METODE LAGRANGE DAN MEKANIKA HAMILTON

Transkripsi

1 KAJIAN SAINS FISIKA I METODE LAGRANGE DAN MEKANIKA HAMILTON Diajuan epaa Pof. D. Bui Jatmio, M.P OLEH : Hafsemi Rafsenjani Vanti Piete Kelelufna Agustina Elizabeth Asty Piantini UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA PROGRAM PASCASARJANA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN SAINS 03

2 KATA PENGANTAR Syuu an teima asih epaa Yang Maha Esa atas bimbingan an tuntunan sehingga maalah ini apat iselesaian engan bai. Kajian tehaap Metoe Lagange an Meania Hamilton meupaan suatu caa yang mempemuah penyelesaian suatu solusi meania lasi. alam onisi husus teapat gaya yang ta apat ietahui melalui peneatan Newton. Sehingga ipeluan peneatan bau engan meninjau uantitas fisis lain yang meupaan aateisti patiel, misal enegi totalnya Isi maalah ini ianya apat membantu pembaca alam memahami Metoe Lagange an meania Hamilton. Ta aa gaing yang ta eta maa penulis menghaapan usul an saan yang apat membangun isi tulisan ini. Awal Juni 03 Hafsemi Rafsenjani Vanti Piete Kelelufna Agustina Elizabeth Asty Piantini

3 DAFTAR ISI Halaman Halaman Juul i Kata Penganta ii Dafta Isi iii PENDAHULUAN PEMBAHASAN A. Metoe Lagange 3 B. Kooinat Umum (Umum) 5 C. Gaya paa Sistem Kooinat Umum 7 D. Gaya Umum untu Sistem Konsevatif 8 E. Contoh Pemaaian Metoe Lagange 9 F. Momentum Kooinat Umum 4 G. Meania Hamilton 8 PENUTUP 3 Dafta Pustaa iv

4 PENDAHULUAN Pesamaan gea patiel yang inyataan oleh pesamaan Lagange apat ipeoleh engan meninjau enegi ineti an enegi potensial patiel tanpa pelu meninjau gaya yang beasi paa patiel. Enegi ineti patiel alam ooinat atesian aalah fungsi ai ecepatan, enegi potensial patiel yang begea alam mean gaya onsevatif aalah fungsi ai posisi. Jia iefinisian Lagangian sebagai selisih antaa enegi ineti an enegi potensial. Jia itinjau gea patiel yang teenala paa suatu pemuaan biang, maa ipeluan aanya gaya tetentu yani gaya onstain yang bepean mempetahanan onta antaa patiel engan pemuaan biang. Namun, ta selamanya gaya onstain yang beasi tehaap patiel apat ietahui. Peneatan Newton memeluan infomasi gaya total yang beasi paa patiel. Gaya total ini meupaan eseluuhan gaya yang beasi paa patiel, temasu juga gaya onstain. Oleh aena itu, jia alam onisi husus teapat gaya yang ta apat ietahui, maa peneatan Newton tia belau. Sehingga ipeluan peneatan bau engan meninjau uantitas fisis lain yang meupaan aateisti patiel, misal enegi totalnya. Peneatan ini ilauan engan menggunaan pinsip Hamilton, imana pesamaan Lagange yani pesamaan umum inamia patiel apat ituunan ai pinsip tesebut. Dai pinsip Hamilton, engan mensyaatan onisi nilai stasione maa apat ituunan pesamaan Lagange. Pesamaan Lagange meupaan pesamaan gea patiel sebagai fungsi ai ooinat umum, ecepatan umum, an mungin watu. Ketegantungan Lagangian tehaap watu meupaan onseuensi ai hubungan onstain tehaap watu atau iaenaan pesamaan tansfomasi yang menghubungan ooinat atesian an ooinat umum menganung fungsi watu. Paa asanya, pesamaan Lagange eivalen engan pesamaan gea Newton, jia ooinat yang igunaan aalah ooinat atesian.

5 Dalam meania Newtonian, onsep gaya ipeluan sebagai uantitas fisis yang bepean alam asi tehaap patiel. Dalam inamia Lagangian, uantitas fisis yang itinjau aalah enegi ineti an enegi potensial patiel. Keuntungannya, aena enegi aalah besaan sala, maa enegi besifat invaian tehaap tansfomasi ooinat. Dalam onisi tetentu, tialah mungin atau sulit menyataan seluuh gaya yang beasi tehaap patiel, maa peneatan Newton menjai umit pula atau bahan ta mungin ilauan. Oleh aena itu, paa peembangan beiutnya ai meania, pinsip Hamilton bepean penting aena ia hanya meninjau enegi patiel saja.

6 PEMBAHASAN A. Metoe Lagange Pemasalahan sistem pegas engan massa yang aa i ujung pegas apat iselesaian engan menggunaan F = m a yang apat itulisan engan m x = x. Solusi pesamaan ini aalah fungsi sinusoial. Diyaini bahwa untu menyelesaian soulusi ini aa metoe selain menggunaan F = m a aalah hanya mempehatian uantitas fisi enegi ineti an enegi potensial. Solusi umum Lagangian aalah L = T + V... () engan, T = enegi ineti ; V = enegi potensial Gamba. Sistem pegas Paa sistem pegas belau pesamaan Hooe : F = x Pesamaan gea pegas ibeian oleh pesamaan : atau apat itulis, sehingga, pesamaan Eule Lagangian F = m a x = m x... () m x t + x = 0 m (x ) + x = 0 t mx = x (3) t t ( L x ) = L x... (4) Solusi pesamaan gea menggunaan metoe Lagange apat icai engan melihat pesamaan Eule Lagange an pesamaan gea pegas i atas yaitu :

7 L = mx ; x L = x (5) x Kemuian icai solusi masing-masing pesamaan (5) menjai : L x = mx L = mx x L = m x x L = m ( x ) T = mx L x = x L = x x L = x x L = ( x ) V = x Jai solusi pesamaan gea pegas L = mx x (6) Dengan metoe Lagange ini ita apat mencai solusi pesamaan gea an juga ita apat mencai pesamaan gea ai solusi pesamaan geanya (lihat pesamaan 6), an pesamaan geanya ibeian oleh pesamaan Eule Lagange (lihat pesamaan 4). Dipeoleh : t ( ( x mx x )) = x ( mx x ) t ( m x ) = x mx = x t m x t = x mx = x (7)

8 B. Kooinat Umum Posisi sebuah patiel alam l uang apat inyataan engan menggunaan tiga jenis ooinat; apat beupa ooinat Katesian, ooinat pola atau ooinat siline. Jia patiel begea paa sebuah biang, atau paa sebuah pemuaan yang tebatas, maa hanya ibutuhan ua ooinat untu menyataan posisinya, seangan untu patiel yang begea paa sebuah gais luus atau paa lintasan lengung cuup engan menggunaan satu ooinat saja. Jia sistem yang itinjau menganung N patiel, maa ipeluan paling uang 3N ooinat untu menyataan posisi semua patiel. Secaa umum, teapat n jumlah minimum ooinat yang ipeluan untu menyataan onfiguasi sistem. Kooinat-ooinat tesebut inyataan engan q, q,, q n (8) yang isebut engan ooinat umum (genealize cooinates). Kooinat q apat saja beupa suut atau jaa. Tiap ooinat apat beubah secaa bebas tehaap lainnya (holonomic). Jumlah ooinat n alam hal ini isebut engan eajat ebebasan sistem tesebut. Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing ooinat tia apat beubah secaa bebas satu sama lain, yang beati bahwa banyanya eajat ebebasan aalah lebih ecil ai jumlah minimum ooinat yang ipeluan untu menyataan onfiguasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic aalah sebuah bola yang ibatasi meluncu paa sebuah biang asa. Lima ooinat ipeluan untu menyataan onfiguasi sistem, yani ua ooinat untu menyataan posisi pusat bola an tiga ooinat untu menyataan peputaannya. Dalam hal ini, ooinat-ooinat tesebut tia apat beubah semuanya secaa bebas. Jia bola tesebut menggelining, paling uang ua ooinat mesti beubah. Dalam pembahasan selanjutnya ita aan membatasi ii paa sistem holonomic.

9 Untu patiel tunggal, fungsi ooinat umum lebih muah iungapan engan menggunaan ooinat Katesius: x = x(q) (satu eajat ebebasan gea paa sebuah uva) x = x(q, q ) (ua eajat ebebasan gea paa sebuah x = x(q, q, q 3 ) y = y(q, q, q 3 ) z = z(z, z, z 3 ) pemuaan) (tiga eajat ebebasan gea paa biang) Misalan q beubah ai haga awal (q, q,... ) menuju haga (q + q, q + q,... ). Peubahan ooinat Katesius yang besesuaian aalah: δx = x q δq + x q δq + (9) δy = y q δq + y q δq + (0) δz = z q δq + z q δq + () tuunan pasial y q an seteusnya aalah fungsi ai q. Sebagai contoh sebuah patiel begea alam biang; ita memilih ooinat pola untu menyataan onfiguasi sistem, maa alam hal ini : selanjutnya, an, Gamba. Kooinat Pola q = ; q = θ () x = x(, θ) = cos θ y = y(, θ) = sin θ) (3)

10 δx = x q δq + x q δq = cos θ δ sin θ δθ (4) δy = y q δq + y q δq = sin θ δ + cos θ δθ (5) Peubahan onfiguasi ai (q, q,, q n ) e onfiguasi i eatnya (q + q, q + q,..., q n + δq n ) menyataan pepinahan patiel e i ai titi (x i, y i, z i ) e titi i eatnya (x i + x i, y i + y i, z i + δz i ) imana: δx i = δy i = δz i = n x = (6) n q δq y = (7) n q δq z = (8) q δq Pesamaan (6 8) menunjuan tuunan pasialnya meupaan fungsi q. Selanjutnya ines i untu menyataan ooinat ectangula, an ines untu menyataan ooinat umum. Simbol x i ipaai untu menyataan sembaang ooinat ectangula. Jai, untu sistem yang menganung N patiel, i apat behaga antaa an 3N. C. Gaya paa Sistem Kooinat Umum Jia sebuah patiel mengalami pegesean sejauh ibawah pengauh sebuah gaya asi F, gaya yang beeja paanya inyataan engan δw = F. δ = F x δx + F y δy + F z δz (9) Dalam bentu yag lebih seehana inyataan engan δw = i F i δx i (0) Tampa bahwa pesamaan i atas tia hanya belau untu patiel tunggal, tetapi juga untu sistem banya patiel. Untu satu patiel, haga i aalah ai sampai 3. Untu N patiel, haga i aalah ai sampai 3N. ipeoleh Jia petambahan δx i inyataan alam ooinat umum, maa

11 x i δw = i (F i δq ) q x = ( F i i i δq q ) () = i ( F i Pesamaan i atas apat itulis imana x i ) q δq δw = Q δq () Q = (F i x i q ) (3) Besaan Q yang iefinisian menuut pesamaan i atas isebut engan gaya umum. Oleh aena pealian Q δq memilii imensi usaha, maa imensi Q aalah gaya jia q menyataan jaa, an imensi Q aalah toa jia q menyataan suut. D. Gaya Umum untu Sistem Konsevatif Jia sebuah gaya beeja paa sebuah patiel alam sebuah mean gaya onsevatif, besanya gaya tesebut inyataan oleh pesamaan F i = V x i (4) imana V menyataan sebuah fungsi enegi potensial. Oleh aena itu peumusan gaya umum apat inyataan Q = ( V x i x i q ) (5) meupaan tuunan pasial V tehaap q, maa Q = ( V q ) (6) Misalan, ita menggunaan ooinat pola,q = ;q = θ, maa gaya umum apat inyataan engan Q = V ; Q θ = V θ. Jia V meupaan fungsi saja (alam asus gaya sental), maa Q θ = 0. Pesamaan ifeensial gea untu suatu sistem onsevatif apat icai jia ita etahui fungsi Lagangian alam bentu ooinat tetentu. Di sisi

12 lain, jia gaya ampatan tia onsevatif, misalan nilainya aalah ita apat menulisan Q V Q ' q (7) ' Q, maa Selanjutnya ita apat menefinisian sebuah fungsi Lagangian L = T V, an menulisan pesamaan ifeensial gea alam bentu t L q Q ' L L t q q L q Q ' Bentu i atas lebih muah ipaai jia gaya gesean ipehitungan. (8) (9) E. Contoh Pemaaian Metoe Lagange Poseu umum yang ipaai untu mencai pesamaan ifeensial gea ai sebuah sistem aalah sebagai beiut:. Pilih sebuah umpulan ooinat untu menyataan onfiguasi sistem.. Cai enegi ineti T sebagai fungsi ooinat tesebut beseta tuunannya tehaap watu. 3. Jia sistem tesebut onsevatif, cai enegi potensial V sebagai fungsi ooinatnya, atau jia sistem tesebut tia onsevatif, cai ooinat umum Q. 4. Pesamaan efeensial gea selanjutnya apat icai engan menggunaan pesamaan i atas. Bebeapa contoh pemaaian metoe Lagange. Sebuah penulum engan tebuat ai pegas engan massa m. Pegas teiat uat paa gais biang ata (massa pegas iabaian) engan panjang pegas aalah l + x amuian pegas tesebut itai sejauh θ.

13 Gamba.3 Penulum T = m(x + (l + x) θ ) V = x + mg(l + x)cosθ Pesaman Lagange L = T + V L = m(x + (l + x) θ ) + ( x + mg(l + x)cosθ) L = m(x + (l + x) θ ) + mg(l + x)cosθ x Pesamaan gea t ( L ) = L x x t (mx ) = m(l + x)θ + mg cosθ x mx = m(l + x)θ + mg cosθ x t ( L ) = y θ θ t (m(l + x) θ ) = mg( sinθ)(l + x) m(l + x)θ + mx θ = mg sinθ. Sebuah patiel bemassa m yang begea aibat pengauh gaya sental paa sebuah biang. Misalan ooinat pola (,) igunaan sebagai ooinat umum (umum). Kooinat Catesian (,) apat ihubungan melalui :

14 x = cos y = sin Enegi ineti patiel Enegi potensial gaya sental T mv m x y m V x y / Pesamaan Lagange untu sistem ini L T V m ai pesamaan Lagange t T q T q V q L L 0 t q q substitusi q = an q =, ipeoleh: L L 0 t L L 0 t Dai eua pesamaan i atas ipeoleh L m L m t L m m m Untu patiel yang begea alam gaya onsevatif

15 V() F() jai, m m F ai pesamaan Lagange L m L t m m L 0 m m 0 t atau, J m 0 t Hal ini beati bahwa J meupaan momentum suut yang nilainya onstan. Integasi pesamaan i atas menghasilan J m = onstan Beasaan pesamaan i atas apat iataan bahwa alam mean onsevatif momentum suut J, meupaan tetapan gea. 3. Osilato Hamoni Sebuah osilato hamoni -imensi, an misalan paanya beeja sebuah gaya peeam yang besanya sebaning engan ecepatan. Oleh aena itu sistem apat ipanang tia onsevatif. Jia x menyataan pegesean ooinat, maa fungsi Lagangiannya aalah L = T - V = mx x imana m aalah massa an aalah tetapan pegas. Selanjutnya: L mx x L x x Oleh aena paa sistem beeja gaya yang tia onsevatif yang haganya sebaning engan ecepatan; alam hal ini Q' = -c x, sehingga pesamaan gea apat itulis :

16 t mx cx ( x) mx cx x 0 Ini ta lain aalah pesamaan gea osilato hamoni satu imensi engan gaya peeam. 4. Paiel yang beaa alam Mean Sental Rumusan pesamaan Lagange gea sebuah patiel alam sebuah biang i bawah pengauh gaya sental. Kita pilih ooinat pola q =, q =. Maa T mv m V V() V L m Selanjutnya engan menggunaan pesamaan Lagange, ipeoleh : L m L 0 L m L m f () Oleh aena sistemnya tia onsevatif, maa pesamaan geanya aalah : t L L L L t m m f() m 0 t 5. Pesawat Awoo Sebuah pesawat Atwoo yang teii ai ua bena bemassa m an m ihubungan oleh tali homogen yang panjangnya l m an ilewatan paa atol (lihat gamba). Sistem ini memilii satu eajat ebebasan. Kita ambil vaiabel x untu menyataan onfiguasi sistem, imana x aalah jaa vetial ai atol e massa m sepeti yang itunjuan paa gamba.

17 a x l-x m m Kecepatan suut atol aalah ineti sistem ini aalah : T Gamba.4 Pesawat Atwoo Tunggal m x x / a m x, imana a aalah jai-jai atol. Enegi imana I aalah momen inesia atol. Enegi potensial sistem aalah : V mgx mg(l x ) Anggap bahwa paa sistem tia beeja gaya gesean, sehingga fungsi Lagangiannya aalah x I a I L m m x g a an pesamaan Lagangenya aalah t yang beati bahwa, atau, m L L x x I a m x g m m m m x g m m I / a m m x m gl

18 aalah pecepatan sistem. Nampa bahwa jia m>m, maa m aan begea tuun, sebalinya jia m<m maa m aan begea nai engan pecepatan tetentu. 6. Pesawat Awoo Gana Pesawat Atwoo gana ipelihatan paa gamba.5. Nampa bahwa sistem tesebut mempunyai ua eajat ebebasan. Kita aan menyataan onfiguasi sistem engan ooinat x an x'. Massa atol alam hal ini iabaian (untu menyeehanaan pesoalan). Enegi ineti an enegi potensial sistem aalah : T ( ' ) mx m x x x') m 3( x V 3 m gx m g( l x x') m g( l x l' x') imana m, m an m3 aalah massa masing-masing beban, an l seta l' aalah panjang tali penghubungnya.

19 x l-x m l'-x m m 3 Gamba.5 Pesawat Atwoo Gana L m x m ( x x ') m ( x x ') g(m m m )x 3 3 g(m m )x ' tetapan 3 sehingga pesamaan geanya apat itulis : t engan penyelesaian L L L L x x t x ' x' m ( x x') m3( x x ') g( m m 3) x m m m( x x') m3( x x ') g( m m3) an ai pesamaan ini pecepatan x an x ' apat itentuan. 7. Patiel yang begea paa biang miing yang apat igeaan. Mai ita tinjau sebuah pesoalan imana sebuah patiel meluncu paa sebuah biang miing yang juga apat begea paa pemuaan ata yang licin, sepeti yang itunjuan paa gamba.6. Dalam pesoalan ini teapat ua eajat ebebasan, sehingga ita butuhan ua ooinat untu menggambaan eaaan sistem yang ita tinjau. Kita aan memilih ooinat x an x' yang masing-masing menyataan pegesean alam aah hoisontal biang tehaap titi acuan an pegesean patiel ai titi acuan tehaap biang sepeti yang itunjuan paa gamba.

20 Dai analisis iagam veto ecepatan, nampa bahwa uaat ecepatan patiel ipeoleh engan menggunaan huum osinus : v x x ' xx ' cos Oleh aena itu enegi inetinya aalah T ' ' mv Mx m( x x x x cos) M x imana M aalah massa biang miing engan suut emiingan, sepeti yang itunjuan alam gamba.6. an m aalah massa patiel. Enegi potensial sistem ta teait engan x oleh aena biangnya hoisontal, sehingga ita apat tulisan : V=mgx'sin + tetapan an L m(x x xx cos ) Mx mgx sin tetapan ' ' ' Pesamaan geanya Sehingga t Pecepatan x an x L L L L x x t x ' x' m( x x' cos) Mx 0 ' x aalah : gsin cos m M cos m ; m( x ' xcos ) mgsin gsin x' mcos m M

21 v x ' x' x M m Gamba.6 gea paa biang miing an epesentasi veto 8. Penuunan pesamaan Eule untu otasi bebas sebuah bena tega. Metoe Lagange apat igunaan untu menuunan pesamaan Eule untu gea sebuah bena tega. Kita aan tinjau asus toa - otasi bebas. Kita etahui bahwa enegi ineti ibeian oleh pesamaan: T (I I I3 Dalam hal ini haga mengacu paa sumbu utama. apat inyataan alam suut Eule, an sebagai beiut: 3 3 cos sin sin sin sin cos cos Dengan mempehatian suut Euleian sebagai ooinat umum, pesamaan geanya aalah: t t L L L L )

22 t L L oleh aena Q (gaya umum) semuanya nol. Dengan menggunaan alil antai (chain ule): Sehingga L T 3 3 t L I 3 Dengan menggunaan lagi atuan antai, ita peoleh T I I 3 I ( sin sin cos ) I( cos sin sin ) I I Dapat ipeoleh I3 3 (I I) 9. Sebuah bena bemassa m (gamba.7) meluncu engan bebas paa sebuah awat engan lintasan bebentu lingaan engan jai-jai a. Lingaan awat beputa seaah jaum jam paa biang hoisontal engaan ecepatan suut ɷ i seita titi O. a. Seliii bagaimana gea bena tesebut b. Bagaimana easi lingaan awat

23 Gamba.7 Gea paaawat melinga a. Pehatian gamba i atas. C aalah pusat lingaan awat. Diamete OA membentu suut t engan sumbu-x, seangan bena bemassa m membentu suut θ engan iamete OA. Jia yang ita pehatian hanyalah gea bena bemassa m saja, maa sistem yang ita tinjau memilii satu eajat ebebasan, oleh aena itu hanya ooinat umum q = θ yang ipaai. Beasaan gamba.7 a an.7 b, ita apat tulisan: x a cos t a cos( t ) y a sin t a sin( t ) Kuaatan pesamaan-pesamaan i atas, emuian jumlahan aan ipeoleh besaan enegi ineti an, T x asin t a y acos t a sin( t ) ( t ) cos( t ) ( t ) y ma m x T ma cos cos

24 Selanjutnya pesamaan Lagange : Dalam hal ini Q = 0 an q = θ, maa pesamaan yang ihasilan : Pesamaan i atas menggambaan gea bena bemassa m paa lingaan awat. Untu haga θ yang cuup ecil, 0 yang ta lain aalah gea banul seehana. Baningan engan pesamaan beiut : T ma sin t sin T ma t ma T T q q g l Q an ipeoleh g l sin ma sin 0 0 g atau l sin 0 Bena bemassa m beosilasi i seita gais beputa OA sebagai banul seehana yang panjangnya l g /. Pesamaan tesebut selanjutnya apat juga igunaan untu menghitung ecepatan an posisi bena bemassa m. b. Untu menghitung easi awat, ita mesti melihat pegesean vitual massa m alam suatu aah yang tegaluus paa awat. Untu masu tesebut, ita anggap bahwa jaa CB sama engan jaa (meupaan vaiabel an buan tetapan), sepeti yang itunjuan paa gamba.4 c. Maa alam hal ini teapat ua eajat ebebasan an ua ooinat umum, yani an. Dai gamba nampa bahwa:

25 t cos t acos x t sin t a sin y t sin t cos t sin a x t cos t sin t cos a y cos a sin a m a y m x T Q T T t Dimana Q = R aalah gaya easi. Nilai ai T an T ipeoleh ai iapatan : cos a cos a m R 0 0 an,, a cos ma R yang meupaan pesamaan yang menyataan easi awat. 0. Gea sebuah patiel engan massa m yang begea paa biang sebuah eucut engan suut setengah punca (half-angle) Gaya yang beeja hanyalah yang isebaban oleh gaya gavitasi saja. Gamba.8 Gea paa Keucut

26 Misalan punca eucut beaa i titi O (pusat ooinat alam gamba), seangan sumbu eucut beimpit engan sumbu z. Posisi patiel paa pemuaan eucut apat inyataan engan ooinat Catesian (x,y,z). Namun ita aan gunaan ooinat siline (,, z) sebagai ooinat umumnya. Tia semua etiga ooinat tesebut a aalah inepenen (bebas satu sama lain). Kooinat z an ihubungan oleh paamete melalui pesamaan : z cot z cot Kemuian ipeoleh ua eajat ebebasan. Bisa igunaan, θ sebagai ooinat umum an menghilangan z engan menggunaan pesamaan pembatas iatas. Enegi ineti massa m aalah : T atau mv m csc z m cot m Enegi potensial massa m (anggap V = 0 an z = 0) : V mgz mg cot Kemuian Lagangian L sistem : L T V csc mg cot m Pesamaan Lagange untu ooinat aalah : t L L 0 L m csc, sin t L m csc, g cos sin 0 L m mg cot Ini aalah pesamaan gea untu ooinat. Pesamaan Lagange untu ooinat θ aalah :

27 t L L 0 Dengan memasuan nilai L, ipeoleh : L m t an m J 0 t z L 0 Atinya J z m onstan F. Momentum Kooinat Umum Tinjaulah gea sebuah patiel tunggal yang begea sepanjang gais luus (ectilinie motion). Enegi inetinya aalah T (30) mx imana m aalah massa patiel, an x aalah ooinat posisinya. Selanjutnya isamping menefinisian momentum patiel p sebagai hasil ali m x, ita juga apat menefinisian p sebagai uantitas T x, yani: T p mx x (3) Dalam asus imana sebuah sistem yang igambaan oleh ooinat umum q, q,, q qn, uantitas p iefinisian engan p L (3) q yang isebut momentum umum. Pesamaan Lagange untu sistem onsevatif apat itulis L p (33) q

28 Misalan alam asus husus, satu ai ooinatnya, ataanlah q, tia tesiat secaa esplisit alam L. Maa sehingga L p (34) q p tetapan c (35) Dalam asus ini, ooinat q iataan apat teabaian (ignoable). Momentum umum yang iasosiasian engan ooinat teabaian ta lain aalah tetapan gea sistem. Sebagai contoh, alam pesoalan patiel yang meluncu paa biang miing yang licin (yang telah iejaan paa bagian sebelumnya), ita apatan bahwa ooinat x, posisi biang, tia tesiat alam fungsi Lagangian L. Oleh aena x meupaan suatu ooinat teabaian, maa p x L (M m)x mx'cos tetapan (36) x Kita apat lihat bahwa tenyata px aalah omponen total alam aah menata ai momentum linie sistem an oleh aena tia teapat gaya yang beeja alam aah menata paa sistem, omponen momentum linie alam aah menata haus onstan. Contoh lain ooinat teabaian apat ilihat alam asus gea patiel alam mean sental. Dalam ooinat pola V() L m (37) sepeti yang ipelihatan alam contoh i atas. Dalam asus ini aalah ooinat teabaian an p L m tetapan (38) yang sebagaimana telah ita etahui ai bab teahulu aalah momentum suut i seita titi asal.

29 Contoh Banul sfeis, atau potongan sabun alam mangu. Suatu pesoalan lasi alam meania aalah bahwa patiel yang tebatasi untu beaa paa pemuaan sfeis yang licin i bawah pengauh gavitasi, sepeti sebuah massa ecil meluncu paa pemuaan mangu yang licin. Kasus ini juga igambaan oleh banul seehana yang beayun engan bebas alam sembaang aah, Gamba.9. Ini inamaan banul sfeis, yang inyataan sebelumnya alam bagian teahulu. z l m mg y x Gamba.9 Banul sfeis Dalam hal ini teapat ua eajat ebebasan, an ita aan menggunaan ooinat umum an sepeti yang itunjuan. Hal ini enyataannya eivalen engan ooinat bola engan = l = tetapan imana l aalah panjang tali banul. Keua omponen ecepatan aalah v = l an v = l sin. Ketinggian bola banul, ihitung ai biang-xy, aalah (l - l cos θ), sehingga fungsi Lagangian aalah L ml ( sin ) mgl ( cos) (39) Kooinat apat iabaian, sehingga ipeoleh p L ml sin tetapan (37)

30 Ini aalah momentum suut i seita sumbu tega atau sumbu z. Kita aan menunanya untu pesamaan alam : t L L yang apat juga inyataan sebagai: (40) ml ml sin cos mgl sin (4) Mai ita peenalan tetapan h, yang iefinisian engan: p h sin (4) ml Selanjutnya pesamaan ifeensial gea alam menjai g cos sin h 0 l sin (43) Pesamaan (43) menganung bebeapa mana sebagai beiut. Petama, jia suut onstan, maa h = 0. Aibatnya, pesamaan i atas apat itulis sebagai : g sin 0 l (44) yang ta lain aalah pesamaan gea banul seehana. Geanya beaa alam biang = o = onstan. Keua, aalah asus banu oni (conical penulum). Dalam hal ini, gantungan banul menggambaan suatu lingaan hoisontal, sehingga = o = onstan. Jai, 0 an 0, sehingga pesamaan (44) apat iseehanaan menjai : atau : g cos o sin o h 0 (45) l sin h g l o 4 sin o sec o (46) Dai nilai h yang ipeoleh paa pesamaan i atas, maa yang ta lain aalah pesamaan gea banul oni. g o sec o (47) l

31 = = Gamba.0 Gea paa pemuaan bola G. Meania Hamilton Pesamaan Hamilton untu gea paa sebuah fungsi ai ooinat umum H q p L (48) Untu sebuah sistem inami seehana, enegi ineti sistem aalah fungsi uaat ai q an enegi potensialnya meupaan fungsi q saja : L T(q,q ) V(q ) (49) Beasaan teoema Eule untu fungsi homogen, ipeoleh Oleh aena itu : L T q p L q q T (50) q q H q p L T (T V) T V (5) Pesamaan ini ta lain aalah enegi total ai sistem yang ita tinjau. Selanjutnya, panang n buah pesamaan yang itulis sebagai : p L ( =,, n) (5) q

32 an nyataan alam q alam p an q q q (p,q ) (53) Dengan pesamaan i atas, ita apat nyataan fungsi H yang besesuaian engan vaiasi H p, q sebagai beiut : p L L q q p q q (54) q q Suu petama an suu eua yang aa alam tana uung saling meniaaan, oleh aena menuut efenisi H p L/ q, oleh aena itu: q p p q (55) Vaiasi fungsi H selanjutnya apat inyataan alam pesamaan beiut : H H H p q (56) p q Ahinya ipeoleh : H p q (57) H q p (05) Dua pesamaan teahi ini ienal engan pesamaan anoni Hamilton untu gea. Pesamaan-pesamaan ini teii ai n pesamaan efensial oe- (baningan engan pesamaan Lagange yang menganung n pesamaan ifeensial oe-. Pesamaan Hamilton banya ipaai alam meania uantum (teoi asa gejala atomi). Contoh pemaaian.. Gunaan pesamaan Hamilton untu mencai pesamaan gea osilato hamoni satu imensi. Jawab : Enegi ineti an enegi potensial sistem apat inyataan sebagai :

33 T mx an Momentumnya apat itulis Hamiltoniannya apat itulis : H Pesamaan geanya aalah : an ipeoleh : V Kx (58) T p mx x atau m K p x (59) m T V p x (60) H x p p m H p x x Kx p (6) Pesamaan petama menyataan hubungan momentum-ecepatan. Dengan menggunaan eua pesamaan i atas, apat ita tulis : m x Kx 0 (6) yang ta lain aalah pesamaan osilato hamoni.. Gunaan pesamaan Hamilton untu mencai pesamaan gea bena yang beaa i bawah pengauh mean sental. Jawab : Enegi ineti an enegi potensial sistem apat inyataan alam ooinat pola sebagai beiut: Jai : Aibatnya : p T T m T m m ( ) an V=V() (63) p p p (64) m (65) m

34 Pesamaan Hamiltoniannya: H p Selanjutnya: H, p p H (p m H, p H, p ) V() (67) (66) V() p m 3 p m p m p (68) (69) (70) p 0 (7) Dua pesamaan yang teahi menunjuan bahwa momentum suut tetap, p ons tan m mh (7) Seangan ua pesamaan sebelumnya membeian, mh V() p (7) m 3 untu pesamaan gea alam aah aial.

35 PENUTUP Dai pembahasan i atas ipeoleh esimpulan sebagai beiut :. Jia itinjau gea patiel yang teenala paa suatu pemuaan biang, maa ipeluan aanya gaya tetentu yani gaya onstain yang bepean mempetahanan onta antaa patiel engan pemuaan biang. Namun, ta selamanya gaya onstain yang beasi tehaap patiel apat ietahui.. Dalam onisi husus teapat gaya yang ta apat ietahui, maa peneatan Newtonian ta belau. Sehingga ipeluan peneatan bau engan meninjau uantitas fisis lain yang meupaan aateisti patiel, misal enegi totalnya. Peneatan ini ilauan engan menggunaan pinsip Hamilton, imana pesamaan Lagange yani pesamaan umum inamia patiel apat ituunan ai pinsip tesebut. 3. Pinsip Hamilton mengataan, lintasan nyata yang iiuti sistem inamis aalah lintasan yang meminimuman integal watu selisih antaa enegi ineti engan enegi potensial. 4. Pesamaan gea patiel yang inyataan oleh pesamaan Lagange apat ipeoleh engan meninjau enegi ineti an enegi potensial patiel tanpa pelu meninjau gaya yang beasi paa patiel.enegi ineti patiel alam ooinat atesian aalah fungsi ai ecepatan, enegi potensial patiel yang begea alam mean gaya onsevatif aalah fungsi ai posisi. 5. Pesamaan Lagange meupaan pesamaan gea patiel sebagai fungsi ai ooinat umum, ecepatan umum, an mungin watu. 6. Paa asanya, pesamaan Lagange eivalen engan pesamaan gea Newton, jia ooinat yang igunaan aalah ooinat atesian. 7. Hubungan Lagangian tehaap watu meupaan onseuensi ai gaya onstain tehaap watu atau iaenaan pesamaan tansfomasi yang menghubungan ooinat atesian an ooinat umum menganung fungsi watu.

36

37 DAFTAR PUSTAKA Boas, May. --. Mathematical Methos in the Physical Sciences. --- Golstein, Hebet Classical Mechanics Thi Eition. New Yo: Aison Wesley. Gegoy, Douglas Classical Mechanics. New Yo: Cambige Univesity Pess. Moin, Davi Intouction to Classical Mechanics With Poblems an Solutions. New Yo: Cambige Univesity Pess.