UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

Transkripsi

1 TRIGONOMETRI disusun untuk memenuhi salah satu tugas akhi Semeste Pendek mata kuliah Tigonometi Dosen : Fey Fedianto, S.T., M.Pd. Oleh Nia Apiyanti (207022) F PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 203

2 KATA PENGANTAR Dengan memanjatkan puji dan syuku kehadiat Allah SWT, atas nikmat dan kaunia-nya semata, akhinya penulis dapat menyelesaikan makalah yang bejudul TRIGONOMETRI. Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencai sumbe maupun pada saat penulisannya, namun bekat bimbingan dan doongan dai semua pihak akhinya makalah ini dapat tewujud. Penulis menyadai bahwa masih ada kekuangan dan kejanggalan hal itu disebabkan sangat tebatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki. Oleh kaena itu penulis menghaapkan kitik dan saan dai semua pihak yang besifat membangun selalu kami haapkan demi kesempunaan makalah ini. Saya ucapkan teima kasih kepada semua pihak yang telah bepean seta dalam penyusunan makalah ini dai awal sampai akhi. Semoga Allah SWT senantiasa meidhai segala usaha kita. Amin. Ciebon, Agustus 203 Penulis

3 DAFTAR ISI Kata Penganta... i Dafta Isi... ii BAB Sudut dan Ukuan Sudut... BAB 2 Fungsi Tigonometi... 6 BAB 3 Aplikasi Pebandingan Tigonometi pada Segitiga... 0 BAB 4 Fungsi Tigonometi Sudut yang Beelasi... 2 BAB 5 Identitas Tigonometi... 6 BAB 6 Fungsi Tigonometi sudut ( dan ) BAB 7 Fungsi Tigonometi Sudut Ganda BAB 8 Hubungan antaa Sisi-Sisi dan Sudut-Sudut Segitiga BAB 9 Gafik Fungsi Tigonometi BAB 0 Pesamaan Tigonometi BAB Petidaksamaan Tigonometi... 34

4 BAB SUDUT DAN UKURAN SUDUT A. Pengetian Sudut Aga kalian dapat memahami pengetian sudut, coba amati ujung sebuah meja, pojok sebuah pintu, atau jendela di kelasmu, bebentuk apakah ujung tesebut? Ujung sebuah meja atau pojok pintu dan jendela adalah salah satu contoh sudut. Pehatikan Gamba 7.7. Suatu sudut dapat dibentuk dai suatu sina yang diputa pada pangkal sina. Sudut ABC pada gamba di samping adalah sudut yang dibentuk BC yang diputa dengan pusat B sehingga BC beputa sampai BA. Ruas gais BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik petemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut. Daeah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut, yaitu daeah ABC disebut daeah sudut. Untuk selanjutnya, daeah sudut ABC disebut besa sudut ABC. Sudut dinotasikan dengan : dibei nama. Sudut pada Gamba 7.7 dapat

5 Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai beikut. Sudut adalah daeah yang dibentuk oleh petemuan antaa dua buah sina atau dua buah gais luus. B. Besa Sudut Besa suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan deajat (o), menit ( ), dan detik ( ). Pehatikan jaum jam pada sebuah jam dinding. Untuk menunjukkan waktu jam, maka jaum menit haus beputa putaan penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis jam = 60 menit. Adapun untuk menunjukkan waktu menit, jaum detik haus beputa putaan penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis menit = 60 detik. Hal ini juga belaku untuk satuan sudut. Hubungan antaa deajat (o), menit ( ), dan detik ( ) dapat dituliskan sebagai beikut. Contoh soal :. Tentukan kesamaan besa sudut beikut. a. 5 o = b. 8 = c. 45,6 o = d. 48 o 48 = o

6 C. Penjumlahan dan Penguangan dalam Satuan Sudut Sepeti halnya pada besaan-besaan lainnya, pada satuan sudut juga dapat dijumlahkan atau dikuangkan. Caanya hampi sama sepeti pada penjumlahan dan penguangan bilangan desimal. Untuk menjumlahkan atau menguangkan satuan sudut, masingmasing satuan deajat, menit, dan detik haus diletakkan dalam satu laju. Contoh soal :. Tentukan hasil penjumlahan satuan sudut beikut ini. 24 o o 35

7 D. Menggamba dan Membei Wana Sudut Sediakanlah sebuah busu deajat aga kalian dapat memahami uaian matei beikut dengan baik. Dalam menguku besa suatu sudut, dipelukan suatu alat yang dinamakan busu deajat. Pada umumnya, busu deajat tebuat dai mika tembus pandang bebentuk setengah lingkaan. Pada busu deajat tedapat dua skala, yaitu skala atas dan skala bawah. Pada skala atas tedapat angka-angka 0, 0, 20,, 80 betuut-tuut dai kii ke kanan, sedangkan pada skala bawah tedapat angka-angka betuut-tuut dai kanan ke kii 0, 0, 20,, 80.. Menguku Besa Suatu Sudut Langkah-langkah dalam menguku besa suatu sudut sebagai beikut. Pehatikan Gamba 7.9 beikut. a) Letakkan busu deajat pada sudut AOB sehingga ) titik pusat lingkaan busu deajat beimpit dengan titik O; 2) sisi hoizontal busu deajat beimpit dengan sina gais OA. b) Pehatikan angka nol (0) pada busu deajat yang teletak pada gais OA. Jika angka nol beada pada skala bawah, pehatikan angka pada skala bawah yang teletak pada kaki sudut OB. Dai gamba tampak bahwa gais OB teletak pada angka 75 o. Jadi, besa sudut AOB = 75 o. 2. Menggamba Besa Suatu Sudut Setelah kita mengetahui caa menguku besa sudut dengan busu deajat, sekaang kita akan mempelajai caa menggamba sudut.

8 Pehatikan uaian beikut. Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besanya 6075 o. Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besanya 6075 o sebagai beikut. a) Buatlah salah satu kaki sudutnya yang hoizontal, yaitu kaki sudut PQ. b) Letakkan busu deajat sehingga ) titik pusat lingkaan busu deajat beimpit dengan titik Q; 2) sisi luus busu deajat beimpit dengan gais PQ. 3) Pehatikan angka nol (0) pada busu deajat yang teletak pada gais PQ. Jika angka nol (0) teletak pada skala bawah maka angka 60 yang beada di bawah yang digunakan. Jika angka nol (0) teletak pada skala atas maka angka 60 yang beada di atas yang digunakan. Beilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R. 4) Hubungkan titik Q dan R. Daeah yang dibentuk oleh gais PQ dan QR adalah sudut PQR dengan besa sudut PQR = 60 o.

9 BAB 2 FUNGSI TRIGONOMETRI A. Pengetian Tigonometi Istilah tigonometi beasal dai kata yunani tigonos yang beati segitiga dan meton yang beati ukuan. Bedasakan kata kata pembentuknya, tigonometi diatikan sebagai ukuan segitiga. Tigonometi pada mulanya meupakan kajian tentang segitiga dan diteapkan sebagai tambahan ke-paktisan pada astonomi, suvei dan navigasi. Namun, pada pekembangannya tigonometi tidak hanya dikaitkan dengan segitiga saja. Seoang astonom yunani, Hippochus (60 20 SM) behasil membuat dafta tigonometi. Kemudian, disusul oleh geoge Bachim Rhaticus (54 576), seoang matematikawan Jeman, mempelajai tigonometi menggunakan segitiga siku siku. Lain halnya dengan matematikawan Inggis, William Oughted (54 660) yang beusaha untuk mengubah pandangan tigonometi dai pandangan secaa geometi menjadi pandangan secaa aljaba. Pandangan William Ougted dikembangkan lagi oleh seoang matematikawan yang sangat tekenal, yaitu Leona Eule ( ), yang beasal dai Swiss, Eule mengembangkan fungsi fungsi tigonometi dai nisbah panjang suatu gais menjadi suatu bilangan. Sedangkan Hippochus yang dikenal sebagai bapak Tigonometi, telah menulis 2 buku tentang pehitungan dai tali busu yang bekaitan dengan sudut pusat yang dipotong oleh tali busu itu. Sebagai fakta nyata ketika meeka bekecimpung dengan masalah masalah pada uang dimensi tiga, apa yang meeka bangun biasanya diujuk sebagai tigonometi bola, ketimbang sebagai tigonometi bidang.

10 B. Pekalian Fungsi Tigonometi Dalam mempelajai umus-umus pekalian sinus dan kosinus kita pelu mengingat kembali umus-umus jumlah dan selisih dua sudut yang telah kita pelajai sebelumnya, antaa lain sebagai beikut:. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b 2. sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b 3. cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b 4. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b a) Rumus-umus untuk 2 sin a cos b dan 2 cos a sin b ) Rumus untuk 2 sin a cos b Jika kita menjumlahkan umus sin (a + b) dan sin (a - b), dipeoleh sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b + sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b Jadi, kita mempeoleh umus untuk 2 sin a cos b, yaitu 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) Pehatikan pembuktian umus 2sin a cos b 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) = (sin a cos b + cos a sin b) + (sin a cos b - cos a sin b) = sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b - cos a sin b = 2 sin a cos b = uas kii 2) Rumus untuk 2cos a sin b Jika kita menguangkan umus sin (a + b) dan sin (a - b), dipeoleh sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a sin b

11 Jadi, kita mempeoleh umus untuk 2 sin a cos b, yaitu 2sin a cos b = sin (a + b) - sin (a - b) Pehatikan pembuktian umus 2sin a cos b 2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) = (sin a cos b + cos a sin b) - (sin a cos b - cos a sin b) = sin a cos b + cos a sin b - sin a cos b - cos a sin b = 2 cos a sin b = uas kii Catatan: Rumus-umus tesebut juga belaku untuk sudut-sudut dalam satuan deajat sehingga dapat dituliskan sebagai beikut : 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) b) Rumus-umus untuk 2cos a cos b dan 2sin a sin b ) Rumus untuk 2cos a cos b Jika kita menjumlahkan umus cos (a + b) cos (a - b), dipeoleh cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b + cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b Jadi kita mempeoleh umus untuk 2cos a cos b, yaitu 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) Pehatikan pembuktian umus 2 cos a cos b 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) = (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) = cos a cos b - sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b = 2cos a cos b = uas kii

12 2) Rumus untuk 2sin a sin b Jika kita menguangkan umus cos (a + b) cos (a - b), dipeoleh cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b - cos (a + b) - cos (a - b) = -2 sin a sin b Jadi kita mempeoleh umus untuk 2sin a sin b, yaitu -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b) b) Pehatikan pembuktian umus 2 sin a sin b -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b) = (cos a cos b - sin a sin b) - (cos a cos b + sin a sin = cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b + sin a sin b = -2sin a sin b = uas kii

13 BAB 3 APLIKASI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA Dua gamba tesebut adalah segitiga siku-siku. Dan salah satu sudutnya kita namakan sudut a. segitiga siku-siku mempunyai tiga sisi. Dan kita akan menamainya dengan sisi miing, depan dan samping. Sisi miing yaitu sisi yang teletak di depan sudut 90 deajat. Sisi depan adalah sisi di depan sudut (untuk gamba tesebut, teletak di depan sudut a). sisi samping adalah sisi yang teletak di samping sudut a. Pada segitiga siku-siku, belaku pebandingan tigonometi sebagai beikut : Atinya, nilai dai sin a sama dengan panjang sisi depan sudut a dibagi dengan panjang sisi miing. Begitu juga untuk cos dan tan. Ingat, ini hanya belaku pada segitiga siku-siku. Bagaimana kita menghafalnya. adakah caa mudah untuk menghafalkannya. Caa mudah untuk menghafal ketiga pebandingan tigonometi tesebut adalah sebagai beikut : hafalkan dengan ingatan sindemi

14 hafalkan dengan ingatan cosami hafalkan dengan ingatan tandesam Atau bisa juga secaa langsung ketiga-tiganya. sin cos tan adalah demi sami desa Maksudnya yaitu sin demi, cos sami dan tan desa. Untuk cosecan, secan dan cotangen. Yang kita lakukan hanyalah membalik pebandingannya. Kaena maka maka maka Tidak pelu untuk menghafal csc, sec dan cot. Kita hanya pelu memahami konsep bahwa Untuk selanjutnya, pebandingan tigonometi pada segitiga siku-siku ini akan sangat beguna untuk mencai unsu-unsu yang belum diketahui pada segitiga siku-siku.

15 BAB 4 FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI Sudut-sudut yang beelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (80 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang beelasi ada yang dibei nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan peluus (suplemen) untuk sudut dengan (80 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, peluus sudut 0 adalah 70.. Pebandingan tigonometi untuk sudut dengan (90 - ) O Y y = x P (x,y ) y y (90-) x x P(x,y) Dengan menggunakan hubungan di atas dapat dipeoleh: Gb sudut yang beelasi a. sin 90 cos b. cos 90 sin c. tan 90 cot X y x y x Dai gamba 2.7 diketahui Titik P(x,y) bayangan dai P(x,y) akibat penceminan gais y x, sehingga dipeoleh: a. XOP = dan XOP = 90 - b. x = x, y = y dan = x y x y Dai pehitungan tesebut maka umus pebandingan tigonometi sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai beikut:. sin 90 cos d. csc 90 sec. cos 90 sin e. sec 90 cosec 2. Pebandingan tigonometi untuk sudut dengan (80 - ). tan 90 cot f. cot 90 tan

16 Titik P(x,y) adalah bayangan dai titik P(x,y) akibat penceminan tehadap sumbu y, sehingga a. XOP = dan XOP = 80 - b. x = x, y = y dan = maka dipeoleh hubungan: a. sin 80 sin b. cos c. tan 80 tan y x y x y x 80 cos y x Dai hubungan di atas dipeoleh umus: Y P (x,y ) P(x,y) y x O (80-) y x Gb sudut yang beelasi X. sin 80 sin d. csc 80 csc. cos 80 cos e. sec 80 sec 3. Pebandingan tigonometi untuk sudut dengan (80 + ). 80 tan cot 80 cot Dai gamba 2.9 titik P(x,y) adalah bayangan Y tan f. dai titik P(x,y) akibat penceminan tehadap gais y x, sehingga a. XOP = dan XOP = 80 + b. x = x, y = y dan = maka dipeoleh hubungan: y a. sin 80 sin b. cos 80 cos y x x y x c. tan 80 tan y x Dai hubungan di atas dipeoleh umus: y x x y (80+) y x O P (x,y ) Gb sudut yang beelasi P(x,y) X. sin 80 sin d. csc 80 csc. cos 80 cos e. sec 80 sec. tan 80 tan f. cot 80 cot

17 4. Pebandingan tigonometi untuk sudut dengan (- ) Dai gamba 2.0 diketahui titik P(x,y) bayangan dai P(x,y) akibat penceminan tehadap sumbu x, sehingga a. XOP = dan XOP = - b. x = x, y = y dan = maka dipeoleh hubungan y a. sin sin y b. cos cos c. tan tan x y x x y x Dai hubungan di atas dipeoleh umus: Y P(x,y) (360-) O - y x x y P (x,y ) Gb sudut yang beelasi X. sin sin d. csc csc. cos cos e. sec sec Untuk. elasi tan dengan tan (- ) tesebut identik f. cot dengan cot elasi dengan 360, misalnya sin (360 ) sin. BAB 5 IDENTITAS TRIGONOMETRI. Rumus umus yang pelu dipahami: a. Rumus Dasa yang meupakan Kebalikan

18 cos ec sin sec cos cot tan b. Rumus Dasa yang meupakan hubungan pebandingan tan cot sin cos cos sin c. Rumus Dasa yang dituunkan dai teoema phytagoas 2 2 Cos Sin tan 2 Cot sec Cosec Contoh. Buktikan identitas beikut: a. Sin α. Cos α. Tan α = ( Cos α) ( + Cos α) Jawab: Ruas kii = Sin α. Cos α. Tan α = Sin α. Cos α. = Sin 2 α Sin Cos

19 = Cos 2 α = ( Cos α) ( + Cos α) = Ruas Kanan Tebukti! b. Sin β. Tan β + Cos β = Sec β Jawab: Ruas Kii = Sin β. Tan β + Cos β = Sin β. = Sin + Cos β Cos 2 2 Sin Cos Cos Cos = Sec β = Ruas Kanan Tebukti Cos 2. Pesamaan Tigonometi a. Pesamaan Tigonometi Sedehana Contoh 2 Jika Sin x = Sin α X = α + k. 360 o X 2 = (80 o α) + k. 360 o Jika Cos x = Cos α X = α + k. 360 o X 2 = - α + k. 360 o Jika Tan x = Tan α X = α + k. 80 o. Tentukan himpunan Penyelesaian dai Pesamaan Sin x =, 0 o 2 x 360 o Jawab: Sin x = 2 Sin x = Sin 30 o x = 30 o + k. 360 o untuk k= x = 30 o

20 untuk k = 2 x HP:{30 o, 50 o } = (80 o 30 o ) + k. 360 o = 50 o b. Pesamaan Tigonometi dalam bentuk a cos x + b sin x = c Caa penyelesaian pesamaan tesebut di atas sebagai beikut: k Cos x (x - α) = c dengan k = α = ac tan a b 2 a b 2 Contoh 3. Tentukan himpunan penyelesaian dai pesamaan: Cos y Sin y =, jika 0o y 360o Jawab: Cos y Sin y = a = ; b = - ; c = Sehingga dipeoleh k = a b 2 2 Tan α = a b α = 35 o jadi Cos y Sin y = = - α dikuadan IV 2 Cos (x 35 o ) = Cos (x 35 o ) = 2 2 Cos (x 35 o ) = Cos 45 o (x 35 o ) = 45o + k. 360 o x = 360 o + k. 360 o x = 360 o Atau (x 35 o ) = - 45 o o

21 HP:{270 o, 360 o } x = 270 o + k. 360 o x = 270 o

22 BAB 6 FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT ( dan ) A. Rumus-umus Tigonometi untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut. Rumus cos ( + ) dan cos ( ) Pada gamba di samping diketahui gais CD dan AF keduanya adalah gais tinggi dai segitiga ABC. Akan dicai umus cos ( + ). AD cos AC AD ACcos C Gb. 2.4 G F Pada segitiga sikusiku CGF GF sin GF CFsin CF..() Pada segitiga sikusiku AFC, CF sin CF AC sin AC..(2) AF cos β AF AC cos AC..(3) A D E B Pada segitiga sikusiku AEF, AE cos AE AF cos..(4) AF Dai () dan (2) dipeoleh GF AC sin sin Kaena DE GF maka DE AC sin sin Dai (3) dan (4) dipeoleh AE AC cos cos Sehingga AD AE DE AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin cos ( + ) cos cos sin sin

23 Jadi Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke umus cos ( + ). cos ( ) cos ( + ()) cos cos () sin sin () cos cos sin (sin ) cos cos + sin sin Jadi cos ( ) cos cos + sin sin 2. Rumus sin ( + ) dan sin ( ) Untuk menentukan umus sin ( + ) dan sin ( ) pelu diingat umus sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) ) cos (90 ) cos + sin (90 ) sin sin cos + cos sin Jadi sin ( + ) sin cos + cos sin Untuk menentukan sin ( ), sepeti umus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ). sin ( ) sin ( + ( )) sin cos () + cos sin () sin cos + cos (sin ) sin cos cos sin Jadi sin ( ) sin cos cos sin 3. Rumus tan ( + ) dan tan ( ) sin Dengan mengingat tan, maka cos sin( ) sin cos cos sin tan ( ) cos ( ) cos cos sin sin

24 sin cos cos sin cos cos tan ( ) cos cos sin sin cos cos tan tan tan tan sin sin cos cos sin sin cos cos Jadi tan tan tan ( ) tan tan Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan ( ) tan ( + ( )) tan tan (-) tan tan (-) tan tan ( ) tan ( tan ) tan tan tan tan Jadi tan tan tan ( ) tan tan

25 BAB 7 FUNGSI TRIGONOMETRI SUDUT GANDA Dai umusumus tigonometi untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi umus tigonometi untuk sudut angkap. 2. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi sin 2 2 sin cos 3. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 Jadi cos 2 cos 2 sin 2 Rumusumus vaiasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat dituunkan dengan mengingat umus dasa cos 2 + sin 2. cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 ( cos 2 ) ( sin 2 ) sin 2 2cos 2 2 sin 2 Sehingga ) cos 2 cos 2 sin 2 2) cos 2 2cos 2 3) cos 2 2 sin tan tan 2 2 tan 4. tan 2 tan ( ) tan tan 2 tan Jadi 2 tan tan 2 2 tan

26 BAB 8 HUBUNGAN ANTARA SISI-SISI DAN SUDUT-SUDUT SEGITIGA A. Ketidaksamaan Segitiga Aga kalian memahami mengenai ketidaksamaan segitiga lakukan kegiatan beikut.. Buatlah sebaang segitiga dai ketas katon. Namailah dengan segitiga ABC. Sisi di hadapansudut A, beilah nama sisi a. Sisi di hadapansudut B, beilah nama sisi b. Demikian pula dengan sisi sudut C. 2. Ukulah panjang masing-masing sisinya. 3. Jumlahkan panjang sisi a dan b. Kemudian, bandingkan dengan panjang sisi c. Manakah yang lebih besa? Bandingkan pula panjang sisi a + c dengan panjang sisi b. Demikian pula, bandingkan panjang sisi b + c dengan panjang sisi a. Manakah yang lebih besa? Apa yang dapat kalian simpulkan dai kegiatan tesebut? Jika kalian melakukan kegiatan tesebut dengan tepat, kalian akan mempeoleh kesimpulan sepeti beikut. Pada setiap segitiga selalu belaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daipada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka belaku salah satu dai ketidaksamaan beikut. (i) a + b > c (ii) a + c > b (iii) b + c > a Ketidaksamaan tesebut disebut ketidaksamaan segitiga.

27 B. Hubungan Besa Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga Aga kalian mengetahui hubungan antaa besa sudut dengan panjang sisi pada suatu segitiga, lakukan kegiatan beikut ini. Buatlah sebaang segitiga, misalnya segitiga ABC sepeti gamba beikut ini. Bagaimana hubungan antaa sudut A dengan sisi BC,sudut B dengan sisi AC, dan sudut C dengan sisi AB? Dengan menggunakan busu deajat, ukulah panjang setiap sudutnya, yaitu sudut A, sudut B, dan sudut C. Kemudian dengan menggunakan penggais, ukulah masing-masing panjang sisinya, yaitu AB, BC, dan AC. Amatilah besa sudut dan panjang sisi dai segitiga tesebut. Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan mempeoleh bahwa. sudut B meupakan sudut tebesa dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AC meupakan sisi tepanjang; 2. sudut C meupakan sudut tekecil dan sisi di hadapannya, yaitu sisi AB meupakan sisi tependek. Apa yang dapat kalian simpulkan dai kegiatan di atas? Jika kalian melakukannya dengan tepat, kalian akan menyimpulkan sepeti beikut. Pada setiap segitiga belaku sudut tebesa teletak behadapan dengan sisi tepanjang, sedangkan sudut tekecil teletak behadapan dengan sisi tependek.

28 C. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Lua Segitiga Kalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 80. Selanjutnya, untuk memahami pengetian sudut lua segitiga, pelajai uaian beikut. Pehatikan Gamba di atas. Pada gamba Δ ABC di samping, sisi AB dipepanjang sehingga membentuk gais luus ABD. Pada segitiga ABC belaku sudut BAC + sudut ABC + sudut ACB = 80 (sudut dalam Δ ABC) sudut BAC + sudut ACB = 80 sudut ABC... (i) Padahal sudut ABC + sudut CBD = 80 (bepeluus) sudut CBD = 80 sudut ABC... (ii) Selanjutnya sudut CBD disebut sudut lua segitiga ABC. Bedasakan pesamaan (i) dan (ii) dipeolehsudut CBD = sudut BAC + sudut ACB. Dai uaian di atas dapat disimpulkan sebagai beikut. Besa sudut lua suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak bepeluus dengan sudut lua tesebut. Bedasakan gamba beikut, tentukan nilai x dan y. Penyelesaian: x = 80 (sudut dalam segitiga) 40 + x = 80

29 x = x = 40 x + y = 80 (bepeluus) 40 + y = 80 y = y = 40 Jadi, nilai x = 40 dan y = 40.

30 BAB 9 GRAFIK TRIGONOMETRI Gafik dai fungsi tigonometi bebentuk kuva peiodik. Hal ini dapat dibuktikan dengan bantuan tuunan (tidak dibuktikan di sini). Untuk fungsi sinus dan cosinus, gafiknya memiliki nilai maksimum dan minimum. Hal ini dikaenakan nilai dai y = sin A dan y = cos B memiliki nilai maksimum, dan nilai minimum. Beikut ini ditunjukkan langkah-langkah untuk menggamba gafik y = sin x.. Tentu saja lukislah diagam Catesius pada ketas bepetak. Kemudian daftalah sudut-sudut istimewa untuk dijadikan nilai x, sepeti telihat pada gamba di bawah ini.

31 2. Lukislah titik-titik pasangan beuutan (x, y) di atas pada koodinat Catesius.

32 3. Hubungkan titik-titik tesebut dengan kuva halus (kontinu). Langkah-langkah di atas meupakan caa untuk melukis gafik fungsi y = sin x. Untuk membuat gafik fungsi tigonometi yang lain, lakukan langkah-langkah yang seupa. Bagaimana melukis gafik fungsi sinus yang dimodifikasi? Misalnya, y = sin x +, y = 3 sin x, y = sin 2x, dan y = 3 sin 2x. Pehatikan Tips dan Tik beikut.

33 BAB 0 PERSAMAAN TRIGONOMETRI Pesamaan tigonometi adalah suatu pesamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi tigonometi. Contoh : Teknik dasa untuk menyelesaikan pesamaan tigonometi adalah menggunakan identitas tigonometi dan teknik aljaba untuk mengubah suatu pesamaan tigonometi menjadi bentuk yang lebih sedehana. Contoh : ( membagi kedua uas dengan 2) (ingat identitas : kaena, maka solusinya adalah. dimana k adalah bilangan bulat. Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dai pesamaan, pada inteval. Jawab :. ( ).

34 , (ingat ) atau untuk, penyelesaiannya. untuk, penyelesaiannya Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah Contoh 3 :. Tentukan penyelesaian dai, untuk Jawab : atau

35 BAB PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI A. Caa menggunakan petidaksamaan tigonometi mencai haga nol sama dengan caa menyelesaikan pesamaan tigonometi diselesaikan dengan menggunakan gais bilangan Contoh:. Selesaikan sin 2x < cos x untuk 0 x 360 Caa: sin 2x cos x < 0 2 sin x.cos x cos x < 0 cos x.(2 sin x ) < 0 haga nol: cos x = 0 cos x = cos 90 x = 90 + k.360 atau x = 90 + k.360 k = 0 x = 90 k = x = sin x = 0 2 sin x =

36 sin x = ½ sin x = sin 30 x = 30 + k.360 atau x = (80 30) + k.360 k = 0 x = 30 x = 50 + k.360 k = 0 x = 50 Membei tanda (+) dan (-) pada gais bilangan: Jika x = 80 maka sin 2.80 cos 80 = sin 360 cos 80 = 0 ( ) = (+) Jadi gais bilangannya: kaena yang diminta kuang dai (<) 0, maka yang diasi adalah bagian-bagian yang betanda (-) Sehingga HP-nya: {0 x < 30 atau 90 < x < 50 atau 270 < x 360 } Ini adalah salah satu contoh penyelesaian dai petidaksamaan. Tentukan himpunan penyelesaian dai petidaksamaan beikut, dengan 0 0 x sin x + cos x Penyelesaian : sin x + cos x 0 sin x cos x + = 0 sin x + = cos x sin 2 x + 2 sin x + = cos 2 x sin 2 x + 2 sin x + = sin 2 x 2 sin 2 x + 2 sin x = 0 2 sin x ( sin x + ) = 0

37 2 sin x = 0 V sin x = - sin x = 0 x = k kuadan I sin x = sin ( k ) x = k kuadan II sin x = sin ( k ) x = k x = 0 0, sin cos 0 0 hasilnya nol x = 90 0, sin cos 90 0 hasilnya positif x = 80 0, sin cos 80 0 hasilnya positif x = 270 0, sin cos hasilnya nol x = 300 0, sin cos hasilnya negatif x = 360 0, sin cos hasilnya nol Jadi, Hp = { x 0 0 < x < } 0 + +