PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL. Skripsi

Transkripsi

1 PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL Skipsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syaat Mempeoleh Gela Sajana Sains Pogam Stui Fisika Oleh: Dewa Ayu Ratmi Yanti NIM : 344 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 8

2 SCHWARZSCIHLD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY Sciption Pesente as Patial Fulfillment of the Requiements To Obtain the Sajana Sains Degee In Physics By : Dewa Ayu Ratmi Yanti Stuent Numbe 344 PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 8

3 SKRIPSI PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL Oleh : Dewa Ayu Ratmi Yanti Nim : 344 Telah isetujui oleh : Pembimbing Ds.Ds.Vet.Asan Damanik, M.Si. tanggal 8 Febuai 8 iii

4 SKRIPSI PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL Dipesiapkan an itulis oleh Dewa Ayu Ratmi Yanti NIM : 344 Telah ipetahankan i epan Panitia Penguji Paa tanggal Maet 8 an inyatakan memenuhi syaat Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap Tana tangan Ketua D. Ign. Ei Santosa, MS.... Seketais Ds. Ds. Vet. Asan Damanik, M.Si.... Anggota Ds. Ds. Vet. Asan Damanik, M.Si.... Anggota D. Agung Bambang Setyo Utomo, SU... Anggota D. Ign. Ei Santosa, MS... Yogyakata, Maet 8 Fakultas Sains an Teknologi Univesitas Sanata Dhama Dekan, (I. Geg Heliako, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc) iv

5

6 MOTTO DAN PERSEMBAHAN " Apapun yang engkau lakukan, Apapun yang engkau makan, Apapun yang engkau pesembahkan atau beikan sebagai sumbangan seta petapaan an apapun yang engkau lakukan, lakukanlah kegiatan itu sebagai pesembahaan kepaa-ku wahai puta Kunti Bhagawa-gita Sloka 9.7 PERSEMBAHAN : "Skipsi ini aku pesembahkan untuk Ayah, Ibu, aik aikku an Sina kekasihku yang selalu membeikan ukungan, semangat, oa, an kasih sayang sepanjang hiupku" v

7 PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL ABSTRAK Telah ilakukan penelitian tentang implikasi pesamaan Schwazschil paa bentuk lintasan an peubahan geometi uang suatu patikel begeak. Patikel yang begeak i aeah > α beaa alam bak-waktu, tetapi kalau patikel i aeah < α maka patikel beaa alam bak-uang. Cahaya yang melintas alam uang yang mempunyai mean gavitasi akan mengalami pembelokan engan suut pembelok θ. vi

8 SCHWARZSCHILD EQUATION AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY ABSTRACT Reseach about the Schwazschil equation implication on tajectoy fom an space geomety change of the moving paticle have been pefome. Paticles move in the egion > α unegoing time-like but, if paticles ae in the egion < α, then they unego space-like. Light pass though the space which having gavitational fiel woul unego a eflection with eflection angle θ. vii

9 KATA PENGANTAR Puji an syuku penulis panjatkan kepaa Ia Sang Hyang Wihi Wasa atas segala asung keta waa nugahanya sehingga penulis apat menyelesaikan skipsi ini engan baik. Skipsi ini bejuul : PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL, yang iajukan sebagai salah satu syaat untuk mempeoleh gela Sajana Sains paa Pogam Stui Fisika Univesitas Sanata Dhama Yogyakata. Penulis mengucapkan teima kasih kepaa semua pihak yang telah membantu penulis baik beupa waktu, tenaga, bimbingan, oongan, an sumbang saan yang penulis butuhkan alam penyelesaian skipsi ini. Paa kesempatan ini penulis ingin mengucapkan teima kasih kepaa:. Bapak Ds. Ds. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku osen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, menampingi, membeikan oongan an semangat alam pengejaan tugas akhi ini.. Ayah an Ibuku tecinta yang tanpa henti membeikan ukungan, oongan, oa, an kasih sayang sehingga penulis apat menyelesaikan skipsi ini. 3. Aik - aikku tecinta Jegek an Dewi yang selalu membeikan semangat an oanya paa waktu penulis mengejakan skipsi ini. viii

10 4. Sina yang selama ini selalu menemaniku, membeikan oongan, semangat an oanya paa waktu pengejaan tugas akhi ini. 5. Om mift an Ninik Cuyak teimakasih atas semua oongan an ukungannya. 6. Temen-teman Bali, Ketut, Wawan, Sii, Ge, Wani, Anika, yang selalu membeikan semangat an menjai sahabat yang baik bagiku seta menemaniku mengejakan skipsi. 7. Temen-teman fisika, Mangga, Fia, Ratna, Nai, Vemby, Toni, yang selama betahun-tahun selalu bejuang besamaku. 8. I.Si Agustini Sulanai, M.Si selaku osen penamping akaemik yang suah banyak membeikan penampingan selama menjai mahasiswa. 9. Seluuh Staff Pengaja Juusan Fisika yang telah membeikan pengajaan an penampingan.. Teman-teman yang ela menunggu gilian paa saat bimbingan, Minto, Kia, Danang teimakasi suah mau besaba.. Semua pihak yang tiak apat isebutkan satu emi satu. Teimakasih atas segala bantuannya. Penulis menyaai bahwa alam penulisan ini masih banyak kekuangan, oleh kaena itu penulis sangat menghaapkan saan an kitik yang sangat membangun ai bebagai pihak. ix

11 Akhinya penulis behaap semoga skipsi ini apat bemanfaat bagi unia peniikan an khususnya pembaca. Yogyakata, Febuai 8 Penulis x

12 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan engan sesungguhnya bahwa skipsi yang saya tulis ini aalah kaya saya an tiak memuat kaya atau bagian kaya oang lain, kecuali yang telah isebutkan alam kutipan an afta pustaka, sebagaimana layaknya suatu kaya ilmiah. Yogyakata, Febuai 8 Penulis Dewa Ayu Ratmi Yanti xi

13 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN.... ABSTRAK. ABSTRACT.. KATA PENGANTAR... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA. DAFTAR ISI. BAB I. PENDAHULUAN... Lata Belakang... Peumusan Masalah..3. Batasan Masalah...4. Tujuan an Manfaat Penelitian.4.. Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian..5. Sistematika Penulisan... BAB II. DASAR TEORI... BAB III. METODA PENELITIAN... i iii iv v vi vii viii xi xii xii

14 3.. Jenis Penelitian. 3.. Saana Penelitian Langkah-Langkah Penelitian BAB IV. HASIL PEMBAHASAN Obit Planet Peubahan Geometi an Sifat Fisis Ruang Lintasan Cahaya an Panjang Fokus... BAB V. PENUTUP Kesimpulan Saan... DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

15 BAB I PENDAHULUAN.. Lata Belakang Paa tahun 96, sebulan setelah Einstein mempublikasikan teoi elativitas umum, seoang ahli astonomi ai Jeman yang benama Schwazschil menemukan penyelesaian pesamaan mean gavitasi Einstein. (Lawie, 998) R μυ R Λg μυ = kt μυ (.) Dengan R μυ tenso Ricci (yang igambakan teikat engan ua ineks ai tenso Riemann), R meupakan skala kelengkungan Ricci (R = g μυ R μυ ), Λ tetapan kosmologi, gμυ tenso oe ua kovaian, k kopling antaa geometi an matei yang menunjukan kuat gaya gavitasi an T μυ aalah tenso tekanan. Penyelesaian seehana pesamaan mean Einstein yang menggambakan bagaimana uang waktu (space-time) mengkeut akibat mean gavitasi suatu bintang yang sangat besa an paat (massive) yang telah menjai lubang hitam (Black Hole). Jai secaa singkat apat inyatakan bahwa lubang hitam memiliki pecepatan gavitasi an keapatan (massa jenisnya) sangat besa. Dengan pecepatan gavitasi yang sangat besa tesebut, semua bena (matei) akan itaik oleh lubang hitam, an tiak aa bena atau matei yang mampu melepaskan ii ai lubang hitam. Sebagai contoh, jika aa sebuah bena yang memiliki keapatan sama engan keapatan matahai an jai-jai bena itu 5 kali

16 jai-jai matahai, maka suatu patikel yang ingin melepaskan ii ai pemukaan bena itu hauslah mempunyai kecepatan yang lebih besa ai kecepatan cahaya (c). (Will, 989) Lubang hitam memiliki bebeapa sifat-sifat fisis yang sangat menaik, antaa lain lintasan patikel (cahaya) alam mean gavitasi lubang hitam tiak luus, melainkan melengkung. Hal ini ikaenakan lubang hitam memiliki mean (pecepatan) gavitasi yang sangat besa sehingga lintasan cahaya akan melengkung. Dalam hal ini bentuk lintasan suatu patikel itentukan oleh kuat atau besa mean gavitasi ialam uang imana patikel tesebut melintas. Dengan menggunakan kooinat bola sfeis (,θ,φ), elemen lintasan (s) sebuah patikel alam mean gavitasi yang sangat lemah (lintasannya bebentuk gais luus, kaena mean gavitasinya kecil) ibeikan oleh (Lo,979) s = c t ( θ + sin θφ ) (.) Jika aa mean gavitasi yang sangat besa maka, elemen lintasan (s) sebuah patikel (lintasannya melengkung, kaena mean gavitasinya sangat besa) ibeikan oleh (Lawie, 998) GM s = c t ( θ sin θφ ) + (.3) c GM c Dengan G tetapan gavitasi univesal, M massa bena yang memiliki mean gavitasi yang sangat besa (lubang hitam), an c kecepatan cahaya. Pebeaan antaa pesamaan (.) an (.3) aalah jika paa pesamaan (.) lintasan beaa alam

17 3 uang tanpa mean gavitasi. Seangkan paa pesamaan (.3) lintasan beaa alam uang yang memiliki mean gavitasi yang sangat besa. atau Konstanta c GM paa pesamaan (.3)isebut jai-jai Schwazschil ( ) α, GM α = (.4) c sehingga pesamaan (.3) apat ituliskan kembali menjai α s = c t ( θ + sin θφ ) (.5) α.. Peumusan Masalah Sebagaimana iuaikan paa lata belakang masalah bahwa lubang hitam memiliki sifat-sifat fisis yang bebea engan alam yang memiliki mean gavitasi lemah, menyebabkan penelitian sifat-sifat fisis an geometi lubang hitam meupakan penelitian yang sangat menaik. Dai pesamaan (.5) kalau = α maka s menjai tak behingga (singulaitas). Jika < α, maka suku-suku yang memuat kooinat uang (,θ,φ) menominasi s aga ipeoleh lintasan yang beniali eal. Jai antaa titik = α an < α tejai peubahan fisis an geometi. Demikian juga bentuk lintasan patikel atau cahaya yang melintas ekat lubang hitam akan melengkung menyebabkan aanya semacam titik fokus lubang hitam. Oleh kaena itu yang menjai pemasalahan alam penelitian ini aalah:

18 4. Peubahan fisis an geometi apa yang tejai, jika sebuah patikel melintas ai > α ke < α melewati titik singula = α.. Menentukan titik fokus lubang hitam sebagai fungsi α an besa fisis tekait..3. Batasan Masalah Penelitian ini ibatasi paa masalah :. Peubahan fisis an geometi apa yang tejai jika sebuah patikel melewati titik α =.. Penentuan titik fokus lubang hitam, kalau lubang hitam tesebut bepeilaku sebagai sebuah lensa positif..4. Tujuan an Manfaat Penelitian.4.. Tujuan Penelitian Tujuan ai penelitian ini aalah untuk :. Mengetahui peubahan fisis an geometi apa yang tejai paa suatu lubang hitam, jika sebuah patikel melintas ai > α melewati = α menuju aeah < α. Menentukan titik fokus suatu bena engan pecepatan gavitasi yang sangat besa (lubang hitam).

19 5.4.. Manfaat Penelitian Penelitian ini bemanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang sifat-sifat fisis lubang hitam an konsekuensinya.

20 6.5. Sistematika Penulisan Hasil penelitian itulis engan sistematika sebagai beikut : BAB I. PENDAHULUAN Paa Bab I ijelaskan mengenai lata belakang masalah, umusan masalah, batasan masalah, tujuan an manfaat penelitian, an sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II ijabakan tentang pesemaan Schwazschil an lintasan patikel alam mean gavitasi yang sangat besa (lubang hitam). BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Paa Bab III ijelaskan tentang jenis penelitian, saana penelitian, an langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Paa Bab IV itampilkan hasil penelitian seta pembahasannya. BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Paa Bab V isajikan kesimpulan an saan.

21 BAB II DASAR TEORI Jaak antaa ua titik alam uang ibeikan oleh (Lawie, 998) : s = g μυ x μ x υ (.) engan g μυ aalah metik tenso oe ua kovaian alam sistem kooinat katesian, untuk uang tiga imensi jaak ua titik alam uang, yaitu titik A an titik B (Gamba.) ibeikan oleh s = x + y + z = x y z sehingga metik tensonya g μυ = (.) z B (x, y, z ) A (x,y,z ) y x Gamba. 7

22 8 Jika igunakan kooinat bola sfeis (,θ,φ ), maka panjang lintasan (elemen gais) antaa ua titik ibeikan oleh sin φ θ θ s + + = (.3) = sin φ θ θ sehingga ibeikan = θ μυ sin g Dalam uang imensi 4 (uang Minkowski) tanpa gavitasi, elemen gais s iapat ai z y x t c s = (.4) = z y x t c sehingga menghasilkan metik tenso (.5) = g μυ Kalau igunakan kooinat bola sfeis, elemen gais atau lintasan menjai : sin φ θ θ t c s = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

23 9 (.6) = sin φ θ θ t c yang menghasilkan (.7) = θ μυ sin g Jika aa mean gavitasi, maka elemen gais atau lintasan alam uang apat ituliskan sebagai (.8) ) sin ( ) ( ) ( ) ( φ θ θ C B t c A s + = engan A(), B(), an C() sebagai fungsi kuat mean gavitasi. Dengan menggunakan tansfomasi apat ipeoleh A() = e / = C υ an B() = e λ seemikian hingga A() an B() benilai menekati jika. Dengan emikian pesamaan (.8) apat ituliskan kembali menjai (.9) ) sin ( φ θ θ λ υ e t c e s + = Sebagaimana isebutkan bahwa elemen gais atau lintasan ai pesamaan (.9) aalah = sin φ θ θ λ υ t c e e s PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

24 sehingga metik tensonya g μυ e = υ e λ sin θ Nilai υ an λ apat itentukan engan menggunakan pesamaan geoesik (Lo, 979) U s μ μ + U ρσ ρ U σ = (.) engan μ x μ U μ =, an aalah lambang Chistoffel. Yang iefinisikan s ρσ sebagai (Joshi, 98) μ ρμ σμ ρσ = ( g σ + g ρ g ) μ ρσ (.) atau bisa juga itulis μ = Γ ρσ ρσ υ g μυ engan Γ ρσ υ = g ρα g x λρ α g + x σλ ρ g x Untuk menghitung lambang Chistoffel membutuhkan waktu yang sangat lama. Kaena nilai ai lambang Chistoffel kebanyakan aalah nol, suatu caa yang labih cepat untuk menghitungnya aalah engan menggunakan pesamaan geoesik. ρσ λ

25 Sehingga pesamaan (.) sama engan ν 4 λ 3 [ e ( U ) e ( U ) ( U ) sin ( U ) ] = δ s = δ θ s / (.) engan c =, an pesamaan (.) aalah integan lintasan yang iminimalkan. Pesamaan (.) menghasilkan s F U μ = F, (.3) μ x engan F aalah integan paa pesamaan (.), pesamaan (.3) ientik engan pesamaan (.). sehingga apat ihasilkan simbol Chistoffel ai pesamaan tesebut. Sebagai contoh, jika itulis μ = 4( ct = 4 x ), maka F υ = e U 4 U F = 4 x maka pesamaan (.) menjai 4 s υ 4 ( e U ) = (.4) Dengan menggunakan elasi = s s, pesamaan (.4) menghasilkan s & t e υ && t e υ 4 υ ( e U ) = ( e ct& ) = υ + t& s + t& υ & e s υ ( e ) = υ =

26 & t + υ & t& = (.5) Dengan emikian lambang Chistoffel apat ihasilkan ai pesamaan iatas. Lambang Chistoffel yang tiak benilai nol aalah 4 = υ 4 = 4 υ = υ e 44 = λ υ λ = e λ = sin 33 = θ λ e = cosθ sinθ 33 = 3 3 = 3 cot θ

27 3 juga ipelukan elasi (Lo, 976) λ = λρ ρ log g, engan g = e 4 sin ν + λ θ, sehingga ν λ log g = + log + log sinθ (.6) Tenso Ricci R μυ paa pesamaan (.) apat juga ituliskan sebagai R μv ρ ρ λ ρ ( log g ) + (log g ). ρ = μv (.7) μv λμ ρv μv. ρ Aga penyelesaian pesamaan mean gavitasi Einstein paa pesamaan (.) linea, nilai R μυ haus sama engan nol. Dai pesamaan (.6) yang membeikan nilai nol aalah = R 44 = e v v λ v v + + v. λ (.8) v v λ λ = R = v + (.9) λ λ v + λ = R = ( e ) + e (.) ai R = R, ipeoleh λ + v =, sehingga λ + v = konstan. Nilai konstanta 44 = tesebut aalah nol, kaena λ + υ menekati nol ketika, sehingga λ = v (.)

28 4 Pesamaan (.8) menjai v + v v + = v yaitu, ( e ) = v ( ) = e konstanta (.) Substitusi pesamaan (.) ke pesamaan (.) menghasilkan sehingga v ( e ) = e v λ α = e = (.3) engan α aalah tetapan integasi. Penyataan (.3) aalah g 44 yang i ientifikasi sebagai + φ / c, aalah potensial Newton (untuk suatu pusat massa M, φ = MG /. Dengan emikian tetapan α paa pesamaan (.3) menjai (Lo, 979) α = GM / c (.4) yang ikenal sebagai jai-jai Schwazschil. Substitusikan pesamaan (.4) an (.3) ke alam pesamaan (.9) sehingga akan menghasilkan GM s = c t ( θ sin θϕ ) + (.5) c GM c

29 5 sehingga metik tenso Schwazschil = θ μυ sin c GM c GM g (.6) Kalau α = maka lintasan atau elemen gais ai patikel (matei) tesebut singula, an apat ikatakan sebagai lubang hitam. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

30 BAB III METODE PENELITIAN 3.. Jenis Penelitian Jenis penelitian yang ilakukan alam penulisan skipsi ini aalah penelitian stui pustaka. 3.. Saana Penelitian Saana yang ibutuhkan alam peyelesaian skipsi ini aalah buku-buku yang behubungan engan topik lubang hitam, tenso an teoi elativitas umum Langkah langkah penelitian Langkah langkah yang ilakukan alam penelitian ini aalah sebagai beikut:. Menelusui bahan-bahan mengenai lubang hitam, metik, tenso an elativitas umum ai buku-buku maupun ai intenet.. Meumuskan atau mengolaboasi keangka pemikian teoi an konsep atau teoi yang tekait engan lubang hitam, metik, tenso an elativitas umum ai bahan-bahan yang ikumpulkan. 3. Meumuskan peubahan fisis an geometi yang tejai paa suatu lintasan patikel paa lubang hitam, an menentukan titik fokus suatu lubang hitam sebagai fungsi α secaa numeik atau matematik. 4. Menaik kesimpulan an membeikan saan ai penelitian yang telah ilakukan. 6

31 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.. Obit Planet Geak suatu planet yang mengobit paa matahai yang memiliki massa yang sangat beat apat ipeoleh engan menyelesaikan pesamaan Schwazschil, paa pesamaan (.5). Jika iambil θ = π, maka pesamaan (.9) menjai s = e υ c t e υ φ (4.) kalau pesaman (4.) ibagi s ihasilkan & υ υ = e c t e φ & & (4.) Dai pesamaan (.5) apat ipeoleh s υ ( e t& ) = (4.3) sehingga υ e t& = k (konstanta) (4.4) substitusi pesamaan (4.4) ke alam pesamaan (4.) menghasilkan & α & + & + φ = k α φ (4.5) Pesamaan geak obit Newton hanya paa suku teakhi pesamaan (4.5). Jika pesamaan (4.5) ikalikan engan s ϕ = h 4 7

32 8 ipeoleh ϕ = α + + k 4 + α (4.6) h Dengan mengganti vaiabel aial u = = pesamaan (4.6) menjai u u u ϕ = u + 3 ( uα + k ) / h + α u (4.7) Jika pesamaan (4.7) iefeensialkan tehaap φ, maka ipeoleh u ϕ α 3α u = u + + (4.8) h Kalau iambil u = u + ε (4.9) Dengan u aalah penyelesaian umum untuk pesamaan obit planet Newton an ε aalah suatu gangguan kecil. Substitusi pesamaan (4.9) ke (4.8) menghasilkan u ϕ ε + = ϕ ( u + ε ) α + h 3α + ( u + ε ) α 3 = u h u ε + + α u + 3εα + αε (4.) α Kaena u =, an kalau ε sangat kecil suku ε apat iabaikan sehingga h pesamaan ifeensial untuk ε apat ituliskan ε 3 = ( 3αu ) ε + αu (4.) ϕ 3

33 9 Penyelesaian pesamaan (4.) apat ituliskan sebagai ( ) B ε = A cos ζϕ + (4.) engan A, B, an ζ aalah konstanta (lihat Lampian). Jika ζ =, maka ihasilkan obit lingkaan. Dengan menefeensialkan pesamaan (4.) tehaap φ kemuian menyamakannya engan nol, maka ipeoleh nπ ϕ = (4.3) ζ Substitusi pesamaan (4.) ke alam (4.) apat menghasilkan nilai ζ, yaitu ζ = 3αu (4.4) sehingga lintasan planet tejai paa ± nπ 3 φ = ~ ± nπ + αu 3αu ( π 3παu ),, ( π + 3παu ), ( 4π 6πα )... ϕ ~... + u, 4.. Peubahan Geometi an Sifat Fisis Ruang Ditinjau peubahan geometi an sifat fisis uang yang ialami oleh sebuah patikel begeak ai keuukan atau posisi > α ke posisi < α. Dai pesamaan (.5), jika > α, maka nilai koefisien e υ = e λ > (positif) sehingga suku yang menganung waktu (t) hauslah benilai lebih besa ai suku-suku yang lain aga s >. Dengan kata lain, patikel yang melintas alam mean gavitasi yang itimbulkan oleh massa M paa aeah > α beaa alam uang bak-waktu (time-

34 like). Secaa skematis lintasan patikel alam uang bak-waktu ipelihatkan paa Gamba 4. Lintasan patikel Masa epan Waktu Sekaang Masa lalu Gamba 4.. Geometi uang bak-waktu an lintasan patikel Jika patikel beaa paa posisi = α, maka s menjai tiak teefinisi (singula). Paa konisi atau keaaan = α patikel tiak beaa alam uang bakwaktu maupun alam uang bak-uang (space-like). Secaa fisis, paa keaaan = α, patikel tiak tunuk paa hukum-hukum fisika an uang yang ikenal selama ini alam teoi-teoi fisika. Jika patikel beaa paa posisi < α, maka koefisien e υ = e λ <. Jai paa keaaan sepeti itu kalau s >, nilai ai suku-suku yang tiak menganung waktu (t) paa pesamaan (.5) haus lebih besa ai nilai suku yang menganung t. Secaa fisis patikel yang beaa paa aeah < α beaa alam uang yang isebut

35 bak-uang. Geometi bak-uang an lintasan patikel i alamnya ipelihatkan paa Gamba 4.. Bak - cahaya Lintasan patikel Gamba 4.. Geometi bak-uang an lintasan patikel Jai patikel yang melintas ai posisi > α menuju < α alam suatu mean gavitasi yang sangat besa (misalnya Black Hole) akan mengalami geometi an sifat-sifat fisisyang bebea iaeah < α an > α. Peubahan geometi uang yang i alami patikel tejai ai bak-waktu ke bak-uang. Secaa skematis, peubahan uang tesebut apat igambakan sepeti paa Gamba 4.3.

36 Waktu Lintasan patikel Lintasan patikel (a) (b) Ruang Gamba 4.3. (a) Lintasan patikel alam bak-waktu untuk > α, an (b) Lintasan patikel alam ba-uang untuk < α Lintasan Cahaya an Panjang Fokus Lintasan cahaya mengikuti lintasan geoesik nol atau s =. Jika ipilih θ = π, maka pesamaan (4.) menjai e & υ υ t e & & φ = (4.5) Dengan menggunakan υ e t& = k, pesamaan (4.5) apat itulliskan menjai & & + φ = k + α & φ (4.6)

37 3 jika pesamaan (4.6) ikalikan & 4 φ =, an vaiabel aial () iatas menjai h u =, maka pesamaan (4.6) menjai u u ϕ + u = α u 3 k + h (4.7) Kalau pesamaan (4.7) iefeensialkan tehaap φ, maka u 3 = u + β u, β = α ϕ (4.8) Jika suku β u iabaikan, maka penyelesaian pesamaan (4.8) ibeikan oleh engan A aalah tetapan, δ u = Acos( φ + δ ) (4.9) Lintasan cahaya yang ipeoleh ai pesamaan (4.9) aalah yang meupakan gais luus = konstan untuk pesamaan (4.8) ipilih bebentuk engan ε fungsi φ, maka ipeoleh = = u Acos( φ + δ ) (4.) φ + δ konstan. Jika penyelesaian u = Acosφ + ε (4.) ε = ε + β A ϕ β A = ε + cos ϕ ( + cos ϕ ) (4.)

38 4 Dengan menganaikan penyelesaian (4.) bebentuk yang kalau imasukkan ke (4.) ipeoleh ε = a + bcos φ (4.3) βa a = an βa b = (4.4) 6 Jai penyelesaian pesamaan (4.3) apat ituliskan βa cos φ ε = + 3 (4.5) Dengan emikian, pesamaan (4.) menjai βa βa u = Acosφ cos φ + (4.6) 3 3 jika iambil, maka u. Untuk pesamaan (4.6) menjai Nilai βa Acos cos A 3 3 cos φ apat ipeoleh ai (4.7), yaitu = φ φ + β (4.7) 3 8β cosφ = ± + (4.8) β 9 engan aalah jaak lintasan cahaya ke pusat gavitasi (Gamba 4.4)

39 5 ϕ ϕ α Gamba 4.4. Pembelokan cahaya alam mean gavitasi Paa pesamaan (4.8) nilai nilai >>. Dengan emikian ipeoleh β cos φ aalah antaa - sampai +, menghauskan cosφ ~ β = α (4.9) 3 Dai Gamba 4.4. telihat bahwa suut pembelokan cahaya paa mean gavitasi sebesa 4GM θ = α = (4.3) c Jika cahaya yang melintasi mean gavitasi ibelokkan engan suut belok θ, maka suatu massa yang mempunyai mean gavitasi memiliki semacam titik fokus f. Panjang titik fokus (f) untuk suatu bena bemassa M sebagai fungsi θ apat ibentuk engan menggunakan tigonometi an skema paa Gamba 4.5.

40 6 θ M f Gamba 4.5. Skema lintasan cahaya alam mean gavitasi Dai Gamba 4.5. ipeoleh tan θ = (4.3) f sehingga panjang fokus f suatu bena bemassa M ibeikan f = (4.3) tanθ Sebagai contoh ihitung panjang fokus (f) untuk bena-bena planet alam 4 tata suya kalau planet-planet itu ianggap sebagai lubang hitam engan = m, isajikan paa Tabel 4..

41 7 Tabel 4.. Panjang fokus (f) untuk planet-planet i alam tata suya kalau planet itu ianggap sebagai lubang hitam untuk = 4 m No Planet M(kg) θ f (m) Matahai,9. 3, ,65 Mekuius 3,3. 3 9,78. -9, Venus 4,87. 4, ,43. 4 Bumi 5,98. 4, , Mas 6,4. 3, ,63. 6 Jupite,9. 7 5, , Satunus 5,66. 6, , Uanus 8,68. 6, , Neptunus Pluto, ,333.,7. 3,76. -,659. 4

42 BAB V PENUTUP 5.. Kesimpulan Beasakan keseluuhan poses yang telah ilakukan alam penelitian ini apat ipeoleh kesimpulan sebagai beikut :. Lintasan atau obit suatu planet apat ipeoleh ai penyelesaian pesamaan Schwazschil. Dengan memilih θ = π.. Peubahan geometi an sifat fisis uang yang ialami oleh suatu patikel yang begeak ai aeah > α ke aeah < α alam mean gavitasi yang itimbulkan oleh massa M, yaitu paa aeah > α patikel beaa alam bak-waktu an paa aeah < α patikel beaa alam bak-uang. 3. Lintasan cahaya mengikuti pesamaan goesik s =, engan θ = π. Panjang suatu titik fokus (f) suatu bena bemassa M alam uang apat inyatakan sebagai fungsi θ an. 8

43 9 5.. Saan Kaena yang iteliti alam penelitian ini hanyalah masalah obit planet, peubahan geometi an sifat fisis patikel yang begeak ai > α menuju < α, an pembelokan lintasan cahaya alam mean gavitasi yang itimbulkan oleh massa M yang ianggap sebagai lubang hitam menggunakan pesamaan Schwazschil, maka isaankan untuk meneliti konsekuensi-konsekuensi yang lain ai pesamaan Schwazschil. Paa saat patikel melintasi titik = α patikel itu tiak beaa alam bak-waktu maupun bak-uang. Oleh sebab itu isaankan untuk meneliti jenis uang yang itempati patikel itu.

44 DAFTAR PUSTAKA Joshi, A. W., 98, Matics an Tenso in Physics, New Delhi Bangloe Bombay Calcuta : Wiley Easten Limite. Lo, E. A., 976, Tenso Relativity an Cosmology, Unite Kingom: Univesity of Einbugh Scotlan. Lawie, I. D., 998, A unifie Gan Tou of Theoitical Physics, Philaelphia: Institut of Physics Publishing. Will, C., 989, The New Physics, New Yok: Canbige Univesity. William, J. K., 973, Relativity an Cosmology, New Yok : Hape & Row Publishes 3

45 LAMPIRAN Pesamaan ifeensial paa pesamaan (4.) mempunyai penyelesaian ε sebagai fungsi φ, engan menggunakan metoa opeato D = ϕ ε 3 = ( 3αu ) ε + αu (4.) ϕ engan ζ = αu 3, an u ζ + =. Sehingga pesamaan (4.) menjai 3α ε ϕ 6α = ζ ε + ( ζ + ) imana ( ζ + ) = K ( tetapan), sehingga apat ituliskan menjai 6α ε ζ ε = K ϕ jika ( D iζ ) ( D + iζ ) ε = K engan ( D + iζ ) ε = u, maka ( D iζ ) u = K Pesamaan iatas apat juga ituliskan menjai y + α y = β t (D + α ) y = β ( D + iα ) ( D iα) y = β 3

46 3 ( D + iα ) u = β D u + iα u = β u = β D + iα u + iα u = t Jika pesamaan i atas iefeensialkan tehaap t maka, u t integalkan pesamaan i atas hasilnya aalah β iαt iαt ( e u) = β e iαt iαt ( e u) = β e t e iαt u = β e iα iαt u = e β e iαt iαt + k t + k sehingga β u = + k e iα iαt ( D iα) y = e iαt β e iαt t + k Apabila pesamaan ini igunakan untuk menyelesaikan pesamaan (4.), maka akan menjai ( D iζ ) u = K

47 33 u iζ u = K ϕ e ( e ϕ iζϕ ( e ϕ ( e e ( e iζϕ iζϕ ( e ϕ iζϕ u) = iζ e = iζϕ u) = e u) = e iζϕ iζ ue ϕ u u) = K iζϕ iζϕ iζϕ u = u) u = e iζϕ iζϕ K K ϕ u + e iζϕ = K e ϕ K e iζϕ K e ϕ iζϕ Dengan emikian apat ituliskan menjai ( D e iζϕ ϕ iζϕ iζϕ iζϕ iζϕ + iζ ) ε = u = e K e ϕ ( e ϕ ( e e iζϕ iζϕ ε = ( e ϕ iζϕ ε ) u ϕ iζϕ iζϕ = e K e ϕ iζϕ iζϕ iζϕ ε ) = e K e ϕ ε ) = ( e iζϕ K e iζϕ ϕ) ϕ iζϕ iζϕ ( e K e ϕ) ϕ

48 34 engan Ke iζϕ ϕ = ε = e K e iζ iζϕ iζϕ iζϕ iζϕ ( e Ke ϕ) ϕ + C, maka menghasilkan iζϕ = iζϕ Ke iζϕ ε e + C e ϕ iζ = iζϕ K iζϕ C iζϕ e e + e + C i ζ iζ K = ζ K = ζ Ce + iζ + C e iζϕ + C e iζϕ iζϕ iζϕ [ + e ] Apabila ζϕ ζϕ ( e i + e i ) = cos( ζϕ), sehingga akan menghasilkan K ε = C( cos( ζϕ)) + ζ K ε = C cos( ζϕ) + ζ K imisalkan = B an C = A, engan emikian hasilnya aalah (paa pesamaan ζ (4.)) ε = B + Acos(ζϕ)