Untuk semua cinta Untuk semua cita-cita Untuk semua kasih sayang Dari kedua orangtuaku yang begitu luar biasa.

Transkripsi

1 Untuk semua inta Untuk semua ita-ita Untuk semua kasih sayang Dai keua oangtuaku yang begitu lua biasa.

2 GELOBNG SOLITER INTERNL PD LIRN TUNK (Stui kasus paa luia ua lapisan Oleh: SIDH G544 PROGR STUDI TETIK FKULTS TETIK DN ILU PENGETHUN L INSTITUT PERTNIN BOGOR 6

3 RINGKSN SIDH. Gelombang solite intenal paa alian tunak (Stui kasus paa luia ua lapisan. Dibimbing oleh JHRUDDIN an SISWNDI. Gelombang intenal aalah suatu gelombang yang tejai i bawah pemukaan laut. Kaena gelombang ini tejai i bawah laut, maka gelombang ini tiak telihat seaa kasat mata, tetapi apat teeteksi kebeaaannya beasakan pola tetentu i pemukaan. Salah satu gelombang intenal yang memiliki peanan penting alam aplikasi aalah gelombang solite intenal. Gelombang solite ini begeak tanpa mengalami peubahan bentuk an keepatan seta seing munul paa waktu an tempat yang sama. Keuntungan mengetahui peilaku gelombang solite ini iantaanya alam biang peminyakan aalah paa pembangunan tiang penyangga anjungan minyak yang haus mempehitungkan kekuatan gelombang solite tesebut. Tulisan ini membahas penekatan matematis (yang beupa suatu omulasi Lagange ai gelombang solite intenal. Untuk membatasi masalah, luia yang itinjau aalah luia ieal an memiliki alian yang tunak. Hasil yang ipeoleh aalah beupa pesamaan KV yang meupakan pesamaan geak gelombang intenal. Salah satu penyelesaian pesamaan KV yang itinjau aalah beupa gelombang solite. Untuk lebih jelasnya ibeikan etail ontoh kasus beupa luia ua lapisan. Fluia ua lapisan aalah luia yang teii ai ua lapisan yang masing-masing memiliki apat massa yang konstan.

4 GELOBNG SOLITER INTERNL PD LIRN TUNK (Stui kasus paa luia ua lapisan Skipsi Sebagai salah satu syaat untuk mempeoleh gela Sajana Sains paa Fakultas atematika an Ilmu Pengetahuan lam Institut Petanian Bogo Oleh: SIDH G544 PROGR STUDI TETIK FKULTS TETIK DN ILU PENGETHUN L INSTITUT PERTNIN BOGOR 6

5 Juul : Gelombang Solite Intenal paa lian Tunak (Stui kasus paa luia ua lapisan Nama : Saiah NRP : G544 enyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, D. Jahauin, S. NIP 455 Ds. Siswani, S. NIP 957 engetahui : Dekan Fakultas atematika an Ilmu Pengetahuan lam Institut Petanian Bogo D. I. Yonny Koesmayono, S. NIP Tanggal Lulus :

6 RIWYT HIDUP Penulis ilahikan i Tembilahan paa tanggal 8 Febuai 98 yang meupakan anak keua ai tiga besauaa ai pasangan H. Iham Sai an Hj. Nuasiah. Paa tahun 989 penulis memulai peniikan omalnya i SD Inpes 6 Tekulai Hulu, engan alasan mengikuti oang tua penulis melanjutkan tahun keua peniikan asanya i SD Negei 8 Tembilahan ( Kemuian penulis melanjutkan peniikannya ke SLTP Negei Tembilahan ( an iteuskan ke SU Negei Depok (998-. Penulis iteima i Institut Petanian Bogo melalui jalu UPTN paa pogam stui atematika, Fakultas atematika an Ilmu Pengetahuan lam. Selama kuliah penulis penah akti alam kepenguusan GUTIK selama ua peioe (/ an / an bebeapa kali masuk kealam kepanitiaan i BE FIP IPB.

7 PRKT ssalamualaikum Waahmatullahi Wabaakatuh. Puji syuku kehaiat llah SWT penulis uapkan atas limpahan nikmat yang tiaa hentinya, seta ahmat an iho-nya sehingga penulis apat menyelesaikan skipsi ini. Paa kesempatan ini, penulis ingin menguapkan teima kasih kepaa pihak-pihak yang telah membantu alam penulisan skipsi ini, yaitu :. Kepaa Bapak D. Jahauin, S. selaku pembimbing I an Bapak Ds. Siswani, S. selaku pembimbing II, yang telah membeikan nasehat, aahan, seta bimbingannya.. Untuk keua oang tua yang tak henti-hentinya membeikan ukungan moal an spitual alam menyelesaikan skipsi ini. ji an amak aalah oang tua yang lua biasa bagi penulis.. Untuk kakak an aik penulis, Dina an i, walaupun ai kejauhan masih sempat membeikan pehatian an kasih sayang yang behaga bagi penulis. Untuk paman penulis, Hais kaena bisa menjai seoang kakak laki-laki bagi penulis, seta seluuh keluaga besa H. Sai Lailuk (alm an H.. Nu (alm, khususnya keponakan teinta Tsabita. 4. Untuk Retta sahabat masa sekolah yang masih setia bebagi kisah, eita, tawa, an ai mata. Semoga pesahabatan ini takkan memua itelan waktu. 5. Untuk teman-teman ath 8 yang telah melukis hai-hai penulis engan bebagai wana empat tahun teakhi teutama Nia, Eva, Niken, Feiy, Nanik, Senny, Enah, Hawa, Yana, Lina, Wulan, Siti, seta gam. Teima kasih pula paa Hasi, hai an Niken atas keseiaannya menjai pembahas, seta Devi yang bejuang besama penulis. 6. Untuk seluuh osen atematika IPB yang telah meniik, membimbing seta menuunkan ilmu pengetahuan yang sangat beguna bagi penulis. 7. Untuk seluuh sta TU, Bu e, as Yono, as Bono, as Deni, Bu aissi, as Juana, bak Yanti seta Bu Sam, yang telah banyak membantu penulis ai Tingkat I hingga sekaang, khususnya buat Bu Susi atas oongan an nasehat-nasehat beati sebelum an selama poses tugas akhi ini. 8. Untuk seluuh kakak angkatan 7, 6, an 5 yang telah beseia membagi pengalaman behaga baik alam biang akaemik maupun pejalanan hiup, teutama bak Ia 7. Seta aik angkatan 9 an 4 untuk kebesamaannya. 9. Untuk semua teman-teman masa TPB, khusunya Eka (Kimia 8 an isti (Biologi 8.. Untuk teman-teman i SF khususnya Kak Siti (Teima kasih kaena selalu aa untuk penulis, Baja (Teima kasih untuk anti vius an pinte-pintenya, Reli, mi, Day, Joey, ami ti, Kang Syaie, bak Ena, bak Rani, bak Tina, Ning, Oki, Niia, Wita, Novi, Iwa, Bill, Helmi, besama kalian aa beban yang hilang. Semoga skipsi ini bemanaat bagi pekembangan ilmu pengetahuan an beguna bagi meeka yang membaanya. min. khi kata, Wassalamualaikum Waahmatullahi Wabaakatuh. Bogo, Febuai 6 Saiah

8 DFTR ISI DFTR ISI.vii DFTR GBR..viii DFTR LPIRN viii PENDHULUN Lata Belakang.. Tujuan Sistematika Penulisan LNDSN TEORI.. Pesamaan Dasa Fluia... Syaat Batas etoe simtotik.4 PEBHSN.6 oel an sumsi 6 Fomulasi Langange 7 Pesamaan Geak Gelombang Intenal.8 Solusi Gelombang Solite.9 Contoh Kasus Fluia ua Lapisan SIPULN DFTR PUSTK..

9 DFTR GBR Laju peubahan massa.. Komponen ai elemen luas yang itinjau. Komponen ai elemen luas yang itinjau Hasil solusi pesamaan.. 5 Gais-gais aus moe intenal engan. Gais-gais aus moe pemukaan. Gais-gais aus moe intenal engan DFTR LPIRN... B.. 4 C. 7 D.

10 PENDHULUN Lata Belakang Fluia meupakan at yang apat mengali an membeikan seikit hambatan tehaap peubahan bentuk ketika itekan. at yang temasuk luia aalah at ai an gas. Paa penulisan ini, jenis luia yang ibahas aalah luia mengali. Fluia isebut mengali jika luia itu begeak teus tehaap sekitanya. Jika luia yang mengali tiak mengalami peubahan volume massa jenis ketika itekan, maka alian luia ikatakan tak temampatkan (inompessible. Seangkan, jika alian imana tegangan gese iabaikan, maka alian isebut tak kental (invisi. Fluia yang memiliki siat tak temampatkan, an tak kental isebut luia ieal. Jika keepatan patikel yang ibeikan konstan tehaap waktu, maka alian luia ikatakan tunak. Tulisan ini hanya meninjau luia ieal yang tak beotasi (iotasional an memiliki alian yang tunak (steay. Salah satu enomena yang tejai paa luia aalah gelombang. Gelombang tejai kaena aanya pebeaan apat massa paa batas antaa ua luia. Sepeti gelombang yang teapat i pemukaan ai, gelombang tesebut tejai kaena pebeaan apat massa ai an uaa. Selain gelombang pemukaan (suae wave, teapat juga gelombang yang tejai i bawah pemukaan. Gelombang ini yang isebut gelombang intenal. Gelombang intenal juga apat itemui i atmosi [Chistie, 99]. Salah satu jenis gelombang yang unik aalah gelombang yang hanya memiliki satu punak, isebut gelombang solite. Gelombang solite intenal apat menjai masalah bagi lingkungan, sepeti obohnya tiang penyangga bangunan yang ibangun i laut, naiknya polutan ai asa laut ke pemukaan. asalah-masalah ini memotivasi paa peneliti untuk lebih mengenali kaakteistik an kekuatan gelombang tesebut. otivasi tesebut juga melahikan penulisan kaya ilmiah ini. Suatu penelitian mengenai gelombang intenal alam luia ieal engan apat massa yang tiak konstan ilakukan oleh Long [Long, 95], yaitu engan meninjau alian yang bebentuk tunak, an pesamaan geak yang ipeoleh inyatakan alam ungsi aus. Pesamaan ini selanjutnya isebut pesamaan Long. Dai penelitian Tung [Tung et al., 98], pesamaan Long igunakan untuk memeiksa kebeaaan suatu gelombang solite. Sementaa Gimshaw [Gimshaw, 997], menyatakan bahwa untuk gelombang solite engan simpangan keil, pesamaan Long apat iseehanakan menjai bentuk tunak ai pesamaan Koteweg-e Vies (KV. Dalam tulisan ini, akan imulai engan menuunkan suatu pesamaan asa luia ieal. Pesamaan asa luia ieal tesebut ituunkan ai pinsip kekekalan massa an kekekalan momentum. Kemuian, pesamaan asa yang iapat, iseehanakan engan menggunakan asumsi bahwa luia yang itinjau memiliki alian yang tunak. Fomulasi beasakan asumsi alian tunak akan menggunakan suatu omulasi Lagange, kemuian engan metoe asimtotik membeikan pesamaan geak gelombang intenal. Selanjutnya, penyelesaian pesamaan geak akan imisalkan beupa gelombang solite. Stui kasus paa luia ua lapisan akan ibeikan sebagai ontoh. Fluia ua lapisan aalah luia yang teii atas ua lapisan yang masing-masing memiliki apat massa yang konstan. Tujuan Beasakan lata belakang yang iuaikan i atas, tujuan penulisan ini aalah menyeehanakan pesamaan Long menjai bentuk tunak pesamaan KV engan metoe asimtotik, menai solusi gelombang solite ai pesamaan KV seta peneapan solusi gelombang solite paa luia ua lapisan ai gelombang solite yang ipenuhi. Sistematika Penulisan Seaa umum, tulisan ini teii atas empat bab. Bab Penahuluan memapakan lata belakang pemasalahan an tujuan penulisan. Bab Lanasan Teoi membeikan teoi-teoi yang menunjang pembahasan masalah, sepeti pesamaan asa luia, syaat batas, seta konsep asa metoe asimtotik. Bab Pembahasan menjelaskan penuunan pesamaan geak gelombang intenal engan omulasi Lagange engan stui kasus paa luia ua lapisan. Seangkan Bab Simpulan beisi kesimpulan pokok ai keseluuhan penulisan.

11 LNDSN TEORI Teoi-teoi yang igunakan paa Bab Lanasan Teoi ini, isaikan ai buku [Steete, 948], [Jahauin, 4] an [Hinh, 99]. Paa bagian petama akan ibahas penuunan pesamaan asa luia ieal. Pesamaan ini banyak igunakan alam penuunan pesamaan geak gelombang intenal. Dalam poses penuunan pesamaan geak gelombang intenal akan igunakan suatu metoe yang isebut metoe asimtotik. Pembahasan mengenai metoe asimtotik ibeikan paa bagian keua bab ini. Pesamaan Dasa Fluia Dalam menuunkan pesamaan asa luia ipelukan hukum kekekalan massa an hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa paa suatu sistem inyatakan seaa seehana sebagai laju peubahan massa alam elemen luas sama engan selisih antaa massa yang masuk engan massa yang kelua paa elemen luas tesebut. isalkan apat massa luia inotasikan engan, keepatan hoiontal patikel u an keepatan vetikal patikel w. Kaena sistem isis yang i tinjau beupa elemen luas yaitu ua imensi, maka,u an w masing-masing begantung paa kooinat elemen luas an, seta waktu t. u w w u Gamba. Laju peubahan massa Jika u an w masing-masing menyatakan massa yang masuk ke aah hoiontal an vetikal, u an w masing-masing menyatakan massa yang kelua paa aah hoiontal an vetikal, maka laju peubahan massa paa elemen luas yang isajikan alam Gamba beasakan pinsip kekekalan massa apat itulis u w u t w, ( u u t ( ( w w. Jika keua uas pesamaan ( ibagi engan, ipeoleh ( u u t ( ( w w. Untuk an, maka pesamaan menjai ( u ( w. ( t Selanjutnya, jika inotasikan, an q ( u, w, seta notasi tuunan total tehaap waktu sepeti beikut D u w, t maka pesamaan ( apat inyatakan alam bentuk vekto D ( q. (4 Kaena luia ieal, beati tak temampatkan, maka D, (5 sehingga ai pesamaan (4 membeikan q. (6 Pesamaan (5 an (6 masing masing apat itulis u w, (7 u w. Pesamaan (7 isebut pesamaan kontinuitas luia yang tak temampatkan. Selanjutnya, hukum kekekalan momentum inyatakan sebagai laju peubahan momentum sama engan selisih ai momentum yang

12 w u w w u u u u u w u w w u w w Gamba. Komponen ai elemen luas yang itinjau masuk engan momentum yang kelua itambah gaya-gaya yang bekeja paa elemen luas yang itinjau. Untuk menyatakan hukum kekekalan momentum tesebut seaa matematis, panang elemen luas alam ua komponen, yaitu komponen- an komponen- yang masing-masing iillustasikan paa Gamba an Gamba. Peubahan ata-ata momentum paa aah aalah ( u ( uu uu t ( wu wu (8 ( P P, seangkan peubahan ata-ata momentum paa aah ( aalah w ( uw uw t ww ww (9 ( ( P P g. Bentuk u t aalah laju peubahan momentum alam elemen luas paa komponen-, an bentuk w t aalah peubahan momentum elemen luas paa komponen-. Kaena luia ieal, beati luia tak kental, maka tegangan gese iabaikan. Jai bentuk ( P P paa pesamaan (8 menyatakan jumlah gaya yang bekeja paa komponen-, seangkan bentuk ( P P g paa pesamaan Gamba. Komponen ai elemen luas yang itinjau (9 menyatakan jumlah gaya yang bekeja paa komponen-. Untuk menyeehanakan pesamaan (8 an (9, keua uas ai pesamaan tesebut ibagi oleh an untuk, ipeoleh ( u ( wu ( wu P, t ( ( w ( uw ( ww P g, t ( masing-masing paa komponen an. Dengan menggunakan pesamaan kontinuitas untuk luia tak temampatkan, pesamaan ( an ( menjai Du P, ( Dw P g, apat juga itulis ( ut uu wu P, ( ( w t uw ww P g. Pesamaan ( seing isebut sebagai pesamaan momentum (pesamaan Eule. Dengan emikian, ai pesamaan (7 an (, pesamaan asa luia ieal ibeikan alam sistem pesamaan beikut: u w, w, ( ut uu wu P, ( w uw ww P g. t t Dua pesamaan petama aalah pesamaan kontinuitas, seangkan ua pesamaan teakhi aalah pesamaan Eule. u

13 Syaat Batas Beikut ini akan ibahas syaat batas kinematik an syaat batas inamik. Syaat batas kinematik tejai kaena geak patikel, seangkan syaat batas inamik tejai kaena aanya gaya-gaya yang bekeja paa luia. isalkan kuva yang membatasi ai an uaa engan pesamaan (, t. Bentuk implisit ai pesamaan kuva apat inyatakan engan S(,, t (, t, sehingga ipeoleh DS. (4 Beasakan notasi tuunan total, pesamaan (4 menjai u w i (,. (5 t t Pesamaan (5 isebut syaat batas kinematik paa pemukaan luia. Beikut ini akan ituunkan syaat batas inamik. Dalam notasi vekto pesamaan ( itulis Dq p g. (6 Dengan menggunakan notasi tuunan total ipeoleh Dq tq ( q. q. (7 Pesamaan (7 apat itulis Dq tq ( q ( q ( q. Jika patikel luia iasumsikan tak beotasi ( q, maka teapat suatu ungsi skala (,, t yang isebut keepatan potensial an memenuhi q. Pesamaan (7 menjai Dq t ( ( (. (8 Selanjutnya, substitusi pesamaan (8 ke alam pesamaan (6, kemuian setelah iintegalkan tehaap kooinat uang, ipeoleh P ( g C( t (9 t engan C ( t ungsi sembaang ai t, seangkan peubah menyatakan ketinggian patikel yang iamati ai asa. Pesamaan (9 isebut sebagai pesamaan Benoulli. Kaena C ( t hanya ungsi ai t, maka apat igabung ke alam ungsi. Untuk itu misalkan C( t an tekanan uaa konstan, maka pesamaan (9 apat itulis ( t g i (,. t ( Pesamaan ( isebut syaat batas inamik paa pemukaan luia. etoe simtotik Salah satu aa untuk menyelesaikan masalah nilai batas / N aalah engan menggunakan etoe simtotik. Penyelesaian engan metoe ini inyatakan alam bentuk eet alam bentuk uaian asimtotik. isalkan n n ( t,, : R R R R kontinu n tehaap t R an R, an > meupakan paamete keil. Fungsi mempunyai uaian tehaap paamete keil. Untuk kasus yang khusus, mempunyai uaian Taylo tehaap, yaitu ( t,, ( t,, ( t, n ( t, n ( t, engan koeisien,, begantung paa t an. Pehatikan masalah nilai awal beikut: & 4 & 4,, engan syaat awal (, & (. Solusi eksak yang ipeoleh aalah t ( t e os t t e sin t kan iai solusi masalah i atas engan metoe asimtotik. isalkan solusi pesamaan tesebut alam bentuk uaian asimtotik: ( t ( t ( t ( t Substitusikan pemisalan solusi i atas ke alam pesamaan ieensial, koeisien untuk membeikan pesamaan && 4, seangkan koeisien membeikan pesamaan & 4 4&, an seteusnya ipeoleh & n 4 4&, n,,. n Selanjutnya, engan menggunakan syaat awal n

14 , &,,, n,,.. n & n ipeoleh : t os t ( ( t sin ttos t, Sehingga solusi N engan metoe asimtotik aalah ( os ( sin os t t t t t. Solusi masalah nilai awal i atas baik seaa eksak maupun engan metoe asimtotik iilustasikan paa Gamba 4 engan menggunakan.. Paa Gamba 4, telihat bahwa solusi eksak an solusi engan metoe asimtotik tiak jauh bebea sehingga apat isimpulkan bahwa metoe asimtotik apat igunakan untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal solusi eksak solusi asimtotik Gamba 4. Pebaningan solusi N eksak engan solusi N metoe asimtotik

15 PEBHSN oel an sumsi Tinjau pesamaan asa luia ieal yang telah ipeoleh paa bagian sebelumnya, sepeti beikut: t u w, u w, ( ut uu wu P, ( w uw ww P g. t ( Selanjutnya, gunakan asumsi alian luia yang tunak. Ilustasi ai asumsi ini, ijelaskan engan memisalkan suatu gelombang ioto, an gelombang tesebut begeak seakan-akan bingkai oto yang begeak, sehingga keepatan gelombang sama engan keepatan bingkai, gelombang tesebut akan teus begeak misalkan ke aah kanan engan keepatan, maka kooinat oto X apat itulis X t, sehingga. X, t X Oleh kaena itu, bentuk tunak ai pesamaan (a apat itulis X u X w, U X w engan U u. Sementaa ai pesamaan (b ipeoleh U X w. Dengan aa yang sama, ipeoleh bentuk tunak ai pesamaan ( an (. Untuk memuahkan penulisan, notasi U paa setiap pesamaan itulis alam notasi u, sepeti paa pesamaan beikut u w, u w, ( uu wu P, ( uw ww P g. ( Pesamaan ( aalah pesamaan asa luia ieal engan alian tunak. Pesamaan ini akan iseehanakan menjai pesamaan Long. Untuk itu, tuunkan pesamaan ( tehaap an pesamaan ( tehaap, masing-masing ipeoleh ( uu wu P, ( uw ww P g. Eliminasi P menghasilkan uu ( wu uw Kemuian jika imisalkan ( g. ww ( ξ w u, maka pesamaan ( menjai Dξ u w g u w, (4 engan D u w. Selanjutnya, einisikan ungsi aus, yaitu ungsi yang memenuhi u, an w. (5 Beasakan pesamaan (a, ipeoleh D, sehingga hanya begantung paa, misalkan. Jika pesamaan (5 isubstitusikan ke alam pesamaan (4 an selanjutnya iintegalkan tehaap kooinat uang, maka ipeoleh (6 g G(, (Penuunan pesamaan (6 apat ilihat paa Lampian engan G aalah konstanta integasi yang apat ipeoleh beasakan konisi upsteam ( ±. Konisi upsteam aalah konisi imana jauh i kii an i kanan gais aus hampi beupa gais luus. Jika konisi upsteam yang ibeikan bebentuk an (, maka g G. (7 Dengan emikian pesamaan (6 menjai g g. (8

16 Pesamaan (8 seing isebut pesamaan Long. Dalam poses penuunan selanjutnya, ipekenalkan peubah tak beimensi beikut ; ;. (9 h h h Beasakan peubah bau ini, pesamaan (8 menjai gh ( (. ( Untuk memuahkan penulisan, maka tana aksen akan ihilangkan. Kaena konisi upsteam yang ibeikan, maka pesamaan ( menjai gh ( (. ( (Penuunan pesamaan ( apat ilihat paa Lampian Untuk memuahkan intepetasi alam penuunan pesamaan geak gelombang intenal, maka akan igunakan omulasi sepeti beikut ini. Fomulasi Lagange Fomulasi Lagange ipeoleh engan memisalkan (,. Dengan menggunakan atuan antai ipeoleh,,., ( Jika pesamaan ( isubstitusikan ke alam pesamaan (, ipeoleh gh Khususnya (. ( (, (, (4 engan, pesamaan ( menjai N. ( ( (5 (Penuunan pesamaan (, ( an (5 apat ilihat paa Lampian B Pesamaan (5 belaku paa aeah < <, seangkan untuk an ipeoleh engan aa beikut. Untuk, iasumsikan asa ata sehingga w,. Hal ini beakibat tiak tejai gelombang i asa pemukaan (i. Jai i, nilai. Seangkan untuk, syaat batas inamiknya bebentuk ( g, i. (6 (Penuunan pesamaan (6 apat ilihat paa Lampian B Kemuian, engan menggunakan peubah paa pesamaan (9, pesamaan (6 menjai (. (7 Untuk memuahkan penulisan, hilangkan tana aksen paa pesamaan (7. Selanjutnya, substitusikan pesamaan ( an paa pesamaan (4 ke alam pesamaan (7, sehingga ipeoleh (. (8 ( Dengan emikian pesamaan geak gelombang intenal paa luia ieal untuk

17 alian tunak alam omulasi Lagange ibeikan oleh ( ( N, engan konisi batas, i (, i (. (9 (4 Selanjutnya akan itentukan solusi pesamaan (9 engan syaat batas paa pesamaan (4 engan menggunakan metoe asimtotik. Pesamaan Geak Gelombang Intenal Jika pesamaan (9 iuaikan, maka ipeoleh ( engan Q N ( Q. 4 ( (. 5 ( (4 (Penuunan pesamaan (4 an (4 apat ilihat paa Lampian C Selanjutnya, misalkan uaian asimtotik ai an bebentuk ( X ( X,, (4,, (44 engan suatu paamete keil yang menyatakan amplituo gelombang an X, yang menyatakan panjang gelombang yang itinjau ukup panjang. Jika pesamaan (4 an (44 kemuian isubstitusikan ke alam pesamaan (4 an (4, maka koeisien membeikan pesamaan beikut ( N, < <, (45,. Kemuian, engan menggunakan pemisahan peubah, yaitu ( X (, (46 pesamaan (45 membeikan masalah nilai eigen untuk (, yaitu ( N, < <,,. Selanjutnya koeisien membeikan ( N F,, (47 < <, (48 engan F XX (49 an. (5 Jika paa pesamaan (46 isubtitusikan ke alam pesamaan (49 an (5, maka ipeoleh F XX ( ( (5 an. (5 Dengan emikian ipeoleh ua masalah nilai eigen, yaitu untuk paa pesamaan (47 an untuk paa pesamaan (48. (Penuunan pesamaan (45, (48, (49, an (5 apat ilihat paa lampian C. asalah nilai batas paa pesamaan (48 akan mempunyai penyelesaian jika memenuhi

18 konisi teselesaikan (solvability onition beikut (. F (5 [Jahauin,] Jika F paa pesamaan (5 an paa pesamaan (5 isubstitusikan ke alam pesamaan (5, lalu ilakukan integal pasial, maka ipeoleh µ δxx, (54 engan koeisien µ an δ bebentuk µ, (55 δ. (56 (Penuunan pesamaan (54, (55 an (56 apat ilihat paa lampian C Pesamaan (54 biasa isebut engan pesamaan KV alam bentuk tunak. Solusi Gelombang Solite Beikut ini akan itentukan solusi pesamaan (54 alam bentuk gelombang solite. Untuk itu, kalikan setiap uas paa pesamaan (54 engan X, kemuian iintegalkan, sehingga ipeoleh µ δ X, 6 G engan G aalah konstanta integasi. Jika iasumsikan penyelesaian beupa gelombang solite ( an seluuh tuunannya nol i upsteam, maka G. Sehingga pesamaan i atas menjai µ 6 δ X. (57 Pesamaan (57 apat iselesaikan sepeti beikut. Beasakan pesamaan (57 ipeoleh X ( µ, δ X. µ δ Jika keua uas iintegalkan, ipeoleh Sehingga tanh µ X δ µ tanh X, 4δ se h X X. (58 µ 4 δ Dengan emikian ipeoleh solusi gelombang solite bagi pesamaan KV (54 sebagai beikut X a seh βx (59, engan µa an µ a β. (6 δ Beasakan pesamaan (6, ipeoleh tiga paamete gelombang intenal, yaitu a, β, an. Jika salah satu paamete iketahui, maka ua paamete lainnya apat iketahui. Seaa singkat, jika ata isis beupa apat massa an kealaman luia iketahui, maka untuk mempeoleh simpangan, panjang gelombang an keepatan phase gelombang intenal ilakukan engan langkah beikut. Langkah petama menentukan ungsi eigen an nilai eigen beasakan pesamaan (5. Langkah keua aalah menghitung koeisien pesamaan KV yaitu µ an δ beasakan pesamaan (55 an (56. Langkah ketiga, menentukan bentuk ( X engan an β ai pesamaan (6. Untuk lebih jelasnya, ibeikan ontoh kasus beikut ini. Contoh Kasus Fluia Dua Lapisan Tinjau suatu luia ua lapisan. Fluia ua lapisan aalah suatu luia yang teii ai ua lapisan yang masing-masing lapisan mempunyai apat massa yang konstan. Gelombang intenal munul paa batas keua lapisan tesebut. Gelombang ini biasa isebut gelombang inteaial. lian ai an minyak alam pipa, seta alian lumpu i suatu peaian aalah seikit ontoh ai gelombang inteaial. isalkan apat massa luia ua lapisan yang akan ibahas ibeikan alam bentuk :.

19 , jika < (, jika < an (, (6 sepeti ibeikan alam [Gimshaw, 997]. Penyelesaian masalah nilai eigen (47, yaitu ungsi eigen bebentuk :, jika < (, jika <. (6 (Penuunan pesamaan (6 apat ilihat paa lampian D Seangkan nilai eigen itentukan sebagai beikut. Pesamaan (47a iintegalkan ai ξ ke ξ. Kemuian ibuat ξ, untuk mempeoleh pesamaan beikut: 4 ( ( (. (6 (Penuunan pesamaan (6 apat ilihat paa lampian D Beasakan pesamaan (6, ipeoleh aanya ua penyelesaian untuk. Keua penyelesaian untuk bekaitan engan gelombang intenal (moe intenal an gelombang paa pemukaan bebas (moe pemukaan. Untuk moe intenal bebentuk ( ( ( 4( ( ( Seangkan untuk moe pemukaan, bebentuk (. (64 ( ( 4( ( ( (65 Paa moe intenal ipilih, aga maksimum ai sama engan satu. Lalu,. engan alasan yang sama, paa moe pemukaan bebentuk :. Kemuian, engan menggunakan Sotwae athematia 5, eet Taylo ai tehaap yang ibeikan paa pesamaan (64 an (65 aalah ( O (66 an { ( O( }, (67 masing-masing untuk moe intenal an moe pemukaan. Keepatan ase gelombang intenal an gelombang pemukaan yang ibeikan masing-masing paa pesamaan (66 an (67 menggunakan asumsi yang ukup keil engan kata lain. Untuk mengintepetasikan besaan-besaan yang ibeikan i atas, maka beikut ini ibeikan suatu ontoh ata, yaitu.5, a.,. an.. Untuk moe intenal, ai pesamaan (66 ipeoleh Selanjutnya, engan memilih, maka ungsi eigen bebentuk., jika. < (.89559, jika.. (68 seangkan koeisien pesamaan KV, yaitu µ an δ masing-masing ihitung ai pesamaan (55 an (56, ipeoleh µ.9956 an δ.454. Selanjutnya, kaena β benilai positi pilih a., sehingga ai pesamaan (6, ipeoleh.7 an β.549. Dengan emikian bentuk ( X paa moe intenal ibeikan oleh ( X (. seh (.68X.

20 Kaena gais-gais aus inyatakan engan ( X (, maka simpangan maksimum gelombang akan teapai i batas antaa keua luia, yaitu paa saat ( menapai maksimum. Hal ini apat ilihat paa Gamba β X Gamba 5. Gais-gais aus moe intenal engan. Sementaa untuk moe pemukaan, ipeoleh 4.466, an ungsi eigen bebentuk..959, jika. < (.9955 (.955, jika (74 seangkan koeisien pesamaan KV, µ an δ masing-masing ihitung ai pesamaan (55 an (56, ipeoleh µ 6.69 an δ Selanjutnya ai pesamaan (6, ipeoleh.9 an β.994. Sehingga ipeoleh bentuk ( X paa moe pemukaan, yaitu ( X (. seh ( X. Kaena gais-gais aus inyatakan engan ( X (, maka simpangan maksimum gelombang akan teapai i pemukaan luia, yaitu paa saat ( menapai maksimum. Hal ini apat ilihat paa Gamba 6. Selanjutnya, untuk moe intenal engan ata yang sama namun engan ketebalan yang bebea, akan iai bentuk gelombang solitenya. isalkan. 6 ipeoleh Selanjutnya, engan memilih, maka ungsi eigen bebentuk ( β X Gamba 6. Gais-gais aus moe pemukaan.6, jika.6 < (.8856, jika.6.6 (75 seangkan koeisien pesamaan KV, yaitu µ an δ masing-masing ihitung ai pesamaan (55 an (56, ipeoleh µ an δ Selanjutnya, kaena β benilai positi pilih a., sehingga ai pesamaan (6, ipeoleh.6674 an β.55. Dengan emikian bentuk ( X paa moe intenal ibeikan oleh ( X (. seh (.8768X, engan kuva ( X ( ibeikan paa Gamba 7. Paa Gamba 7, gelombang solite i. 6 (yaitu paa batas keua luia beupa epesi. Hal ini bebea engan bentuk gelombang solite i batas keua luia paa kasus. yang beupa elevasi, sepeti ibeikan paa Gamba 5. Selain itu, ipemukaan gelombang elati keil an beupa elevasi β X Gamba 7. Gais-gais aus moe intenal engan.6

21 SIPULN Pesamaan asa bagi gelombang intenal ituunkan beasakan asumsi luia ieal yang iotational. sumsi tunak membeikan suatu pesamaan alam ungsi aus yang isebut pesamaan Long. Selanjutnya, gelombang engan simpangan yang keil, pesamaan Long alam peubah Langange apat iseehanakan menjai pesamaan KV. Dalam poses penuunan pesamaan KV, metoe asimtotik igunakan untuk menapatkan pesamaan geak bagi gelombang intenal paa luia ieal yang iotational. Hasilnya beupa ua masalah nilai eigen yang membeikan pesamaan KV beasakan konisi teselesaikan ai keua masalah nilai eigen tesebut. Penyelesaian pesamaan KV alam bentuk gelombang solite menghasilkan tiga paamete gelombang intenal, yaitu simpangan gelombang, panjang gelombang an keepatan phase gelombang. Jika salah satu paamete iketahui, maka ua paamete lainnya apat iketahui. Dalam aplikasinya paa luia ua lapisan, ipeoleh bahwa simpangan tebesa ai gelombang solite teapai i batas antaa keua luia, bebea engan moe pemukaan yang menapai simpangan tebesa paa pemukaan. Untuk moe intenal, jika lapisan atas lebih besa ai lapisan bawah gelombang beupa elevasi. Sebaliknya, gelombang beupa epesi, apabila ketebalan lapisan atas lebih keil ai lapisan bawah. DFTR PUSTK. Chistie, D.R. 99. The oning Gloy o The Gul o Capentaia: a Paaigm o Non Linea Waves in The Lowe tmosphee. ust.eteo.ag. 4, -6. Gimshaw, R Intenal Solitay Waves vanes in Coastal an Oean Engineeing, E. P.L.F. Liu Wol Sientii Pub. Company,, -. Hinh, E.J, 99. Petubation ethos. Cambige Univ. Pess, Cambige. 4. Jahauin, 4. Gelombang solite i selat lombok an simulasi numei enomena moning gloy. PhD-Thesis. Banung : ITB 5. Jahauin, Pujapasetya, S.R,. Gelombang Solite Inteaial Paa lian Tunak. IHI, Vol. 7, No., Long, R.R., 95. Some spets o the Flow o Statiie Fluis, Tellus, 5, Pujapasetya, S.R, 996. Evolution o Waves above Slightly Vaying Bottom: a Vaiational ppoah, Ph-Thesis, Univ. o Twente, The Nethelans. 8. Steete, V.L Flui Dynamis. Gow-Hill Book Company, in 9. Tung, K.K., Chan, T.F., an Kubota, T., 98. Lage mplitue Intenal Waves o Pemanent Fom, Stu. In pp. ath., 66, -44.

22 LPIRN Penuunan pesamaan (6 Substitusikan pesamaan ( ke alam pesamaan (4, engan w u an paa pesamaan (5, ipeoleh. g D ξ Kaena g, maka, g D ξ. g D ξ Kaena u w ξ an, w u D maka g D u w D. g D Setelah iintegalkan tehaap kooinat uang, pesamaan i atas menjai G g. Penuunan pesamaan ( Beikut aalah pesamaan (8. g g Dengan menggunakan peubah tak beimensi ; h ; h, h ke alam pesamaan (8 ipeoleh h g h h g h h h h h h h h h h h jika setiap uas ikuangi engan h g h, maka ipeoleh gh h h Kaena, h h maka. gh Setelah tana aksen ihilangkan an (, pesamaan i atas apat itulis. gh

23 LPIRN B Penuunan pesamaan ( an ( Untuk menapatkan pesamaan (, telebih ahulu ituunkan pesamaan (. isalkan, (, maka ipeoleh ai ipeoleh ai ipeoleh ai ipeoleh ai. Jika keempat pesamaan ai pesamaan ( isubstitusi ke alam pesamaan (, ipeoleh gh. gh

24 Kalikan semua uas engan, kemuian kuangkan paa uas kii, maka. gh Jika keua uas ikalikan, maka. gh Penuunan pesamaan (5 Dengan tansomasi, (, (, pesamaan ( apat itulis gh Kaena an, maka pesamaan i atas menjai gh gh N N engan N an gh. Penuunan pesamaan (6 Dalam notasi vekto pesamaan ( an ( itulis g. p q D (6. Dengan menggunakan notasi tuunan total ipeoleh. q. q q D (6. Pesamaan (6. apat itulis. q q q q D Jika patikel luia iasumsikan tak beotasi q, maka teapat suatu ungsi skala t,, yang isebut keepatan potensial, an memenuhi. q Pesamaan (6. menjai. Dq (6.

25 Dengan substitusi pesamaan (6. ke alam pesamaan (6., kemuian setelah iintegalkan tehaap kooinat uang, ipeoleh P ( g C( t (6.4 engan C ( t ungsi sembaang ai t, seangkan peubah menyatakan ketinggian patikel yang iamati ai asa. Pesamaan (9 isebut sebagai pesamaan Benoulli. Dai pesamaan (5, pesamaan (6e apat itulis P ( g C. t (6.5 Keena konisi upsteam yang ibeikan bebentuk, an tekanan uaa ianggap konstan, maka pesamaan (6.5 apat itulis ( g. ( g, i (6 Pesamaan (6 isebut syaat batas inamik paa pemukaan luia.

26 LPIRN C Penuunan pesamaan (4 an (4 Untuk memuahkan penyeehanaan, uaikan telebih ahulu pesamaan (5, sepeti beikut N Uaian pesamaan (5, bagian * Uaian pesamaan (5, bagian ** kembali penguaian seaa tepisah i. 4 ii. iii Dai (i, (ii, an (iii ipeoleh * ** *** ( i ( ii ( iii

27 Beasakan uaian i atas, pesamaan (5 menjai N Penuunan pesamaan (45, (48, (49 an (5 Substitusi pesamaan (4 an (44 ke alam pesamaan (4, ipeoleh N N N Koeisien memenuhi pesamaan (45 an koeisien memenuhi pesamaan (48 untuk aeah <<, engan F an paa pesamaan (49 an (5. Sementaa i an, substitusikan uaian asimtotik an ke alam pesamaan (4. i, membeikan i, 4 membeikan - Jai, koeisien yang memenuhi pesamaan (45 an koeisien memenuhi pesamaan (48 untuk aeah an, sehingga pesamaan (45 seutuhnya bebentuk N, < <,, an pesamaan (5,,, < < F N engan XX F.

28 Penuunan pesamaan (54, (55 an (56 Dai pesamaan (5. F XX XX Selanjutnya,. Sehingga. F XX (5a Dai pesamaan (5a pesamaan (5 menjai XX [ ]. XX Jika paa pesamaan (5 an paa pesamaan (47 igunakan, maka. / XX Dai pesamaan (48, pesamaan i atas menjai / / XX. XX Jika keua uas ibagi engan, maka ipeoleh XX (5b, XX δ µ engan µ δ.

29 LPIRN D Penuunan pesamaan (6 Dai pesamaan (47, jika <, sehingga solusi umum pesamaan ieensial ( aalah untuk, ( B ipeoleh ( B. Seangkan untuk aalah ( ( Jai ( (., jika <, sehingga solusi umum pesamaan ieensial ( aalah ( C D untuk, ipeoleh D Seangkan untuk aalah ( Jai Kaena ( (. kontinu i, maka ( ( Jika apat itulis, maka ( ( (, jika, <, jika < Penuunan pesamaan (6 Dai pesamaan (47a, ipeoleh ( Integalkan ai ξ ke ξ, engan ξ > ipeoleh ξ ξ ξ ξ ξ ξ < <, < <

30 ξ ξ ξ ξ Untuk ξ maka 4 Kaena, maka pesamaan i atas menjai 4 4. Pesamaan (6 apat itulis sepeti beikut, oleh kaena itu ipeoleh 4. (6a Selanjutnya, penyeehanaan pesamaan (68a akan membeikan hasil sepeti beikut.. ( ( ( 4