PENDEKATAN NUMERIK FUNGSI GAMMA UNTUK PERHITUNGAN LEVY FLIGHT PADA ALGORITMA CUCKOO SEARCH

Transkripsi

1 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 PENDEKATAN NUMERIK FUNGSI GAMMA UNTUK PERHITUNGAN LEVY FLIGHT PADA ALGORITMA CUCKOO SEARCH Eto Wuryanto ), Dyah Hrawati ), Kartono 3), Rimuljo Hradi 4),,3,4) Dpartmn Matmatika, Fakultas Sains dan Tknologi, Univrsitas Airlangga Kampus C, Jl. Mulyorjo, Surabaya ) Dpartmn Tknik, Fakultas Vokasi, Univrsitas Airlangga Kampus B, Jl. Srikana 65, Surabaya ) to-w@fst.unair.ac.id ) dyah-hrawati@fst.unair.ac.id 3) kartono@fst.unair.ac.id 4) rimuljo-h@fst.unair.ac.id Abstrak Cuckoo sarch mrupakan mtod mtahuristik yang trinspirasi olh sifat parasit dari spsis cuckoo yang mltakkan tlurnya di sarang burung inang dari spsis lain. Karna adanya konflik dngan burung inang maka warna dan pola tlur spsis cuckoo trtntu tlah brvolusi mniru tlur spsis inang yang trpilih. Untuk brbagai masalah optimasi, Cuckoo sarch idalnya sprti prilaku pmbiakan smacam itu. Algoritma Cuckoo Sarch (CS) dngan mmanfaatkan Lévy Flights tlah diformulasi olh bbrapa pnliti. Akan ttapi untuk kpntingan prhitungan numrik algoritma trsbut sulit diimplmntasikan trutama trkait dngan prsamaan Lévy Flights dan fungsi Gamma. Tujuan pnlitian ini adalah mnyusun algoritma dan mmbuat program komputrnya untuk pkatan numrik trhadap prsamaan Lévy Flights dan fungsi Gammanya. Tahapan yang dilakukan adalah : mnntukan dua dasar pkatan numrik untuk fungsi Gamma : Stirling dan Lanczos, mnyusun algoritma CS dan prsamaan Lévy Flights bsrta pkatan numrik untuk fungsi Gammanya, implmntasi algoritma k program komputr, mmbandingkan hasil dari dua pkatan fungsi Gamma untuk fungsi brdimnsi bilangan bulat d. Dari prcobaan sbanyak 0 kali dan masing-masing prcobaan digunakan pngulangan trhadap dua pkatan fungsi Gamma mnghasilkan koordinat optimal yang sama. Sdangkan rata-rata nilai optimal fungsinya mmpunyai prbdaan di prsisi 0 -. Kata Kunci pkatan numrik fungsi Gamma, Lévy Flights, algoritma Cuckoo Sarch I. PENDAHULUAN Cuckoo sarch mrupakan mtod mtahuristik yang dikmbangkan olh Xin-sh Yang dan Suash Db (009). Ini trinspirasi olh sifat parasit dari bbrapa spsis cuckoo yang mltakkan tlurnya di sarang burung inang lainnya (dari spsis lain). Bbrapa burung inang dapat trlibat konflik langsung dngan cuckoo yang mngganggu. Misalnya, jika skor burung tuan rumah mnmukan tlur bukan milik mrka siri, ia juga akan mmbuang tlur asing ini atau hanya mninggalkan sarangnya dan mmbangun sarang baru di tmpat lain. Bbrapa spsis cuckoo sprti th Nw World broodparasit Tapra tlah brvolusi sdmikian rupa shingga warna dan pola tlurnya mniru bbrapa spsis inang yang trpilih (Payn t al., 005). Cuckoo sarch idalnya sprti prilaku pmbiakan smacam itu dan dngan dmikian dapat ditrapkan untuk brbagai masalah optimasi. Yang dan Db (009) mmformulasikan Cuckoo Sarch (CS) dngan mmanfaatkan Lévy Flights yang mrupakan pngmbangan dari random walk. Di dalam pnghitungan Lévy Flights diprlukan fungsi Gamma yang dirumuskan sprti dalam prsamaan (). t 0 t dt () Namun scara numrik algoritma yang disusun olh Yang dan Db mmuat dua hal yang tidak trjlaskan dan blum ada algoritma rincinya. Prtama, tntang prsamaan Lévy Flights dan algoritma prhitungannya. Kdua, fungsi Gamma yang brupa fungsi kontinu dan algoritma pkatan numriknya. Olh karna itu prlu untuk dibuat algoritma prhitungan prsamaan Lévy Flights dan mmilih pkatan numrik yang bisa digunakan untuk mnghitung fungsi Gamma. Trdapat bbrapa pkatan untuk prhitungan numrik fungsi Gamma akan ttapi dalam pnlitian ini akan dipilih dua pkatan bsar yaitu pkatan Stirling dan pkatan Lanczos. 349

2 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 II. TINJAUAN PUSTAKA Algoritma CS via Lévy Flights yang dirumuskan olh Yang dan Db (009) dapat dilihat pada gambar brikut: bgin fungsi obyktif f(, = (,..., d ) T Gnrat populasi awal sbanyak n nst i (i =,,...,n) whil (t <MaGnration) or (kritria brhnti) tntukan cuckoo scara acak dngan Lévy flights mngvaluasi kualitas/hitung fitnss-nya F i pilih satu nst j diantara n nst scara acak if (F i > F j ), mngganti baris k-j dngan solusi baru Proporsi p a nst trjlk diganti dngan nst yang baru simpan nst trbaiknya urutkan nst brdasarkan fitnss-nya dan tntukan nst trbaiknya whil tampilkan hasilnya End Gambar. Psudo cod dari CS via Lévy Flights Salah satu langkah yang ada di algoritma di gambar adalah pnntukan cuckoo scara acak dngan Lévy flights. Mnurut Hu t al. (06) cuckoo yang baru dihitung dngan rumus di prsamaan () dngan Lb dan Ub adalah lowr bound dan uppr bound dari darah fasibl. t t Ui Ui K () t Lb ( Ub Lb)* Lvy( Ui Untuk : MaItr t K MaItr MaItr : maksimum itrasi dan t : itrasi k-t u 3 (3) Lvy( 0.0, untuk v Dalam prhitungan di prsamaan (3) mmrlukan rumus-rumus sbagai brikut : a. mnghitung nilai dngan rumus yang dituliskan di prsamaan (4) dan untuk ( mrupakan fungsi Gamma yang didfinisikan di prsamaan (). ( ) sin (4) b. Prsamaan (5) brarti mn-gnrat barisan bilangan u di gnrat dari distribusi Normal dngan man 0 dan varians u ~ N(0, ) (5) c. mn-gnrat barisan bilangan v yang di gnrat dari distribusi Normal dngan man 0 dan varians v sprti pada prsamaan (6). v ~ N(0, v ) (6) d. mnghitung nilai s yang dirumuskan di prsamaan (7). u s (7) v Dalam Vasant, Wbr & Diu (06) prsamaan (5) dapat didkati dngan rumus u = randn(0,)* Dan untuk prsamaan (6) nilai v yang sama dngan dan dihitung dngan rumus brikut v = randn(0,) untuk randn(0,) adalah gnrat distribusi normal standar. Sifat-sifat fungsi Gamma (Prss t al., 997) dapat di lihat pada prsamaan (), (9) dan (0) brikut. ( )! () ( ) ( (9) ( ( sin( (0) ( sin( untuk 0 Sifat lain dari fungsi Gamma pada prsamaan () dikmukakan olh Abramowitz and Stgun (970) untuk 0<< dngan prsisi dan nilai-nilai b = , b = , b 3 = , b 4 = , b 5 = , b 6 = b 7 = , b = ( )! b b... b ( ) () Olvr t al. (00) mmbrikan rumus pkatan dari log fungsi Gamma sprti pada prsamaan () dan prsamaan (3). log log ( ~ log( log k Bk k(k ) k ( ~ log( log () (3) DUBUC (990) mngmukakan 3 pkatan : pkatan Lanczos, pkatan Stirling dan pkatan brdasarkan trapzoidal rul yang 350

3 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 masing-masing dapat di lihat di prsamaan (4), (6) dan (). ( ) untuk n0 m k n ( n ) m A ( 0 ( ) Am (... ( )( ) k k C n nm n m m (4) Kasus khusus dari prsamaan (4) untuk m=5 dituliskan sprti pada prsamaan (5) mmbrikan prsisi 0-0 untuk >0 6 a k a0 ( ) (5) k k dngan nilai-nilai a 0 = , a = a = , a 3 = a 4 = , a 5 = a 6 = log ( log( log q k Bk k(k ) k O q (6) Jika di prsamaan (6) nilai q = 4 dan >= 6 maka prsamaannya mnjadi prsamaan (7) yang mmpunyai prsisi 0-0. ( 5 6 k0 ( k) p ( 6) ( h m0 ( ) h( ( 4 k m m) Bk k(k )( 6) ) m! n n h k p( n h ) (7) () Scara praktis prsamaan () diambil M+ suku bagian prtama dan N suku untuk bagian kdua sprti yang dicantumkan di prsamaan (9) ( h M m0 ( ) ( m h( m) ) m! N n p n n h (9) Jika dipilih h = 3/, N = dan M = 3 srta p n = p( nh ) maka nilai-nilai p n adalah p = , p = , p 3 = , p 4 = , p 5 = , p 6 = p 7 = , p = dan prsisinya mncapai 0 -. III. METODE PENELITIAN Tahapan untuk mlakukan pkatan numrik fungsi Gamma untuk prhitungan Lvy flight pada Algoritma Cuckoo Sarch adalah sbagai brikut: ) Pnlusuran pustaka tntang sifat-sifat dan prsamaan-prsamaan yang trkait dngan fungsi Gamma, pdkatan numrik yang ada untuk fungsi Gamma, prsamaan Lévy flights, algoritma cuckoo sarch. ) Pnyusuan algoritma pnntukan cuckoo scara acak dngan Lévy flights Mula-mula dilakukan pnlusuran trhadap prsamaan-prsamaan yang trkait dngan Lévy flights. Slanjutnya brdasarkan prsamaanprsamaan trsbut disusunlah. 3) Pkatan Stirling untuk fungsi Gamma dan Dari sifat dan prsamaan fungsi Gamma diidntifikasi dan dipilih yang trkait dngan pkatan Stirling. Kmudian disusunlah algoritma pnghitungan numrik fungsi Gamma brdasarkan pkatan Stirling. 4) Pkatan Lanczos untuk fungsi Gamma dan Dngan mngacu pada sifat dan prsamaan fungsi Gamma yang trpilih dan trkait dngan pkatan Lanczos maka disusunlah algoritma pnghitungan numrik fungsi Gamma brdasarkan pkatan Lanczos. 5) Implmntasi algoritma k program komputr Algoritma yang tlah disusun diimplmasikan k program komputr dngan mnggunakan bahasa pmrograman javascript. 6) Mmbandingkan hasilnya untuk kasus trtntu Kasus yang digunakan untuk prbandingan dua pkatan pnghitungan fungsi Gamma adalah suatu fungsi matmatika brdimnsi d sprti pada prsamaan (0) yang diambil dari Yang & Db (009). Fungsi trsbut mmpunyai nilai minimum sama dngan 0 di koordinat (,,,...,) untuk batasan nilainya adalah i Є [-5, 5]. d i, 5, 5 f ( ~ (0) i i IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat-sifat fungsi Gamma dan bbrapa prsamaannya yang trcantum pada tinjauan pustaka dapat dipakai untuk mnyususn algoritma yang diprlukan. Sdangkan prsamaan-prsamaan yang trkait dngan Lévy flights bisa dimanfaatkan sbagai acuan dalam pmbuatan. A. Algoritma pnntukan cuckoo scara acak dngan Lévy flights Brdasarkan prsamaan (), (3), (4), (5), (6) dan (7) dapat dibuat algoritma pnntukan 35

4 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 cuckoo scara acak dngan Lévy flights sprti yang trtra pada gambar. Bgin Input : nst, bstnst, Lb, Ub n < banyak baris dari nst m < banyak kolom dari nst bta < 3/ // β sigma < prsamaan (4) // for i <,,..., n vbaris < ambil arrray baris k-i dari nst vg < gnrat bilangan N(0,) sbanyak m u < vg*sigma v < gnrat bilangan N(0,) sbanyak m vp < stiap lmn v dipositipkan dan dipangkatkan /bta stp < stiap lmn u dibagi lmn vp yang brssuaian vk < stiap lmn vbaris dikurangi lmn bstnst yang brssuaian vd < stiap lmn stp dikalikan lmn vk yang brssuaian stpsiz= stiap lmn vd dikalikan 0.0 vg < gnrat bilangan N(0,) sbanyak m vsr < stiap lmn stpsiz dikalikan lmn vg yang brssuaian vbaris < stiap lmn vbaris ditambah lmn vsr yang brssuaian vsb < mmastikan Vbaris brada di antara Lb dan Ub nst< ganti baris k-i dari nst dngan vsb for Gambar. Psudo cod dari pnntuan cuckoo scara acak dngan Lévy flights B. Pkatan Stirling untuk fungsi Gamma dan Dari prsamaan (9) dan prsamaan () diprolh ( b b... b atau ( ) b b... b () b ( b b ) 3... Shingga dngan mngambil dua suku prsamaan () mnjadi prsamaan () dan nilai b = untuk 0<<. Sdangkan untuk 0<<0.00 dipakai nilai b = γ (kontanta Eulr) ( () b Untuk > digunakan pkatan Stirling yang dinyatakan dalam prsamaan (3). Brdasarkan prsamaan (3) dan prsamaan () srta formulasi yang ada di dapat disusun algoritma pnghitungan fungsi dngan pkatan Stirling pada gambar 3 dan gambar 4. Nama fungsi : Stirling_Gamma Input : > 0 Bgin // First intrval: (0, 0.00) gamma < if ( < 0.00) rturn /(*( + gamma*) // Scond intrval: [0.00, ) if ( <.0) y <, n < 0 arg_lss_than_on = (y <.0) if (arg_lss_than_on) y < y+.0 ls n < pmbulatan_bawah(y) - y < y- n p < array( E+0, E+, E+, E+, E+, E+4, E+4, E+4) q < array( [ E+, E+, E+3, E+3, E+4, E+3, E+5, E+5) num < 0.0, dn <.0, z < y - for i <,,..., num < (num + p[i])*z dn < dn*z + q[i] rsult < num/dn +.0 if (arg_lss_than_on) rsult < rsult /(y-.0) ls for i <,,..., n : rsult< rsult * (y+) rturn rsult if // Third intrval: [7.64, infinity) if ( > 7.64) rturn positiv_infinity //Fourth intrval [, 7.64] rturn Math.p(log_gamma() Gambar 3. Psudo cod dari fungsi Gamma dngan Pkatan Stirling ( Nama fungsi : log_gamma Input : > 0 Bgin if ( <.0) rturn abs(stirling_gamma () c < array(.0/.0, -.0/360.0,.0/60.0, -.0/60.0,.0/.0, -69.0/ ,.0/56.0, /400.0) z <.0/(*, sum < c[7] for i < 7,6,5,..., sum < sum*z sum < sum+c[i] _for sris < sum/; halflogpi < loggamma < ( - 0.5)* - + halflogpi+sris rturn loggamma; Gambar 4. Psudo cod dari log fungsi Gamma dngan Pkatan Stirling ( 35

5 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 C. Pkatan Lanczos untuk fungsi Gamma dan Dngan mngacu pada prsamaan (5) dan nilai p yang ada di dapat disusun algoritma pnghitungan fungsi Gamma dngan pkatan Lanczos sprti yang dijabarkan di gambar 5. Nama fungsi : Lanczos_Gamma Input : num > 0 bgin p < array ( , , , , , , , , ) g < 7 if(num < 0.5) rturn phi/(sin(phi*num)* Lanczos_Gamma( - num)) num < num-; a < lmn prtama dari p yaitu p[] t < num + g for i <,..., siz(p) a < a + p[i] / (num + i); for rturn sqrt(*phi)*powr(t, num+0.5)* p(-t)*a Gambar 5. Psudo cod dari fungsi Gamma dngan pkatan Lanczos ( Sbagai pmbanding pkatan Lanczos ini dapat dilihat di situs wb dngan alamat w-to-mak-a-function-that-computs-th-factorialfor-numbrs-with-dcimals. Koding yang ada dalam situs trsbut mupakan pnysuaian koding yang ada dalam Prss (997). D. Implmntasi Algoritma k program komputr Smua algoritma yang trcantum pada gambar sampai dngan gambar 5 di implmntasikan k program komputr dngan mnggunakan bahasa pmrograman javascript. E. Hasil Prcobaan Prcobaan dilakukan sbanyak 0 kali dan masing-masing prcobaan trdapat pngulangan kali trhadap dua pkatan numrik fungsi Gamma Stirling dan Lanczos yang ditrapkan di algoritma CS via Lévy flights. Rangkaian prcobaan trsbut diulang sbanyak 5 kali. Hasilnya mnunjukkan koordinat optimal yang diprolh adalah sama yaitu =(.00,.00,.00,...,.00). Sdangkan rincian hasil lainnya dapat di lihat di tabl. Pada Tabl dapat diprhatikan bahwa ratarata nilai optimal fungsinya mmpunyai prbdaan maksimal di prsisi 0 -. Walaupun dmikian pada saat rangkaian prcobaan diulang 5 kali trdapat rata-rata nilai optimal pkatan Lanczos mmbrikan prsisi 0 - lbih baik. Sdangkan untuk slisih antara nilai standar dviasi pada pkatan trsbut maksimum adalah yang trjadi di pngulangan no. Tabl. Dskripsi hasil program untuk pkatan Stirling dan Lanczos No Pkatan Rata-rata nilai fitnss Standar dviasi nilai fitnss Stirling Lanczos Stirling Lanczos Stirling Lanczos Stirling Lanczos Stirling Lanczos nilai fitnss

6 Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 V. KESIMPULAN Pkatan Stirling dan Lanczos untuk pnghitungan fungsi Gamma yang ditrapkan di algoritma CS via Lévy flights mmbrikan hasil yang sama untuk koordinat optimal fungsinya. Sdangkan rata-rata nilai optimal fungsinya yang diprolh juga sama di prsisi 0-7. DAFTAR PUSTAKA Abramowitz, M., and Stgun, I.A., 970, Handbook of Mathmatical Functions with Formulas, Graphs and Mathmatical Tabls, Washington DUBUC, S., 990, An Approimation of th Gamma Function, Journal Of Mathmatical Analysis And Applications, 46, 4646, Montral Canada Hu, C., Li, Z., Zhou, T., Zhu, A., Xu, C., 06,A Multi-Vrs Optimizr with Lvy Flights for Numrical Optimization and Its Application in Tst Schduling for Ntwork-on-Chip, PLoSONE () Olvr, F.W.J., Lozir, D.W., Boisvrt, R.F., Clark, C.W., 00, NIST Handbook of Mathmatical Functions, Cambridg Univrsity Prss, Nw York Payn, R. B., Sornson, M. D., and Klitz, K., 005, Th Cuckoos, Oford Univrsity Prss. Prss, W.H., Tukolsky, S.A., Vttrling, W.T., Flannry, B.P., 997,Numrical Rcips in C - Th Art of Scintific Computing, Scond dition, Cambridg Univsity Prss, Nw York Vasant, P., Wbr, G-W., Diu, V.N., 06, Handbook of Rsarch on Modrn Optimization Algorithms and Applications in nginring and conomics, IGI Global, USA Yang, X. S., & Db, S. (009). Cuckoo sarch via Lévy flights. In Natur & Biologically Inspird Computing. World Congrss on NaBIC (pp. 0-4). IEEE. 354