DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

Transkripsi

1 DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan oleh sin dan cos juga berperioda 2L, maka : F(x) + + n bilangan asli (1,2,3,4,5,.) dimana : L pertemuan titik Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) Contoh : 1. Ekspansikan ke dalam deret fourier f(x) jawab : (-16) FISIKA MATEMATIKA II Page 1

2 0 FISIKA MATEMATIKA II Page 2

3 F(x) SOAL (x) Jawab. 1. a0. (-4) ) - ( 4 +2 dx x cos dx intergal persial : misal : u-x dv cos dudx FISIKA MATEMATIKA II Page 3

4 v cos cos L (uv- v du)+(uv- vdu) [-x [ dx]+[ [( [ [( cos cos cos )] [ bn Parsial ; du -dx ; t dusin ; dx (uv v du)+(uv- v du) [-x cos cos ] [ dx] + [ FISIKA MATEMATIKA II Page 4

5 [( )+ sin ] + [( [( [ f(x) sin 2+ a. Deret fourier dari fungsi genap dan ganjil Deret fourier dari fungsi genap dan periode dua sukunyahanyalah terdiri dari konstans dan kosinus, dan sebaliknya fungsi ganjil hanyalah sinus saja. Untuk fungsi genap/kosinus Untuk fungsi ganjil/sinus Contoh : FISIKA MATEMATIKA II Page 5

6 JAWAB: Fungsi genap atau FISIKA MATEMATIKA II Page 6

7 Misal : FISIKA MATEMATIKA II Page 7

8 Fungsi ganjil Misal: n FISIKA MATEMATIKA II Page 8

9 Misal: n FISIKA MATEMATIKA II Page 9

10 DERET FOURIER KOMPLEK Bentuk cos nx dan sin nx dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial dengan menghubungkan euler. Dimana: Contoh soal: 1. Jawab: ` Misal : FISIKA MATEMATIKA II Page 10

11 Misal: - FISIKA MATEMATIKA II Page 11

12 FUNGSI-FUNGSI 1. FUNGSI GAMMA Fungsi gamma yang lazimnya di sajikan dalam symbol di definisikan untuk keberadaan fungsi ini untuk setiap tidak dapat disanksikan mengingat integral di ruas kanan konvergen jika. Beberapa sifat dasar fungsi gamma : Memenui, jika bulat positif, maka sebat itu fungsi, gamma sering dinamakan fungsi factorial Untuk, memiliki asimtot tegak, artinya ) Perluasan analitik untuk Contoh : 1. -(- FISIKA MATEMATIKA II Page 12

13 > mis: dt FISIKA MATEMATIKA II Page 13

14 4. 2. FUNGSI BETA Fungsi beta dan n adalah : Hubungan antara F. beta dan gamma: Fungsi Dapat 2 Sebab jika x u 2 maka Demikian pula : Demikian pula: 4 4. Jika kita gunakan transpormasi koordinat y, y, maka:. FISIKA MATEMATIKA II Page 14

15 Menjadi:, dengan G (. Pada daerah pengintegralan pada sistem coordinat ( yang sesuai dengan 0 dan yacorbian transformasi adalah : Karna itu,. Mengingat 2 Maka kita peroleh hub antara fungsi beta dan gamma. Contoh: 1. Jawab:. 2. FISIKA MATEMATIKA II Page 15

16 Jawab:... Aplikasi Deret Fourier Persoalan fisika, terutama yang menyangkut tentang vibrasi getaran biasanya membawa kita kepada besaran fisis berupa frekuensi, pannjang gelombang dan jenisnya. Sebuah partikel bergerak dengan laju konstan sehingga lintasannya berupa lingkaran dengan jari-jari A. Pada saat bersamaan partikel Q bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang garis lurus RS yang merupakan pencerminan terhadap sumbu y. dimana : ω kecepatan anguler (rad/s) simpangannya : t waktu (s) simpangan dapat didefinisikan sebagai jarak partikel dari titik keseimbangan, sehingga untuk gerak P terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditulis : dan karena dalam bidang komplek FISIKA MATEMATIKA II Page 16

17 z A cos ω.t + i A sin ω.t z A ( cos ωt + i sin ωt ) Dalam bentuk lain, maka simpangan Y dapat dinyatakan sebagai bentuk gelombang yang bergerak ke kanan/ ke kiri. Menyatakan simpangan Y merupakan fungsi periodik dari x ( untuk t yang sesuai ) dan fungsi t ( dari x yang sesuai ). LINE DAN SURFACE INTEGRAL 1) Line Integral F gaya Dalam bentuk skalar : FISIKA MATEMATIKA II Page 17

18 Line integral : Dimana : Fungsi P (x,y) dan Q (x,y) Cara menghitung line integral : x Q (t) y P (t) Contoh soal : 1. Hitung line integral dimana L busur lingkaran radius, Ra. Jawab : 0 t 2π FISIKA MATEMATIKA II Page 18

19 Misal : FISIKA MATEMATIKA II Page 19

20 Misal : FISIKA MATEMATIKA II Page 20

21 2. Hitunglah line intergral T seluruh busur elips b a Y b sin t jawab : x a cos t dy b cos t dt dx -a sint t dt J π -ab. t -ab (2π 0 ) -ab. 2π (-ab). 0 -ab. 2π 3. Dari soal 2 dengan L garis lurus yang menghubungkan m ( 1,1) dan n ( 3,3 ) FISIKA MATEMATIKA II Page 21

22 Jawaban : 2) Surface Integral Bidang permukaan λada di dalam v dibatasi L jadi P,Q,R continu pada bidang λ z x y FISIKA MATEMATIKA II Page 22

23 Rumus disebut dengan permukaan ( surface integral) Integral permukaan adalah integral lipatan yang dibatasi oleh tiga parameter yaitu koordinat kortesian, silinder dan bola. a. Koordinat kartesian z s permukaan s yang normal terhadap bidang xy y x untuk pernyataan element vector luasnya F Cara perhitungan 1. Untuk menghitung vector normal satuan permukaan s yaitu ; untuk mencari batas ( titik potong0 2. Pecahkan persamaan permukaan bagi variable z hingga di peroleh 3. Nyatakan vector u (x,y,z)u (x,y,z (x,y)) v (x,y) FISIKA MATEMATIKA II Page 23

24 4. Elemen luas dinyatakan dalam dxdy secara geometri dxdy adalah proyeksi jadi 5. Hitung integral lipat dua Contoh soal 1. Jika dan s adalah bidang hitung integral Jawaban: dalam oktan pertama. FISIKA MATEMATIKA II Page 24

25 b. Koordinat Silinder Misal s adalah permukaan silinder dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka koordinat sudut Ѳ dan z dapat dipilih sebagai parameter dengan adalah ; ;. Sehingga kedudukan vektor... (1) Sehingga Karena itu vektor elemen luas permukaan silinder s adalah: Untuk menyederhanakan perhitungan, hitung dahulu dalam sistem koordinat kartesian yang menghasilkan medan saklar, kemudian sisipkan persamaan paramer. FISIKA MATEMATIKA II Page 25

26 Contoh soal: oktan pertama abtara Jawab: dan s adalah permukaan silinder. Hitunglah yang terdapat didalam ; FISIKA MATEMATIKA II Page 26

27 c. Koordinat Bola Misal s permukaan bola dengan pusat simetri dititik asal 0 (0,0,0) maka koordinat sudut Ѳ dan ф dengan. ; ;. Vektor kedudukan: FISIKA MATEMATIKA II Page 27

28 Vektor elemen luas permukaan bola s: Medan vektor s (x,y,z) pada permukaan bola z adalah Untuk menyederhanakan perhitungan, hitung dahulu yang menghasilkan medan saklar dalam sistem koordinat kartesian Contoh soal: Hitung jika ( dan s adalah seluruh permukaan bola. Jawab: FISIKA MATEMATIKA II Page 28

29 Persamaan Diferensial Biasa Definisi: suatu persamaan yang mengandung turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial. Bilamanapun perubahan terbaik dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu perubahan bebas, maka turunan yang muncul adalah turunan biasa dan persamaan anini merupakan persamaan diferensial biasa. Orede tingkat suatu persamaan diferensial adalah tingkat atau pangkat tinggi turunan yang adalah persamaan. Contoh soal: Jawabanya mana?? Ga ada. FISIKA MATEMATIKA II Page 29

30 1. Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah Jika diberikan suatu fungsi f, dengan batas y merupakan solusi suatu persamaan diferensial (jika persamaan itu menjadi suatu kesamaan). Jika y dan turunan digantikan dengan dan turunannya yang menjadi perbedaan turunan y. Contoh soal: 1. Jawab: Solusi dari persamaan diferensial: Substitusi, kedalam persamaan: 2. Persamaan Diferensial Orde 1 a) Persamaan Diferensial Eksak Missal M dan N fungsi dua peubah sehingga M, N, M y, dan N x continu pada suatu daerah siku R, M (x,y) dx + N (x,y) dy..(1) Adalah diferensial eksak suatu fungsi f yang nilainya Z f (x,y) dan hanya jika: Jika syarat dipenuhi, maka persamaan diferensial: M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy 0, disubuteksak dan solusi umum: f ( x,y ) c Untuk memenuhi fungsi F: FISIKA MATEMATIKA II Page 30

31 Dan ruas kiri dz 0, ) : Contoh soal: 1. Tentukan solusi dari persamaan Jawab: Menguji ke eksakan Untuk memenuhi fungus F - 2yx + + dz b) Persamaan Diferensial Orde 1 Ruas Kanan 0 Bentuk umumnya adalah: Untuk mencari solusi maka ruas kanan 0 FISIKA MATEMATIKA II Page 31

32 Mula-mula kita anggap Q (x) 0 Dimana p (x) I (dipisahkan variable) Selanjutnya Contoh soal: 1. Jawab:..(2) Dibagi dengan, sehingga menjadi: Dan FISIKA MATEMATIKA II Page 32

33 Untuk Jadi, Persamaan Diferensial Ordo 2 a. Persamaan difererensial orde 2 dengan rumus kanan 0 Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan Dimana 0 maka, Contoh: Selesaikan persamaan orde 2 dari Jawab: Maka, Integralkan FISIKA MATEMATIKA II Page 33

34 Ln Y -2X Ln y -x Aplikasi dalam fisika Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan diferensial. Contoh : 1. Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F yang tetap dalam arah sumbu x. Jawab: H. Newton II F m.a a percepatan maka, 2. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Jawab: a g FISIKA MATEMATIKA II Page 34

35 dy g.t.dt Hukum fisika gerak jatuh bebas Latihan Selesaikan persamaan diferensial linier : Selesaikan PDF berikut cara terpisah a. FISIKA MATEMATIKA II Page 35

36 Jawab: Menguji keeksakan Fungsi F : Jadi, 3. FISIKA MATEMATIKA II Page 36

37 FISIKA MATEMATIKA II Page 37

38 FISIKA MATEMATIKA II Page 38

39 b. Cara Langrage Persamaan tereduksi (ruas kiri) Merupakan penyelesaian umum dari persamaan tereduksi, C1 dalam penyelesaian umum persamaan tereduksi dipandang sebagai fungsi dari x. Didapat Maka FISIKA MATEMATIKA II Page 39

40 Jadi persamaan Contoh Jawab Missal Missal: FISIKA MATEMATIKA II Page 40

41 dikali FISIKA MATEMATIKA II Page 41

42 Misal: PENERAPAN PDB DALAM FISIKA A. PEGAS Hukum newton II : Fm.a Hukum Hooke : F - k.x Hokum newton II Hukum hooke m.a -k.x dv m. k. x dt 2 d x m. kx 2 dt 2 d x m. kx 0 2 dt Ordo 1 FISIKA MATEMATIKA II Page 42

43 Dimana : r 2 d 2 x dt m. r 2 + k.x 0 fungsi karakteristik F (r) 0 m. r 2 + k 0 m. r 2 k r 2 m k r m k Persamaan gerak k k x c1 cos. t c2 sin. t m m 2 k m k m x c1 cost c2 sin t Ordo 2 2 d x m. b 2 dt dx dt k. x 0 Fungsi Karakteristik mr 2 +br+k0 b 1 2 r1.2 b 4mk 2m 2m Dimana : FISIKA MATEMATIKA II Page 43

44 FISIKA MATEMATIKA II Page 44 mk b m t m b t m b Be Ae x 2 2. t t m b B e Ae e Persamaan gerak B. Rangkaian Listrik Rangkaian listrik yang dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan v (t), tahanan (R), kapasitor (C), inductor (L). Pada saat t0, maka QQ 0 dan LC Dimana t v C Q dt dq R dt Q d L 1 : ) ( 0 2 Persamaan gerak Contoh: t mk b t mk b m b e c e c e x t t Q Q t Q dt dq dt dq i L t C L R L t C L R t L R B e Ae e t i ) (

45 1. Massa 5 kg digantungkan pada pegas yang tergantung dan mempunyai tetapan pegas 1000N/m. Carilah persamaan geraknya dan hitung persamaan gerak jika t0! Diket :m5kg K1000N/m Dit : x.? x.? t0 k x C1 cos t C2 sin m k m t 1000 C1 cos t C2 sin t x C1 cos C2 sin C 1 cos 0 +C 2 sin 0 C 1. 1+C 2. 0 C 1 2. Sebuah massa 20gr digantungkan pada ujung sebuah sistem pegas,dan panjang pegas berubah 4cm dari keadaan semula.tidak ada gaya luar yang bekerja pada massa pegas dan tahanan udara diabaikan.nyatakan pers gerak yang terjadi jika massa tertarik ke bawah 1cm dari keadaan setimbang dan pada massa diberikan kecepatan awal 0,5 cm/dt arah keatas. Diket : m20 gr 2x10-2 kg x4cm 4x10-2 kg dit : x? jawab : F m.g 2x10-2 kg.10 kg FISIKA MATEMATIKA II Page 45

46 2x10-1 N F K x 1 F K 0, N 2 x 410 m k x C1 cos t C2 sin m k m t 0,01cos t 0,01sin t 3. Sebuah rangkaian listrik LRC, yang tidak menggunakan sumber tegangan terdiri dari tahanan 6 Ω, kapasitor 0,02 F, inductor 0,1 H. hitunglah arus pada rangkaian jika saat rangkaian dihubungkan t 0, arus (I 0 ) 0 dan kapasitor telah bermuatan o,1 C. Diketahui : R 6 Ω C 0,02 F L 0,1 H I 0 0 Q 0,1 C Ditanyakan : i (t)? Jawab : i (t) FISIKA MATEMATIKA II Page 46

47 4. Gunakan persamaan Bernoulli FISIKA MATEMATIKA II Page 47

48 FISIKA MATEMATIKA II Page 48