Membangun Kode Golay (24, 12, 8) dengan Matriks Generator dan Menggunakan Aturan Kontruksi. Ikhsan Rizki K 1 dan Bambang Irawanto 2

Transkripsi

1 Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan Matriks enerator Menunakan Aturan Kontruksi Iksan Rizki K Bamban Irawanto 2, 2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jln Prof H Soedarto, SH, Tembalan, Semaran Abstract : Te binary (2, 2, 8) extended olay code can be constructed trou te direct sum operation wit involve two product codes Tis metod form te enerator matrix framework of te (2, 2, 8) olay code tat is based on te so-called Turyn or a + x b + x a + b + x construction, were a,b C and x C C and C is te (8,, ) linear block codes C can be otten by applyin construction rules to et te enerator matrix of C Wit C and C and by applyin te enerator matrix framework of te (2 2, 8) olay code et te binary (2, 2, 8) extended olay code Keyword :Block codes, direct sum, olay Code, product codes PENDAHULUAN Kode olay biner (2, 2, 8) dinotasikan C 2, adala kode yan dibentuk dari kode olay biner (23, 2, 7) denan menamba sebua bit pemeriksa [2] Kode olay (2, 2, 8) dapat menoreksi 3 error mendeteksi error Menurut [2], C 2 dapat dibanun denan menunakan komponen kode denan panan dimensi yan lebi kecil Berdasarkan [7], C 2 dibanun sebaai direct sum dari dua product kode denan melibatkan komponen kode yaitu : sebua (3, 2, 2) Sinle Parity Ceck Code, sebua kode penulanan (3,, 3), dua bua kode blok linier (8,, ) Tela diketaui [2], kontruksi dalam metode ini menerapkan keranka a + x b + x a + b + x denan menunakan dua kode blok linier (8,, ) Dalam tulisan ini, satu dari dua kode linier (8,, ) yan diunakan didapat denan memberikan keranka matriks enerator yan elemenelemennya memenui aturan kontruksi denan menunakan kode (8,, ) yan asli sebaai acuannya Pemberian aturan kontruksi disini menasilkan 2 kode linier (8,, ) yan baru sama seperti [2], 2 kode tersebut ekuivalen (mempunyai distribusi bobot yan sama) tetapi mewakili subruan kode yan berbeda denan kode (8,, ) yan asli Denan memberi kode (8,, ), bersamaan denan satu dari 2 kode (8,, ) yan diasilkan, dalam semua kasus menantar untuk membanun kode olay (2, 2, 8) Perlu dicatat kode (8,, ) yan asli yan diunakan sebaai acuan mencari kode (8,, ) yan baru adala kode yan sistematis, sekan kode (8,, ) baru yan diasilkan bukan kode yan sistematis 2 MATRIKS ENERATOR Seperti asil yan suda dikemukakan dalam urnal sebelumnya [2], keranka matriks enerator dari C 2 adala asil dari direct sum 2 product kode C(2, 8, 8) yan dibentuk ole kode blok linier C (8,, ) C 2 (3, 2, 2) Sinle Parity Ceck Code product kode C (2,, 2) yan dibentuk ole C (8,, ) yan baru kode penulanan C 2 (3,, 3) Matriks enerator dari C diberikan ole : 2,dimana adala matriks enerator dari kode C berukuran 8, mewakili matriks 7

2 Iksan Rizki K Bamban Irawanto (Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan matriks enerator ) nol 8 [2], matriks enerator dari C diberikan ole : 2 ( ) dimana adala matriks enerator dari C berukuran 8 [2] diperole denan menerapkan aturan kontruksi Menurut [2], matriks enerator dari C kemudian diberikan ole : Seina sebaai : kode () C dapat dinyatakan C C C {(c + c 2 ): c C,c 2 C 2 } denan dimensi : dim( C ) dim(c) + dim( C ) Berdasarkan pers () diatas bawa C adala sebua C (n, k) yaitu kode Linier C (2, 2) Setiap kodekata dalam mempunyai bentuk : c a + x b + x a + b + x dimana a, b C x C yan merupakan kasus dari Turyn construction [7] Jarak minimum kode C berantun pada struktur kode C kode C yan diwakili ole matriks enerator Sama seperti [2], C adala kode linier (8,, ) yan sistematis, seina matriks enerator dari kode C dapat dinyatakan : (I P) (2) dimana I adala matrik identitas P adala sub matrik parity dari Elemen dari P dapat dinyatakan sebaai vektor baris, yaitu : P (P, P 2, P 3, P ) T dimana P i, i, 2, 3, adala pilian tunal (uniquely) dari impunan S : S{( ), ( ), ( ), ( )} dalam suatu urutan [7] Denan demikian akan membentuk kode blok linier C (8,, ) denan distribusi bobot kodenya : {N(), N(), N }, dimana N(x) menyatakan banyaknya kodekata denan bobot x [7] 3 ATURAN KONTRUKSI Selain melalui kriteria permutasi [2], ua dapat diperole denan Aturan Kontruksi yan diasilkan dalam aturan kontruksi bukan merupakan kode yan sistematis seina bentuk matriks eneratornya tidak ditemukan matriks identitas Denan demikian kode ini akan mempunyai 2 kodekata 8-tuple denan bobot denan bentuk () () Peumlaan kodekatakodekata yan diasilkan ole arus menasilkan kodekata dalam Sekan penumlaan dua kodekata diatas denan sebaran kodekata denan bobot dalam dapat menasilkan kodekata 8-tuple denan bobot 2 atau 6 Conto 3 Diambil a ( ) b ( ), a, b sebaran x () a + x () + () () b + x ( ) + () () Dua kodekata tersebut bukan merupakan kodekata dalam, karena tidak mempunyai kodekata denan bobot 2 atau 6 Distribusi bobot dari adala {N(), N(), N } [7] Denan demikian kodekata denan bobot dalam kecuali 2 diatas arus merupakan kodekata 2-and-2 Definisi 32 [7] Kodekata 2-and-2 adala kodekata 8-tuple denan bobot 8

3 Jurnal Matematika Vol 3, No, April 2:7- mempunyai tepat 2 elemen bukan nol dalam setiap setena dari 8-tuplenya Conto 32 {( ), ( ), ( ), ( )} adala impunan kodekata 2-and-2, sekan {( ), ( ), ( ), ( )} bukan impunan kodekata 2-and-2 Denan kondisi tersebut dapat disusun 2 keranka matriks enerator kita sebut saa matriks enerator yan baru, Struktur dari dirancan kusus aar dapat diunakan untuk membanun C 2 Jadi diperlukan suatu aturan tertentu untuk memenui semua kondisi diatas Berdasarkan pada kondisi demikian dua matriks enerator dari kode diatas dirancan dalam bentuk : ( L) ( R),,, ( L) ( R),2,2,2 w8 w 8 w 8 ( L) ( R),,, ( L) ( R),2,2,2 (3) w8 w 8 w 8 dimana : kodekata 8-tuple denan bobot mempunyai elemen bukan nol pada setena dari 8-tuple tersebut, yaitu () atau () : kodekata 8-tuple denan bobot 8 w8 : kodekata 2-and-2 (l 7, 8 m ( l), m, 2) ( L) : setena baian kiri dari ( l ), m ( R) ( l ), m ( l), m : setena baian kanan dari ( l), m Penumlaan antara 2 kodekata 2-and-2 atau (l), + (l), 2 diatas arus menasilkan kodekata 2-and-2 Jadi kontruksi ( 7), m arus menikuti aturan dibawa ( 8), m ini : Diberikan ( L) ( L) x, ( L),2, y, ( L),2 dimana x y adala suatu -tuple denan bobot 2 denan x y x y dimana u adala komplemen dari u ( R) 2 Diberikan untuk l 7, 8 ( l), m m, 2 arus memenui : ( R), m m, 2 ( R) ( l), ( R), m ( R) ( R), m ( R) ( l), untuk ( R), m untuk ( R) l 7, 8 3 Diasumsikan bawa elemen bukan nol dari x y adala posisi i nya, dimana i,, i, {,2,3,} Kondisikondisi berikut ini arus ua dipenui ( R) ( l), ( Pi + P ) ( Pi + P ) untuk l 7, 8 ( R) ( l), ( R) ( R) ( Pi + P ) ( l ),2 ( Pi + P ) untuk l 7, 8 disini P u ( u ) adala baris dari P dalam yan diberikan dalam persamaan (2) Lemma 33 Dua kode yan diasilkan ole yan dibanun berdasarkan (3) denan menunakan aturan kontruksi adala kode linier (8,, ) Bukti : Pembuktiaan disini denan membuktikan 2 kode tersebut menasilkan kodekata denan bobot, denan distribusi bobot : {N(), N(), N } Aturan kontruksi menamin baris dari Karena (l), atau bebas linier (l),2 adala kodekata 2-9

4 Iksan Rizki K Bamban Irawanto (Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan matriks enerator ) and-2 menurut Aturan 2 maka + denan (l 7, 8) semuanya (l), (l),2 menasilkan 8-tuple denan bobot atau kodekata 2-and-2 Denan menunakan 3 aturan, semua kombinasi linier dari 2, 3, baris dari atau akan menasilkan kodekata denan bobot denan umla Jumla baris dari denan bobot sebanyak 3 (N() 3) seina umla keseluruannya sebanyak 3 + Dari kodekata denan bobot, terdapat 2 kodekata denan bentuk () () dikarenakan struktur kusus dari yan terdiri dari w 8, sebaai sisanya adala 2 kata kode 2-and-2 Jadi kode yan diasilkan ole keranka matriks enerator adala kode linier (8,, ) Lemma 3 Semua kodekata denan bobot dari C yan diasilkan ole denan C yan diasilkan ole ) semuanya berbeda ( Bukti : C adala kode (8,, ) yan sistematis seina terdiri sebua matrik identitas, denan demikian tidak memiliki kata kode () () Kombinasi linier yan melibatkan 2 vektor baris dari akan menasilkan kodekata denan bobot denan bentuk 2-and-2 Banyaknya kodekata ini adala 6 2 Berdasarkan pers (2), 6 kodekata 2- and-2 dari dapat diperliatkan sebaai : cw ( P 2 ) cw ( P 3 ) cw 2 ( P 3 ) cw 5 ( P 2 ) cw 3 ( P ) cw 6 ( P 23 ) denan P, P + P untuk i, i i P i, P P diberikan ole pers (2) Karena C mempunyai satu kodekata w 8, dapat menunukkan bawa : 3, P,2, P2, P,3, P2,3 P, P Artinya bawa 6 kodekata diatas membentuk 3 pasan kodekata yan salin melenkapi, yaitu: cw cw, cw5 cw2, cw6 cw3 Seina tinal membuktikan 3 pasan kodekata diatas berbeda denan 2 kodekata 2-and-2 dari atau 2 kodekata 2-and-2 dari atau diasilkan dari kombinasi linier 2, 3, baris serta baris pertama kedua dalam atau, seina 2 kodekata tersebut dapat dibai dalam 3 kelompok : (i) (ii) a, a, a, a b, b, b, b (iii) a + b, ( a + b), ( a + b), ( a + b) denan a b berturut-turut mewakili untuk l 7, 8 u (l), (l),2 u + dimana u U { a, b,( a + b) } v v + () dimana v V U { a, b,( a + b) } Misalkan menanap setena baian kiri dari a (a L ( L) ) atau ( ) () ( l), sama denan setena baian kiri dari cw setena baian kiri dari b (b L ) ( L) atau ( ) () sama denan setena baian kiri dari cw2 untuk (l 7, 8), seina arus membuktikan bawa setena baian kanan dari a (a R ) atau ( R) ( ) tidak sama denan setena baian ( l), kanan dari cw setena baian kanan dari b (b R ( R) ) atau ( ) tidak sama denan setena baian kanan dari cw2 _ L R a a + () (a a ) _ L R b b + () (b b )

5 Jurnal Matematika Vol 3, No, April 2:7- Menurut aturan no 3 menunukkan bawa : a R ( R) ( Pi + P ) P, 2, R a b R ( l ), _ R a ( R) ( l), ( Pi + P ) P, 2, ( R) ( Pi + P ) P, 3, _ R b ( R) ( l ),2 R b ( Pi + P ) P, 3 seina a, a, b, b berbeda denan ( cw,, cw 6 ) Kesimpulan yan sama berlaku untuk a, a, b, b, karena misalnya s t tentunya s t Untuk kelompok yan terakir, yaitu : ( L) ( L) ) L) ( a + b) a + b () + () () ( L) ( a + b) ( ( L) a + b) + () ( L) ( a + b) () sama denan setena baian kiri dari cw6, seina arus membuktikan bawa setena baian kanan dari ( a + b) atau + ( R) ( l), tidak sama denan setena ( R) baian kanan dari cw6 atau P2, 3 setena baian kanan dari ( R) ( l), + ( R) ( l ),2 ( a + b) atau tidak sama denan setena baian kanan dari cw6 atau P 2, 3 Menurut aturan no 3 menunukkan bawa : R ( R) ( R) ( a + b) ( l), + ( Pi + P ) + ( Pi + P ) P, 2 + P, 3 P 2, 3 a b R ( + ) ( R) ( l), ( R) ( l ),2 + ( Pi + P ) + Pi + P ) P, 2 + P, 3 P 2, 3 ( Jadi ( a + b) ( a + b) berbeda denan ( cw,, cw 6 ) Kesimpulan yan sama ua berlaku untuk ( a + b) ( a + b) Denan demikian 2 kodekata 2- and-2 dari atau berbeda denan 6 kata kode 2-and-2 dari, seina semua kodekata denan bobot dari berbeda denan atau Teorema 35 [7] Kode C dibanun ole pers (), denan diberikan pada pers (2) yan diberikan ole pers (3) yan memenui aturan kontruksi adala kode linier (2, 2, 8) yaitu kode olay (2, 2, 8) Bukti : Karena kode C C keduanya linier maka penumlaan dari kode tersebut ua linier Kode C elas merupakan kode linier karena C adala penumlaan lansun dari C C Denan asil yan diberikan ole pers (), kode C adala kode linier (2, 2) Sekaran anya butu untuk membuktikan arak minimum dari kode C adala 8 Jarak minimum dari suatu kode linier sama denan bobot minimumnya Bobot minimum C berantun pada struktur C C Struktur dari kodekata C, c ( a + x, b + x, a + b + x) dimana e C, untuk e {a, b, a+b} x C Bobot kodekata c, wt (c wt(a + x) + wt(b + x) + wt( a + b + x ) dimana wt(e + x) wt(e) + wt(x) - wt( e x) Bobot kedua kodekata C C adala,, atau 8 Untuk wt(e) wt(x), berdasarkan lemma 2 didapat wt( e x) 3, seina wt(e + x) 2 Ada banyak kasus dalam mencari bobot dari kodekata c, kita akan membai menadi 2 baian : Baian yan pertama wt(e) wt(x) denan a b Pada baian ini mempunyai 2 sub-kasus, yaitu : ika wt(a + x) 2 wt(b + x) 2, maka kondisi wt(a + b) menakibatkan wt( a + b x) 2 )

6 Iksan Rizki K Bamban Irawanto (Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan matriks enerator ) seina memastikan bawa wt( a + b + x ) 2 ika wt(a + x) 2 wt(b + x) atau sebaliknya, maka kondisi wt(a + b) menakibatkan wt( a + b x) 3 atau seina wt( a + b + x ) 2 atau 6 Dalam setiap sub-kasus dapat disimpulkan bawa wt(e + x) 2 seina kondisi wt(e + x) 2 memenui kondisi untuk wt( c ) 8 Baian yan kedua adala kondisi wt(e) wt(x) selain kondisi pada baian diatas Pada baian ini mempunyai 3 sub-kasus, yaitu : ika wt(a) wt(b) wt(x), menakibatkan a b x seina wt ( a + b), didapat wt(a+b + x) atau 8 Karena wt( a x) atau 8 maka wt(a+ x) Jadi didapat wt(e + x) atau 8 seina memenui wt( c ) 8 2 ika wt(e) wt(x), sub-kasus ini mempunyai 3 kemunkinan, yaitu: i ika wt(e) maka wt(x) atau 8 seina wt( e x) Jadi wt(e + x) atau 8 ii ika wt(e) maka wt(x) atau 8 seina wt( e x) atau Jadi wt(e + x) iii ika wt(e) 8 maka wt(x) atau seina wt( e x) atau Jadi wt(e + x) 8 atau Dari ketia kemunkinan didapat wt(e + x) atau 8 seina memenui 2 wt( c ) 8 3 wt(e) wt(x) denan e { a, b} a b Kondisi wt( e x) 3 berakibat wt(e + x) 2 Karena kondisi a b menakibatkan wt(a + b + x), adi kondisi wt(e + x) 2 memenui wt( c ) 8 Dari kedua baian diatas dapat disimpulkan wt( c ) 8, seina bobot minimum dari kode C adala 8 Denan demikian kode C adala sebua kode linier (2, 2, 8) yaitu kode olay (2, 2, 8) Conto 36 Diberikan sebaai matrik eneraor dari kode sistematik (8,, ), yaitu : Dan didapat : ( ) P ( ) P2 T P (P, P2, P3, P ) ( ) P 3 ( ) P Lanka lanka mendapatkan : Menentukan ( L) ( L),Misalkan kita ambil x () y (), adi : ( L) ( L) x (), ( 7),, ( L) ( L) ( 7),2,2 y Menentukan ( R) () ( R) Berdasarkan Aturan 3 bawa : ( R) + P () + () ( 7), P2 () ( R) ( 7), P2 + P () + () () Maka ( R), terdapat kodekata yan munkin, yaitu : (), (), (), () ( R) Misalkan diambil (), berdasarkan Aturan 2, ( R) ( R) (), ( R),, ( R), () berdasarkan Aturan 3 : ( R) + P () + () ( 8), P2 () ( R) ( 8), P2 + P () + () (),

7 Jurnal Matematika Vol 3, No, April 2:7- adi tinal mempunyai 2 ( R), kodekata yan munkin, yaitu () () ( R) Misalkan diambil (), Berdasarkan Aturan 2 : ( R) ( R) (),2 ( R),2, ( R), () berdasarkan Aturan 3 : ( R) + P () + () ( 7),2 P3 () ( R) ( 7),2 + P () + () (), adi P3 tinal mempunyai 2 kodekata ( R),2 yan munkin, yaitu () () ( R) Misalkan diambil () Berdasarkan Aturan 2 : ( R),2 ( R),2,2 () ( R),2 () berdasarkan Aturan 3 : ( R) + P () + () ( 8),2 P3 ( R),2 () ( R) ( 8),2 P3 + P () + () (), adi tinal mempunyai 2 ( R),2 kodekata yan munkin, yaitu () () ( R) Misalkan diambil (),2 Seina akirnya didapatkan : ( L) ( R),,, ( L) ( R),2,2,2 w8 w 8 w 8 (8 ) w (8 ),, 2 8 ( ( w L ) ( 8 ), L ) ( 8 ), 2 ( R ) ( 8 ), ( R ) ( 8 ), 2 8 w 8 Denan menunakan keranka matriks enerator yan diberikan ole pers (), C 2 kemudian dibanun denan menunakan diatas satu dari 2 yan diasilkan diatas KESIMPULAN Kode olay (2, 2, 8) dapat dibanun denan sebaai asil dari direct sum 2 komponen kode denan melibatkan komponen kode denan menerapkan bentuk dari kontruksi Turyn atau a + x b + x a + b + x dimana a,b C x C, disini C C adala dua kode blok linier (8,, ) C sendiri dapat diasilkan denan memberikan keranka matriks enerator yan elemen-elemennya memenui aturan kontruksi denan menunakan kode (8,, ) yan asli sebaai acuannya Disini ada 2 C baru yan berbeda tetapi semuanya ekuivalen denan C yan asli Jadi denan menunakan matriks enerator satu dari 2 yan diasilkan akan membanun keranka matriks enerator kode olay (2, 2, 8) Matriks enerator kode olay (2, 2,8) dibanun ole pers () denan menunakan pada conto 3 3

8 Iksan Rizki K Bamban Irawanto (Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan matriks enerator ) Ĝ 5 DAFTAR PUSTAKA [] Baneree, Adris, (25), Some Important Linear Block Codes, ttp://omeiitkacin/~adris/ee32/ Lectures/lecture6pdf [2] Irawanto, B, Rizki, I, (28), Membanun Kode olay (2, 2, 8) denan Matriks enerator Menunakan Kriteria Permutasi, JSM VOL 7,No 2 April 28 FMIPA Universitas Diponeoro [3] Milenkovic, Olica, (27), Codin Teory, Urbana-Campain, ttp://courseseceuiucedu/ece556/fal l27/lectures/lecture3pdf [] Vanstone, SA & Oorscot, P C, (989), An Introduction to Error Correctin Codes wit Apllications, London, Kluwer Academic Plubliser [5] Witcomb, Louis L, Notes on Kronecker Product, te Jon Hopskin University ttp://uoqians:sun2662@frasers fuca/ome/uoqians/pub_tml/kron_ pdf [6] Writ, Francis J, (2), Linear Alebra I Lecture Notes, ttp://centaurmatsqmulacuk/lin_ Al_I/Lectures_2/Lectures_2pdf [7] X-H Pen & P Farrel, (25), On Construction of te (2, 2, 8) olay Codes, Birminam