Sistem Dinamik. Indrazno Siradjuddin. February 14, Gambar 1: Sistem pegas L = T V (1)

Transkripsi

1 Sistem Dinamik Inrazno Sirajuin February 14, Sistem Dinamik Pergerakan Pegas Gambar 1: Sistem pegas 1.1 Metoe Lagrange (Lagrangian Metho) L = T V (1) imana L aalah fungsi Lagrange, T aalah energi kinetik an V aalah energi potensial. Untuk sistem konservatif (tiak aa energi yang hilang) maka persamaan gerak (an equation of motion) apat ihasilkan ari iferensial ari fungsi Lagrange, hasil persamaan berikut ini isebut juga Lagrange s equation ( ) L L = 0 (2) t q i q i imana q i aalah sistem koorinat ari pergerakan sistem yang igeneralisasi. Untuk kasus pegas yang memiliki satu sumbu pergerakan bebas i = 1 atau engan kata lain sistem 1 DOF (egrees of freeom), maka subscript i tiak perlu itulis 1

2 tanpa mengihangkan arti, untuk itu koorinat ari sistem pegas q 1 = q = x. Persamaan Lagrange untuk kasus sistem pegas menjai ( ) L L t ẋ x = 0 (3) imana ẋ aalah turunan pertama ari x. aalah seangkan energi potensial V ari sistem pegas aalah Energi kinetik T ari sistem pegas T = 1 2 mẋ2 (4) V = 1 2 kx2 mg(l + x) (5) imana k aalah konstanta pegas engan satuan N/m an l aalah panjang pegas. Lebih lanjut, turunan pertama fungsi Lagrange iapatkan persamaan sebagai berikut: t ( ) L ẋ = t ( ( 1 2 mẋ2 1 2 kx2 + mg(l + x) ) ) ẋ = mẍ (7) L x = ( 1 2 mẋ2 1 2 kx2 + mg(l + x) ) (8) x = kx + mg (9) oleh karena itu, persamaan Lagrange untuk sistem pegas menjai (6) mẍ + kx mg = 0 (10) mẍ = mg kx (11) Persamaan Lagrange yang ihasilkan iatas apat i valiasi engan menggunakan hukum Newton an Hooke. 1.2 Hukum Hough an Newton f = w fk (12) f = mg kx (13) mẍ = mg kx (14) ẍ = mg kx m (15) 2

3 1.3 Simulasi engan Python 1 import pylab 2 from s c i p y. i n t e g r a t e import o eint 3 ef MassSpring ( s t a t e, t ) : 4 # unpack the s t a t e v e c t o r 5 x = s t a t e [ 0 ] 6 x = s t a t e [ 1 ] 7 # t h e s e are our c o n s t a n t s 8 k = 2. 5 # Newtons per metre 9 m = 1. 5 # Kilograms 10 g = 9. 8 # metres per secon 11 # compute a c c e l e r a t i o n x 12 x = (( k x ) /m) + g 13 # return the two s t a t e e r i v a t i v e s 14 return [ x, x ] s t a t e 0 = [ 0. 0, 0. 0 ] 17 t = pylab. arange ( 0. 0, , 0. 1 ) s t a t e = o e i n t ( MassSpring, state0, t ) pylab. p l o t ( t, s t a t e ) 22 pylab. x l a b e l ( TIME ( s e c ) ) 23 pylab. y l a b e l ( STATES ) 24 pylab. t i t l e ( Mass Spring System ) 25 pylab. legen ( ( $x$ (m), $\ ot {x}$ (m/ s e c ) ) ) 26 pylab. s a v e f i g ( t e s t. svg ) Program 1: Sistem pegas Gambar 2: Hasil program simulasi sistem pegas 3

4 1.4 Gaya reaman Moel an simulasi sistem pegas iatas aalah iturunkan berasarkan asumsi tiak aa gaya eksternal yang mempengaruhi sistem. Sesungguhnya, penekatan yang lebih realistis aalah bahwa sistem pegas tiak selamanya akan berosilasi terus menerus, melainkan lambat laun osilasi akan berkurang/teream sehingga pegas akan kembali paa posisi normal (rest). Oleh sebab itu sistem pegas bukan merupakan sistem konservatif. Gaya reaman yang inotasikan f aalah proporsional engan kecepatan, apat irumuskan sebagai berikut f = cẋ (16) imana c aalah konstanta reaman viskos (viscous amping) engan satuan N.s/m, tana - iberikan sebagai tana yang selalu berlawanan engan arah gerak bena. Persamaan Lagrange menjai t ( ) L q i L q i = Q i (17) imana Q i aalah gaya eksternal. Sebagai perbaningan engan sistem yang konservatif, nilai Q i aalah sama engan nol. Untuk kasus sistem pegas maka ( ) L L = cẋ (18) t ẋ x engan cara yang sama seperti iatas, maka iperoleh persamaan gerak inamik pegas sebagai berikut mẍ = mg kx cẋ (19) Simulasi engan Python berikut ini engan menggunakan c = 2 N.s/m 1 import pylab 2 from s c i p y. i n t e g r a t e import o eint 3 ef MassSpring ( s t a t e, t ) : 4 # unpack the s t a t e v e c t o r 5 x = s t a t e [ 0 ] 6 x = s t a t e [ 1 ] 7 # t h e s e are our c o n s t a n t s 8 k = 2. 5 # Newtons per metre 9 m = 1. 5 # Kilograms 10 g = 9. 8 # metres per secon 11 c = # compute a c c e l e r a t i o n x 13 x = (( k x c x ) /m) + g 14 # return the two s t a t e e r i v a t i v e s 4

5 15 return [ x, x ] s t a t e 0 = [ 0. 0, 0. 0 ] 18 t = pylab. arange ( 0. 0, , 0. 1 ) s t a t e = o e i n t ( MassSpring, state0, t ) pylab. p l o t ( t, s t a t e ) 23 pylab. x l a b e l ( TIME ( s e c ) ) 24 pylab. y l a b e l ( STATES ) 25 pylab. t i t l e ( Mass Spring System ) 26 pylab. legen ( ( $x$ (m), $\ ot {x}$ (m/ s e c ) ) ) 27 pylab. s a v e f i g ( t e s t. svg ) Program 2: Sistem pegas engan amper Gambar 3: Hasil program simulasi sistem pegas engan amper 5

6 2 Sistem Pergerakan Penulum Pegas Gambar 4: Sistem penulum pegas Energi kinetik total sistem penulum pegas aalah merupakan gabungan antara energi kinetik translasi (tangensial atau translational) an rotasi (raial atau rotational) T = 1 ( ) 2 m ẋ 2 + (l + x) 2 θ2 (20) Catatan: Energi kinetik untuk bena berputar engan jarak ari titik pusat r aalah T r = 1 2 Iω2 (21) imana I aalah momen inersia an ω aalah kecepatan putaran (ω = θ). Jika masa pegas iabaikan, maka momen inersia ari penulum pegas aalah I = mr 2 (22) untuk kasus penulum pegas, r = (l + x). Energi potensial sistem penulum pegas iakibatkan oleh gravitasi an sifat pegas itu seniri, ituliskan sebagai berikut V = mg(l + x) cos θ kx2 (23) Fungsi Lagrange sistem penulum pegas apat iformulasikan sebagai berikut L = 1 ( ) 2 m ẋ 2 + (l + x) 2 θ2 + mg(l + x) cos θ 1 2 kx2 (24) 6

7 Dapat iketahui ari persamaan iatas bahwa terapat ua sistem koorinat paa sistem penulum pegas yaitu sistem koorinat translasi yang irepresentasikan oleh x an sistem koorinat rotasi yang irepresentasikan oleh θ. Sehingga persamaan Lagrange paa keua koorinat tersebut apat iformulasikan sebagai berikut, terhaap x t ( ) L L ẋ x = 0 (25) (mẍ) (m(l + x) θ 2 + mg cos θ kx) = 0 (26) ( ẍ = (l + x) θ 2 g cos θ + kx ) (27) m an terhaap θ ( ) L t ( θ ) m(l + x) 2 θ = L θ (28) t = mg(l + x) sin θ (29) m(l + x) 2 θ + 2m(l + x)ẋ θ = mg(l + x) sin θ (30) (l + x) θ + 2ẋ θ = g sin θ (31) (g sin θ + 2ẋ θ) θ = (l + x) (32) 3 DO NEXT!!! 1. Python coe to simulate the spring penulum 2. Inclue the amping force 3. Python coe to simulate the spring penulum with the amping force 4. Harcoe ODE Euler 5. Harcoe ODE Runge Kutta 4th Orer 7

8 4 Single Joint Elbow Kinematic Gambar 5: 1 DOF lengan robot Kinematic teriri ari forwar kinematic an inverse kinematic. Dalam kinematics, akan ipelajari hubungan atau fungsi yang memetakan input (input space) atau join robot (joint space) untuk robot manipulator menjai output (output space) atau task space atau work space. Gambar 5 aalah contoh seerhana ari sistem 1 DOF (egrees of freeom) imana jumlah input hanya satu yaitu sebuah motor paa posisi (0, 0) atau base, yang menggerakkan lengan l. Gerakkan putaran motor (alam hal ini itunjukkan oleh posisi suut θ) itujukan untuk memposisikan ujung lengan (en-effector) paa posisi koorinat tertentu yang inotasikan oleh (x e, y e ). Dengan trigonometri apat engan muah iapatkan x e = l cos θ (33) y e = l sin θ (34) Problem paa inverse kinematic aalah untuk mencari posisi suut motor θ jika inginkan posisi en-effector paa (x e, y e ). Inverse kinematic ari kasus ini apat ihitung engan 4.1 Simulasi 1 DOF lengan engan Python 1 from pylab import 2 #from math import sin, cos, raians, pi 3 t = l i n s p a c e ( 0, 1, ) tan θ = y e (35) x e ( ) ye θ = arctan (36) x e 8

9 4 theta = s i n (2 pi t /4) 5 f i g u r e ( ) 6 subplot ( 2, 4, ( 1, 2 ) ) 7 p l o t ( t, theta 180/ pi ) 8 x l a b e l ( TIME ( s e c ) ) 9 y l a b e l ( ELBOW ANGLE ( eg ) ) 10 # compute han p o s i t i o n Hx, Hy 11 l = Hx = l cos ( theta ) 13 Hy = l s i n ( theta ) 14 subplot ( 2, 4, ( 5, 6 ) ) 15 p l o t ( t, Hx, b ) 16 p l o t ( t, Hy, r ) 17 x l a b e l ( TIME ( s e c ) ) 18 y l a b e l ( HAND POSITION (m) ) 19 legen ( ( Hx, Hy ), l o c= lower r i g h t ) 20 subplot ( 2, 4, ( 3, 8 ) ) 21 p l o t ( ( 0,Hx [ 0 ] ), ( 0,Hy [ 0 ] ), g ) 22 p l o t ( ( 0,Hx[ 1]), ( 0,Hy[ 1]), r ) 23 p l o t (Hx[ 0 : 1 : 1 0 ],Hy[ 0 : 1 : 1 0 ], k. ) 24 x l a b e l ( X (m) ) 25 y l a b e l ( Y (m) ) 26 a x i s ( equal ) 27 pylab. s a v e f i g ( t e s t 1 o f. svg ) Program 3: Simulasi kinematics 1 DOF Gambar 6: Simulasi 1 DOF lengan robot 9

10 5 2 DOF Kinematic 5.1 Forwar Kinematic 1 from pylab import 2 ef j o i n t s t o h a n ( a1, a2, l1, l 2 ) : 3 Ex = l 1 cos ( a1 ) 4 Ey = l 1 s i n ( a1 ) 5 Hx = Ex + ( l 2 cos ( a1+a2 ) ) 6 Hy = Ey + ( l 2 s i n ( a1+a2 ) ) 7 return Ex, Ey, Hx,Hy 8 9 # limb geometry 10 l 1 = 0.34 # metres 11 l 2 = 0.46 # metres 12 Gambar 7: 2 DOF lengan robot x 1 = l 1 cos θ 1 (37) y 1 = l 1 sin θ 1 (38) x 2 = l 1 cos θ 1 + l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) (39) y 2 = l 1 sin θ 1 + l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) (40) 13 # ecie on a range o f j o i n t a n g l e s 14 n1steps = n2steps = a1range = l i n s p a c e (0 pi /180, 120 pi /180, n1steps ) # shouler 17 a2range = l i n s p a c e (0 pi /180, 120 pi /180, n2steps ) # elbow 18 10

11 19 # sample a l l combinations an p l o t j o i n t an han c o o r i n a t e s 20 f=f i g u r e ( f i g s i z e =(8,12) ) 21 f o r i in range ( n1steps ) : 22 f o r j in range ( n2steps ) : 23 subplot ( 2, 1, 1 ) 24 p l o t ( a1range [ i ] 180/ pi, a2range [ j ] 180/ pi, r+ ) 25 ex, ey, hx, hy = j o i n t s t o h a n ( a1range [ i ], a2range [ j ], l1, l 2 ) 26 subplot ( 2, 1, 2 ) 27 p l o t ( hx, hy, r+ ) 28 subplot ( 2, 1, 1 ) 29 x l a b e l ( Shouler Angle ( eg ) ) 30 y l a b e l ( Elbow Angle ( eg ) ) 31 t i t l e ( J o i n t Space ) 32 subplot ( 2, 1, 2 ) 33 x l a b e l ( Han P o s i t i o n X (m) ) 34 y l a b e l ( Han P o s i t i o n Y (m) ) 35 t i t l e ( Han Space ) 36 a1 = a1range [ n1steps / 2 ] 37 a2 = a2range [ n2steps / 2 ] 38 ex, ey, hx, hy = j o i n t s t o h a n ( a1, a2, l1, l 2 ) 39 subplot ( 2, 1, 1 ) 40 p l o t ( a1 180/ pi, a2 180/ pi, bo, markersize =5) 41 a x i s ( equal ) 42 x l = get ( get ( f, axes ) [ 0 ], xlim ) 43 y l = get ( get ( f, axes ) [ 0 ], ylim ) 44 p l o t ( ( x l [ 0 ], x l [ 1 ] ), ( a2 180/ pi, a2 180/ pi ), b ) 45 p l o t ( ( a1 180/ pi, a1 180/ pi ), ( y l [ 0 ], y l [ 1 ] ), b ) 46 subplot ( 2, 1, 2 ) 47 p l o t ( ( 0, ex, hx ), ( 0, ey, hy ), b ) 48 p l o t ( hx, hy, bo, markersize =5) 49 a x i s ( equal ) 50 x l = get ( get ( f, axes ) [ 1 ], xlim ) 51 y l = get ( get ( f, axes ) [ 1 ], ylim ) 52 p l o t ( ( x l [ 0 ], x l [ 1 ] ), ( hy, hy ), b ) 53 p l o t ( ( hx, hx ), ( y l [ 0 ], y l [ 1 ] ), b ) 54 pylab. s a v e f i g ( t e s t 2 o f. svg ) Program 4: Simulasi kinematics 1 DOF 11

12 Gambar 8: Hasil simulasi 2 DOF lengan robot Inverse Kinematic!!! 5.2 Jacobian Working space atau task space ξ = [x, y] T an input space atau joint space θ = [θ 1, θ 2 ] T. Forwar kinematic ξ = f(θ) (41) merupakan hubungan posisi suut paa join θ engan posisi en-effector ξ paa Eucliean space. Dengan mencari turunan pertama ari fungsi forwar kinematic, hubungan kecepatan suut paa join engan kecepatan en-effector paa 12

13 taskspace apat iketahui ξ = f(θ) (42) t t ξ = f(θ) θ (43) t θ t ξ = J θ (44) imana J isebut sebagai matriks Jacobian. Untuk kasus 2 DOF, matriks Jacobian apat icari engan J = f(θ) x θ 1 f(θ) y θ 1 f(θ) x θ 2 f(θ) y θ 2 Tuliskan program Python ibawah ini untuk menghitung secara simbolik komponen matriks J 1 # import sympy 2 from sympy import 3 # e f i n e t h e s e v a r i a b l e s as symbolic ( not numeric ) 4 a1, a2, l1, l 2 = symbols ( a1 a2 l 1 l 2 ) 5 # a1 an a2 r e p r e s e n t theta1 an theta2, r e s p e c t i v e l y 6 # forwar kinematics f o r Hx an Hy 7 fx = l 1 cos ( a1 ) + l 2 cos ( a1+a2 ) 8 fy = l 1 s i n ( a1 ) + l 2 s i n ( a1+a2 ) 9 # use sympy i f f ( ) to get p a r t i a l e r i v a t i v e s f o r Jacobian matrix 10 J11 = i f f ( fx, a1 ) 11 J12 = i f f ( fx, a2 ) 12 J21 = i f f ( fy, a1 ) 13 J22 = i f f ( fy, a2 ) 14 p r i n t J11 15 p r i n t J12 16 p r i n t J21 17 p r i n t J22 Program 5: Menghitung secara simbolik komponen matrix J (45) akan iapatkan hasil matriks Jacobian J sebagai berikut [ ] l1 sin(θ J = 1 ) l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) l 1 cos(θ 1 ) + l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) (46) Program simulasi berikut memberikan gambaran aplikasi mencari nilai kecepatan en-effector engan Jacobian, biasa isebut juga velocity kinematic. 13

14 1 from sympy import 2 from numpy import 3 ef j a c o b i a n (A, aparams ) : 4 5 Given j o i n t a n g l e s A=(a1, a2 ) 6 r e t u r n s the Jacobian matrix J ( q ) = f /A 7 8 l 1 = aparams [ l 1 ] 9 l 2 = aparams [ l 2 ] 10 FxA1 = l 1 s i n (A[ 0 ] ) l 2 s i n (A[0]+A[ 1 ] ) 11 FxA2 = l 2 s i n (A[0]+A[ 1 ] ) 12 FyA1 = l 1 cos (A[ 0 ] ) + l 2 cos (A[0]+A[ 1 ] ) 13 FyA2 = l 2 cos (A[0]+A[ 1 ] ) 14 J = matrix ( [ [ FxA1, FxA2 ], [ FyA1, FyA2 ] ] ) 15 return J aparams = { l 1 : , l 2 : } 18 A = array ( [ , ] ) pi /180 # j o i n t a n g l e s 19 A = matrix ( [ [ 5. 0 ], [ 3. 0 ] ] ) pi /180 # j o i n t v e l o c i t i e s 20 J = j a c o b i a n (A, aparams ) 21 H = J A 22 p r i n t H Program 6: Velocity kinematic Kecepatan en-effector ihitung jika iketahui θ 1 = 45, θ 2 = 90, θ1 = 5 s 1 an θ 2 = 3 s 1 an ihasilkan ẋ = m s 1 an ẋ = m s Persamaan Dinamik Forwar Acceleration Kinematics ( ξ) = t ξ = ( J t θ ) (47) = J ( ) θ + t θ (J) (48) t = J θ + J θ (49) Sebagai contoh, untuk kasus 2 DOF lengan robot t (j 1,1) t (j 1,2) J = t (j 2,1) t (j 2,2) (50) 14

15 imana t (j 1,1) = t ( l 1 sin(θ 1 ) l 2 sin(θ 1 + θ 2 )) (51) = l 1 cos(θ 1 ) θ 1 l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) θ 1 l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) θ 2 (52) t (j 1,2) = t ( l 2 sin(θ 1 + θ 2 )) (53) = l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) θ 1 l 2 cos(θ 1 + θ 2 ) θ 2 (54) t (j 2,1) = t (l 1 cos(θ 1 ) + l 2 cos(θ 1 + θ 2 )) (55) = l 1 sin(θ 1 ) θ 1 l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) θ 1 l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) θ 2 (56) t (j 2,2) = t (l 2 cos(θ 1 + θ 2 )) (57) = l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) θ 1 l 2 sin(θ 1 + θ 2 ) θ 2 (58) Inverse Acceleration Kinematics imana J 1 aalah inverse ari J. ξ = J θ + J θ (59) ) θ = J ( ξ 1 J θ (60) 6 Persamaan Gerak 1 DOF (Variasi Kasus) Gambar 9: Sistem inamik elbow robot 15

16 Linear/Translational Kinetic Energy: Rotational Kinetic Energy: T 1 = 1 2 mv2 (61) = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) (62) T 2 = 1 2 I θ 2 (63) Total Kinetic Energy: T = T 1 + T 2 (64) = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) I θ 2 (65) Dengan mentransformasikan koorinat titik pusat massa m, (x, y) (r, θ) yang apat iperoleh engan cara sebagai berikut, substitusikan, Kinetic Energy menjai x = r sin(θ) (66) y = r cos(θ) (67) ẋ = r cos (θ) θ (68) ẏ = r sin (θ) θ (69) Energi potensial T = 1 2 m((r cos(θ) θ) 2 + (r sin(θ) θ) 2 ) I θ 2 (70) = 1 2 mr2 θ2 (cos 2 θ + sin 2 θ) I θ 2 (71) = 1 2 mr2 θ I θ 2 (72) V = mgh (73) imana h aalah ketinggian bena ari permukaan tanah. Dengan menifinisikan bahwa energi potensial nol aalah saat lengan menghaap tegak lurus kebawah, θ = 0. Maka, V = mgr(1 cos(θ)) (74) 16

17 Dengan emikian fungsi Lagrange apat itulis sbg berikut L = T V (75) = 1 2 mr2 θ I θ 2 mgr(1 cos(θ)) (76) Untuk apat merumuskan erivative ari fungsi Lagrange, perlu iketahui an an t L θ L θ ( ) L θ = mgr sin(θ) (77) = mr 2 θ + I θ (78) = mr 2 θ + I θ (79) Dalam kasus ini koorinat system hanya satu yaitu θ, persamaan EULER-LAGRANGE apat itulis sebagai berikut ( ) L t θ L = Q (80) θ alam hal Q aalah torque yang iberikan kepaa system. Dengan kata lain, hal ini apat igunakan untuk menjawab pertanyaan, berapa torque yang ibutuhkan untuk mengahasilkan state inamik yang iinginkan. Q = mr 2 θ + I θ + mgr sin(θ) (81) Persamaan forwar ynamic ari gerak penulum apat ihitung engan θ = Q mgr sin(θ) I + mr 2 (82) Program Python ibawah ini aalah implementasi sistem inamik 1 of 1 from s c i p y. i n t e g r a t e import o eint 2 from pylab import 3 ef onejointarm ( s t a t e, t ) : 4 theta = s t a t e [ 0 ] # j o i n t angle ( ra ) 5 t h e t a o t = s t a t e [ 1 ] # j o i n t v e l o c i t y ( ra / s ) 6 m = 1.65 # kg 7 r = 0.50 # l i n k length (m) 8 g = 9.81 # g r a v i t a t i o n a l constant (m/ s / s ) 17

18 9 i = # moment o f i n e r t i a ( kg m m) 10 theta ot = (m g r s i n ( theta ) ) / ( i + (m r r ) ) 11 return [ theta ot, theta ot ] t = l i n s p a c e ( 0. 0, , ) # 10 secons sample at 1000 Hz 14 s t a t e 0 = [ pi / , 0. 0 ] # 90 eg i n i t i a l angle, 0 eg/ s e c i n i t i a l v e l o c i t y 15 s t a t e = o e i n t ( onejointarm, state0, t ) 16 p r i n t s t a t e 17 f i g u r e ( ) 18 p l o t ( t, s t a t e 180/ pi ) 19 legen ( ( thetaot, thetaot ) ) 20 x l a b e l ( TIME ( s e c ) ) 21 y l a b e l ( THETA DOT ( eg ) & THETA DDOT ( eg/ s e c ) ) 22 pylab. s a v e f i g ( test1ofynamic. svg ) Hasil plot Program 7: Simulasi inamik 1 DOF Gambar 10: Hasil simulasi sistem inamik 1 DOF lengan robot Program ibawah ini skeleton animasi penulum 1 from s c i p y. i n t e g r a t e import o eint 2 from pylab import 3 4 ef animate arm ( s t a t e, t ) : 5 l = f i g u r e ( f i g s i z e =(12,6) ) 7 p l o t ( 0, 0, r. ) 8 p, = p l o t ( ( 0, l s i n ( s t a t e [ 0, 0 ] ) ),(0, l cos ( s t a t e [ 0, 0 ] ) ), b ) 9 t t = t i t l e ( %4.2 f s e c % ) 10 xlim ([ l.05, l ] ) 11 ylim ([ l,. 1 0 ] ) 18

19 12 step = 3 13 f o r i in xrange ( 1, shape ( s t a t e ) [0] 10, step ) : 14 p. s e t x a t a ( ( 0, l s i n ( s t a t e [ i, 0 ] ) ) ) 15 p. s e t y a t a ((0, l cos ( s t a t e [ i, 0 ] ) ) ) 16 t t. s e t t e x t ( %4.2 f s e c % ( i ) ) 17 raw ( ) t = l i n s p a c e ( 0. 0, , ) 20 s t a t e = o e i n t ( onejointarm, state0, t ) 21 animate arm ( s t a t e, t ) Program 8: Simulasi inamik 1 DOF 7 Equations of motion for a two-joint arm Gambar 11: Two joints arm 19

20 8 Motor Control: Muscle Gambar 12: Moel ari muscle engan torque yang konstan I θ = mgl z cos(θ) + τ m (83) 20