SOLUSI BAGIAN PERTAMA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SOLUSI BAGIAN PERTAMA"

Doddy Lie
6 tahun lalu
Tontonan:

1 SOLUSI BAGIAN PERTAMA

2 SOLUSI BAGIAN PERTAMA Soal 1. Misalan a dan b bilangan real positif berbeda sehingga a + ab dan b + ab merupaan bilangan rasional. Butian bahwa a dan b merupaan bilangan rasional. Karena a + ab, b + ab rasional positif, maa a + ab b + ab = juga merupaan bilangan rasional positif q. Dengan demiian, a = q b. Substitusian e persamaan awal, maa a + qb dan b + qb bilangan rasional positif. Namun, b + qb = (q + 1)b bilangan rasional positif beraibat b bilangan rasional positif. Ini berarti qb juga bilangan rasional positif. Aibatnya a = (a + qb) (qb) juga merupaa bilangan rasional positif. Terbuti. a b

3 Soal. Tentuan banyanya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c, d) yang memenuhi ab + bc + cd + da = 016. Catatan: Jawaban dalam bentu paling sederhana. Perhatian bahwa persamaan eivalen dengan (a + c)(b + d) = 016. Dengan demiian, a + c dan b + d habis membagi 016. Dengan demiian, haruslah a, b, c, d memenuhi a + c = b + d = 016 dengan bilangan asli yang membagi 016 dan memenuhi 1 < < 016. Banyanya pasangan bilangan asli a dan c yang memenuhi persamaan pertama adalah 1. Sementara itu, banyanya pasangan bilangan asli b dan d yang memenuhi persamaan edua adalah Misalan S adalah himpunan semua pembagi positif dari 016 yang lebih dari 1 dan urang dari 016. Berarti, banyanya pasangan bilangan asli (a, b, c, d) yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah ( ) 016 ( 1) 1 = S S = S 017 di mana persamaan terahir adalah arena S 016 = S. Karena 016 = , maa banyanya anggota S adalah (5 + 1)( + 1)(1 + 1) = 34. Hasil jumlah semua anggota S adalah ( )( )( ) = Jadi, banyanya solusi bilangan asli a, b, c, d yang memenuhi adalah 017 = S =

4 Soal 3. Untu bilangan asli, ita ataan persegi panjang beruuran 1 atau 1 sebagai pita. Suatu persegi panjang beruuran 016 n dipotong menjadi pita-pita yang semua uurannya berbeda. Tentuan bilangan asli n 016 terbesar sehingga ita bisa melauan hal tersebut. Catatan: Pita 1 dan 1 dianggap beruuran sama. Luas dari persegi panjang tersebut adalah 016n. Karena n 016, luas pita terbesar yang dapat digunaan adalah 016. Karena beberapa pita dengan luas 1,,..., 016 dengan uuran berbedabeda harus menutupi daerah seluas 016n, maa n. Ini beraibat n 017 sehingga n Searang, ita butian bahwa persegi panjang beruuran 016 n dapat ditutupi oleh pita-pita beruuran berbeda. Perhatian bahwa ada 1008 olom. Untu setiap i = 1,,..., 1007, olom e-i dapat ditutup oleh pita beruuran i 1 dan (1008 i) 1. Kolom e-1008 ditutup oleh sebuah pita beruuran

5 Soal 4. Misalan P A dan P B adalah garis singgung lingaran ω dari suatu titi P di luar lingaran. Misalan M adalah sebarang titi pada AP dan N adalah titi tengah AB. Perpanjangan MN memotong ω di C dengan N di antara M dan C. Misalan P C memotong ω di D dan perpanjangan ND memotong P B di Q. Tunjuan bahwa MQ sejajar dengan AB. Untu membutian M Q sejajar AB ita cuup membutian bahwa M N Q sama ai dengan MN = NQ. Hal ini bisa dilauan salah satunya dengan cara membutian bahwa ANM = BNQ (sebab AN = NB). Lemma. Kita punya AD = AC BD Buti. Karena segitiga ACP sebangun dengan DAP, serta segitiga BCP sebangun dengan DBP maa AC AD = CP AP = CP BP = BC BD maa AC BD = AD BC atau setara dengan yang perlu ita butian. Beriutnya, perpanjang AD sehingga AA = AD. Ini beraibat ND BA serta segitiga AND sebangun dengan segitiga ABA. Dari edua segitiga tersebut serta lemma sebelumnya, bisa diperoleh bahwa A D BD = AD BD = AC BC atau A D BD BC. = AC BC Di sisi lain ita punya ACB = A DB sebab ACBD segiempat silis. Aibatnya segitiga ACB sebangun dengan DBA. Tinjau segitiga AND dan segitiga CBD. Karena NAD = BAD = BCD serta ADN = DA B = CAB = CDB maa segitiga AN D sebangun dengan segitiga CBD. Dengan cara yang sama segitiga ACN sebangun dengan segitiga CBD (dengan meninjau perpanjangan AC instead of AD). Terahir, dengan menggunaan informasi yang telah ita peroleh, bisa ita hitung bahwa ANM = CNB = CAN+ ACN = CDB+ BCD = ADN+ NAD = BND = BNQ dan ita selesai. 5

6 Soal 5. Diberian tripel bilangan asli berbeda (x 0, y 0, z 0 ) yang memenuhi x 0 + y 0 + z 0 = 016. Setiap jam e-i, dengan i 1, dibentu tripel baru (x i, y i, z i ) = (y i 1 + z i 1 x i 1, z i 1 + x i 1 y i 1, x i 1 + y i 1 z i 1 ). Tentuan bilangan asli n terecil sehingga pada jam e-n pasti ditemuan minimal satu di antara x n, y n, atau z n merupaan bilangan negatif. Dari rumus tripel baru, perhatian bahwa hasil jumlah x i + y i + z i aan selalu sama untu setiap i 0, yaitu selalu 016. Misalan (x, y, z) adalah tripel sehingga salah satu dari x + y + z, x y + z, x + y z negatif mensyaratan bahwa x + y + z < max{x, y, z}. Berarti, ita ingin mencari n terecil sehingga max{x n 1, y n 1, z n 1 } Perhatian bahwa diperoleh juga sifat bahwa x i = 016 x i 1 y i = 016 y i 1 z i = 016 z i 1. Definisian a i = max{x i, y i, z i } dan b i = min{x i, y i, z i }, maa dari sifat terahir, berlau Jadi, untu i, berlau sifat a i = 016 b i 1 b i = 016 a i 1. a i = 016 (016 a i ) = 4a i 016. Misalan c i = a i 67, maa diperoleh c i = 4c i untu setiap i. Jadi, berlau c n = 4 n c 0 dan c n+1 = 4 n c 1. Perhatian bahwa dan c 0 = a 0 67 = max{x 0, y 0, z 0 } = 1 c 1 = a 1 67 = max{x 1, y 1, z 1 } 67 = 1344 min{x 0, y 0, z 0 } Syarat pada soal eivalen dengan mencari n terecil agar dijamin c n 1 = a n = 337. Aan ditunjuan bahwa n = 10 cuup. Perhatian bahwa untu n = 10, berlau dan juga c 9 = 4 4 c > 337 c 10 = 4 5 c > 337. Searang, ita cuup berian contoh tripel (x 0, y 0, z 0 ) sehingga x i, y i, z i 0 untu setiap i = 1,,..., 9. 6

7 i x i y i z i

dokumen-dokumen yang mirip

OSN 2014 Matematika SMA/MA

OSN 2014 Matematika SMA/MA Soal 5. Suatu barisan bilangan asli a 1, a 2, a 3,... memenuhi a + a l = a m + a n untu setiap bilangan asli, l, m, n dengan l = mn. Jia m membagi n, butian bahwa a m a n. Solusi. Andaian terdapat bilangan