Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

Transkripsi

1 J. Math. and Its Appl. ISSN: X Vol. 2, No. 1, May. 2005, Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya Sadjidon Jurusan Matematia Institut Tenologi Sepuluh Nopember, Surabaya Abstra Pada paper ini dibahas tipe lain ruang barisan Orlicz selisih, l ϕ ( ), yang didefinisian sebagai: l ϕ ( ) := {x = (x ) : x l ϕ } dengan x = ( x ) = (x x 1 ). Selanjutnya, ruang yang dilengapi dengan norma x = x 1 + x lϕ merupaan ruang bernorma-f yang lengap dan juga mempunyai sifat AK. Berdasaran pengertian fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz, l ϕ, dibahas fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz selisih. Kata unci: Ruang bernorma-f yang lengap, Sifat AK, Ruang barisan Orlicz selisih, Fungsional aditif dan ontinu 1. Pendahuluan. Representasi fungsional aditif orthogonal pada beberapa ruang barisan telah banya dibicaraan antara lain dalam [1]. Sedangan untu ruang barisan, hususnya ruang barisan Orlicz [3][4] telah membahasnya secara lengap. Lebih lanjut [3] membahas fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz. Sementara itu [2] memperenalan beberapa ruang barisan selisih antara lain l ( ), c 0 ( ). Berdasaran [2] ini serta memperhatian hasil-hasil penelitian dari [4], maa dicoba mengontrusi suatu ruang barisan selisih yang lain yaitu ruang barisan Orlicz 37

2 38 Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya sesilih. Disamping itu dengan memperhatian hasil-hasil dari [2] dapat dionstrusi pula fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz selisih. 2. Ruang Bernorma-F Diberian X ruang barisan bilangan real yang merupaan ruang vetor atas R. Jia X dilengapi dengan norma-f yaitu norma. yang memenuhi : (i) x 0; x = 0 x = 0 (ii) x = x (iii) x + y x + y untu semua x, y X (iv) α n x (n) αx 0 jia α n α dan x (n) αx 0 maa X disebut ruang barisan bernorma-f. Jia X ruang barisan bernorma-f yang lengap, maa X disebut ruang Frechet. Selanjutnya, ruang Frechet X diataan ruang F K jia untu setiap, fungsi P : X R. dengan P (x) = x ontinu. Barisan blo {z n } di dalam ruang barisan X adalah suatu barisan dengan elemen e-n yaitu : z n = {0,, 0, z i(n 1)+1,, z i(n), 0, } dengan i(0) = 0 dan {i(n)} adalah suatu barisan nai dari bilangan asli. Misalan X suatu ruang barisan bernorma-f, maa X diataan mempunyai Gliding Hump Property (GHP ), jia untu setiap barisan blo {z n } dengan z n 0 untu n, terdapat suatu barisan bagian bilangan asli {n()} sehingga z n() X. Mudah dipahami bahwa setiap ruang barisan bernorma-f yang lengap mempunyai GHP. 3. Ruang Barisan Orlicz Selisih Diberian ϕ fungsi ontinu bernilai real nai pada [0, ) dengan ϕ(0) = 0 dan ϕ(t) = ϕ( t ) untu semua t. Fungsi ini disebut fungsi Orlicz. Suatu himpunan Orlicz dinotasian dengan l ϕ adalah himpunan semua x = {x } sehingga { } ρ(x) = < + atau l ϕ = x = {x }; ϕ(x ) < +

3 Sadjidon 39 Mudah ditunjuan bahwa himpunan Orlicz l ϕ merupaan himpunan onvex. Suatu fungsi ϕ diataan memenuhi ondisi δ 2 jia terdapat α > 0 dan β > 0 sehingga ϕ(2t) αϕ(t) untu t β Fungsi Orlicz ϕ ternyata memenuhi ondisi δ 2, sehingga himpunan Orlicz l ϕ merupaan ruang linier. Selanjutnya, didefinisian suatu norma pada l ϕ dengan: { ( ) } x x = inf ξ > 0; ρ ξ ξ untu setiap x l ϕ. Ruang l ϕ yang dilengapi dengan norma di atas merupaan ruang bernorma-f yang lengap atau ruang Frechet dan disebut ruang barisan Orlicz. Searang aan diberian pengertian ruang barisan Orlicz selisih. Seperti halnya ruang barisan Orlicz, himpunan barisan Orlicz selisih didefinisian sebagai: l ϕ ( ) = {x = (x ); x l ϕ } dengan x = ( x ) = (x x 1 ). Bahwa ruang l ϕ ( ) merupaan ruang linier. Selanjutnya, didefinisian suatu norma pada l ϕ ( ) dengan x = x 1 + x lϕ. Dengan norma ini, aan ditunjuan bahwa l ϕ ( ) merupaan ruang bernorma yang lengap. Hal ini aan dijabaran dalam teorema beriut. Teorema 3.1 Ruang l ϕ ( )merupaan ruang bernorma-f dengan norma x = x 1 + x lϕ. Buti. Diambil sebarang x, y l ϕ ( ) (i) Jelas bahwa x = x 1 + x lϕ 0. x = x 1 + x lϕ = 0 x 1 = 0 dan x = 0 x 1 = 0 dan x = x x 1 = 0 x 1 = = x 1 = x = 0, untu setiap x = θ (ii) x = x + ( x) lvarphi = x + x lvarphi = x + x lvarphi = x

4 40 Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya (iii) Aan ditunjuan x + y = x + y. x + y = x 1 + y 1 + x + y lvarphi x 1 + y 1 + x lvarphi + y lvarphi x 1 + x lvarphi + y 1 + y lvarphi x + y Dengan demiian x + y = x + y. (iv) α n x (n) αx = α n x (n) α n x + α n x αx α n x (n) α n x + α n x αx α n x (n) x + α n α x Jia α n α dan x (n) x 0, maa α n x (n) αx 0 Dengan demiian terbuti bahwa ruang barisan Orlicz selisih merupaan ruang bernorma-f. Teorema 3.2 Ruang l ϕ ( ) yang dilengapi dengan norma x = x 1 + x lϕ merupaan ruang bernorma-f yang lengap atau ruang Frechet dan disebut ruang barisan Orlicz selisih. Buti. Tinggal membutian bahwa l ϕ ( ) adalah lengap. Diberian {x (n) } adalah barisan di l ϕ ( ) sedemiian hingga Oleh arena itu x (n) x (m) 0, untu n, m x (n) x (m) = x (n) 1 x (m) 1 + x (n) x (m) lϕ 0, untu n, m Dengan demiian diperoleh : a. x (n) 1 x (m) 1 0, untu n, m b. x (n) x (m) lϕ 0 untu n, m atau (x (n) atau x (n) 1 ) (x(m) 1 ) 0, untu n, m 1 l ϕ 0 dan x (m) 1 l ϕ 0, untu n, m

5 Sadjidon 41 Karena ϕ ontinu dan nai pada [0, ), maa untu setiap diperoleh x (n) x (m) 0, untu n, m Aibatnya untu setiap barisan {x (n) } 1 adalah barisan Cauchy di R yang lengap, artinya untu setiap terdapat x R sedemiian hingga x (n) x untu n Selanjutnya dibentu x = {x }. Aan dibutian i. x (n) x 0, untu n x (n) x = x (n) 1 x 1 + x (n) x lϕ Sehingga untu n diperoleh a. x (n) 1 x 0 b. x (n) x 0, untu n = x (n) 1 x 1 + (x (n) 1 ) (x x 1 ) lϕ x (n) 1 x 1 + x (n) x lϕ + x (n) 1 x 1 lϕ Dengan demiian x (n) x 0, untu n. ii. Aan ditunjuan x l ϕ ( ) berarti menunjuan bahwa x l ϕ. Terdapat bilangan bulat positip N sehingga sedemiian hingga ϕ( x N x) < 1 < sehingga x N x l ϕ dengan l ϕ adalah linier, maa x l ϕ. Dengan demiian i dan ii dipenuhi. Jadi l ϕ ( ) lengap. x lϕ Beriutnya aan ditunjuan bahwa l ϕ ( ) mempunyai sifat AK yaitu x N 0 untu N. Untu menunjuan ini, diberian ( (x N ) x) ρ = ε =N+1 ( ) x x 1 ϕ = ε =N+1 ϕ ( ) x ε Karena ( x ) l ϕ ( ), maa terdapat bilangan bulat ( P, sehingga x (x N ) =N+1 ϕ ε ε x), untu setiap N P. Dengan demiian ρ ε ε untu setiap N P.

6 42 Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya Oleh arena itu x N x ε untu N P. Dengan ata lain x N x 0 untu N. Dari penjabaran di atas bahwa ruang barisan Orlicz selisih merupaan ruang Frechet, sehingga mempunyai GHP dan mempunyai sifat AK yaitu x N x lϕ 0 untu N, dengan x N = {x 1, x 2,, x N, 0, } dari setiap barisan x = (x ) l ϕ ( ). Maa ruang barisan Orlicz selisih memenuhi sifat x N x, untu setiap x l ϕ ( ). 4. Fungsional Aditif dan Kontinu pada Ruang Barisan Orlicz Selisih Searang aan dijabaran tentang Fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan orlicz selisih. Sebelumnya aan dibahas teorema-teorema yang aan digunaan untu mengonstrusi fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz selisih sebagai beriut. Teorema 4.1 Diberian X ruang barisan yang mempunyai sifat AK. Jia f adalah fungsional aditif dan ontinu pada X, maa f(x) = g(, x ) ada, untu setiap x = {x } X. Dengan g(, 0) = 0 dan g(,.) ontinu, untu setiap N Buti. Diberian e yaitu barisan dengan elemen e- sama dengan 1 dan 0 untu yang lain. Karena X mempunyai sifat AK, maa untu setiap dan X memuat semua barisan berhingga, x N x 0, untu N. Oleh arena f aditif dan ontinu maa f(x N x) 0, untu N atau f(x N ) f(x) 0, untu N

7 Sadjidon 43 atau f(x) = lim N f(xn ) ( N ) = lim f x e N = lim = = N N f ( x e ) f ( x e ) g(, x ) dengan g(, t) = f(te ) dan g(, t) adalah fungsi ontinu untu setiap N. Teorema 4.2 Diberian X ruang barisan yang mempunyai GHP yang memuat semua barisan berhingga dan x N x, dan diberian f adalah fungsional pada X, jia g(, 0) = 0 dan g(,.) ontinu untu setiap N sehingga f(x) = g(, x ) maa f adalah fungsional aditif dan ontinu. ada, x = {x } X Buti. Aan dibutian f adalah ontinu. Searang andaian f tida ontinu di x X, maa terdapat barisan {y(i)} X sedemiian hingga y (i) x 0 untu i. Tetapi g(, y (i) ) g(, x ) > ε untu semua i. Aan disusun dua barisan dari bulat positip sebagai beriut : Ambil n(0) = 0 ; m(1) = 1 dan dipilih n(1) sedemiian hingga n(1) n(1) g(, y (m(1)) ) g(, x ) > ε =n(0)+1 arena g(,.) adalah ontinu untu = 1, 2,, n(1), maa terdapat m(2) > m(1) sedemiian hingga n(1) n(1) g(, y (m(2)) ) g(, x ) ε 2

8 44 Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya selanjutnya terdapat > n(1) sedemiian hingga g(, y (m(2)) ) g(, x ) > ε Dari edua pertidasamaan diatas didapat g(, y (m(2)) ) =n(1)+1 =n(1)+1 g(, x ) > ε 2 Secara umum dapat diperoleh barisan nai dari dua bulat positip {n(i)} dan {m(i)} sedemiian hingga n(i) g(, y (m(i)) ) g(, x ) > ε 2 =n(i 1)+1, untu setiap i = 1, 2, 3, =n(i 1)+1 Searang didefinisian barisan blo {z i } di X dengan z i = {0,, 0, y (m(i)) n(i 1)+1 x n(i 1)+1,, y (m(i)) n(i) x n(i), 0, } untu i = 1, 2, 3, Mengingat asumsi bahwa x N x diperoleh z i 2 y (m(i)) x 0, untu i arena X mempunyai GHP, maa terdapat sub barisan {i()} sedemiian hingga z = x i() X Oleh arena itu g(, z + x ) g(, x ) adalah onvergen. Yang ontradisi dengan pengandaian diatas. Dengan demiian f adalah ontinu di x untu setiap x X Aibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2 serta memperhatian sifat-sifat dari ruang barisan Orlicz selisih yang telah dijabaran di atas, maa dapat diontrusi fungsional aditif dan ontinu pada ruang barisan Orlicz selisih yang diberian dalam teorema beriut. Teorema 4.3 Fungsional f : l ϕ ( ) R aditif dan ontinu jia dan hanya jia f(x) = g(, x ) ada, untu setiap x = {x } l ϕ ( ) dengan g(, 0) = 0 dan g(,.) ontinu untu setiap N.

9 Sadjidon 45 Buti. Karena ruang barisan Orlicz selisih merupaan ruang Frechet, maa mempunyai GHP serta mempunyai sifat AK dan juga memenuhi sifat x N x, untu setiap x l ϕ ( ) serta aibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2. Pustaa [1] Chew, T. S., 1985, Orthogonally Additive Functionals, PhD. Disertation, national University of Singapore. [2] Cola, R and Miail ET, 1997, On some generalized difference sequence spaces and related matrix transformations, Hoaido mathematical Journal, Vol 26 (p ) Japan. [3] Lee, P.Y, 1993, Sequence Space and the Gliding Hump Property, SEA Bull, Math. 17, [4] Sadjidon dan Sri Daru, 2002, Ruang Barisan Orlicz, Maalah Thesis UGM.