Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Transkripsi

1 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y = x xy + 3y + x 5y 4 = 0 a. 6 d. 3 b. 3 e. 6 c. 0 Jawaban : d x + y = 4 Dari pers. kedua diperoleh x = 4 y. Substitusikan nilai ini ke pers. pertama sehingga diperoleh, (4 y) (4 y)y + 3y + (4 y) 5y 4 = 0 6 6y + 4y 4y + y + 8 4y 5y 4 = 0 9y 9y + 0 = 0 (9y 0)(y ) = 0 karena y bulat maka y = sehingga x =. Oleh karena itu, x y = 4 = 3.. Misalkan f(x) = (x 3) 3 + (x ) + (x ), maka sisa dari pembagian f(x + ) oleh x adalah... a. + 5x d. 4 9x b x e. + 9x c. 5 x Jawaban : a Perhatikan bahwa, f(x + ) = (x ) 3 + x + x + = x 3 3x + 3x + x + x + = x 3 x + 4x = x (x ) (x ) + 5x = (x )(x ) + 5x mudah dilihat bahwa sisa dari f(x + ) jika dibagi (x ) adalah 5x. 3. Nilai - nilai x yang memenuhi x x adalah... a. semua bilangan riil d. x atau x

2 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 b. x atau x c. x Jawaban : a e. x atau x Karena melibatkan nilai mutlak, maka akan lebih mudah jika kita bagi kasus : a) Untuk x, maka persamaan menjadi x x x. Jadi, Hp = {x R x }. b) Untuk x >, maka persamaan menjadi x x x. Jadi, Hp = {x R x > }. Oleh karena itu, berdasarkan dua kasus di atas pertidaksamaan tersebut dipenuhi untuk semua bilangan riil x. 4. Misalkan x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x (k k )x+(3k+4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x, k, x merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah... a. ( )n + b. ( )n c. ( )n + Jawaban : a d. ( ) n e. ( )n Dari rumus Vieta kita tahu bahwa x x = 3k + 4. Padahal, x, k, x membentuk barisan geometri sehingga berlaku pula x x = k. Oleh karena itu, diperoleh k = 3k + 4 k 3k 4 = 0 (k 4)(k + ) = 0. Jika k = 4 maka diperoleh persamaan kuadrat x 7x+6 = 0 yang tidak punya akar bulat. Jika k = maka diperoleh persamaan kuadrat x x+ = 0 (x ) = 0 yang akar - akarnya x = x = Oleh karena itu, barisan geometri yang dimaksud adalah,,,,,. Sehingga diperoleh, S n = ( )n ( ) = ( )n + 5. Dalam segitiga ABC, AB = a, AC = b. Jika titik G adalah titik berat segitiga ABC maka AG = a. 6 ( a + b ) d. 3 ( a + b ) b. 4 ( a + b ) e. 3 4 ( a + b ) c. 3 ( a + b )

3 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Misal AD adalah garis berat segitiga ABC yang ditarik dari A maka diperoleh AD = ( a + b ). Akan tetapi karena G titik berat maka AG = AD = 3 3 ( a + b ) 6. Dalam segitiga ABC diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c maka b c b + c = a. sin (β γ) cos α d. tan (β γ) tan α b. cos (β γ) sin α e. tan (β γ) cot α c. tan (β γ) sin α Jawaban : e Pada ABC berlaku aturan sinus yaitu sehingga a sin α = b sin β = c sin γ = R b c R sin β R sin γ = b + c R sin β + R sin γ = cos (β + γ) sin (β γ) sin (β + γ) cos (β γ) = cot (β + γ) tan (β γ) = cot(90 α) tan (β γ) = tan α tan (β γ) = tan (β γ) cot α 7. Jika sin t(csc t )( sin t + sin t sin 3 t + ) = x dengan π < t π, maka nilai dari cos t adalah... a. (x ) d. (x ) b. (x ) e. c. + (x ) Jawaban : b + (x ) Untuk t = π jelas bahwa sin t = 0 oleh karena itu x = 0 dan cos t =. Untuk kasus ini jelas tidak ada pilihan yang memenuhi. Oleh karena itu, haruslah batasan pada 3

4 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 soal adalah π < t < π. Untuk kondisi ini kita peroleh, x = sin t cot t ( sin t + sin t sin 3 t + ) = cos t + sin t = sin t + sin t = sin t Oleh karena itu, sin t = x sehingga cos t = sin t = ( x) = (x ). Catatan : Menurut saya batasan variable t pada soal seharusnya tidak menyertakan nilai t = π agar ada pilihan jawaban yang sesuai. 8. lim x 4x + 7 = x a. d. 4 b. e. c. 0 Misalkan t = x maka pertanyaan pada soal equivalent dengan, lim x 4x + 7 = lim t 4t + 7 x t = lim 4t 4t + 7 t = = 0 9. Diberikan { f(x) = sin x. } Jika f (x) menyatakan turunan pertama dari f(x) maka lim h f (x + ) f (x) = h h a. sin x d. sin x b. cos x e. cos x c. cos x Ingat kembali definisi dari turunan suatu fungsi yaitu Berdasarkan definisi ini kita punya, f f(x + t) f(x) (x) = lim t 0 t { } { lim h f (x + } f (x + ) f (x) h h ) f h (x) = lim h 0 = f (x) = cos x h 4

5 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 0. Jika diketahui garis singgung parabola y = 3x + ax +, pada titik x = membentuk sudut terhadap sumbu X sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x 59 dan parabola tersebut adalah... a. 0 d. 3 b. e. c. Jawaban : b Garis singgung parabola y = 3x + ax + di x = memiliki gradien m = 6x + a = a. Karena garis singgung tersebut membentuk sudut sebesar arctan(6) terhadap sumbu X maka gradiennya, m = 6. Oleh karena itu, diperoleh a = 6 a = 8. Jadi, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = 3x + 8x +. Misalkan F (x) = 9x 59 (3x + 8x + ) = 3x 7x 60. Oleh karena itu, luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x 59 dan parabola y = 3x + 8x + sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva F (x) dan sumbu X yaitu Luas = ( 3) =. Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang BCD. Jika BC = BD = a cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan... a. π 6 d. 3π 4 b. π 4 e. π c. π 3 Jawaban : b Perhatikan sketsa di bawah ini! C A B E D Perhatikan bahwa BCD adalah segitiga siku - siku sama kaki, sehingga BE = CE = ED = a. Oleh karena itu, BE = a = AB dan karena ABE = 90 maka AEB = 45.. Persamaan kuadrat x pqx + p + q = 0 akar - akarnya x dan x dengan x x = 5(x + x ). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah... 5

6 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 () p = q () p = q (3) p = q + (4) p = q Berdasarkan rumus Vieta diperoleh, x + x = pq dan x x = p + q sehinggga x x = 5(x + x ) p + q = 5pq Jadi, diperoleh hubungan p = q atau p = q. p 5pq + q = 0 (p q)(p q) = 0 Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via ke tutur.w87@gmail.com Terima kasih. My blog : 6