Mekanika Lagrangian (Fowles) Mekanika Lagrangian. , q n. q 3 ) ) ) ke nilai tetangga (q 1

Transkripsi

1 Meana Lagrangan (Fowles) Supar Meana Lagrangan Melalu meana Lagrangan n persamaan gera Newton untu sstem seerhana aan beran engan lebh sphstcate. Koornat Umum Poss partel alam ruang apat tentuan melalu 3 oornat. Koornat tersebut apat berupa artesan, bola atau slner. Ja bena bergera alam bang, maa erajat ebebasannya aa 2, ja bena bergera alam ruang 3D, maa erajat ebebasannya aa 3. Untu asus N partel, maa ta membutuhan 3N oornat untu menentuan poss ar seluruh partel tersebut. Ja terapat enala alam sstem, maa jumlah oornatnya < 3N. Msalnya untu bena tegar, maa yang butuhan aalah poss pusat massa an orentas benanya. Ja hanya 6 oornat saja. q Msalnya oornat ber smbol q 1, q 2,, q n sebaga oornat umum. Koornat bsa berupa jara atau suut. Ja untu menentuan sebuah sstem, sebuah oornat apat bebas maa sstem tersbut sebut sstem holonom an sebalnya sebut nonholonom. umum Ja q Ja sstem berupa partel, maa oornat asrtesan apat nyataan alam oornat x= x(q) 1 erajat ebebasan x=x(q 1, q 2 ) y= y (q 1, q 2 ) x=x(q 1, q 2, q 3 ) y= y(q 1, q 2, q 3 ) z=z(q 1, q 2, q 3 ) 2 erajat ebebasan 3 erajat ebebasan berubah ar nla awal (q 1, q 2, ) e nla tetangga (q 1 +δ q 1, q 2 +δq 2, ) maa perubahan tersebut atannya engan oornat artesan δ x= x q 1 q 1 + x q 2 q 2 + δ y= y q 1 q 1 + y q 2 q 2 + (1) 1

2 Meana Lagrangan (Fowles) Supar Contoh 1. Untu gera partel alam bang, msal plh oornat polar maa q 1 =r an q 2 =θ sehngga x= x(r,θ)=r cosθ, y= y(r,θ)=r sn θ (2) δ x= x r δ r+ x δ θ=cosθδ r r sn θδ θ θ δ y= y r δ r+ y (3) θ δ θ=sn θδ r+r cosθδ θ ja sstem terr atas banya partel engan n erajat ebebasan, oornat umumnya nyataan oleh q 1, q 2,, q n sehngga perubahan onfguras ar q 1, q 2,, q n e q 1 +δ q 1, q 2 +δ q 2,,q n +δ q n menyebaban perubahan alam oornat artesan Gaya Umum n δ x = n δ y = n δ z = x δ q q y δ q q z δ q q Ja bena bergeser sejauh δ r lauan oleh gaya tersebut aalah δ w=f δ r=f x δ x+f y δ y+f z δ z δ w= F δ x (4) arena aanya pengaruh gaya F maa erja yang atau Ungapan tersebut ta hanya untu 1 partel saja, tetap juga untu banya partel. Untu 1 partel : 1 3, untu N partel : 1 3N. Ja δ x umum, maa δ w= δ w= δ w= δ w= ( F ( ( Q δ q x δq q ) x F δq q ) F x q ) δ q (5) emuan nyataan alam oornat (6) 2

3 Meana Lagrangan (Fowles) Supar mana Q = Gaya Umum untu sstem onsevatf F x q Gaya umum (7) Partel yang beraa alam mean onservatf, gayanya nyataan oleh F = V x (8) sehngga gaya umum alam mean onservatf nyataan oleh Q = V x x q Q = V q Msal untu oornat polar mana q 1 =r Q r = V r ; Persamaan Lagrange ungapan Q θ= V θ an q 2 =θ maa gaya umumnya aalah Untu memperoleh persamaan fferensal tentang gera, maa ta mula engan (9) (10) F =m ẍ (11) Energ net yang ml oleh N partel aalah T = N 1 3N = 2 m(ẋ + ẏ + ż ) 1 2 m ẋ mana x merupaan fungs oornat umum x x (q 1, q 2, q 3,, q n,t ), sehngga ẋ = x q ngat bahwa =1,, 3 N q + x t menyataan jumlah partel =1,, n menyataan jumlah erajat ebebasan Apabla x buan fungs t, maa peroleh ungapan (12) (13) 3

4 Meana Lagrangan (Fowles) Supar ẋ = x (14) q q Ja eua ruas alan engan ẋ emuan turunan terhaap t, maa peroleh ẋ t (ẋ q ) = x t (ẋ q ) t 2 x ( ( 2 ) x )=ẍ q = ẍ x q + ẋ ẋ q ( ẋ + q q engan mengalan eua ruas engan m 2 ) (15) t m ( ( ẋ 2 2 ) q )=m ẍ x ( m ẋ 2 ) + q q t ( T ) =F x + T q q (16) engan menjumlah e seluruh I maa t ( T q ) = F x q + T q (17) t ( T ) =Q + T (18) q Persamaan (18) nlah yang sebut persamaan Lagrange. Untu gera onservatf mana Q= V q, maa ungapan (18) apat tuls embal menja t ( T ) = T V (19) q q Ja beran fungs Lagrange L=T V (20) 4

5 Meana Lagrangan (Fowles) Supar mana T an V nyataan alam oornat umum V V (q ) = T q q an V =0 q, maa = T V (21) q q q sehngga persamaan Lagrange untu sstem yang onservatf aalah t ( ) = (22) q Ja, persamaan ferensal gera untu sstem onservatf apat peroleh ja fungs Lagrange alam set oornat etahu. Ja gaya umumnya ta onservatf, msal Q ' apat turunan fungs potensal V yatu maa ar L=T V peroleh (msal aa gaya gese) an sebagan Q =Q ' V q (23) t ( ) =Q' + (24) q Aplas persamaan Lagrange Untu mengaplasan persamaan Lagrange maa langah-langahnya aalah 1. Plh oornat yang sesua untu menggambaran onfguras ar sstem tersebut. 2. Tentuan T sebaga fungs oornat an turunan watu. 3. Ja sstem onservatf maa carlah V sebaga fungs oornat, ja sstem nononservatf maa carlah gaya umumnya Q. 4. Persamaan ferensal gera beran oleh 1. t ( T ) =Q + T, q t ( ) = atau q t ( ) =Q' +. q Contoh 2. Oslator harmon Dtnjau sebuah oslator harmon mana terapat gaya reaman yang sebanng engan ecepatan. Ja sstem aalah nononservatf. Ja x aalah pergeseran, maa fungs Lagrangenya aalah 5

6 Meana Lagrangan (Fowles) Supar L=T V = 1 2 m x x2 mana m aalah massa bena an K aalah parameter stffness. Dengan mengaplasan pers. Lagrange, mana ( x ) =m ẋ an x = Kx engan eharan gaya reaman yang sebanng engan ecepatan yatu c ẋ maa persamaan geranya menja (m ẋ)= c ẋ Kx t m ẍ+c ẋ+ Kx=0 Conto 3. Partel tunggal alam mean central Marlah ta mencar persamaan gera Lagrange untu partel yang bergera alam bang bawah mean central. Dalam hal n ta memlh oornat polar q 1 =r an q 2 =θ, maa Kemuan r=r e r T = 1 2 mv 2 = 1 2 m( r 2 +r 2 θ2 ) V =V (r) L=T V = 1 2 m(ṙ2 +r 2 θ 2 ) V (r) ṙ =m ṙ, r =mr θ2 f (r); θ =m r2 θ, θ =0 Karena sstemnya aalah onservatf, maa persamaan geranya aalah Contoh 5. Mesn Atwoo t (mṙ)=mr θ2 f (r) m r mr θ 2 + f (r)=0 t (mr 2 θ)=0 mr 2 θ=constan Detahu mesn atwoo terr atas ua massa m 1 an m 2 yang at paa masng- 6

7 Meana Lagrangan (Fowles) Supar masng ujungnya. Sstem hanya meml 1 erajat ebebasan. Koornat x mewal onfguras sstem, mana x aalah jara vertal massa m 1 ar atrol. Laju anguler atrol aalah ẋ/a, engan a aalah raus. Energ net sstem aalah T = 1 2 m 1 ẋ I x 2 a m 2 mana I aalah momen nersa atrol. Energ potensal sstem aalah Fungs Lagrangenya aalah sehngga menghaslan V = m 1 gx m 2 g(l x) L= 1 2 m 1 x I x 2 a m 2 ẋ2 +m 1 gx m 2 g(x l) ẋ =m ẋ+i ẋ 1 a +m ẋ 2 2 x =m g m g 1 2 t (m 1 ẋ+ I ẋ a +m 2 2 ẋ)=(m 1 +m 2 )g (m 1 +m 2 + I a 2 ) ẍ=(m 1 m 2 ) g ẍ= m 1 m 2 m 1 +m 2 + I a 2 g Dar ungapan percepatan tersebut apat etahu bahwa apabla m 1 >m 2 maa m 1 aan bergera turun engan percepatan onstan, sebalnya ja m 1 <m 2 maa m 1 aan bergera e atas engan percepatan onstan. x 2 Contoh 6. Katrol gana Detahu sstem atrol gana, mana satu atrol bergera bebas. Sstem n jelas meml ua erajat ebebasan. Kta aan menentuan onfguras sstem engan oornat x an x'. Dalam asus n, abaan massa ar atrol sehngga searang ta apat menentuan energ net 7

8 Meana Lagrangan (Fowles) Supar an potensalnya sebaga berut T = 1 2 m 1 ẋ m ( ẋ' 2 ẋ) m 3 ( ẋ+ ẋ' )2 V = m 1 gx m 2 g (l x+ x' ) m 3 g (l x+l ' x' ) L=T V = 1 2 m 1 x m (ẋ ' ẋ ẋ '+ ẋ2 )+ 1 2 m ( 3 x 2 +2 ẋ ẋ '+ ẋ' 2 )+m 1 gx+m 2 g (l x+x ')+m 3 g (l x+l ' x' ) ẋ =m 1 ẋ+m 2 ( ẋ '+ ẋ)+m 3 ( ẋ+ ẋ' ) x =m 1 g m 2 g m 3 g t ( ẋ ) = (m x 1 +m 2 +m 3 ) ẍ+(m 3 m 2 ) ẍ' =(m 1 m 2 m 3 ) g ẋ' =m ẋ' m 2 2 ẋ+m 3 ẋ+m 3 ẋ ' x ' =m g m g 2 3 t ( x ) = x m 2 (ẍ' ẍ)+m 3 (ẍ+ẍ' )=(m 2 m 3 ) g Contoh 6. Gera partel paa bang mrng yang seang bergera Dtnjau sebuah partel bergera paa bang mrng yang lcn, mana bang tersebut juga seang bergera. Dsn terapat 2 erajat ebebasan yatu x an x'. Tentuan persamaan gera partel tersebut. Energ net an energ potensal sstem masng-masng aalah T = 1 2 M x m v2 = 1 2 M x m( x 2 +2 ẋ ẋ ' cosθ+ẋ ' 2 ) V = mg x ' sn θ L=T V = 1 2 M x mv2 = 1 2 M x m( ẋ2 +2 ẋ ẋ' cosθ+ ẋ' 2 )+mg x' sn θ =M ẋ+m ẋ+m ẋ' cosθ, ẋ M ẍ+m ẍ+m ẍ' cosθ=0 =m ẋcosθ+m ẋ', ẋ' t ( ẋ' )= x' L x =0 L =mg sn θ x' m ẍcosθ+m ẍ' =mg sn θ engan menyelesaan untu ẍ an ẍ ' peroleh t ( ẋ )=0 8

9 Meana Lagrangan (Fowles) Supar gsn θ cosθ ẍ= m+m m cosθ, ẍ' = g sn θ 1 mcos2 θ m+m Momentum umum. Koornat aalah Pananglah sebuah partel bergera alam gars lurus. Energ net yang ml T = 1 2 m ẋ2 Momentum partel alam peroleh ar besaran T / ẋ, yatu p= T ẋ (26) Dalam asus mana sstem esrpsan alam oornat umum q 1,q 2,q 3,...,q n, maa besaran p efnsan oleh p = (27) an sebut momentum umum. Msal, salah satu oornat ta nyataan secara esplst alam L (msal q λ, maa p λ = =0 (28) q λ atau p λ =0. Koornat q λ ataan sebaga oornat yang apat abaan. Momentum umum yang bersesuaan engan oornat yang abaan merupaan onstanta geraa sstem. Sebaga contoh, untu partel yang bergera alam bang mrng yang lcn bahwa oornat x (poss bang) ta masu alam fungs Lagrange L. Dalam hal n, oornat x aalah oornat yang abaan, an p x = =M ẋ+m ẋ+m ẋ' cosθ=constant ẋ p x sn merupaan total omponen momentum lner paa oornat x, an berart ta aa gaya horzontal yang beerja partel sehngga momentumnya onstan. Contoh lan untu oornat terabaan aalah paa gera partel alam mean central. Dalam oornat polar 9

10 Meana Lagrangan (Fowles) Supar L= 1 2 m( r 2 +r 2 θ2 ) V (r) alam hal n θ aalah oornat terabaan sehngga p θ =mr 2 θ=constant yang merupaan momentum anguler setar orgn. Contoh 8. Penulum sfers Dtnjau sebuah bena bergera bebas alam permuaan mango. Hal n bsa gambaran sebaga sebuah banul engan panjang tal l an apat bergera bebas melntas lntasan yang membentu suut θ atau ϕ. Dalam hal n bena meml 2 erajat ebebasan. Konfguras bena apat jelasan engan oornat θ an ϕ. Energ net an energ potensal yang ml oleh bena aalah T = 1 2 mv 2 = 1 2 ml2 ( θ 2 + ϕ 2 sn 2 θ ) an V =mgl (1 cosθ) engan mengngat bahwa v=ṙ e r +r θ e θ +r ϕ e ϕ L=T V = 1 2 mv2 = 1 2 ml 2 ( θ 2 + ϕ 2 sn 2 θ ) mgl (1 cosθ) θ =ml2 θ ϕ =ml2 ϕ sn 2 θ engan eman alam asus n ϕ t θ =ml2 θ ; θ =ml 2 ϕ 2 snθ cosθ mgl snθ Ja, ml 2 θ =ml 2 ϕ 2 snθ cosθ mgl snθ t ϕ =ml2 ϕ sn 2 θ ; ϕ =0 Ja, p ϕ =0 merupaan oornat yang terabaan. Ja perhatan, eta ta terja perubahan paa ornat ϕ ϕ=0, maa ta meml θ + g l snθ =0 yang ta lan merupaan persamaan banul seerhana. Prnsp Varas Hamlton. Cara lan menurunan persamaan Lagrange Sejauh n, pengajan terhaap meana asaran paa huum gera Newton. Dalam bagan awal ar bab n, eta ta menurunan persamaan Lagrange, ta menggunaan huum eua Newton sebaga asums. Nah, alam bagan n ta aan menurunan persamaan Lagrange 10

11 Meana Lagrangan (Fowles) Supar tersebut buan berasaran huum eua Newton melanan engan meoe baru yang sebut prnsp varas Hamlton. Sr Wllam R. Hamlton menjelasan bahwa gera setap sstem terja engan cara mana ntegral t 2 L t (29) t 1 selalu alam asums bernla estrem, mana L = T -V merupaan fungs Lagrange ar sstem tersebut. Dengan ata lan apat jelasan bahwa prnsp Hamlton menyataan bahwa semua emungnan sstem yang apat berubah beraa alam nterval watu berhngga t 2 t 1 bernla masmum atau mnmum. Pernyataan tersebut apat nyataan alam ungapan matemats t 2 δ L t=0 (30) t 1 mana δ menyataan varas sempt. Varas n peroleh engan cara mengambl lntasan ntegras yang berbea engan memvaras oonat umum an ecepatan umum sebaga fungs t. Untu menunjuan bahwa persamaan atas aan menuju langsung e persamaan gera Lagrange, maa ta aan menghtung varas tersebut secara esplst engan mengasumsan bahwa L sebaga fungs oornat umum q an ecepatan umum q. bsa Selanjutnya, ta punya t 2 δ t 1 t 2 L t= t 1 t 2 δ L t= t 1 ( δ q q + δ q q ) t=0 11

12 Meana Lagrangan (Fowles) Supar Searang δ q sama engan selsh ar ua fungs watu berlanan, sehngga δ q = t δ q Dengan mengntegralan suu terahr engan metoe ntegral bagan maa peroleh t 2 t 1 δ q q =[ δq q ]t 1 t 2 t 2 t 1 t δ q q t tetap, untu nla past ar lmt t 1 an t 2, maa varas δ q =0 paa t 1 an t 2 sehngga menghaslan nla nol untu suu pertama. Dengan eman t 2 t 2 δ L t= t 1 t 1 [ q t ] δ q t=0 (31) Ja oornat umum q semuanya sembarang, maa varasnya δ q juga sembarang. Oleh arena tu suu alam ntegral harus sama engan nol. ja q t =0, q =1,2,..., n Persamaan tersebut ta lan aalah persamaan gera Lagrange. Penurunan atas telah asumsan bahwa fungs potensl aa atau sstem onservatf. Fungs Hamltonan. Persamaan Hamltonan Pananglah fungs berut alam oornat umum H = q p L (32) Untu sstem nam seerhana, T merupaan fungs uarat ar saja. Ja q an V aalah fungs q L=T (q, q ) V (q ) (33) Dar teorema Euler untu fungs homogen mana maa ta punya Sehngga x 1 f x 1 + x 2 f x 2 +x 3 f x x n f x n =nf (34) q p = q q = q =2 T 12

13 Meana Lagrangan (Fowles) Supar H = q p L=2 T (T V )=T +V (35) yan bahwa fungs H sama engan energ total ar sstem yang tnjau. Ja terapat n persamaan p =, =1,2,3,...,n sebaga penyelesaan ar q alam p an q: q = q ( p, q ) Dar persamaan n ta apat menyataan H sebaga fungs p an q, yatu H ( p, q )= p q ( p, q ) L Searang ta menghtung varas ar fungs H yang bersesuaan engan δ p, δ q : δ H = [ q + q δ p δ q q δ q q ] Suu pertama an etga hlang arena peroleh δ H = [ q δ p ṗ δ q ] Searang varas H apat nyataan embal oleh persamaan δ H = [ H δ p p H δ q q ] sehngga H = q p H = ṗ q Ungapan (36) nlah yang sebut persamaan gera anon Hamlton. p = / q. Mengngat ṗ = / q, maa Contoh 10. Dapatan persamaan gera Hamlton untu oslator harmon 1D. T = 1 2 m x 2, p= T ẋ =m ẋ, V = 1 2 Kx2 ẋ= p m sehngga H =T +V = 1 2m p2 + K 2 x2 (36) 13

14 Meana Lagrangan (Fowles) Supar Persamaan geranya H p =ẋ p m =ẋ, H x = ṗ Kx= ṗ Dengan menggunaan persmaan pertama, maa persamaan eua apat tuls menja Kx= (m ẋ) t m ẍ+kx=0 Contoh 11. Dapatan persamaan gera hamlton untu partel alam mean sentral. Energ net an potensal partel aalah T = 1 2 m( r 2 +r 2 θ 2 ), V =V (r) Persamaan Hamltonan Selanjutnya H p r =ṙ p r = T ṙ =m ṙ ṙ= p r m ; p r =ṙ ; V (r) p θ 2 r mr 3= ṗ r ; p θ mr = θ; 2 0= ṗ θ p θ = T θ =mr 2 θ H =T +V = 1 2 m( p 2 r + p 2 θ r ) 2 H r = ṗ r ; H = θ p θ p m =ẋ, Kx= ṗ +V (r) H θ = p theta ; Persamaan terahr memberan momentum anguler yang onstan p θ =onstan=mr 2 θ=mh m r= ṗ r = mh2 r 3 V (r) r an θ = p θ mr 2 14