PENGGUNAAN INTERPOLASI HERMITE KUBIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

Transkripsi

1 JM Volum I Nomor Juli PNGGNAAN INTRPOLASI RMIT KBIK DALAM PNYLSAIAN PRSAMAAN STRM-LIOVILL DNGAN MTOD LMN INGGA Dwi Maryono Proram Studi Pndidikan Matmatika FKIP NS ABSTRAK Pnrapan matmatika dalam bidan fisika srin mnasilkan suatu masala nilai in kususnya prsamaan Sturm-Liouvill. Dari prsamaan ini dapat dibntuk syarat batas Diriclt atau campuran yan omon. ntuk mndapatkan pnylsaian pndkatan nontrivial dapat diunakan mtod lmn ina. Tuuan dari pnulisan ini adala mnntukan pnylsaian pndkatan (nilai in dan funsi in pndkatan) dari prsamaan Sturm-Liouvill dnan mtod lmn ina kususnya dnan intrpolasi rmit kubik. asil scara numrik mnunukkan bawa mtod trsbut cukup baik untuk mnylsaikan prsamaan Sturm Liouvill di mana rror yan diasilkan sanat trantun pada panan lmn yan diambil dan ua trantun pada indks nilai/funsi innya. Kata kunci : lmn ina Sturm-Liouvill rmit kubik nilai in ABSTRACT invalu problms spcially Sturm-Liouvill quations oftn occur in pysics. omonous Diriclt or mid boundary valu problms can b constructd from ts quations. T nontrivial solution from ts quations can b obtaind usin finit lmnt mtods. T purpos of tis rsarc is to obtain t dtails of t construction of finit lmnt mtod usin cubic rmit intrpolation in solvin Sturm-Liouvill quations. T rsult sows tat t solutions of t finit lmnt mtod usin cubic rmit intrpolation is ood nou in solvin Sturm Liouvill quation. Basd on t ampl its rror dpnds on t lmnt s lnt and t ind of t invalu or in function. PNDALAN Pnrapan matmatika dalam bidan fisika srin mnasilkan suatu bntuk kusus dari masala syarat batas yan diknal dnan masala nilai in. Masala syarat batas sprti ini pada umumnya brbntuk prsamaan Sturm-Liouvill sprti prsamaan brikut. d du p q( ) u u d d L () dnan p() p() q() dan w() adala funsi yan kontinu pada domain =( L) dan adala suatu paramtr. Dari prsamaan () dapat dibntuk syarat batas. Diriclt : u ( ) u( L) (a). Campuran: u ( ) u' ( L) atau u '() u( L). (b) 6 Prsamaan () dnan syarat batas (a) dan (b) mmpunyai pnylsaian u (pnylsaian trivial). Prsamaan () mmpunyai pnylsaian nontrivial ika dan anya ika paramtr brara trtntu yan disbut dnan nilai in. Pnylsaian u yan trkait dnan in disbut funsi in. Pnylsaian () dapat diprol dnan mtod bda ina (Grald dan Watly 99) dan mtod lmn ina (Rddy 98). Mtod bda ina lbi sdrana dibandinkan dnan mtod lmn ina tapi funsi in pndkatan yan diprol tidak brbntuk funsi tapi anya nilai-nilai pndkatan dari funsi in ksak di titik-titik yan ditntukan sina untuk mndapatkan nilai pndkatan di titik lain diprlukan pritunan lai dari awal. Sdankan dnan mtod lmn ina asilnya brupa funsi

2 JM Volum I Nomor Juli yan diprol dari intrpolasi tradap nilainilai pasanan di antara domainnya. Dalam mtod lmn ina funsi pndkatan diprol dari polinomial intrpolasi biasanya mnunakan intrpolasi Laran. asil dari mtod lmn ina dnan mnunakan intrpolasi Laran akan mnasilkan funsi pndkatan yan mrupakan kluara dari klas impunan C () dnan C m ( ) { u( ) / u u'... u ( m) kontinu pada } Mnurut Cary dan Odn [98] untuk kasus dnan ord yan lbi tini atau dnan mnunakan mtod variasional sprti kolokasi diprlukan funsi pnylsaian pndkatan yan mrupakan kluara dari klas impunan yan lbi tini dari C (). Intrpolasi trsbut adala intrpolasi rmit kubik. ntuk itu pnulis mncoba mnaplikasikannya dalam mnntukan pnylsaian pndkatan prsamaan Sturm-Liouvill dnan mtod lmn ina. PMBAASAN Formulasi Variasional dan Pndkatan Galrkin Scara umum prsamaan difrnsial dapat dinyatakan dnan Au = f pada () dnan A adala oprator linar atau nonlinar dari suatu ruan asilkali dalam k suatu ruan asilkali dalam V dan domain dari prsamaan difrnsial (Rddy 98). Jika A adala oprator linar simtris dan dfinit 7 positif pada ruan ilbrt maka dapat dibntuk funsional kuadratik I ( Av v f v. dnan adala asil kali dalam. Jika funsi u adala pnylsaian dari () maka mnurut Rddy [986] u akan mminimumkan I(. Mnurut Stran dan Fi [97] ika u adala minimum dari I( maka u mmnui Au v f v untuk stiap v () Prsamaan () disbut sbaai formulasi variasional dari prsamaan (). Funsi u dalam () disbut funsi trial dan funsi v disbut funsi ts. Dnan mnrapkan () tradap () maka domain dari pnylsaian u dapat diprluas mnadi ruan yan lbi bsar daripada. Ruan ini disbut ruan admissibl dinotasikan dnan A. Dnan dmikian formulasi variasionalnya mnadi Au v f v untuk stiap v A atau B( u l( untuk stiap v A (5) dnan B: A A adala funsi bilinar dan l adala funsional linar. Pndkatan Galrkin dari prsamaan () diprol dnan mmbawa prsamaan (5) k dalam subruan brdimnsi ina A sina pndkatan Galrkin u mmnui B( u l( untuk stiap v ntuk masala nilai in diunakan mtod variasional A. Au = u (6) Au v u v untuk stiap v A atau dapat disaikan

3 JM Volum I Nomor Juli B ( u u v untuk stiap v A (7) dnan B: A A adala funsi bilinar dan A adala ruan funsi admissibl. Pndkatan Galrkin dari prsamaan (6) diprol dnan mmbawa prsamaan (7) k dalam subruan brdimnsi ina A sina pndkatan Galrkin u mmnui B( u u v untuk stiap v. Intrpolasi rmit Misalkan dibrikan domain =[ i i ]. ntuk mnrapkan intrpolasi rmit domain ditransformasikan scara linar k domain ˆ [ ] ol pmtaan =[( i + i )] / ( i i ). Mnurut Cary dan Odn [98] polinomial rmit kubik mmpunyai bntuk ˆ ( ) uˆ ˆ ( ) uˆ ' ˆ dnan funsi-funsi basis adala ˆ ( ) ( )( ) / ˆ ( ) ( )( ) / ˆ ( ) ( )( ) / ˆ ( ) ( )( ) /. ( ) Dnan pmtaan dapat diprol basisbasis dan polinomial rmit mnadi ( ) u pada domain sina u ' dnan = i i adala panan domain Mtod lmn ina Klmaan dari mtod variasional adala sulitnya mncari funsi trial u dalam prsamaan (). Pnylsaian pndkatan yan diprol dari intrpolasi funsi kuran fktif ika diunakan pada intrval yan bsar. Brdasarkan al trsbut pndkatan Galrkin diarapkan brasil dnan baik ika domain dibai mnadi subdomain-subdomain yan lbi kcil. Tknik sprti ini disbut dnan mtod lmn ina. Scara aris bsar lanka-lanka dasar mtod lmn ina mnurut Rddy [98] Cary dan Odn [98] dan Grald dan Watly [99] untuk mnylsaikan masala syarat batas pada domain ( L) adala sbaai brikut. Pmbaian domain [ L] dnan batas dari mnadi subdomain... yan disbut dnan lmn-lmn ina ssuai dnan ktntuan yan dibrikan Griffin dan Rddy (988) sbaai brikut. a) Stiap trtutup dan tak koson b) untuk c).. Mnkonstruksikan funsi bntuk i i =... N untuk tiap sdmikian sina funsi pndkatan ditulis dalam bntuk N u.... u dapat. Mnrapkan mtod variasional dnan funsi pndkatan yan yan tla 8

4 JM Volum I Nomor Juli diprol dari lanka sina dapat diprol sistm prsamaan linar untuk masin-masin lmn.. Mnkombinasikan sistm prsamaan linar yan diprol dari tiap lmn. 5. Mnrapkan syarat batas yan dibrikan dan akirnya. mnylsaikan sistm prsamaan Formulasi Variasional untuk Prsamaan Sturm-Liouvill Pandan prsamaan Sturm-Liouvill d du Au p( ) q( ) u u L d d (8) dnan syarat batas (a) dan (b) dan p () p() q() adala funsi kontinu pada domain = (L). Dari prsamaan (8) dapat diliat bawa pnylsaian u adala di dalam ruan Sobolv (). Dnan mnunakan asilkali dalam u v u( ) v( ) d diprol formulasi variasional Au v u v untuk smua v A (9) dnan A adala ruan funsi admissibl yan mmuat u dan v. Kmudian dapat diprol Au v L L [ p d d du d du p d dv d qu] vd du quv vd v( p ) d L () Dari prsamaan () dapat diliat bawa ruan funsi admissibl yan ssuai brada dalam ruan Sobolv (). Cary dan Odn [98] mnambakan bawa funsi trial dan funsi ts arus mmnui syarat batas ssnsial dari masala yan dibrikan yaitu syarat batas yan mmbrikan nilai-nilai turunan dnan ord m dnan m adala draat dari ruan funsi admissibl dalam al ini adala ruan Sobolv. Dnan dmikian brdasarkan syarat batas (a) dan (b) dapat diprol du dv B( u Au v [ p quv] vd d d sina (9) mnadi L B ( u u v untuk smua v A. () Mtod lmn ina untuk Prsamaan Sturm-Liouvill Dalam mtod lmn ina prtama dibntuk domain dari = ( L) dnan adala batas dari. Slanutnya domain subdomain dibai mnadi brina = ssuai dnan ktntuan sblumnya. ntuk mnrapkan intrpolasi rmit dibntuk lmn [ ]. Panan tiap lmn adala = dan brlaku = +. Lanka slanutnya adala dikonstruksikan funsi bntuk i= N untuk tiaptiap lmn dapat disaikan dnan i sina funsi pndkatan u N u.... 9

5 JM Volum I Nomor Juli Dnan mnunakan intrpolasi rmit kubik dapat diprol pnylsaian pndkatan untuk tiap lmn u u yaitu u ' dnan funsi funsi bntuk pada lmn adala [( [( ( ) [( ( ) [( ) (( ) ( ) ( ( Karna = + ) ( ) )]/ ) )]/ )]/. )]/ maka u = u + () () dan (du/d) = (du/d) +. ubunan ini diunakan dalam prakitan sistm dari sluru sistm prsamaan linar yan diprol dari tiap lmn. Jika diunakan formulasi variasional (9) dalam lmn maka diprol du dv [ p quv] d uvd v( ) v( ) d d dnan ( pu') dan ( pu'). () Dnan mnunakan polinomial rmit () diprol pnylsaian pndkatan u dnan u u ' ( ) (5) u u' u' u dan 5 dipili dnan k. Subtitusi (5) k dalam () dan v i i = diprol N k i N m i i r i ] [ p( i )'( )' qi d mi i i r d dan i ( i ) ( ). ntuk slanutnya dapat disaikan sbaai prsamaan matriks K u =M u + r (7) dnan K =[k i ] M =[m i ] r =[r i ] dan u =[ ]. Prsamaan (7) dapat disaikan dalam bntuk G u =r dnan ntri-ntri i =k i m i. ntuk lmn k- dapat diprol prsamaan matriks. Dari pmbaian domain diprol ubunan antar lmn u u dan u ' u' sina brlaku dan. Dnan dmikian dapat dinyatakan 5... sina diprol asil prakitan smua prsamaan tiap lmn yan disaikan dalam bntuk prsamaan matriks G=r

6 JM Volum I Nomor Juli 5 dnan matriks G vktor dan r sprti pada prsamaan 8. Slanutnya karna maka =... sina diprol r. Pnrapan syarat batas (a ) dan (b) adala sbaai brikut brikut. Syarat batas Diriclt Pnrapan syarat batas Diriclt adala u()= dan u(l)= mnasilkan prsamaan matriks (9).. Syarat batas Campuran a) Pnrapan syarat batas campuran u()= dan u(l)= mnasilkan prsamaan matriks (). b) Pnrapan syarat batas campuran u()= dan u(l)= mnasikan prsaamaan matriks (). ntuk mndapatkan arus dicari sina dt (K-M) =. Akar-akar dari prsamaan (K-M) = adala nilai-nilai in pndkatan dan pnylsaian yan trkait adala dnan nilai in trsbut diunakan untuk mmprol funsi in pndkatan pada prsamaan (5). G 6 5 T dan T r (8). 6 5 (9)

7 Dari lanka-lanka yan tla dibrikan di atas maka mtod ini dapat diunakan untuk mnylsaikan conto brikut. Conto : Pratikan prsamaan Sturm-Liouvill d u u u () d dnan syarat batas campuran u() = u()=. Pnylsaian ksak dari prsamaan () adala i = (i.5) + dan u i c Sin ( i ) dnan c konstanta dan i =. ntuk mnylsaikan masala () dnan mnunakan lmn ina rmit kubik trlbi daulu domain dibai mnadi brina banyak lmn misalkan. Dapat ditntukan misalkan lmn k- dnan adala ( ) untuk =... JM Volum I Nomor Juli 5 6. Slanutnya dapat ditntukan funsi in pndkatan untuk tiap-tiap lmn sprti dalam prsamaan (5). Misalkan ditntukan banyaknya lmn adala maka diprol lmn / dan / dan /. Dnan mnrapkan (7) dan syarat batasnya diprol prsamaan ntuk mndapatkan pnylsaian nontrivial maka dicari nilai yan mmnui dt () Dari prsamaan () diprol nilai-nilai in pndkatan in pndkatan = (). () =.57 = = dan funsi funsi 5

8 JM Volum I Nomor Juli u u u u c( ) c( ) c( ) c( ) c( ) c( ) c( ) c( ) untuk c suatu konstanta. asil pnitunan nilai in pndkatan dnan lmn ina rmit kubik untuk nilai = dan 8 tampak pada Tabl. Dari Tabl dapat diliat bawa rror nilai in pndkatan akan smakin baus ika umla lmn smakin banyak (panan lmnnya smakin kcil). Akan ttapi rror smakin bsar sirin dnan smakin bsarnya indks nilai in. al ini ua brlaku pada funsi in pndkatan. Tabl. Nilai in pndkatan dari conto soal yan tla diitun dnan Matmatica untuk umla lmn = 8 dan 6 in = = = 8 ksak Jika rror funsi in diitun dnan mnunakan norm kuadrat rata-rata brikut dnan u i L ui ui ui d ui dan u i adala funsi in ksak dan pndkatan yan tla dinormalkan maka diprol rror sprti pada Tabl. Tabl. rror funsi in pndkatan dari conto soal yan tla diitun dnan Matmatica untuk umla Funsi in lmn = dan 8. ui u i = = = 8 u u u u u u u u Dari Tabl dapat diliat bawa funsi in pndkatan yan diasilkan cukup baik. Sprti alnya pada nilai in pndkatan norm rror ini akan smakin kcil ika umla lmnnya smakin brtamba tapi rror smakin bsar sirin dnan bsarnya indks dari funsi innya. asil yan kuran lbi sama dapat diliat pada conto brikut. Conto : Pratikan prsamaan Sturm-Liouvill d u u () d dnan syarat batas Diriclt u() = u() =. Nilai in ksak dari prsamaan (.7) adala 5

9 JM Volum I Nomor Juli i = i dan funsi in ksaknya adala u i c Sin i. Dnan mtod yan sama diprol asil nilai in dan funsi in pndkatan sprti pada Tabl dan Tabl. Tabl Nilai in pndkatan untuk Conto mnunakan lmn ina rmit kubik dnan = 8 6 in = = = 8 ksak Tabl rror funsi in pndkatan untuk Conto mnunakan lmnina rmit kubik dnan = 8. rror = = = 8 u u u u u u u u u u u u Sbaaimana pada Conto rror baik nilai in dan funsi in pndkatan cukup baik di mana kduanya sanat dipnarui ol panan lmn yan diunakan dan indk nilai atau funsi in yan diitun. Namun dmikian karna bbrapa ktrbatasan pmbaasan scara dtail mnnai prilaku rror nilai in dan funsi in pndkatan akan diadikan topik untuk pnulisan makala brikutnya. PNTP Dari asil di atas disimpulkan bawa mtod lmn ina rmit kubik dapat ditrapkan dnan baik untuk mnylsaikan prsamaan Sturm-Liouvill brord dua. Lanka-lanka pnylsaiannya adala sbaai brikut.. Mmbai domain mnadi lmnlmn. Mmili intrpolasi untuk masinmasin lmn dalam pnlitian ini diunakan intrpolasi rmit kubik.. Mnrapkan formulasi variasional untuk tiap-tiap lmn sina diprol prsamaan linar untuk tiap-tiap lmn.. Mlakukan prakitan tradap prsamaan linar dari tiap-tiap lmn. 5. Mnrapkan syarat batas. 6. Mnitun nilai in dan funsi in dari prsamaan linar akir. u u u 8 u

10 JM Volum I Nomor Juli DAFTAR PSTAKA Cary G. F. and J. T. Odn 98. Finit lmnt: A Scond Cours Volum II. Nw Jrsy: Prntic all Inc. Grald C. F. and P. O. Watly 99. Applid Numrical Analysis. Addison- Wsly Publicin Company Inc. Griffin T. B. and B. D. Rddy 988. Variational Principls and Convrnc of Finit lmnt Aproimation of a olonomic lastic- Plastic Problm. Numrisc Matmatik Volum 5: -7. Sprinr-Vrla Rddy J. N. 98. An Introduction to t Finit lmnt Mtod. Nw York: McGraw ill Inc. Rddy J. N Applid Functional Analysis and Variational Mtods in nnrin. Nw York: McGraw ill Inc. Stran G. and G. Fi 97. An Analysis of Finit lmnt Mtod. Nw Jrsy: Prntic all Inc. 55