MODIFIKASI DISTRIBUSI MASSA PADA SUATU OBJEK SIMETRI BOLA

Transkripsi

1 p-issn: e-issn: MODIFIKASI DISTIBUSI MASSA PADA SUATU OBJEK SIMETI BOLA Yuant Tiandho Juusan Fisika, Univesitas Bangka Belitung Abstak Umumnya, untuk menggambakan distibusi massa sebagai fungsi uang dilakukan pemisahan untuk kondisi di lua dan di dalam objek. Di dalam makalah ini, kami mengusulkan suatu distibusi massa yang belaku pada kedua kondisi tesebut sehingga tidak pelu dilakukan pemisahan. Jika fungsi tesebut digunakan dalam poses komputasi atau simulasi dihaapkan dapat mempeingkas algoitma. Fungsi distibusi massa dituunkan bedasakan fungsi distibusi Femi-Diac untuk fakto Boltzman yang benilai sangat kecil. Adapun objek yang ditinjau adalah objek yang memenuhi sifat simeti bola tetapi tidak menutup kemungkinan dapat dipeluas pada sebaang bentuk objek. Melalui fungsi distibusi massa tesebut dapat dituunkan gaya gavitasi, medan gavitasi, dan potensial gavitasi pada sebaang titik tinjau yang benilai sama dengan tinjauan konvensional. Dengan analogi gaya gavitasi dan elektostatis maka fungsi distibusi massa tesebut juga dapat dipeluas untuk distibusi muatan listik. Kata Kunci: Gavitasi, Elektostatik, Mekanika klasik. PENDAHULUAN Sejauh ini, fisikawan meyakini bahwa alam semesta disusun oleh empat gaya fundamenal: gavitasi, elektomagnetik, nukli lemah, dan nukli kuat (Ciufolini. Dkk, 2013). Diantaa gaya-gaya tesebut, gaya gavitasi meupakan inteaksi yang sudah sejak lama dipelajai. Ketetaikan pada pegeakan bendabenda langit, pasang suut ai laut, seta geak jatuh suatu benda adalah bebeapa alasan untuk mempelajainya. obet Hooke adalah ilmuwan ea Newton yang mengusulkan hukum gavitasi (Gegoy, 2006), GMm F, 2 (1) dimana G adalah suatu konstanta gavitasi yang nilainya petama kali ditentukan oleh Cavendish pada 1978 (Giancoli, 2014). Gavitasi 76

2 digambakan sebagai gaya taikmenaik (ditandai oleh tanda minus) antaa dua objek bemassa dan nilainya bebanding tebalik dengan kuadat jaak antaa keduanya. Dengan menggunakan hukum gavitasi tesebut, Newton dapat menjelaskan pegeakan benda planet sesuai hukum Keple dengan sangat baik. Meski saat ini teoi elativitas umum Einstein dapat lebih akuat menjelaskan gavitasi namun hukum gavitasi klasik tesebut masih dapat digunakan untuk menjelaskan bebagai fenomena dengan sangat teliti. Teoi gavitasi yang diusulkan oleh Hooke atau juga seing disebut sebagai gaya gavitasi Newton meupakan salah satu matei pokok yang dipelajai pada mekanika klasik dan fisika dasa. Untuk tinjauan gavitasi dengan objek bedimensi titik, secaa umum tidak ditemui kendala yang beati. Namun untuk tinjauan dengan objek bedimensi (misal bola) seingkali pembahasan gavitasi haus dilakukan pemisahan untuk daeah di dalam objek dan di lua objek (Young dan Feedman, 2012). Peneapan gavitasi di lua objek dapat diselesaikan secaa langsung dengan menggunakan massa total, sedangkan untuk bagian dalam objek digunakan pesamaan Poisson atau pesamaan Gauss untuk gavitasi sesuai dengan massa yang dilingkupi. Selain itu, dalam mendeskipsikan massa juga dilakukan pemisahan. Misalkan untuk objek bola padat, massa selalu dinyatakan dalam dua kondisi sesuai dengan titik tinjau, M 4 3 M, untuk 3, untuk (2) dimana adalah adius objek dan M adalah massa totalnya. Sistematika penulisan makalah ini adalah sebagai beikut, pada Bagian 2 kami mengusulkan sebuah pesamaan distibusi massa yang belaku untuk kondisi di dalam dan di lua objek. Dengan demikian, deskipsi massa secaa umum dapat ditunjukkan oleh sebuah kondisi tunggal tidak sepeti pada pes. (2). Pada Bagian 3, kami menggunakan fungsi distibusi massa tesebut untuk mempeoleh paanete dalam mekanika sepeti gaya, medan, dan potensial gavitasi. Hasil yang dipeoleh menunjukkan bahwa dengan fungsi distibusi massa yang JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

3 kami gunakan memiliki nilai yang sama dengan hasil pehitungan konvensional. Pada Bagian 4, fungsi distibusi massa dipeluas untuk kasus kulit bola. Fungsi distibusi muatan tesebut juga dapat diteapkan untuk mempelajai pehitungan elektostatis FUNGSI DISTIBUSI MASSA Untuk mempeoleh fungsi distibusi massa yang belaku di seluuh kondisi kami mencoba bebeapa fungsi yang dipekiakan memiliki bentuk yang sesuai dan akhinya dipilih fungsi distibusi Femi-Diac dalam mekanika statistik (Toy, 2012) f 1 exp 1 kt (3) Hal yang menaik dai fungsi distibusi Femi-Diac adalah dapat dipeoleh suatu gafik dengan tingkat peubahan yang cukup dastis apabila fakto kt dalam eksponensial benilai kecil (Kittel, 2005). Sifat itulah yang kelak dibutuhkan untuk menggambakan distibusi massa suatu objek. Dengan memodifikasi fungsi distibusi Femi-Diac pada pes. (3) maka kami mengusulkan bahwa fungsi distibusi massa memiliki bentuk, 3 4 M M lim 31exp 1exp (4) dimana M() adalah massa pada titik tinjau, ρ adalah massa jenis objek, adalah adius objek, dan M adalah massa pada titik tinjau atau massa totalnya. Pemilihan nilai α sebagai limit tak hingga betujuan untuk mempeoleh nilai massa sepeti yang dihaapkan dan analogi dengan fakto kt pada pesamaan Femi-Diac yang benilai sangat kecil. Suku petama dalam fungsi distibusi massa tesebut menggambakan kondisi untuk daeah dan akan lenyap pada daeah. Sebaliknya, pada daeah massa objek dibeikan oleh suku yang kedua. Dengan demikian, kondisi di dalam dalam dan di lua objek bemassa dapat didefinisikan oleh satu bentuk fungsi distibusi massa saja. Pada objek dengan M = 1, = 1, dan ρ = 3/(4π), distibusi massanya JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

4 dibeikan oleh Gamba 1. Pada kuva tesebut tampak bahwa untuk daeah, massa objek betambah seiing jaak tinjau dan untuk daeah tampak bahwa massa objek benilai konstan. Hal ini sesuai dengan kondisi massa pada pes. (2) yang memisahkan definisi massa untuk daeah dan daeah. Gamba 1. Fungsi distibusi massa suatu objek dengan massa M = 1 dan adius = 1. MEKANIKA GAVITASI Mekanika gavitasi sangat eat hubungannya dengan gaya gavitasi, medan gavitasi, dan potensial gavitasi. Pesoalan itulah yang menjadi acuan utama dalam mempelajai teoi gavitasi klasik. Pada umumnya, untuk menentukan gaya gavitasi suatu objek bemassa pada sebaang titik, selalu dibutuhkan definisi apakah titik tinjau beada di dalam objek atau di bagian luanya. Apabila tinjauan beada pada bagian lua, maka gaya gavitasi dapat ditentukan dengan mudah sesuai pes. (1), tetapi jika tinjauan dilakukan pada bagian dalam, maka gaya gavitasi dengan massa uji m dibeikan oleh, 4 m F G (5) 3 Suku dalam kuung adalah sebuah konstanta. Sehingga gaya di daeah tesebut sebanding dengan pegesean secaa linie dan analogi dengan geak hamonik sedehana. Sebagai pebandingan, apabila diteapkan distibusi massa secaa umum sepeti pada pes. (4), maka hanya dibutuhkan sebuah pesamaan gaya yang belaku untuk semua daeah, JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

5 Gm F 31exp 1exp 3 4 lim M 2 (6) Pada daeah suku kedua dalam pes. (6) akan lenyap dan hanya tesisa suku petama saja tetapi sebaliknya, pada daeah suku petama akan lenyap dan hanya tesisa suku kedua saja. Adapun gafik gaya tehadap sebaang titik tinjau untuk suatu objek dengan M = 1, = 1, muatan uji m = 1 dan didefinisikan konstanta G = 1 menggunakan pes. (6), dapat dilihat pada Gamba 2. Tampak dengan jelas bahwa untuk gaya gavitasi akan meningkat secaa linie tehadap dan ketika, gaya gavitasi menuun secaa kuadatik seiing dengan petambahan. Gamba 2. Gafik gaya tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1, dan massa uji m = 1. Untuk mempeoleh nilai medan gavitasi dapat dilakukan dengan menggunakan hubungan antaa medan gavitasi dan gaya gavitasi, g 31exp 1exp 3 G 4 M lim 2 (7) Dai hubungan tesebut dapat dibentuk gafik medan gavitasi tehadap sebaang titik tinjau sepeti pada Gamba 3. Sama sepeti gaya JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

6 gavitasi, medan gavitasi juga akan meningkat secaa linie pada daeah dan akan meluuh secaa kuadatis untuk daeah. Secaa ingkas, bedasakan pebandingan antaa nilai dan dalam pes. (7) dapat dipeoleh nilai pesamaan medan gavitasi sebagai, g 4G, untuk 3 GM, untuk 2 (8) dan hasil tesebut sesuai dengan hasil yang dipeoleh melalui pesamaan Gauss untuk gavitasi. Gamba 3. Gafik medan gavitasi tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1. Gamba 3. Gafik medan gavitasi tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1. Potensial gavitasi didefinisikan, V g d (9) Integasi tesebut lebih mudah dilakukan apabila diketahui daeah mana yang ingin ditentukan potensialnya. Pada daeah dapat digunakan medan gavitasi sesuai pes. (8). Dengan sedikit memanipulasi batas integasi maka pes. (9) dapat dituliskan sebagai, V g d g d dalam lua dalam GM (10) Sedangkan untuk daeah lua, potensial gavitasi dapat ditentukan sebagai, V lua GM GM 2 d (11) Kedua hasil potensial gavitasi yang dipeoleh sesuai dengan metode pada umumnya. Bentuk plot gafik JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

7 potensial pada sebaang titik tinjau ditunjukkan oleh Gamba 4. Tampak bahwa untuk tinjauan setelah melewati adius objek, dalam hal ini = 1, tejadi peubahan bentuk kuva dai yang awalnya kuadatik menjadi bebanding tebalik dengan titik tinjau. Tentu saja hal ini tejadi akibat distibusi potensial yang bebeda antaa potensial di dalam objek dengan potensial di lua objek. Gamba 4. Gafik potensial gavitasi tehadap titik tinjau, M = 1, dan adius = 1 KASUS PADA KULIT BOLA Pembahasan yang telah dilakukan pada Bagian 2 dan 3 mengasumsikan objek yang ditinjau memiliki bentuk beupa bola padat dengan apat massa benilai konstan. Lalu bagaimana untuk objek yang memiliki bentuk seupa kulit bola? Bentuk ini menaik kaena dengan melakukan tinjauan pada kasus ini dapat disusun sebuah model untuk distibusi muatan pada kondukto. Kaena sepeti diketahui, muatan kondukto hanya teseba pada bagian pemukaannya saja. Dengan demikian, dihaapkan pesamaan fungsi distibusi massa tidak hanya belaku untuk massa saja melainkan dapat dipeluas untuk objek bemuatan. Apabila massa atau muatan hanya teseba pada bagian pemukaan bola maka massa jenis di dalam ρ = 0. Sehingga fungsi distibusi massa meeduksi menjadi suku keduanya saja. M M lim 1 exp (12) Adapun gafik distibusi massanya ditunjukkan oleh Gamba 5. Pada JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

8 gafik tesebut tampak bahwa untuk daeah massa benilai nol dan secaa signifikan meningkat pada adius benda kemudian untuk konstan. benilai Gamba 5. Gafik distibusi massa kulit bola tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1. Adapun medan gavitasi pada kulit bola adalah, GM E lim 1 exp 2 (13) dan plot gafiknya dapat dilihat pada Gamba 6. Melalui hasil tesebut tampak dengan jelas bahwa medan gavitasi di dalam kulit bola benilai nol. Dengan kata lain, gaya gavitasi di dalam kulit bola juga benilai nol. Medan gavitasi mulai muncul dipemukaan atau di adius bola dan menuun secaa kuadatik setelahnya. Gamba 6. Gafik medan gavitasi kulit bola tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1. JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

9 Kaena medan gavitasi dalam kulit bola adalah nol maka dai pes. (9) dapat dinyatakan bahwa potensial gavitasi di dalam kulit bola benilai konstan. Potensial gavitasi di daeah dapat ditentukan dengan menggunakan pes. (13) dan dipeoleh hasil yang sama dengan pes. (11). Melalui nilai potensial gavitasi pada pemukaan kulit bola maka dapat ditentukan potensial di dalam kulit bola sebagai, V GM dalam (14) dan gafik potensial pada sebaang titik tinjau untuk kulit bola dibeikan oleh Gamba 7. Dai hasil-hasil yang telah kami peoleh mulai dai fungsi distibusi massa untuk bola padat hingga kulit bola semuanya sesuai dengan yang tecantum pada buku-buku mekanika klasik dan fisika dasa [2, 3, 4, 5, 8]. Selain itu, dengan membandingkan hasil yang pada Gamba 5, 6, dan 7 dengan distibusi muatan, medan listik, dan potensial listik pada bola kondukto (Giffiths, 1999), maka dapat dinyatakan bahwa fungsi distibusi massa yang kami peoleh juga dapat digunakan untuk mempelajai listik statis. Gamba 7. Gafik potensial gavitasi kulit bola tehadap titik tinjau dengan massa M = 1, adius = 1. KESIMPULAN Dengan melakukan modifikasi fungsi distibusi Femi-Diac dapat dituunkan fungsi distibusi massa yang belaku untuk daeah di dalam objek dan di lua objek. Penggunaannya dalam mekanika gavitasi sepeti untuk menentukan JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe

10 gaya gavitasi, medan gavitasi, dan potensial gavitasi menunjukkan bahwa hasil tesebut sesuai dengan efeensi. Tinjauan pada kulit bola juga mempeoleh hasil yang memuaskan sehingga fungsi distibusi massa tesebut dapat diaplikasikan untuk menggambakan distibusi muatan pada kondukto. DAFTA PUSTAKA Ciufolini, I, dkk Fundamental physics and geneal elativity with the LAES and LAGEOS satellites, Nuclea Physics B, vol. 243, pp Giancoli, D. C Physics Pinciples with Applications, USA: Peason Eduaction, Inc. Gegoy,. D Classical Mechanics, New Yok: Cambidge Univesity Pess. Giffiths, D. J Intoduction to Electodynsmics, New Jesey: Pentice-Hall, Inc. Kittel,C Intoduction to Solid State Physics, USA: John Wiley & Sons, Inc. Toy, W. C Low tempeatue popeties of the Femi-Diac, Boltzmann and Bose-Einstein equations, Physics Lettes A, vol. 376, pp Young, H. D. dan Feedman,. A Seas and Zemansky's Univesity Physics: with Moden Physics, San Fansisco: Addison- Wesley JPF. Vol. IV. No. 2. Septembe