: E = modulu Young atau elatiita (N/m ) V = perbandingan Poion ρ 0 = rapat maa (kg/m 3 ) v L v T = kecepatan gelombang longitudinal (m/det) = kecepatan gelombang tranveral (m/det) Kecepatan gelombang akan berubah ketika bergerak dari uatu medium ke medium lain eperti dari udara ke bahan yang akan diuji. Pada penelitian ini, kecepatan rambat gelombang ultraonik, v, akan digunakan ebagai alah atu parameter keehatan tulang. Pada ekperimen kecepatan gelombang atau kemudian akan diebut ebagai peed of ound pada tulang kalkanea akan dihitung dengan hubungan: d v = (3.14) Δt Dimana: v = kecepatan rambat gelombang ultraonik atau peed of ound (m/) d = ketebalan tumit ukarelawan (m) t = waktu tempuh atau time of flight dari gelombang dalam bahan () Dari peramaan-peramaan terebut di ata, tampak bahwa kecepatan gelombang dalam bahan bergantung pada ifat mekanik bahan terebut. Jadi, perubahan ifat bahan mekanik bahan akan mengubah kecepatan rambat gelombang ehingga dapat diketahui ifat bahan dengan mengukur kecepatan rambat gelombang ultraonik yang melalui bahan itu. Oleh karena itu, kecepatan gelombang ultraonik atau peed of ound dapat digunakan untuk melakukan evaluai keehatan tulang karena ifatnya yang terpengaruh oleh perubahan ifat mekanik bahan.

8 3.. Pembangkitan Gelombang Ultraonik Gelombang ultraonik merupakan gelombang akutik yang memiliki frekueni di ata 0 khz hingga ekitar 1 GHz. Gelombang uara atau gelombang onik dengan frekueni di ata 1 GHz diebut ebagai gelombang hiperonik. Frekueni gelombang ultraonik berada di luar bata pendengaran manuia ehingga gelombang ultraonik tidak dapat didengar manuia. Spektrum gelombang ultraonik untuk berbagai aplikai dapat dilihat pada gambar 3. berikut ini: MEDICAL IMAGING ACOUSTIC SENSORS GUIDED WAVES ACOUSTIC MICROSCOPY CAVITATION NDT SAW Gambar 3. Spektrum frekueni gelombang uara dalam berbagai penerapan. Terdapat beberapa keunggulan pada gelombang ultraonik ehingga dapat digunakan untuk berbagai aplikai eperti uji-tak meruak (non-detructive teting), pengukuran dimeni (contohnya: jarak dan volume), karakteriai material, dan ejeninya. Keunggulan-keunggulan terebut antara lain adalah: 1. Pancaran gelombang ultraonik lebih terarah dibandingkan gelombang onik. Hal ini diebabkan panjang gelombang ultraonik lebih kecil daripada gelombang onik ehingga gelombang ultraonik lebih mudah diarahkan mekipun dalam lingkungan yang angat biing.

9 . Gelombang ultraonik bergerak kali lebih lambat daripada gelombang elektromagnetik. Dengan ifat ini, maka dapat dibuat uatu cara untuk menampilkan informai dalam waktu. 3. Gelombang ultraonik dapat dengan mudah menembu berbagai bahan. Bahkan pada bahan yang tidak tembu cahaya Fenomena Piezoelektrik Krital piezoelektrik akan mengalami deformai jika diberi energi litrik atau tegangan litrik. Gelombang ultraonik dapat dibangkitkan dari krital piezoelektrik. Sebaliknya, jika krital piezoelektrik dikenakan tre atau train, maka akan menghailkan energi litrik (tegangan). Oleh karena itu, memanfaatkan fenomena ini, gelombang ultraonik dapat dibangkitkan dari krital piezoelektrik, yaitu dengan memberikan inyal litrik yang frekueninya lebih dari 0 khz (frekueni yang berada dalam rentang ultraonik). Kemudian, krital piezoelektrik akan menghailkan gelombang ultraonik euai dengan frekueni inyal litrik yang diberikan. Jadi dapat diimpulkan bahwa prinip daar tranduer piezoelektrik adalah perubahan energi litrik menjadi energi akutik dan ebaliknya. Kedua proe perubahan energi terebut dapat terjadi ecara bolak balik. Jika ditinjau dari kelitrikan pada piezoelektrik, polariai muatan per atuan lua P dinyatakan dengan: P = σ (3.15) i d ijk jk Dimana: σ jk = tre yang dikenakan d ijk = jarak deformai (dapat dinyatakan ebagai rank tenor) Dan proe ebaliknya adalah: ε = d E (3.16) jk ijk i Dimana: ε jk = train

10 E i = energi litrik yang dikenakan Tenor train piezoelektrik g ijk menyatakan hubungan dengan tre yang dikenakan pada piezoelektrik, ebagai: d g = (3.17) εε 0 Dimana: d = jarak deformai ε 0 ε = permitivita ruang hampa = kontanta dielektrik Koefiien kopling mekanik, κ, adalah ukuran perbandingan antara energi yang diterima tranduer dengan energi hail pengubahannya. Hubungan yang diberikan adalah: κ = gde (3.18) dengan E adalah Modulu Young. Tranduer pemancar yang baik memiliki nilai d yang bear. Senitivita tranduer dapat ditingkatkan dengan memperbear nilai g. Dalam penerapannya, baik tranduer pemancar maupun penerima menggunakan jeni yang ama. Oleh karena itu, maka nilai d dan g harulah tinggi agar menghailkan k yang bear. Tranduer merupakan bagian penting dalam item pengukuran ultraonik. Seperti telah dibaha pada bagian ebelumnya, tranduer menggunakan piezoelektrik untuk mengubah inyal litrik menjadi getaran mekanik (proe pengiriman atau tranmitter) dan mengubah getaran mekanik menjadi inyal litrik (proe penerimaan atau ebagai receiver). Banyak faktor yang mempengaruhi ifat tranduer, eperti jeni bahan, kontruki mekanik dan litriknya, keadaan mekanik ekternal, dan beban. Beberapa parameter kontruki mekanik itu antara lain adalah

11 lua permukaan pancaran, damping mekanik, wadah, jeni konektor, dan variabel fii lainnya Berka Pancaran Gelombang Ultraonik Berka gelombang yang dipancarkan oleh tranduer ke medium ditentukan oleh diameter tranduer dan panjang gelombangnya. Berka pancaran gelombang ultraonik ebuah tranduer yang berbentuk ilinder dapat dilihat pada gambar 3.4. Berka pancaran ini terdiri dari dua zona, yaitu zona dekat (near zone) atau Frenel Zone dan zona jauh (far zone) atau Fraunhofer Zone. Pada daerah zona dekat, gelombang ultraonik dapat dipandang ebagai berka gelombang yang luru. Jarak zona dekat ini dapat dihitung dengan hubungan: D N = 4λ (3.19) Dimana: N = jarak zona dekat D = diameter tranduer λ = panjang gelombang

12 Sumber: Bahan Mata Kuliah EL 504 Gelombang Elektromagnetik dan Ultraonik dalam Biomedika Gambar 3.3 Bentuk pancaran gelombang ultraonik dari tranduer piezoelektrik Pada zona jauh berka gelombang akan menyebar membentuk udut θ dan membentuk gelombang bola, ehingga intenitanya akan berkurang berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya dari tranduer. Sifat berka yang menyebar di dalam zona jauh ini cocok digunakan untuk melakukan deteki cacat di dalam uatu bahan. Bear udut yang yang dibentuk pada zona jauh dapat dihitung dengan: θ λ in = 1, (3.0) D Tampak dari peramaan (3.0), jika diamater tranduer emakin bear, maka zona dekat akan emakin panjang dan udut penyebaran akan emakin kecil. Demikian juga jika panjang gelombangnya pendek atau frekueni tinggi, maka akan menghailkan berka yang lebih luru dan panjang. Berka gelombang eperti ini dapat dimanfaatkan untuk mengukur cacat yang terletak dekat permukaan bahan yang diuji.

13 Berka gelombang yang keluar dari tranduer tidak hanya dari ebuah titik pada permukaan aja, melainkan dari banyak titik pada eluruh permukaan elemen piezoelektrik. Tranduer yang berbentuk ilinder eringkali diebut ebagai tranduer piton. Ini dikarenakan bentuk berka gelombang yang keluar menyerupai ilinder. Berka bagian yang terang menandakan bahwa intenitanya lebih bear. Jika ditinjau intenita berka dalam arah lateral, maka intenita makimum terjadi di umbu akialnya pada zona jauh eperti gambar Karakteritik Tranduer Piezoelektrik Gambar 3.4 Model fii tranduer piezoelektrik. Karakteritik tranduer piezoelektrik ditentukan oleh beberapa faktor eperti bahan penyuun dan kontruki mekanik erta inyal litrik. Gambar 3.5 menunjukkan model truktur tranduer piezoelektrik yang tediri dari material backing, elemen aktif (piezoelektrik), dan lapian matching layer yang keeluruhannya dikema dalam uatu wadah logam. Maing-maing elemen ini akan menentukan karakteritik tranduer. Gambar 3.5 memperlihatkan truktur ebuah tranduer utraonik komerial.

14 Tebal elemen piezoelektrik dibuat etengah panjang gelombang yang diinginkan. Hal ini dimakudkan agar energi yang keluar dari piezoelektrik ebear mungkin. Oleh karena itu, emakin tinggi frekueni tranduer, maka lapian piezoelektrik yang haru dipaang akan emakin tipi. Gambar 3.5 Penampang truktur dan elemen tranduer ultraonik. Di antara lapian piezoelektrik dan wadah bagian depan dipaang bahan yang berfungi ebagai penyeuai impedani atau matching layer. Lapian ini dipaang agar eluruh gelombang yang dibiakan keluar dari lapian matching layer memiliki faa yang ama, baik gelombang bia akibat bata medium maupun gelombang bia akibat refleki di dalam laian matching layer. Untuk memenuhi ketentuan terebut, maka ketebalan bahan dibuat optimalnya adalah ¼ panjang gelombang. Pada tranduer yang kontak dengan objek ukur, bahan penyeuai impedani atau matching layer ini dipilih dengan ketentuan nilai impedaninya ada di antara nilai impedani elemen aktif (piezoelektrik) dan nilai impedani baja. Material backing yang menyokong piezoelektrik menentukan karakteritik damping dan karakteritik frekueni tranduer yang berangkutan. Jika impedani material backing dibuat ama dengan impedani lapian piezoelektrik, maka akan diperoleh

15 tranduer dengan bandwidth yang empit namun enitifita tinggi. Jika impedani piezoelektrik dengan impedani backing tidak ama, maka tranduer akan memiliki daya tembu yang tinggi namun memiliki enitifita rendah. Beberapa tranduer dibuat khuu untuk penggunaan tertentu aja ehingga tidak akan begitu cocok apabila digunakan untuk penggunaan lain. Contohnya pada deteki keruakan dalam logam, diperlukan tranduer yang memiliki enitifita tinggi, ehingga haru dibuat tranduer dengan nilai damping yang tinggi pula. Contoh lain, jika tranduer akan digunakan untuk aplikai yang memerlukan daya tembu bear, maka enitifita tranduer akan rendah. Frekueni yang tercantum pada tranduer menyatakan frekueni tengahnya. Nilai frekueni tengah ini tergantung pada bahan backing yang digunakan. Tranduer dengan nilai damping yang tinggi akan merepon frekueni-frekueni di ata dan di bawah frekueni tengahnya (bandwidth lebih lebar). Tranduer dengan nilai damping kecil akan memiliki rentang frekueni yang lebih empit dan daya tembu yang lebih kuat. Frekueni tengah juga menyatakan kemampuan tranduer. Tranduer dengan frekueni rendah (0,5 MHz,5 MHz) akan memiliki energi dan daya tembu yang lebih bear, edangkan tranduer dengan frekueni tinggi (15 MHz 5 MHz) daya tembunya kecil, namun enitifitanya lebih bear terhadap bata medium. Pada penelitian ini, tranduer akan digunakan untuk membangkitkan gelombang ultraonik yang akan dilewatkan pada tumit manuia. Tulang kalkanea atau tulang tumit termauk bahan padatan ehingga akan memiliki atenuai yang lebih tinggi dibanding ga dan cairan. Sehingga tranduer yang dipilih haru memiliki daya tembu yang tinggi. Tranduer yang umum digunakan untuk melakukan pengukuran pada tulang adalah tranduer yang memiliki frekueni dalam rentang 500 khz ampai,5 MHz. Dalam penelitian ini akan digunakan tranduer dengan frekueni tengah 1 MHz.

16 3.3. Pengolahan Sinyal Ultraonik Pengolahan inyal digunakan untuk mengungkapkan informai yang terkandung dalam data inyal ultraonik. Apabila inyal ultraonik diukur dengan menggunakan oilokop, oilokop akan menampilkan inyal ultraonik dalam domain waktu dengan umbu vertikal menyatakan amplituda inyal dan umbu horizontal menyatakan waktu. Pengukuran dengan oilokop aja cukup memadai untuk mengetahui informai pada inyal-inyal ederhana. Namun, untuk inyal-inyal yang lebih komplek, mialnya untuk inyal yang memiliki lebih dari atu komponen frekueni, angat ulit untuk melakukan analia dalam domain waktu. Apabila dibutuhkan untuk mengetahui informai berkait dengan frekueni-frekueni yang terdapat dalam inyal, maka haru dilakukan tranformai inyal dari domain waktu ke domain frekueni. Pada domain frekueni, umbu vertikal menyatakan daya inyal dan umbu horizontal menyatakan frekueni. Tranformai ini diebut pula dengan pektral daya inyal. Spektral daya menunjukkan berapa banyak energi inyal yang terkandung ebagai fungi dari frekueni. Untuk inyal yang ederhana eperti gelombang inu tunggal, pektral daya tidak memberikan informai tambahan. Namun, untuk inyal-inyal yang komplek eperti inyal repon tranduer dengan bandwidth lebar, pektral daya akan memberian lebih banyak informai. Teori Tranformai Fourier menyebutkan bahwa bentuk gelombang komplek periodik dapat diuraikan menjadi kumpulan gelombang inu dengan amplituda, frekueni, dan faa yang berbeda-beda. Proe penguraian ini dinamakan Analii Fourier atau Analii Frekueni, dan hailnya adalah kumpulan amplituda, frekueni, dan faa untuk etiap inu yang membentuk gelombang komplek terebut. Dengan menjumlahkan kembali inu-inu ini, maka bentuk gelombang ali akan didapatkan

17 kembali. Grafik frekueni atau faa etiap inu terhadap amplituda dinamakan pektrum Repreentai Sinyal Dikrit dan Teorema Sampling Sinyal ultraonik yang diterima oleh tranduer penerima atau receiver merupakan inyal kontinyu. Sinyal terebut mengandung informai tentang kondii medium atau bahan yang telah dilaluinya. Untuk melakukan ektraki atau mendapatkan informai dari inyal ultraonik terebut dapat dilakukan dengan melakukan pengolahan inyal ecara digital oleh komputer. Agar pengolahan inyal ecara digital terebut dapat dilakukan, inyal kontinyu terebut haru diubah menjadi inyal dikrit atau inyal digital. Terdapat banyak keuntungan jika melakukan pengolahan inyal ecara digital. Keuntungan terebut antara lain adalah inyal dapat direkam dan elanjutnya dapat dilakukan analii pektral dalam domain frekueni. Proe digitaliai ini meliputi proe ampling inyal kontinyu menjadi inyal dikrit. Berikut ini adalah teori tentang hubungan antara inyal kontinyu dalam domain waktu dengan inyal dikrit. Sinyal hail proe ampling dengan interval ampling T ecara matemati dapat dinyatakan ebagai: x τ ) = x c ( τ ) τ = kδt ( (3.1) Dimana: x (τ ) adalah inyal dikrit dalam domain waktu hail ampling x c (τ ) adalah inyal kontinyu dalam domain waktu ebelum di-ampling Jika diaumikan bahwa ampler adalah ideal, maka: x ( τ ) = xc ( τ ) p( τ ) (3.)

18 dengan p(τ ) adalah ampler untuk melakukan digitaliai inyal kontinyu dengan fungi ebagai berikut: k = p ( τ ) = δ ( τ kδt ) (3.3) Pada domain frekueni hubungan antara inyal dengan ampler merupakan hubungan konvolui ebagai berikut: 1 X ( ω) = [ X ( ω) * P( ω) ] (3.4) π Tranformai Fourier uatu deretan impule periodik adalah juga deretan impule (dalam domain frekueni) dengan frekueni ampling ω, dimana: π P ( ω ) = δ ( ω kω ) (3.5) ΔT k = Dengan demikian pektral inyal dikrit dalam domain frekueni menjadi: 1 1 X ( ω ) = X ( ω kω) (3.6) π [ ] X ( ω) * P( ω) = ΔT = Jadi, X (ω) adalah uatu fungi periodik yang merupakan replika yang tergeer dari pektrum inyal kontinyu, X (ω) yang magnitudonya terkala dengan faktor 1/ T. Jika x c (τ ) diaumikan merupakan inyal dengan bandwidth tertentu dengan k hubungan: X c(ω) 1 = 0 ω ω B ω > ω B (3.7) Maka, terdapat beberapa keadaan berdaarkan hubungan antara nilai ω dan ω B: ω ωb ω = ω > ωb ( atauω < ω ω ) B ( atauω > ω ω ) B B B (3.8)

19 Aliaing terjadi karena frekueni ampling yang lebih kecil daripada frekueni Nyquit-nya. Jika x (τ ) merupakan inyal dengan bandwidth tertentu dengan X ( ω) = 0 untuk c ω >. Maka, x (τ ) ditentukan oleh ampelnya x c ( kδ T ) jika memenuhi frekueni ω B ampling ω ebear: dimana: c ω > ω B (3.9) = ω π ΔT (3.30) in B ( kδt ) xc ( ) = ω τ τ xc ( kδt ) (3.31) k = ωb ( τ kδt ) dan frekueni Nyquit dinyatakan ebagai: f f NYQUIST = (3.3) Jika inyal di-ampling tidak berdaarkan teorema ampling ehingga terjadi aliaing, maka frekueni alia-nya dapat dihitung dengan perhitungan ebagai berikut: f = kf ± f untuk k 1 (3.33) alia NYQUIST true Tranformai Fourier Dikrit Tranformai Fourier Dikrit (DFT) digunakan untuk menghitung pektral inyal dikrit. Hubungan DFT dengan inver-nya dapat dihitung dengan hubungan ebagai berikut: M [ ] 1 jωmt X ( Ω m ) = DFT x( t) = x( t) e (3.34) t= 0 M 1 1 jωmt x( t) = IDFT[ X ( Ωm )] = X ( Ωm ) e (3.35) M m= 0

20 untuk inyal periodik x (t) dengan frekueni dikrit Ω = πm M m / hubungan DFT dan invernya dapat dinyatakan dengan hubungan berikut:. Lebih lengkapnya dan M 1 jωm j(π / M ) m j(π / M ) mt X ( Ω m ) = X ( e ) = X ( e ) = x( t) e t= 0 1 x( t) = M M 1 m= 0 X ( e j(π / M ) m ) e j(π / M ) mt (3.36) (3.37) Berdaarkan ifat DFT X ( Ω m ) juga merupakan fungi periodik dengan periode M. Jadi, DFT digunakan untuk periodik, namun DFT dapat juga digunakan untuk inyal aperiodik dengan panjang terbata, dengan menganggap bahwa inyal terebut merupakan inyal periodik x p (t) dengan atu periode. x p ( t) x( t) = 0 0 t M 1 elain t (3.38) Jadi, koefiien DFT X ( Ω m ) ecara unik menyatakan inyal aperiodik terebut. Pada kenyataannya, umumnya inyal yang dihadapi adalah inyal kontinyu atau analog. Melalui teorema ampling, inyal-inyal terebut dapat direkontruki menjadi inyal kontinyu kembali dari data digitalnya atau dari ampelnya. Berikut ini merupakan beberapa apek yang haru diperhatikan dalam menggunakan DFT: 1. Sinyal kontinyu [ x ( τ ), X ( ω) ]. Impule ampler [ p ( τ ), P( ω) ] 3. Proe ampling [ x ( τ ), X ( ω) ] 4. Window [ w ( τ ), W ( ω) ] 5. Data dengan window [ x ( τ ), X ( ω) ] 6. Frekueni ampler [ f ( τ ), F( ω) ] c w c w

21 7. Frekueni ampling [ x τ ), X ( Ω )] ( m Jika uatu inyal kontinyu embarang di-ampling dengan ampler ideal, maka bear magnitudo pektral akan terkala dengan faktor π / ΔT dan komponen frekueninya akan terletak di perkalian bilangan bulat frekueni ampling ω. Proe ampling merupakan operai perkalian atau modulai antara inyal dengan ampler. Sinyal hail operai ini adalah periodik. Sedangkan pektrum hail dari proe ini adalah: 1 X ( ω ) = X ( ω kω ) (3.39) ΔT k= Sinyal rekaman hail ampling panjangnya terbata (dengan panjang T d ). Hal ini juga berarti bahwa inyal pada domain waktu dikalikan dengan window peregi. Tranformai Fourier window peregi kontinyu merupakan fungi inc eperti berikut: j( ωt / ) in( ωtd / ) d W ( ω) = Td e (3.40) ωt / Perkalian fungi ini di domain waktu merupakan perkalian konvolui di domain frekueni. Spektrumnya dinyatakan dengan: X w ( ω) = X ( ω)* W ( ω) (3.41) d Proe windowing ini menghailkan leakage yang diebabkan oleh fungi inc yang durainya terbata. Fungi inc yang durainya terbata akan menyebabkan idelobe. Semakin pendek data window, maka lebar idelobe-nya akan emakin lebar (hal ini tidak diharapkan). Akibat pectral leakage, daya inyal tidak terkumpul pada frekueninya tetapi terebat ke eluruh rentang frekueni pektral. Untuk mengurangi leakage, dapat dilakukan dengan memilih window yang memiliki idelobe yang lebih kecil daripada window peregi. Namun, terdapat konekueni dari mengurangi leakage, yaitu reolui frekueni akan turun.

22 Karena DFT adalah fungi pektral dikrit, maka DFT dapat dinyatakan dengan melakukan ampling di domain frekueni dengan ampler ideal ebagai berikut: F ( ω ) = δ ( ω mω ) dengan m d π ωd = (3.4) T Operai ampling dalam domain frekueni merupakan operai perkalian dalam domain waktu. Sebaliknya, operai konvolui dalam domain waktu merupakan perkalian dalam domain frekueninya. Hail pektrum dinyatakan dengan: X ( Ω ) X ( ω) F( ω) (3.43) m = w yang menyatakan DFT [ x c(τ )]. Jadi, DFT inyal kontinyu akan menghailkan beberapa apek aprokimai (periodiita, truncation, leakage, dan lain-lain) yang menyebabkan beberapa hal eperti ripple dan aliaing. d Reolui frekueni, Δ f, adalah kemampuan membedakan frekueni. Reolui merupakan performani etimator pektral. Untuk dapat membedakan dua inuoid yang frekueninya edikit berbeda, maka eliih frekueni inyal harulah lebih bear daripada lebar mainlobe. f Δ f = ( f1 f) > (3.44) N