BAB 3 ANALISIS VEKTOR

Transkripsi

1 NLISIS VEKTOR.. Penahuluan Vekto meupakan suatu besaan ang mempunai aah. Vekto inatakan engan besa vekto an aahna. Penggambaan vekto begantung paa sistem kooinat ang ipilih. Paa bab sebelumna telah ibahas pengenalan vekto an aljaba vekto. ab ini akan membahas tentang sistem kooinat, vekto satuan paa sistem kooinat ang besangkutan, iantaana sistem kooinat pola, siline, an bola. Dalam bab ini juga ibahas mengenai opeasi vekto, opeato vekto, bebeapa opeasi tentang opeato, an iffeensial vekto. Paa akhi bab ini ibahas integal gais, teoema Geen paa biang, teoema Divegensi, an teoema Stokes. Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa ihaapkan apat melakukan opeasi vekto, opeasi opeato iffeensial, mengenal an menggunakan sistem kooinat kuviline, melakukan integasi lipat ua, an tiga... Sistem Kooinat. Sistem Kooinat Katesian Dalam sistem kooinat Katesian, suatu vekto ilukiskan alam tiga aah, aitu aah sumbu-x, aah sumbu-y, an aah sumbu-z.imana masing-masing sumbu kooinat saling tegak luus, an mengikuti atuan putaan sekup. Putaan ai sumbu-x ke sumbu-y sepeti sekup iputa menghasilkan geak sekup ang menatakan aah ai sumbu-z. ownloa on

2 Setiap sumbu kooinat mempunai vekto satuan ang besana satu an seaah engan aah sumbu kooinatna, : vekto satuan paa sumbu-x, : vekto satuan paa sumbu-y, an : vekto satuan paa sumbu-z. Penggambaan suatu vekto inatakan oleh ketiga vekto satuan tesebut ang isetai besa atau panjang komponen vekto paa aah tesebut. Misal : (,4,5) : igambakan oleh 4 5, atina komponen vekto aah sumbu-x aalah, aah sumbu-y aalah 4, an aah sumbu-z aalah 5.. Sistem Kooinat Siline Dalam sistem kooinat Siline, suatu vekto inatakan alam tiga aah, aitu aah, aah, an aah. Z X Y Gamba.. Sistem Kooinat Siline Dapat ibaangkan suatu siline beii tegak, titik i tengah-tengah siline inamakan titik nol (). Dai titik nol itaik gais kelua siline inamakan aah engan vekto satuan. Dai ining siline itaik gais singgung menata ownloa on

3 ang tegak luus engan aah inamakan vekto engan vekto satuan, beputa belawanan aah jaum jam paa biang XY. Dai titik nol itaik gais luus tegak membentuk sumbu-z engan vekto satuan. Hubungan sistem kooinat Siline engan sistem kooinat Katesian apat ilihat paa uaian beikut. Y = cos = sin = X Gamba.. Sistem Kooinat Pola Vekto iuaikan paa aah, an melalui pesamaan : os θ Sin θ Vekto satuan aah aalah : os θ Sin θ Vekto satuan aah aalah vekto satuan aah tetapi itambah 9 : os θ 9 Sin θ 9 Sin θ os θ Vekto satuan aah : Dapat itunjukkan bahwa,, saling tegak luus. Sistem Kooinat ola ownloa on

4 Dalam sistem kooinat Siline, suatu vekto inatakan alam tiga aah, aitu aah, aah, an aah. Dapat ibaangkan suatu bola, titik i tengah-tengah bola inamakan titik nol (). Dai titik nol itaik gais kelua bola inamakan aah engan vekto satuan. Dai ining bola itaik gais singgung menata ang tegak luus engan aah inamakan vekto engan vekto satuan, beputa belawanan aah jaum jam paa biang XY. Dai ining bola itaik gais singgung tegak ang tegak luus engan aah inamakan vekto engan vekto satuan, beputa belawanan aah jaum jam paa biang XZ. Z φ Y X Gamba.. Sistem Kooinat ola Hubungan sistem kooinat ola engan sistem kooinat Katesian apat ilihat paa uaian beikut. = os os = os Sin = Sin Vekto iuaikan paa aah, an melalui pesamaan : ownloa on

5 os os θ os Sin θ Sin beimpit engan sumbu-x jika =, an = beimpit engan sumbu-y jika =, an = 9 beimpit engan sumbu-z jika = 9 Vekto satuan aah aalah : os os θ os Sin θ Sin Vekto satuan aah aalah vekto satuan tetapi itambah 9 an = : os os θ 9 os Sin θ 9 Sin Sin θ os θ Vekto satuan aah aalah vekto satuan aah tetapi itambah 9 : os 9 os θ os 9 Sin θ Sin 9 Sin os θ Sin Sin θ os Dapat itunjukkan bahwa,, φ saling tegak luus... Opeasi Vekto Sepeti halna bilangan, sebuah vekto apat ijumlahkan, ikuangkan, atau ikalikan engan vekto lain menuut atuan ang belaku bagi vekto.. Penjumlahan an Penguangan Vekto Opeasi penjumlahan atau penguangan paa vekto ilakukan engan menjumlahkan atau menguangkan komponen-komponen vekto ang aahna sama. Misal : ownloa on

6 ownloa on. Pekalian Opeasi pekalian paa vekto apat menghasilkan skala atau vekto.. Opeasi Dot Opeasi ot ai ua buah vekto menghasilkan skala imana pekalian ilakukan beasakan komponen vekto ang aahna sama. Untuk komponen vekto ang aahna saling tegak luus menghasilkan nol. osθ, aalah suut ang ibentuk oleh an. Untuk vekto satuan : Misal : Tinjau suatu bena ang menapatkan gaa an bepinah sejauh.

7 ownloa on Gamba.4. Keja ang ilakukan gaa ena melakukan keja sebesa : osθ W.. Opeasi oss Opeasi coss paa ua buah vekto an iumuskan : Sin θ, aalah suut ang ibentuk oleh an. ah vekto saling tegak luus engan an. Untuk vekto satuan :,, Misal :

8 = Opeasi oss tiak besifat komutatif. Sebagai contoh kita tinjau bena titik P begeak beputa engan tali sepanjang an kecepatan suut. ena titik P ilukiskan sepeti gamba beikut : Sin P v O Gamba.5. Vekto kecepatan linea (v) paa geak melingka Kecepatan linea bena P aalah : s φ Sin θ ; s Sinθ φ ω Sin θ s ; v s.. Opeasi Tiple Pouct ownloa on

9 ownloa on Opeasi Dot an oss apat iopeasikan secaa beuutan ang akan menghasilkan bentuk skala atau vekto begantung uutan opeasina. : iopeasikan telebih ahulu, kemuian hasilna iopeasikan Dot engan, menghasilkan skala. : iopeasikan telebih ahulu, kemuian hasilna iopeasikan oss engan, menghasilkan vekto. Opeasi Tiple Pouct Menghasilkan Skala = = Gunakan sifat eteminan bahwa Setiap petukaan bais / kolom ang beekatan hasilna ikalikan engan (-), sehingga = = (-!) = =

10 ownloa on = = khina iapatkan hasil pesamaan : = = Opeasi Tiple Pouct Menghasilkan Vekto = = = =

11 ownloa on = Jika paa komponen aah itambahkan suku, paa komponen aah itambahkan suku, an paa komponen aah itambahkan suku, maka akan iapatkan : Jika isusun kembali akan menghasilkan : Hasil ini apat ituliskan menjai pesamaan : Tinjau bena titik P bemassa m begeak beputa engan tali sepanjang an kecepatan suut. ena titik P apat ilukiskan sepeti gamba beikut : L v P

12 Gamba.6. ena titik P beputa engan kecepatan v Dai uaian sebelumna iapatkan : Kecepatan bena P aalah : v Pecepatan bena aalah : v a ω a v Kasus khusus :, atau = 9 a ω ; ω ; inamakan pecepatan sentipetal Momentum suut angula bena P aalah : L mv m Kasus khusus :, atau = 9 L m m ω mv L m.4. Diffeensial Vekto Vekto isusun oleh komponen-komponen vekto paa setiap aah sumbu kooinat. Komponen-komponen vekto apat beupa fungsi ai vaiabel lain ownloa on

13 (misalna t, waktu) secaa eksplisit. Disisi lain vekto apat beupa suatu hasil pekalian ot atau coss engan vekto lain.. Vekto eupa ungsi Eksplisit ai Suatu Vaiabel Vekto tesusun oleh komponen ang beupa fungsi eksplisit ai vaiabel pengamatan t. Vekto beubah setiap saat (fungsi ai t)., imana t ; t ; t Tinjau keuukan suatu patikel paa saat t (fungsi ai t) ang ilukiskan oleh pesamaan : X Y Z, imana X Xt ; Y Yt ; Z Zt Kecepatan patikel paa saat t aalah : v v X v Y v Z Pecepatan patikel paa saat t aalah : a v v v v X Y Z ownloa on

14 a a a Paa geak melingka, sistem kooinat Pola apat ipanang mempunai vekto satuan ang beubah tehaap waktu. os θ Sin θ Sin θ osθ θ θ t Jika ilakukan iffeensial paa an, akan iapat : θ (osθ ) θ (osθ ) θ Sin θ θ θ (Sin θ ) osθ θ (Sin θ ) θ θ osθ Sin θ θ (Sin θ ) θ θ ownloa on θ (Sin θ ) ( osθ ) θ θ θ ( osθ ) Jika keuukan suatu patikel paa sistem kooinat tesebut ilukiskan oleh : θ θ ; t ; maka kecepatan patikel tesebut aalah : v θ θ θ θ t θ θ

15 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ. Diffeensial paa Opeasi Pekalian Suatu vekto ang iopeasikan pekalian ot atau coss apat iiffeensial engan caa iffeensial beantai. K K L L M M N N ownloa on

16 Paa geak melingka, suatu patikel beputa paa lingkaan engan jai-jai konstan an kecepatan konstan ilukiskan oleh pesamaan : konstan v v v konstan Diffeensial keua pesamaan menghasilkan : ( ) atau v v v ( v v) v v v v atau v a Hasil i atas iiffeensial lagi v ( v) v a v v ; atau a v Hubungan engan suut antaa an a aalah : a osθ -v ownloa on

17 Untuk a beupa pecepatan sentipetalang mengaah ke pusat lingkaan ( = 8), iapat besana a aalah : a v.5. Tuunan eaah. Mean Skala an Mean Vekto Panang suatu plat besi beukuan besaimana i satu sisi ipanaskan sehingga tejai alian panas. Paa suatu titik apat iamati tempeatu sesaat, peubahan tempeatue, laju peubahan tempeatue, kecepatan alian panas ang begantung aah pengamatan, an lain-lain. Dikatakan bahwa plat besi tesebut meupakan mean tempeatu, an isebut mean skala kaena tempeatu meupakan besaan fisika ang bebentuk skala. entuk lain ai mean skala antaa lain mean enegi potensial gavitasii ekat pemukaan bumi. Mean vekto meupakan suatu keaaan ang apat iamati kuantitas fisikana ang bebentuk vekto, misalna mean listik, mean magnet, mean kecepatan, an lain-lain. Pengamat apat mengamati peubahan fisika (vekto) paa suatu titik, misalna pecepatan, kuat mean magnet, aus listik ang mengali paa seutas kawat, an lain-lain.. Opeato Gaient ( ) Panang suatu mean skala (,,), akan iamati peubahan tehaap jaak s ai titik (,, ) ke suatu titik (,, ) paa aah û. û meupakan vekto aah satuan, û (a b c). a b c ownloa on

18 (,, ) s (,, ) Gamba.7. Gais hubung titik ke titik Dapat ilukiskan suatu pesamaan gais hubung antaa titik (,, ) ke titik (,, ) ang bejaak s paa aah û aalah : ( ) ( ) ûs (a b c) engan anggapan a b c kan iapatkan tiga pesamaan : - = as ; = + as - = bs ; = + bs - = cs ; = + cs Dai ketiga pesamaan tesebut apat ipanang bahwa meupakan fungsi ai s saja sehingga peubahan tehaap s ituliskan : φ s φ s φ s φ φ φ φ a b c s φ φ φ ( ) (a b c) ownloa on

19 Penataan ( )φ û φ û φ s iefinisikan sebagai : meupakan tuunan beaah, an opeato gaient atau el () ; = gaient Opeato gaient atau el () bekeja hana paa mean skala. Jika ibeikan mean (,,) = +, suatu titik P paa mean tesebut mempunai kooinat P(,,-), an icai peubahan mean i titik P paa aah u. Vekto aah satuan u ( ) φ ( ) ; φ ( ) φ s φ û ( ) ( ) ontoh lain beupa mean tempeatu T 7, i titik (-,,) icai ke aah mana kenaikan tempeatu tecepat an beapa peubahanna. T T T T ( ) ( ) (,,) T) ( 4 7 T ( T) s û T û osθ (,,) (,,) ga benilai maksimum ipilih nilai =, sehingga aahkenaikan tempeatu tecepat aalah T s 4 7 an peubahan tempeatuna aalah (4 7 ) (4 7 ) ownloa on

20 ownloa on. Opeasi Divegen Opeato apat iopeasikan sepeti laakna vekto. ) V V (V ) ( V V V V = ivegen V D. Opeasi ul V V V V V V V V V V E. Opeasi Laplacian ) ( φ ) φ φ φ ( φ φ φ φ = ivegen gaient φ φ ; inamakan pesamaan Laplace

21 φ φ ; inamakan pesamaan Gelombang v t φ φ ; inamakan pesamaan iffusi atau pesamaan konuksi panas v t.6. Integal Gais Dalam pesoalan isika seing ijumpai suatu besaan ang begantung lintasan, misalna besaan keja ang iefinisikan : W Keja W ang ilakukan oleh gaa begantung paa pemilihan lintasan ang paa umumna beupa kuva, lingkaan, atau gais luus penghubung titik an titik. Z Y X Gamba.8. Lintasan ai titik ke titik Jika ihitung keja W sepanjang lintasan, iapat : W ownloa on

22 entuk W sepeti ini inamakan integal gais. Sebagai contoh, tinjau suatu gaa ang bebentuk ang melakukan keja sepanjang lintasan ai titik O(,) ke titik (,) sepeti gamba beikut : Y (,) () () (4) () O X Gamba.9. Lintasan O beupa lintasan (), (), (), an (4) ;. Lintasan ai O ke, kemuian ai ke W O O Lintasan O : =, = ; = -, sehingga O Lintasan : =, = ; = -, sehingga W O 5 ownloa on

23 ownloa on. Lintasan ai O ke, kemuian ai ke O O W Lintasan O : =, = ; = -, sehingga O Lintasan : =, = ; = -, sehingga - W O. Lintasan ai O ke beupa gais luus = ½ ; = ½ ; = - W O = 4. Lintasan ai O ke beupa paabola = ¼ ; = ½ ; = -

24 ownloa on 4 4 W O = Lintasan O bisa beupa lintasan ang begantung waktu, t. Misal : = t ; = t, maka = 6t ; = t, sehingga t t t t t 6 W t O 4 t t 5 7 t O 4 W t 6 8 t 6 t 8 Jika bena saat t = beaa i titik O, an t = beaa i titik, maka W = 88 a besaan ang mempunai sifat khusus ialam opeasi integal gais, aitu hasil integal gais paa suatu lintasan sembaang benilai tetap an tiak begantung pemilihan lintasan, akan tetapi hana begantung paa titik awal an titik akhi. Tinjau mean W ang mempunai sifat : W W W W ; atau W ; W ; W Keja ang ilakukan oleh gaa ai titik ke titik aalah :

25 W ( ) ( W W W ( ) ( ) W W W ) W = W() W() Dapat ilihat bahwa keja ang ilakukan oleh gaa hana begantung paa konisi awal W() an konisi akhi W(), tiak begantung paa lintasan ang ipilih. Gaa tesebut inamakan gaa Konsevatif, an W inamakan mean konsevatif. Seangkan pesamaan W W W W inamakan iffeensial eksak ai W. Tinjau mean gavitasi bumi g, suatu bena bemassa m beaa paa ketinggian ai pemukaan bumimempunai enegi potensial V = mg. Jika bena tesebut jatuh ke bumi maka gaa gavitasi = mg melakukan keja sebesa : W mg Dapat ilihat bahwa : W = -V, atau mg = W = -V, an mempunai sifat : = (W) = -(V) = ownloa on

26 Dai pesamaan teakhi apat ilihat bahwa mean gavitasi meupakan mean konsevatif, an gaa gavitasi meupakan gaa konsevatif. Sebagai contoh, tinjau suatu gaa ang iumuskan : ( ) ( ) Untuk melihat apakah besifat konsevatif, haus ilakukan opeasi ul : - - () ( ) ( ) = besifat konsevatif. esana usaha ang ilakukan gaa ai titik O(,,) ke titik (,,) aalah : (,,) (,,) (,, ) W O (,,) (,,) (,,) imana lintasan O sembaang.. Dai titik (,,) ke titik (,,) : =, =, =, = (,,) (,,). Dai titik (,,) ke titik (,,) : =, =, = (,,) (,,) ownloa on

27 . Dai titik (,,) ke titik (,,) : =, = (,,) (,,) ( ) Dai ketiga hasil integasi, iapat W = - - V = ontoh lain, tinjau suatu muatan q iletakkan paa titik O(,,). Paa jaak ai muatan q timbul mean listik (gaa pe satuan muatan) sebesa : q E q q Enegi potensial V pe satuan muatan iefinisikan sebagai usaha ang ilakukan oleh gaa pe satuan muatan (E) untuk membawa muatan q ai titik ~ ke titik aalah : q V E q V( ) Diefinisikan V(~) =, maka q q V q.7. Teoema geen paa iang Dengan bebekal pesamaan : ownloa on

28 b a () (b) (a) Tinjau ua buah fungsi P(,) an Q(,), an lintasan beupa Y l c a b X Gamba.. Lintasan l Integal gais paa loop tetutup ai Q(,) apat ituliskan : Q(, ) Q( b, ) Q( l c c Q(b, ) Q(a, ) c a, ) Integal gais paa loop tetutup ai P(,) apat ituliskan : P(, ) P(, ) P(, l a b b a c) ownloa on

29 b P(, ) Q(, c) a Di sisi lain : Q(, ) l Q(, ) P(, ) l P(, ) Jika keua pesamaan i atas ijumlahkan akan iapat : Q(, Q(, ) P(, ) P(, ) ) l Jika igunakan gaa konsevatif engan sifat, maka W P(, ) Q(, ) l l = P(,), an = Q(,) ( ) Tinjau suatu gaa, ; lintasan : Y ownloa on

30 (,) =¼, = ½ X Gamba.. Lintasan = ¼ esana keja ang ilakukan oleh gaa paa lintasan tetutup c aalah : W c c engan c P(, ) Q(, ) l P(,) =, an Q(,) = -, sehingga W c [ ] ownloa on

31 Untuk menghitung luas suatu aeah atau biang apat ituliskan : S Tinjau suatu pesamaan : Dengan menganggap : P P = -, an Q Q =, an Maka : Q(, ) P(, ) Sehingga luas aeah atau biang apat iumuskan : Untuk ellips engan pesamaan : = os, an = - Sin = Sin, an = os luas ellips aalah : ownloa on

32 = π ) os θ Sin θ θ.8. Teoema Stokes Definisikan S = suatu pemukaan engan vekto nomal n Dilakukan opeasi vekto : n n ( n) ( n) vekto keuukan ilukiskan sebagai : ; ambil = () n n (n ) =.. iambil saling tegak luus, sehingga ownloa on

33 n - (n ) S n S ( n) S Paa pemukaan S, iefinisikan (,,) = (,,f(,)) = (,), sehingga S. pemukaan S iambil engan vekto nomal n sejaja sumbu Z, iapat : S S S n S ( n) S. pemukaan S iambil engan vekto nomal n sejaja sumbu X, iapat S S S n S ( n) S. pemukaan S iambil engan vekto nomal n sejaja sumbu Y, iapat S S S n S ( n) S Jika nome,, an ijumlahkan untuk pemukaan S utuh iapatkan : S atau n S S n S Peumusan ini memuahkan kita melakukan integasi lipat ua ke integal lipat satu ( integal gais tetutup )..9. Teoema Divegensi ownloa on

34 Z n S S : Z = f (,) S S : Z = f (,) n Y X Gamba.. iang S an S R f f f (,, ) f R ownloa on

35 (,, f) - (,, f) R n S n S n S Dengan caa ang sama, apat ilakukan integasi paa S lain ang meupakan pesamaan biang : f(,), an f(,), sehingga iapatkan : n S n S n S Jika ketiga pesamaan i atas ijumlahkan akan iapat : V n S S.. Rangkuman (i). Vekto satuan sistem kooinat Katesian : Vekto satuan sistem kooinat siline : os θ Sin θ ; θ Sin θ os θ ; Vekto satuan sistem kooinat ola : ownloa on

36 ownloa on Sin θ Sin os θ os os ; osθ Sin θ os Sin θ Sin osθ Sin φ (ii). Opeasi Dot : Opeasi oss : Tiple pouct : = (iii). Diffeensial vekto : ),, (iv). Divegen V : V V V V ul V = V V V V (v). Integal gais : O O W (vi). Teoema Geen paa iang : l l ), ( ), ( ) Q(, ) P(, P Q

37 (vii). Teoema Stokes : S ( ) S (viii). Teoema Divegensi : V V S S.. Latihan Soal (i) Tunjukkan bahwa setiap sistem kooinat mempunai vekto satuan ang saling tegak luus! (ii) Hitunglah integal gais : (,) (,) lingkaan bepusat i O(,) an jai-jai satu. (iii) Hitunglah soal no. menggunakan teoi Geen! (iv) Hitunglah integal i bawah ini : a., lintasan beupa setengah engan batas beupa segi tiga engan titik suut (,), (,), (,) b. -/ engan aeah ang ibatasi oleh, + =, an sumbu Y c. 9, (,6), an (6,6). engan batas beupa segi empat engan titik suut (,), (,). engan aeah ang ibatasi oleh ln, = e + -, an = ln 4 (v) uktikan bahwa ownloa on

38 a. ΦV Φ V V Φ b. U V V U U V V U U V c. U V U V U V V U V U.. Dafta Pustaka. fken, Geoge, Mathematical Methos fo Phsicists, caemic Pess, New Yook, n e.,97.. OS, Ma L., Mathematical Methos in The Phsical Sciences, secon Eition, John Wil an sons, 98.. abu, Te cla., Mathematical Methos with pplications to Poblems in the Phsical Sciences, John Wil an Sons, D o, John J. an onstantne H. Haupis, ee back ontol Sstem nalsis an Snthesis, secon Eition, Mc Gaw Hill, Hile ban, ancis., vance alculus fo pplications, Pentice Hall, Engle woo liffs, n E Kaplan, Wilfe, vance alculus, Secon Eition, ison-wesle, Publishing ompan, Kesig, Ewin., vance Engineeing Mathematics, outh Eition, John Wile an Sons, Sokolnikoff,. S., an R. M. Reheffe, Mathematics of Phsics an Moen Engineeing, Mc Gaw Hill n e., Tjia, M. O., Gelombang, juusan isika MIP IT, cetakan petama, Wos pakik, Hans J., Dasa Dasa Matematika untuk isika, IT, anung, 99. ownloa on