Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri"

Ridwan Halim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

2 Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi h diberikan dari rumus: V = r 2 h Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detik sementara tingginya turun dengan laju 0,5 cm/ detik. Carilah laju perubahan volume pada saat r=8cm dan h=12cm. V r h

3 Contoh - 1 r = 8, h = 12, dr δv = V r V = r 2 h δr + V h δh dv = V. dr + V. dh r h V r dv = 0,2; dh = 2πrh; V h = πr2 = 2πrh dr + πr2 dh = 0,5 (minus karena h menurun)

4 Contoh - 1 Kemudian disubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam pernyataan terakhir untuk diselesaikan. dv dv = 2πrh dr + πr2 dh = 2π ,2 + π. 64( 0,5) dv = 38,4π 32π dv = 6,4π = 20,1 cm3 /s

5 Contoh - 2 Pada segitiga siku-siku yang diberikan x meningkat dengan laju 2cm/detik sedangkan y menurun dengan laju 3 cm/detik. Hitunglah laju perubahan z ketika x = 5cm dan y = 3cm. x z y Penyelesaian: Dinyatakan z dalam suku-suku x dan y; z = x 2 y 2 z = x 2 y 2 = x 2 y 2 1/2 δz = x δx + y δy dz =. dx + dz. dy x dy

6 Contoh - 2 Dalam hal ini: Untuk nilai-nilai x=5, y=3, dx x = 1 2 x2 y x = y = 1 2 x2 y y = t = x x 2 y. dx 2 = 2, dy = 3 y x x 2 y 2 y x 2 y 2 x 2 y 2. dy

7 Contoh - 2 Untuk nilai-nilai x=5, y=3, dx = 2, dy = 3 dz = (2) 3 2 dz = 5(2) = = ( 3) = 4,75 cm/s Sisi z meningkat 4,75 cm/detik

8 Contoh - 3 Luas permukaan total S suatu kerucut dengan radius alas r dengan tinggi tegak lurusnya h diberikan oleh S = πr 2 + πr r 2 + h 2 Jika r dan h masing-masing meningkat dengan laju 0,25 cm/detik, carilah laju kenaikan S ketika r=3cm dan h=4cm. Penyelesaian: S = πr 2 + πr r 2 + h 2 = πr 2 + πr r 2 + h 2 1/2 δs = S r. δr + S h. δh ds = S. dr + S. dh r h

9 Contoh - 3 (1) S r = 2πr + πr. 1 2 r2 + h r + π r 2 + h S r = 2πr + πr2 r 2 + h + π 2 r2 + h 2 Apabila r = 3 dan h = 4 S r = 2π3 + π9 5 π9 + π5 = 11π + 5 = 64π 5

10 Contoh - 3 (2) S h = πr. 1 2 r2 + h h = πrh r 2 + h 2 S h = π3.4 5 = 12π 5 Diketahui bahwa dr/=0,25 dan dh/=0,25 ds = 64π π ds = 16π 5 + 3π 5 = 19π 5 = 3,8π = 11,94cm2 /s

11 Pengerjaan Soal Laju Perubahan Dalam pengerjaan laju-perubahan semuanya hampir sama, berikut metode penyelesaiannya: a. Pernyataan Dasar Jika z=f(x,y) maka x. δx + y. δy b. Dibagi hasil tersebut dengan δt dan diambil δt 0. Proses ini akan mengubah hasil tersebut menjadi bentuk soal laju-perubahan. dz = x. dx + y. dy

12 Aplikasi Turunan Parsial Diferensiasi parsial dapat juga digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Contohnya dianggap diminta untuk mencari pernyataan dy dx apabila diketahui bahwa x 2 + 2xy + y 3 = 0 Dapat diselesaikan dengan cara berikut ini: Misalkan z adalah fungsi x dan y tersebut, yaitu z=x 2 + 2xy + y 3. Digunakan hubungan dasar δz = x δx + y δy

13 Aplikasi Turunan Parsial Jika dibagi kedua sisinya dengan x maka bisa didapat: δz δx = x + y. δy δx Sekarang jika x 0 Jika sekarang memperoleh pernyataan untuk memperoleh dy dx δz = +. dy δx x y dx x dan y (yang bisa dilihat dari pernyataan di atas) kita akan segera

14 Aplikasi Turunan Parsial Pada contoh khusus ini, z = x 2 + 2xy + y 3 didapat hasil dari = 2x + x 2y dan = 2x + 3y2 y Dengan menyubstitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam hasil-hasil sebelumnya, akan menghasilkan: dz dx = 2x + 2y + (2x + 3y2 ) dy dx Jika kita hanya mengetahui dz dapat disusun kembali hasil ini dan dx memperoleh pernyataan untuk dy. dx

15 Aplikasi Turunan Parsial Di awal soal diketahui bahwa menggunakan z untuk x 2 + 2xy + y 3 dan pada awalnya diketahui bahwa x 2 + 2xy + y 3 = 0. Maka nilai z = 0 Dengan kata lain bahwa z adalah konstanta (dalam hal ini adalah nol) dan dari sini dz dx = 0 0 = 2x + 2y + (2x + 3y 2 ) dy dy, sehingga dapat dicari dx dx dy 2x + 2y = dx 2x + 3y 2

16 Contoh - 4 Jika e xy + x + y = 1 carilah nilai dy sebagai e xy + x + y 1 = 0 Misalkan z = e xy + x + y 1 dx di (0,0). Fungsi ini dapat ditulis δz = x dz dx = x + y. dy dx x = exy. y + 1; y = exy. x + 1 Tetapi dengan z=0 dz dx = 0. δx + y. δy dz dy = y. exy + 1 dy dx dy = y.exy +1 dx x.e xy +1

17 Contoh - 4 Tetapi dengan z=0 dz dx = 0 Pada x=0, y=0, dy dx = 1 1 = 1 dy = y.exy +1 dx x.e xy +1 dy dx = 1

18 Perubahan Variabel Jika z adalah fungsi x dan y, yaitu f=(x,y), dan x dan y itu sendiri adalah fungsi dari dua variabel lainnya u dan v, maka z juga merupakan fungsi u dan v. Oleh karena itu perlu dicari memperolehnya? z = f(x, y) u δz = x Bagilah kedua bagian dengan u: dan. Bagaimanakah cara kita v δx + y δy

19 Perubahan Variabel δz δu = x. δx δu + y. δy δu Jika v dipertahankan konstan untuk sementara, maka δx menjadi δx δu dan y u u = x. x u + y. y u dan v = x. x v + y. y v δu ketika u

20 Contoh - 5 Jika z = x 2 + y 2, dimana x = r cos dan y = r sin 2, carilah Sekarang x = 2x x r = cos θ y r = x. x r + y. y r dan θ = x. x θ + y. y θ y = 2y r = sin 2θ r dan θ

21 Contoh - 5 dan x θ r = 2x cos θ + 2y sin 2θ = r sin θ = 2r cos 2θ = 2x r sin θ + 2y(2r cos 2θ) r = 4yr cos 2θ 2xr sin θ θ y dan θ Kemudian simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh r cos dan r sin 2

22 Contoh - 6 Jika z = e xy dengan x=ln (u+v) dan y=sin (u-v), carilah Didapatkan u = x. x u + y. y u = y. exy. = e xy y u + v dan v = x. x v + y. y v = y. exy. = e xy y u + v + x. cos u v u dan v 1 u+v + x. exy. cos u v 1 u+v + x. exy. cos u v x. cos u v

23 Kesimpulan 1. Pertambahan Kecil 2. Laju Perubahan 3. Fungsi Implisit 4. Perubahan Variabel z = f x, y δz = x dz = x. dx + y. dy dz dx = x + y. dy dx. δx + y. δy

24 Kesimpulan Perubahan Variabel u = x. x u + y. y u v = x. x v + y. y v

dokumen-dokumen yang mirip

Matematika Teknik Dasar-2 8 Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Matematika Teknik Dasar-2 8 Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Turunan Parsial Volume V dari sebuah silinder